25.3 课时2 传播问题、平均变化率问题和循环问题 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册“实际问题与一元二次方程”同步练，以7个知识点为载体，通过基础到综合的分层设计，实现从概念理解到建模应用的知识巩固，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|传播、单双循环等单一知识点|选择/填空题直接应用公式，如传播问题列方程| |技能应用|平均变化率、数字问题|填空/解答题强化方程构建，如增长率问题列方程| |综合拓展|利润问题、复杂情境|多问解答题融合多知识点，如利润问题结合销量变化|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 课时2 传播问题、平均变化率问题和循环问题 ▌课时目标 1. 掌握传播问题、平均变化率问题及循环问题的等量关系，能准确设立未知数并列出相应的一元二次方程。 2. 能熟练运用一元二次方程模型解决增长率、下降率、传染扩散及单双循环比赛等典型实际问题，并正确求解与检验。 3. 体会将不同类型的动态变化过程转化为数学模型的建模思想，提升分析实际情境与应用方程解决问题的能力。 ▌课时目录 知识点01：传播问题 知识点02：平均增长率问题 知识点03：平均下降率问题 知识点04：循环问题——单循环 知识点05：循环问题——双循环 知识点06：数字问题 知识点07：利润问题 ▌知识点01：传播问题 传播问题（如传染病、消息扩散）的核心特征是：每轮每个传染源以固定人数传染他人。 等量关系：若初始有1个传染源，每轮每人平均传染x人，则经过n轮后，总传染源数为(1＋x)n（含初始传染源）。 列方程时需注意区分“总患病人数”和“新增患病人数”。 例如：流感初期1人患病，每轮每人传染10人，则3轮后总患病人数为(1＋10)3＝1331人。 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 4．（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． ▌知识点02：平均增长率问题 平均增长率问题的核心公式为：若基期量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的期末量为b，则a(1＋x)n＝b。 注意事项： 1. x为增长百分比，通常写成小数形式（如10%写为0.1）； 2. n为增长次数（如2024到2026年为2次增长）； 3. a为增长前的基准量。 例如：某厂2024年产值100万元，年均增长10%，则2026年产值为100×(1＋0.1)2＝121万元。 5．（25-26八年级下·浙江台州·期末）某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某樱桃种植基地2024年樱桃产量为吨，2026年达到吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为，则列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（2022·福建福州·模拟预测）某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 8．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） ▌知识点03：平均下降率问题 平均下降率问题的核心公式为：若基期量为a，平均下降率为x，经过n次下降后的期末量为b，则a(1－x)n＝b。 注意事项： 1. x为下降百分比，取值在0到1之间； 2. 下降率问题中，(1－x)表示每次变化后剩余的比例。 例如：某商品原价200元，连续两次降价10%后，售价为200×(1－0.1)2＝162元。 9．（25-26八年级下·北京·期末）某手机两年前出厂时的待机时长为小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·江苏南通·期末）近年来，某市大力推进绿色低碳发展，持续优化产业结构，工业能耗稳步下降．2023年规模以上工业综合能源消费量为304.42万吨标准煤，2025年为75.39万吨标准煤．设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）某款芯片价格由2023年的1600元下降到2025年的900元，则该芯片价格这两年平均每年下降的百分率为______． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． ▌知识点04：循环问题——单循环 单循环比赛指所有参赛者之间恰好比赛一次。若有n支队伍（或n个人）参加，总比赛场次为。 推导依据：第1队需与其余(n－1)队比赛，第2队需与其余(n－2)队比赛（已与第1队比过），依此类推，总场次为(n－1)＋(n－2)＋…＋1＝。 例如：8支球队进行单循环赛，总场次为＝28场。 13．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·山东东营·期末）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 16．（2026·山西朔州·模拟预测）足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 ▌知识点05：循环问题——双循环 双循环比赛指所有参赛者之间恰好比赛两次（主客场各一次）。若有n支队伍参加，总比赛场次为n(n－1)。 推导依据：每两队之间比赛两场，故总场次为单循环场次的两倍，即。 例如：中超联赛16支球队双循环，总场次为16×15＝240场。 17．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·云南昆明·期末）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 19．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（    ）． A．11 B．12 C．13 D．14 20．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）某学校组织一次篮球赛，采取双循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛两场，计划组织支球队参加，安排12场比赛，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌知识点06：数字问题 解题前提是正确表示多位数：两位数＝10×十位数字＋个位数字，三位数＝100×百位数字＋10×十位数字＋个位数字。 注意事项： 1. 各数位上的数字均为0~9的整数，且最高位不能为0； 2. 列方程求出数字后，需检验是否符合数位范围，若数字超出0~9则需舍去。 例：一个两位数，十位数字比个位数字大2，且两数交换位置后所得新数比原数小18，设个位数字为x，则原数为10(x＋2)＋x，新数为10x＋(x＋2)，列方程得[10(x＋2)＋x]－[10x＋(x＋2)]＝18，解得x＝4，原数为64。 21．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 22．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 23．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 24．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）设一个四位自然数M的千位、百位、十位、个位数字依次为a、b、c、d．若，则称M为“双九数”．如果“双九数”M满足为抛物线的顶点坐标，那么______；如果将“双九数”M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调，得到新数，那么使得能被3整除且为偶数的最小的______． ▌知识点07：利润问题 利润问题的等量关系为：总利润＝单件利润×销售量。其中单件利润＝售价－进价，销售量常随售价变化呈线性变化（如“售价为x元时，每天可售出(200－10x)件”）。 注意事项： 1. 单件利润不能为负（售价需高于进价）； 2. 销售量不能为负，求解后需检验取值是否在合理范围内。 例如：某商品进价20元，售价30元时每天卖50件，每涨价1元销量减少2件，若要日利润600元，设涨价x元，则方程为(30＋x－20)(50－2x)＝600，解得x＝5或x＝10，售价为35元或40元。 25．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份，假设这两种快餐每天销售总数不变． (1)设每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖___________份，B种快餐可少卖___________份； (2)若该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元，则每份A种快餐利润应降多少元？ 26．（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是_个，每天的利润为_元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 27．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某网店销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价10元，则每天销售T恤衫的利润为______元； (2)小超希望每天获得的利润达到1152元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小超每天能否获得1250元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由（利润率）． 28．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． (1)当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； (2)当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； (3)请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）某商店今年1月份的销售额为200万元，经过促销第一季度（1月、2月、3月）总销售额达到798万元．设2、3月份每月销售额的平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西晋中·二模）随着课业负担加重和电子产品的普及，青少年近视问题日益突出．某地区教育部门连续多年对中学生近视人数进行了抽样统计，部分年份数据如下表（年份不连续）： 年份 近视人数（万人） 若设年到年近视人数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·广西河池·二模）《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：今有一个正方形粮仓，若边长增加2尺，面积就增加20平方尺．设原正方形边长为尺，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·内蒙古通辽·二模）春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为__________________． 7．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）某校将开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排15场比赛，设有个足球队参赛，根据题意，请列出方程__________． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是______． 三、解答题 9．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 10．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为80千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为32千克（），为了减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到65千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？ (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克， （ⅰ）下降后的润滑用油量为________，油的重复利用率提高为________．（用含的式子填空） （ⅱ）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 课时2 传播问题、平均变化率问题和循环问题 ▌课时目标 1. 掌握传播问题、平均变化率问题及循环问题的等量关系，能准确设立未知数并列出相应的一元二次方程。 2. 能熟练运用一元二次方程模型解决增长率、下降率、传染扩散及单双循环比赛等典型实际问题，并正确求解与检验。 3. 体会将不同类型的动态变化过程转化为数学模型的建模思想，提升分析实际情境与应用方程解决问题的能力。 ▌课时目录 知识点01：传播问题 知识点02：平均增长率问题 知识点03：平均下降率问题 知识点04：循环问题——单循环 知识点05：循环问题——双循环 知识点06：数字问题 知识点07：利润问题 ▌知识点01：传播问题 传播问题（如传染病、消息扩散）的核心特征是：每轮每个传染源以固定人数传染他人。 等量关系：若初始有1个传染源，每轮每人平均传染x人，则经过n轮后，总传染源数为(1＋x)n（含初始传染源）。 列方程时需注意区分“总患病人数”和“新增患病人数”。 例如：流感初期1人患病，每轮每人传染10人，则3轮后总患病人数为(1＋10)3＝1331人。 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染人，根据两轮传染后总患病人数为列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 初始有人患病，第一轮传染后共有人患病，第二轮传染中，新增患病人数为，两轮后总患病人数为， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 第一轮感染后，被感染的电脑总数为台 第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑 两轮后被感染的电脑总数为 整理得 开平方得或 解得， 感染的电脑数量不能为负数 舍去 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 故选C． 4．（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是31，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 则这种植物每个支干长出的小分支个数是． 故答案为：． ▌知识点02：平均增长率问题 平均增长率问题的核心公式为：若基期量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的期末量为b，则a(1＋x)n＝b。 注意事项： 1. x为增长百分比，通常写成小数形式（如10%写为0.1）； 2. n为增长次数（如2024到2026年为2次增长）； 3. a为增长前的基准量。 例如：某厂2024年产值100万元，年均增长10%，则2026年产值为100×(1＋0.1)2＝121万元。 5．（25-26八年级下·浙江台州·期末）某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某樱桃种植基地2024年樱桃产量为吨，2026年达到吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为，则列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据年平均增长率公式，2024到2026年共两年增长，用初始产量乘以（增长率）的平方等于最终产量，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 7．（2022·福建福州·模拟预测）某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】十一月加工量=九月加工量（+月平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 8．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 【答案】约为 【详解】解：设药品的原始零售价为，每次涨价的百分率为， 则， 解得：（舍），， 即每次涨价的百分率约为． ▌知识点03：平均下降率问题 平均下降率问题的核心公式为：若基期量为a，平均下降率为x，经过n次下降后的期末量为b，则a(1－x)n＝b。 注意事项： 1. x为下降百分比，取值在0到1之间； 2. 下降率问题中，(1－x)表示每次变化后剩余的比例。 例如：某商品原价200元，连续两次降价10%后，售价为200×(1－0.1)2＝162元。 9．（25-26八年级下·北京·期末）某手机两年前出厂时的待机时长为小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平均下降率问题的求解方法，按照两年后待机时长=初始待机时长年平均下降率，代入对应量即可列出方程． 【详解】解：设该手机待机时长的年平均下降率为， ∵初始待机时长为小时， ∴一年后待机时长为，两年后待机时长为， 又∵现在待机时长为小时， ∴可得方程． 10．（25-26八年级下·江苏南通·期末）近年来，某市大力推进绿色低碳发展，持续优化产业结构，工业能耗稳步下降．2023年规模以上工业综合能源消费量为304.42万吨标准煤，2025年为75.39万吨标准煤．设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】年平均下降率为，2023年初始消费量为万吨，经过2年下降后2025年消费量为万吨，第一年下降后的消费量为，第二年在第一年基础上继续下降，最终消费量为 ，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为， 根据题意可列方程：． 11．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）某款芯片价格由2023年的1600元下降到2025年的900元，则该芯片价格这两年平均每年下降的百分率为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设平均每年下降的百分率为，根据指数下降模型，列出方程，通过解方程求得． 【详解】解：设平均每年下降的百分率为． 由题意，得， 即， 所以（取算术平方根）， 解得． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】(1) 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2) 该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． ▌知识点04：循环问题——单循环 单循环比赛指所有参赛者之间恰好比赛一次。若有n支队伍（或n个人）参加，总比赛场次为。 推导依据：第1队需与其余(n－1)队比赛，第2队需与其余(n－2)队比赛（已与第1队比过），依此类推，总场次为(n－1)＋(n－2)＋…＋1＝。 例如：8支球队进行单循环赛，总场次为＝28场。 13．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 14．（25-26八年级下·山东东营·期末）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 15．（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 16．（2026·山西朔州·模拟预测）足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． ▌知识点05：循环问题——双循环 双循环比赛指所有参赛者之间恰好比赛两次（主客场各一次）。若有n支队伍参加，总比赛场次为n(n－1)。 推导依据：每两队之间比赛两场，故总场次为单循环场次的两倍，即。 例如：中超联赛16支球队双循环，总场次为16×15＝240场。 17．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 18．（25-26八年级下·云南昆明·期末）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】C 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 19．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（    ）． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 设班级数为n，则每个班送出条祝福，总祝福数为，解二次方程求n即可． 【详解】解：设九年级的班级数为，则每个班需要送出条祝福， 根据题意，可列方程， 化简，得， 解得，，（负值舍去） ∴九年级一共有12个班． 故选：B． 20．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）某学校组织一次篮球赛，采取双循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛两场，计划组织支球队参加，安排12场比赛，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键； 因为双循环比赛每两队之间比赛两场，所以总场次公式为 ，据此可列方程求解． 【详解】解：∵双循环比赛总场次为， ∴ ， 即 ， 因式分解得 ， ∴ ，（舍去）， ∴， 故选：B． ▌知识点06：数字问题 解题前提是正确表示多位数：两位数＝10×十位数字＋个位数字，三位数＝100×百位数字＋10×十位数字＋个位数字。 注意事项： 1. 各数位上的数字均为0~9的整数，且最高位不能为0； 2. 列方程求出数字后，需检验是否符合数位范围，若数字超出0~9则需舍去。 例：一个两位数，十位数字比个位数字大2，且两数交换位置后所得新数比原数小18，设个位数字为x，则原数为10(x＋2)＋x，新数为10x＋(x＋2)，列方程得[10(x＋2)＋x]－[10x＋(x＋2)]＝18，解得x＝4，原数为64。 21．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设这个数为x，根据对话描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 22．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设这个数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴这个数是 ． 23．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法．根据题意列出方程，解方程后根据正数条件确定解． 【详解】解：由题意，得． 整理得． 解得． 因为是正数， 所以． 故答案为：． 24．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）设一个四位自然数M的千位、百位、十位、个位数字依次为a、b、c、d．若，则称M为“双九数”．如果“双九数”M满足为抛物线的顶点坐标，那么______；如果将“双九数”M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调，得到新数，那么使得能被3整除且为偶数的最小的______． 【答案】 1863 1827 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的性质求出顶点坐标为，即，再结合题意求出，，即可得出；根据题意表示出，表示出，，得出是3的倍数， 是偶数，为了使数最小，取，则，则d可为1或7，再分别求出结果即可． 【详解】解：抛物线， 顶点横坐标，纵坐标， 故顶点为，即． 由，得；由，得． ． ， ，， ， , ， ，， ， ， 能被3整除且为偶数， 是3的倍数，是偶数，即是偶数， 为了使数最小，取，则，则d可为1或7． 当时； 当时， ，． 故最小． 故答案为：． ▌知识点07：利润问题 利润问题的等量关系为：总利润＝单件利润×销售量。其中单件利润＝售价－进价，销售量常随售价变化呈线性变化（如“售价为x元时，每天可售出(200－10x)件”）。 注意事项： 1. 单件利润不能为负（售价需高于进价）； 2. 销售量不能为负，求解后需检验取值是否在合理范围内。 例如：某商品进价20元，售价30元时每天卖50件，每涨价1元销量减少2件，若要日利润600元，设涨价x元，则方程为(30＋x－20)(50－2x)＝600，解得x＝5或x＝10，售价为35元或40元。 25．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份，假设这两种快餐每天销售总数不变． (1)设每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖___________份，B种快餐可少卖___________份； (2)若该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元，则每份A种快餐利润应降多少元？ 【答案】(1) (2)每份种快餐利润应降5元或7元 【分析】本题主要考查二次函数的应用和列代数式，正确找到量之间的关系是解题关键． （1）设每份A种快餐利润降x元，根据每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份可列代数式； （2）根据该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份， ∴每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖份，B种快餐可少卖份； 故答案为：，； （2）解：据题意知：， 整理得：； 解得：． 答：则每份种快餐利润应降5元或7元． 26．（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是_个，每天的利润为_元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)200，2000 (2)该玩偶的售价为44元 (3)商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元；理由： 设该玩偶的售价为x元，此时利润能达到2500元， 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可； （2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可； （3）设利润能达到2500元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答． 【详解】（1）解： ∵当售价定为50元时，每天卖出100个，售价每降1元多卖10个． ∴当售价为40元时，降价金额为元，增加玩偶的数量为：个，商店每天卖出该玩偶的数量是个， ∴每天的利润为元． （2）解：设该玩偶的售价为x元， 由题意可得：， 整理得：，解得：，均符合． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46元. 答：该玩偶的售价为44元． （3）解：略． 27．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某网店销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价10元，则每天销售T恤衫的利润为______元； (2)小超希望每天获得的利润达到1152元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小超每天能否获得1250元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由（利润率）． 【答案】(1)1200 (2)78元 (3)每天能获得1250元的利润，定价为85元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，理解题意、正确列出方程和不等式是解此题的关键， （1）根据题意求出每天能多卖20件，从而计算可以得解； （2）设每件恤衫降价元，根据“每天获得的利润达到1152元”列出一元二次方程求解即可解答； （3）当降价元时，由题意可得，解得，再根据保证每件恤衫的利润率不低于列不等式求得的取值范围，再判断即可解答． 【详解】（1）解：降价10元， 每天多卖20件， 每天的销售量为40件， 每天销售恤衫的利润为（元）， 故答案为：1200； （2）解：设每件恤衫降价元， 由题意可得：， 或， 又尽可能让利于顾客，优惠最大， ， 每件恤衫的销售价应该定为：元（元）， 每件恤衫的销售价应该定为78元； （3）解：根据题意得，当降价元时，每天利润为， 由题意可得：， 化简得 ， 每件恤衫的利润率不低于， ， ， ，符合题意， 每件恤衫应降价15元，则定价为（元）， 答：小超每天能获得1250元的利润，定价为85元． 28．