3.3抛物线的单元练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3抛物线的通关练习 一、单选题 1．已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 3．双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 4．曲线的方程为（、不同时为0），则下列说法正确的是（    ） A．曲线不可能是直线 B．当，时，曲线是椭圆 C．若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关 D．曲线是抛物线 5．已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当或时，直线与抛物线只有一个公共点 D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 6．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（    ） A．1 B．4 C． D．5 8．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 二、多选题 9．已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 10．已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．为钝角三角形 C．直线的斜率的最大值为 D．若，则直线的斜率为2 11．已知直线与抛物线相交于，两点，的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．若直线过焦点，则为钝角 B．若，则直线的斜率为 C．若，则直线过定点 D．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 三、填空题 12．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，的中点为，的垂直平分线交轴于点，则线段长度的取值范围为 .    13．若抛物线：的焦点与椭圆：的右焦点重合，的准线交于，两点，为等腰直角三角形，则的离心率为 ． 14．已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与在第一象限内相交于点，过点作于点，连接交于点，若，则的值为 ． 四、解答题 15．已知抛物线的焦点到准线的距离为1，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，且直线刚好与圆相切.设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)求点的轨迹方程； (3)设曲线与轴交点为，点关于原点的对称点为，记直线的斜率分别为，证明：是定值. 16．抛物线，点为焦点，点、是抛物线上任意不重合的两点.当直线过点且垂直轴时，. (1)求抛物线及其准线的方程； (2)若以线段为直径的圆过点，求面积的最小值. 17．抛物线的焦点为，且过点． (1)求的方程； (2)过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点． ①证明：点到和的距离相等； ②若的面积等于的面积，求点的坐标． 18．如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．    (1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若，证明：； (3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 19．已知椭圆的左焦点是抛物线的焦点，且过点． (1)求的方程及离心率； (2)已知为坐标原点，过的左，右顶点作直线分别交于点，且直线的斜率与直线的斜率之比为，过点作于点，问轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】先求得焦点坐标，再根据焦点坐标求解抛物线方程即可. 【详解】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 2．D 【分析】由点的纵坐标及点在抛物线上得到点的横坐标，再由到准线的距离得到的值. 【详解】 如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或． 故选：D. 3．C 【分析】根据对称性，即可根据求解. 【详解】由对称性可得，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以 故，所以，所以双曲线的离心率. 故选：C 4．C 【分析】根据的取值结合圆、椭圆、双曲线方程的特点逐项分析曲线的方程. 【详解】A．当时，，所以为两条直线，A选项错误； B．因为，所以曲线是半径为的圆，故B错误； C．因为，，所以曲线是双曲线，则，则渐近线，故C正确； D．因为曲线，、不同时为0， 当时， 当时，曲线是两条相交直线； 当时，曲线是点； 当时，曲线是点； 当时，曲线是两条相交直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时， 当时，曲线是双曲线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是椭圆； 当时，曲线是圆； 当时，曲线是双曲线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是直线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是直线； 所以曲线不能是抛物线，故D错误； 故选：C. 5．D 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，当时，一次方程有一解，直线与抛物线相交可判断A，当时，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系可判断BCD. 【详解】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确. 故选：D. 6．D 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】 过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 7．D 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径 由切圆于点，得， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，ABC不是，D是. 故选：D      8．D 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 9．AC 【分析】对A：利用抛物线的定义和焦点弦的长度公式可得，再根据点的坐标可得，列式可得的值，可判断A的真假；对B：设直线的方程为，，，结合韦达定理和焦半径公式，可用表示出，再结合基本不等式，可求其最小值，判断B的真假；结合抛物线定义，取抛物线上一点，可得，进而求出周长的最小值，可判断C的真假；根据两三角形的面积关系，结合韦达定理，可求弦的长，判断D的真假. 【详解】对于A，如图， 分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，， 由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为 ， 又，所以，解得，故A正确； 对于B，设直线的方程为，，， 又抛物线：，由，可得， 则，，， （当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，由，，所以，设的周长为， 如图： 过点向抛物线准线作垂线，垂足为， 则， 周长的最小值为，故C正确； 对于D，如图： 因为，所以， 又因为，则，解得或（舍）， 所以，即，故D错误. 故选：AC 10．BCD 【分析】对于A，由题设易得，进而得到抛物线：，，进而求解判断即可；对于B，设，，：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及向量运算可得为钝角，进而判断即可；对于C，表示出直线的斜率为，进而分析判断即可；对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，结合抛物线的定义可得为的中点，可得平行于轴，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由题可知，则，则抛物线：，， 故，故A错误； 对于B，显然直线的斜率不为0，设，，：， 联立，得， 则， 且，，则， 所以， 所以，因为， 所以一定为钝角，故为钝角三角形，故B正确； 对于C，由B知，的中点的纵坐标为， 横坐标为， 所以直线的斜率为， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率的最大值为，故C正确； 对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，， 因为，所以， 因为为的中点，所以平行于轴， 因为，所以，则，即， 故直线的斜率为2，故D正确． 故选：BCD    11．ACD 【分析】根据条件写出，，选项A,证明，可得，所以为钝角，选项B,由 ，求出的值，即可得到直线的斜率；选项C,先设直线方程为 ，因为得到，代入直线方程得到，所以直线恒过定点；选项D,根据条件设圆心为，半径为，因为外接圆与抛物线的准线 相切，所以有圆心到准线的距离等于半径. 【详解】由题可知 ，设 ， 直线过焦点，则设直线方程为， 联立方程得到 ，即 则 所以，所以为钝角，选项A正确； 直线的斜率为 因为，所以 即得 或者，所以，选项B错误； 设直线方程为 ，因为，所以，所以，代入直线方程得到，所以直线恒过定点，选项C正确；的顶点为，其外接圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心为，半径为，因为外接圆与抛物线的准线 相切，所以有圆心到准线的距离等于半径，选项D正确； 故选：ACD 12． 【分析】设直线的倾斜角为，根据抛物线的性质，得到，再由，进而求得线段长度的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为，其中， 由抛物线的性质，可得，，， 所以， 则， 因为，所以， 所以线段长度的取值范围为. 故答案为：. 13． 【分析】根据抛物线和椭圆的性质，结合为等腰直角三角形，找出存在的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为. 由题意知，椭圆的右焦点坐标为，则（为椭圆半焦距），即. 将代入椭圆方程中，可得：， 又，解得. 又的准线交于，两点，可设，，则.    因为为等腰直角三角形，所以，，且， 又， 所以，即， 整理得， 又，所以. 故答案为： 14． 【分析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则由已知条件结合抛物线的定义可得，设直线的倾斜角为，则，求出，再结合可求得结果. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，    则，轴． 因为，所以． 设直线的倾斜角为，则， 所以， 解得或（舍去）， 所以，所以， 所以，即． 故答案为： 15．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据即可求解， （2）求导可得切线斜率，即可根据点斜式求解直线方程，进而可得方程为，根据相切即可求解， （3）联立直线与曲线方程可得韦达定理，进而根据两点斜率公式，代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意可得，故抛物线的方程为 （2）设， 所以直线即 同理可得， 设则且 故在直线上， 即直线方程为， 由于直线与圆相切，故，化简可得， 故点的轨迹方程 （3）由题意可知， 设直线的方程为，, 联立方程，化简可得， 则故， 由于直线与双曲线的下支相交于两点， 故，解得， ， 故为定值. 16．(1)， (2) 【分析】（1）根据直线过点且垂直轴求出的纵坐标，再结合即可求出的值，进而得解； （2）联立直线与抛物线的方程，利用弦长公式及点到直线的距离表示出的底和高，再结合韦达定理对三角形的面积进行化简，利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）设， 因为抛物线，所以， 当直线过点且垂直轴时，直线的方程为， 令可得，（或）， ， ， 所以抛物线，准线方程为； （2） 因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线 由可得，则， 设，则， 因为以线段为直径的圆过点，所以，即， 即，， 将代入得 则有， 所以，且，解得或. 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或， 所以当时，的面积. 17．(1) (2)①证明见解析；②P. 【分析】（1）将点的坐标代入计算，即可得到抛物线方程； （2）①联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到，即可证明；②由题意可得点P在线段AF的中垂线上，即可得到结果. 【详解】（1）因为抛物线过点，所以，得：，所以C的方程为：. （2）①设直线方程为，，， 由得：，则， ，， 又， ， 易知点，所以垂直于轴， 所以，所以点到和的距离相等. ②因为，所以， 故直线PA//FQ，所以， 由①知，所以， 所以点P在线段AF的中垂线上，点的纵坐标为1，代入抛物线方程可得点P. 18．(1) (2)证明见解析 (3)直线恒过点． 【分析】（1）由焦半径公式即可求解； （2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论. （3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出的直线得出定点. 【详解】（1）由题意，解得， 所以，又， 所以，即点的坐标； （2）由题知，设，， ，代入抛物线可得， ， 又， ， 同理 . （3）因为， 所以，代入点得①， 设，同理， 过点② ， 结合①②可得 又因为 所以，整理得 所以直线过定点. 19．(1)，离心率 (2)存在， 【分析】（1）根据椭圆和抛物线的标准方程列方程组求解即可； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，将直线方程分别于椭圆联立解出坐标进而得到直线方程，由直线方程可知直线过定点，又于点，所以点的轨迹是以为直径的圆，故的中点到点的距离为定值. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点是抛物线的焦点，且过点， 所以， 解得， 所以的方程为，离心率． （2）轴上存在定点，使为定值． 由的方程知，因为直线的斜率与直线的斜率之比为， 所以设直线的斜率为，则直线的斜率为， 故直线的方程为，直线的方程为, 联立得， 所以，则，故， 同理可得， 所以， , 当，即时，， 此时直线的方程为， 即，所以直线过定点． 当，即时， 若，则且且，故直线过定点； 若，则且且，故直线过定点， 综上直线过定点， 又于点，所以点的轨迹是以为直径的圆，故的中点到点的距离为定值， 所以轴上存在定点，使为定值． 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为，形式； （5）代入韦达定理求解. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $