精品解析：湖南湘潭市凤凰中学2026届高三下学期高考适应性测试（一）数学试题

湘潭凤凰中学2026年高考适应性测试（一） 数 学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ，则 （    ） A. B. C. D. 2. 已知函数,则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 在如图五面体中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离为1.若，，，，则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件与满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 是奇函数 8. 已知双曲线，，分别为的右焦点和左顶点，点在双曲线的左支上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( ) A. B. 若，则函数的最小正周期为； C. 关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解 D. 若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 10. 已知数列满足为数列的前项和，则下列说法正确的有（ ） A. 当为奇数时， B. 设，则数列的前项和小于 C. 设，则数列的前项和小于 D. 设，则数列的前项和小于 11. 若抛物线C：，且A、B两点在抛物线上，F为焦点，下列结论正确的是（ ） A. 若A、B、F共线，则面积的最小值为2 B. 若，则AB恒过 C. 经过点且与抛物线有一个公共点的直线共有两条 D. 若，则A、B两点到准线的距离之和大于等于10 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____. 13. 某公司规定，每位职工可以在每周的7天中任选2天作为休息日（如选择星期一和星期四），其余5天工作，以后不再改动，则甲、乙、丙三位职工恰好同时工作，同时休息的概率是______． 14. 已知正实数，满足，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，，，． （1）求； （2）当取得最小值时，求BD． 16. 如图，在正四棱柱中，． （1）求点到直线的距离； （2）求二面角的正弦值． 17. 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线，交于点. （i）求的最小值； （ii）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切. 18. 已知函数. （1）求函数的极值; （2）证明：对任意的； （3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根. 19. 现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. （1）求的分布列和数学期望. （2）求概率. （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘潭凤凰中学2026年高考适应性测试（一） 数 学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ，则 （    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集定义计算. 【详解】由已知， 所以. 2. 已知函数,则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的正负性与函数的单调性的关系，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】. 当在上单调递增时，则有在上恒成立， 于是有，解得， 显然当时，不一定能推出， 同样当时，也不一定能推出， 所以“”是“在上单调递增”的既不充分也不必要条件. 3. 已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案. 【详解】，故，解得，所以， 则在方向上的投影向量为. 故选：A. 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前和项性质来求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得：仍成等差数列， 所以， 代入，得：，得， 故选：B. 5. 在如图五面体中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离为1.若，，，，则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将五面体补成正三棱柱，求出三棱柱的体积即可得到结果. 【详解】 如图，延长至点，延长至点，延长至点，使得， ∵棱AD，BE，CF互相平行，∴，故五面体为三棱柱，且体积为原五面体体积的2倍， ∵AD，BE，CF两两之间距离为1，， ∴三棱柱为正三棱柱，底面是边长为1的等边三角形，高为4， ∴三棱柱的体积为， ∴该五面体的体积为. 故选：D. 6. 已知随机事件与满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据概率的性质，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由概率的性质，可得， 即，解得，所以. 7. 设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】通过令和，确定函数为一次函数，通过待定系数法确定解析式，再逐项判断即可. 【详解】令可得：， 再令，可得， 即函数为一次函数， 设，代入给定等式， 左边：， 右边： 对比系数得：  若，得，，与无交点，舍去； 若，得，即，验证满足原等式。 已知，即，得， 对于选项A：，错误； 对于选项B：，错误； 对于选项C：，显然不是奇函数，错误； 对于选项D，令，定义域为R， 满足，是奇函数，正确. 8. 已知双曲线，，分别为的右焦点和左顶点，点在双曲线的左支上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，，根据双曲线的定义结合余弦定理可求离心率. 【详解】如图，因为分别为双曲线的右焦点和左顶点，所以． 因为，所以，故． 设左焦点为，则，故， ， 整理得到：，故 故选：A． 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或其取值范围的方法： （1）直接求出的值，利用离心率公式直接求解； （2）列出含有的齐次方程（或不等式），借助于消去，再借助于，转化为含有的方程（或不等式）求解． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( ) A. B. 若，则函数的最小正周期为； C. 关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解 D. 若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：在上单调，，，故； B：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据知是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出ω，从而求出其周期； C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解； D：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围. 【详解】A，∵，∴在上单调，又，，∴，故A正确； B，区间右端点关于的对称点为，∵，f(x)在上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴为的最小正周期，即3，又，∴.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，故k＝0，，故B正确. C，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误. D，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，结合，得，又，∴的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍. 10. 已知数列满足为数列的前项和，则下列说法正确的有（ ） A. 当为奇数时， B. 设，则数列的前项和小于 C. 设，则数列的前项和小于 D. 设，则数列的前项和小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用分组法求和即得；选项B，利用错位相减法求和即得；选项C，利用裂项法求和即可；选项D，利用裂项求和即可. 【详解】由， 得奇数项是以为首项，公差为4的等差数列， 偶数项是以为首项，公比为3的等比数列， 所以当为奇数时， ，故A对； ， 所以， 两式相减得：， 所以，故B错； ， 所以， 则 ，故C对； 由，， 所以， 令，得是递增数列，所以，故D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列求和，常用数列求和方法： （1）公式法：等差数列的前n项和公式或等比数列的前项和公式 （2）乘公比错项相减(等差等比)； （3）裂项相消法，将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解(裂项)； （4）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. （5）拆项求和法：:在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和. 11. 若抛物线C：，且A、B两点在抛物线上，F为焦点，下列结论正确的是（ ） A. 若A、B、F共线，则面积的最小值为2 B. 若，则AB恒过 C. 经过点且与抛物线有一个公共点的直线共有两条 D. 若，则A、B两点到准线的距离之和大于等于10 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，设直线的方程为，，，将直线与抛物线方程联立，得到韦达定理式，代入，求出其最小值即可；对B，设直线直线的方程为，分别求出坐标，求出并化简直线方程，即可得到定点坐标；对C，首先讨论直线水平时的情况，然后再设直线方程为，联立抛物线方程，利用即可；对D，分直线过焦点和不过焦点两种情况讨论即可. 【详解】对A，由题得，设直线的方程为，，， 联立抛物线方程得，， ，， ， 当且仅当时，等号成立，此时直线方程为， 故面积的最小值为2，故A正确； 对B，设直线的方程为，显然，联立抛物线方程得， 解得或0（舍），此时，， ，则用代换可得， 当存在时，，， 则直线的方程为， 即，此时经过定点， 当不存在时，此时，解得，此时， 综上恒过定点，故B错误； 对C，当直线方程为时，得，，此时直线与抛物线只有一个公共点， 设过点的直线方程为，联立抛物线方程得 ，因为直线与抛物线有一个公共点， 故，解得，此时直线方程为 ， 综上，经过点且与抛物线有一个公共点的直线共有三条，故C错误， 对D，当直线经过，在A选项基础上得， 抛物线的准线方程为， 根据抛物线定义得，， 故， 当且仅当时等号成立，故此时， 若，则、两点到准线的距离之和为， 当直线不经过，分别过点和点作准线的垂线段，垂足分别为点， 分别连接， 根据抛物线定义得，， 在中，，即， 故此时、两点到准线的距离之和大于10， 综上所述，若,则、两点到准线的距离之和大于等于10，故D正确. 故选：AD. 【点睛】结论点睛：若抛物线方程为，若过原点分别作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点，则直线过定点. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，再得出共轭复数即得其虚部. 【详解】由， 则，故复数的虚部为. 故答案为：. 13. 某公司规定，每位职工可以在每周的7天中任选2天作为休息日（如选择星期一和星期四），其余5天工作，以后不再改动，则甲、乙、丙三位职工恰好同时工作，同时休息的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用组合和古典概型计算方法即可计算. 【详解】每一位职工从每周的7天中任选2天休息有种选法， 三人一共有种选法， 而相同的选法有种， 则甲、乙、丙三位职工恰好同时工作，同时休息的概率. 故答案为： 14. 已知正实数，满足，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】将条件变形为，然后构造函数，，利用导数研究其单调性，则根据得，进而利用基本不等式求解最值即可. 【详解】正实数，，， 令，，当时，， 所以函数在上单调递增， 又，于是， 则，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，，，． （1）求； （2）当取得最小值时，求BD． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式即求解； （2）设，由余弦定理可得，，进而利用基本不等式可求最小时，的长. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 解得； 【小问2详解】 设，由，得， 由，可得 在中，由余弦定理可得，即， 在中，由余弦定理可得，即， ， 当且仅当，即等号成立， 所以当取得最小值时，. 16. 如图，在正四棱柱中，． （1）求点到直线的距离； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，根据点到直线距离向量法计算求解； （2）根据面面角向量法计算求解. 【小问1详解】 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 由，得， 所以， 所以点到直线的距离为； 【小问2详解】 ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 因为，所以， 即二面角的正弦值为. 17. 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线，交于点. （i）求的最小值； （ii）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切. 【答案】（1）； （2）（i）6； （ii）证明：因为直线与直线相交于点，又的中点为，所以，， 设，当时，， ， 由题意得，所以，当时，也满足， 故平分，所以，所以为的中垂线， 所以，即在圆上， 又，所以，所以与定圆相切. 【解析】 【分析】（1）设，根据直线的斜率之积为，列出方程，整理即可得出曲线的轨迹方程. （2）设出直线的方程并与曲线联立，利用韦达定理得，与， 联立得，即得的表达式，然后利用基本不等式求出最值即可；（）利用斜率公式和三角函数和差角公式可得，得，进而得到圆的方程，利用可得直线与定圆相切. 【小问1详解】 设，则，所以， 所以， 所以，即， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）依题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立，消去得， 设，所以， 所以， 设，由题意知，， ， 由题意知，所以， ，所以，即， 所以，所以，所以，即在直线上， 由题意知，所以， 所以，即，所以， 所以，所以， 即在直线上，因为直线的方程为，直线的方程为，由，得， 所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6； （ii）略 【点睛】关键点睛：对于圆锥曲线中的最值问题，常见思路为适当设出参数，然后得到所求最值关于参数的表达式，随后利用基本不等式，代数式恒等变形，函数单调性求得最值；要证明直线与定圆相切，可如本题中利用数形结合，平面几何知识来证明，也可以找到一点，是直线到定点距离为定值. 18. 已知函数. （1）求函数的极值; （2）证明：对任意的； （3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根. 【答案】（1）极大值，无极小值； （2）证明如下： 不等式， 令函数，依题意，， 求导得，令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，所以对任意的. （3）证明如下： 函数定义域为R，求导得， 由，即，得，函数有唯一零点， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 函数在处取得最大值，且当时，；当时，， 由函数有且仅有一个零点，得，即， 消去得，令函数，显然函数在R上单调递增， 而，则，， 又函数在上单调递增，因此， 方程中，， 所以方程 无实数根. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）等价变形给定不等式并构造函数，利用导数求出最小值即可推理得证. （3）利用导数，结合函数有唯一零点的条件求出的大致范围，再利用一元二次方程判别式推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 19. 现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. （1）求的分布列和数学期望. （2）求概率. （3）证明：. 【答案】（1）分布列为 ； （2） （3） 由全概率公式知， 化简得 代入 即 即 即 由，所以 所以，即证． 【解析】 【分析】（1）分别求出取所有可能的值时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可； （2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和即可. （3）根据全概率公式和等比数列求和公式即可得到证明. 【小问1详解】 由题意可知，的可能取值为， 其中，， ，， 所以分布列为 ； 【小问2详解】 个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞， 此事件概率， 所以 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $