25.3实际问题与一元二次方程 第3课时 循环问题与数字问题 分层训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础应用到综合拓展，强化一元二次方程在循环与数字问题中的建模与推理，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|循环问题（双循环、单循环）、数字问题（两位数表示与关系）单一知识点应用|选择填空为主，直接考查公式应用与方程建立，如双循环比赛场次计算、两位数数字关系| |能力提升|循环与数字问题综合应用，含多问递进|解答题阶梯式设问，如握手次数从具体到抽象，多边形对角线数量与边数关系探究| |拓展提优|跨情境综合应用，结合高斯求和、比赛积分|实际情境问题，如点阵点数和、围棋单循环积分，培养模型意识与推理能力|

25.3实际问题与一元二次方程 第3课时 循环问题与数字问题 分层训练 【满分：100分 时间：40分钟】 一、基础过关【42分】 （一）循环问题【每题4分，共24分】 1.某校开展班级篮球双循环联赛，每两个班级之间要打两场比赛（主、客场各一场），全部比赛共计132场。设参赛班级共有个，则可列一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 2.一次线下学术沙龙活动中，每两位参会学者之间互相握手一次，统计得知本次活动总握手次数为66次，则本次参会学者总人数为______。 3.平面内有若干个端点，任意两点连接成一条线段，若一共可以画出45条不同线段，则平面内端点个数为（） A.9个 B.10个 C.11个 D.12个 4.已知边形对角线条数公式：。若一个多边形边数增加3，对角线总数增加27条，则原多边形边数为（） A.9 B.10 C.11 D.12 5.在2025年10月的日历中，用方框圈出相邻两行两列的4个日期，若最小日期与最大日期的乘积为195，则这四个日期里的最大数为______。 6.有一个实数，它的平方比它本身大2，则这个数为（ ） A.2或-1 B.2或1 C.-2或1 D.只有2 （二）数字问题【每题3分，共18分】 7.一个两位数，十位与个位数字之和为7，将十位、个位数字对调后得到的新两位数与原两位数的乘积为1036，则原两位数为________。 8.一个两位数，个位数字比十位数字大3，该两位数恰好等于十位数字平方的4倍，则这个两位数是（ ） A.64 B.53 C.36 D.31 9.一个两位数，个位数字为，十位数字比个位数字大4，请用含的代数式表示这个两位数：________。 10.一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，个位数字的平方比十位数字大11，则这个两位数为（ ） A.45 B.36 C.54 D.63 11.一个两位数，十位数字与个位数字之积为18，数字对调后新数比原数小9，则原两位数为________。 12.一个两位数，个位数字是十位数字的3倍，数字对调后，新数与原数的差为36，则原两位数为（ ） A.13 B.31 C.63 D.36 二、能力提升【24分】 13.【12分】班级团建活动，每两名同学之间握手一次。 (1)5人参会，共握手______次；7人参会，共握手______次； (2)若本次团建总握手次数为45次，求参会总人数； (3)若线段上有个点（不含端点），直接写出线段总条数：________。 14.【12分】多边形对角线探究：边形对角线总数：。 (1)八边形对角线总条数为______； (2)若一个多边形共有20条对角线，求该多边形边数； (3)若多边形边数增加2，对角线增加16条，求原多边形边数。 三、拓展提优【34分】 15.【16分】利用高斯求和公式 解决点阵问题： 已知正整数求和公式：。 (1)三角点阵第行有个点，前行点数和能否为820？若能求，不能说明理由； (2)点阵各行点数为：4、8、12……（4的倍数），前行点数和能否为840？若能求，不能说明理由。 16.【18分】围棋比赛采用单循环赛制，每位选手与其他选手各赛一局，胜得2分、负得0分、平局各得1分。本次比赛全部选手总积分为780分。 (1)求本次参赛的选手总人数； (2)若选手小张本次总得分为40分，判断小张是否有可能夺得本次比赛冠军，并说明理由。 参考答案与详细解析 一、基础过关 答案解析 （一）循环问题 1.【答案】A 【解析】双循环主客场比赛，每两队对战2次，总场次公式：，列方程：。 2.【答案】12 【解析】单循环握手模型：，整理得，解得（舍去）。 3.【答案】B 【解析】线段总数为单循环模型：，解得。 4.【答案】A 【解析】设原边数，原对角线，边数+3后：，列增量方程解得。 5.【答案】15 【解析】日历四数：最小，最大，，解得，最大日期为15。 6.【答案】A 【解析】设该数为，，整理得，解得。 （二）数字问题 7.【答案】16或61 【解析】设十位，个位，新旧两数乘积为1036，解方程得原数为16或61。 8.【答案】C 【解析】设十位，个位，列方程，解得，两位数为36。 9.【答案】 【解析】个位，十位，两位数：。 10.【答案】A 【解析】设十位数字为，则个位数字为。根据题意列方程：，整理得：，因式分解得，解得，（数字不能大于9，舍去）。因此十位为4，个位为5，该两位数为45。 11.【答案】92 【解析】设十位、个位，，，解得原数92。 12.【答案】A 【解析】设十位，个位，对调作差：，解得，原数13。 二、能力提升 答案解析 13.【答案】(1)10，21；(2)10人；(3) 【解析】(2)，解得。 14.【答案】(1)20；(2)8；(3)11 【解析】(2)，解得；(3)列对角线增量方程解得原边数11。 三、拓展提优 答案解析 15.【答案】(1)能，；(2)能， 【解析】(1)，整理得，正整数解； (2)和式：，即，解得。 16.【答案】(1)28人；(2)有可能夺冠 【解析】(1)单循环总积分=总场数×2，列式：，化简得，解得（负根舍去）。 (2)冠军理论最高分：完胜27人，得分分。小张40分＜54分，若其余选手互相失分、无人高分，则小张可以最高分夺冠，因此有可能夺冠。 |（注：部分内容可能由 AI 生成） 学科网（北京）股份有限公司 $