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． (1)当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； (2)当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； (3)请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每天销售量为240千克，每天利润为1920元 (2)25元/千克或35元/千克 (3)不能，设这种水果的售价为元/千克，依题意可列方程为， 整理得：， 此时方程，方程无实数解， 这种水果每天销售利润不能达到2200元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意，列出方程． （1）求出每天销售量，即可求解； （2）设这种水果的售价为元/千克，依题意列出方程，再解一元二次方程，即可解答本题； （3）设这种水果的售价为元/千克，，依题意列出方程，再利用判别式解答即可． 【详解】（1）解：当这种水果售价为28元/千克时， 每天销售量为：（千克）， 每天利润为：（元）， 当这种水果售价为28元／千克时，每天销售量为240千克，每天利润为1920元． （2）解：设这种水果的售价为元/千克， 依题意可列方程为，， 整理得， 解得 当时，销售量为300千克；当时，销售量为100千克． 这种水果的售价为25元/千克或35元／千克时，商场每天销售利润为1500元． （3）略 ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）某商店今年1月份的销售额为200万元，经过促销第一季度（1月、2月、3月）总销售额达到798万元．设2、3月份每月销售额的平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别表示出三个月的销售额，再根据第一季度总销售额为798万元列出等式即可． 【详解】解：∵1月份销售额为200万元，2、3月份每月销售额的平均增长率为， ∴2月份销售额为万元，3月份销售额为万元， 由题意得：． 2．（2026·山西晋中·二模）随着课业负担加重和电子产品的普及，青少年近视问题日益突出．某地区教育部门连续多年对中学生近视人数进行了抽样统计，部分年份数据如下表（年份不连续）： 年份 近视人数（万人） 若设年到年近视人数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平均增长率的实际应用，根据平均增长率的计算规则列方程即可，增长年后的量=初始量，其中为年平均增长率，为增长年数． 【详解】解：年近视人数为万人，年平均增长率为， ∴年近视人数为， ∴年近视人数为， ∵年近视人数为万人， ∴列方程得． 3．（2026·广西河池·二模）《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：今有一个正方形粮仓，若边长增加2尺，面积就增加20平方尺．设原正方形边长为尺，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出原正方形和边长增加后新正方形的面积，再根据面积增加20平方尺的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原正方形边长为尺， ∴原正方形面积为平方尺， ∵边长增加2尺后，新正方形边长为尺， ∴新正方形面积为平方尺， 又∵面积增加了20平方尺，即新面积比原面积大20平方尺， ∴列方程得 ． 4．（2026·内蒙古通辽·二模）春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合并成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据有一个人患流感，经过两轮传染后共有36个人患流感，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为__________________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设周平均增长率为x，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次，从第一周到第三周经过两周增长，故列方程． 【详解】解：根据增长率问题，第一周为基础值，经过两周增长后达到第三周的值， 因此第三周人次为，等于1440， 故列方程为． 故答案为： 7．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）某校将开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排15场比赛，设有个足球队参赛，根据题意，请列出方程__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设有x个足球队参赛，每两个队之间进行一场比赛，则总比赛场数，根据计划安排15场比赛即可建立方程． 【详解】解：设有个足球队参赛，根据题意得，， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每次降价的百分率为，根据连续两次降价后价格的关系列出方程，解方程得到的值，并验证合理性． 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元． 根据题意，有 解得：或（舍去） 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 10．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为80千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为32千克（），为了减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到65千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？ (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克， （ⅰ）下降后的润滑用油量为________，油的重复利用率提高为________．（用含的式子填空） （ⅱ）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 【答案】(1)26千克 (2)（i）；；（ii）60千克 【分析】（1）根据题意得到实际耗油量等于润滑用油量×（重复利用率），代入数据计算即可； （2）（i）企业加工一台大型机械设备润滑用油量为80千克，用油的重复利用率为，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克．即可得到下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为； （ii）根据乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是26千克． （2）解：（i）由题意得到，下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为． （ii）由题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克． ∴． 答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是60千克． / 学科网（北京）股份有限公司 $