第三章圆锥曲线的方程单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《第三章 圆锥曲线的方程》单元自测基础卷，全面覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习，提升数学抽象与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|椭圆定义、双曲线渐近线、抛物线准线|基础概念辨析，如椭圆离心率与形状关系| |多选题|3/18|椭圆焦点三角形、双曲线参数范围|多维度考查，如双曲线离心率与点到直线距离| |填空题|3/18|双曲线离心率、椭圆焦点距离|核心公式应用，如抛物线焦点坐标求解| |解答题|5/74|椭圆标准方程、抛物线焦点弦、双曲线定值证明|综合能力提升，如椭圆中点弦面积计算、双曲线与圆交汇证明|

第三章 圆锥曲线的方程（单元自测·基础卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C．1 D．3 2．已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 3．椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 4．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 6．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 8．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分. 9．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．的周长为 D．点P在圆上 10．关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 11．已知O为坐标原点，，分别是双曲线C：的左、右焦点，点A在C上且，则（    ） A．C的离心率为2 B．点到C的一条渐近线的距离为3 C．的面积为3 D．以，为焦点且经过点A的椭圆的离心率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.把答案填在答题卡中的横线上. 12．已知双曲线：的焦距是虚轴长的倍，则的离心率为________． 13．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 14．抛物线的焦点的坐标为______． 四、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 16．已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值． 17．已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 18．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 19．设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 圆锥曲线的方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D A D B A CD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据所给的焦点坐标，判断出焦点所在的轴及的值，再根据椭圆中的关系计算即可得解. 【详解】由椭圆的焦点为，可知椭圆的焦点在轴上，且. 所以，解得. 2．C 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 解得且． 3．B 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 4．D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】计算出各选项中椭圆的离心率后，比较离心率大小，借助离心率越小椭圆越接近于圆判断即可得. 【详解】椭圆离心率； 对于椭圆 ，其离心率， 对于椭圆 ，则离心率， 对于椭圆 ，离心率， 对于椭圆 ，离心率， 因为，所以， 离心率越小椭圆越接近于圆，因为选项D的椭圆离心率最小，所以更接近于圆. 5．A 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 6．D 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】设共渐近线方程，代入点坐标求参数整理方程即可． 【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为，将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． 7．B 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 8．A 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得准线方程. 【详解】由题意可知：抛物线的标准方程为， 可知抛物线的焦点在y轴正半轴上， 所以准线方程为. 9．CD 【知识点】判断点与圆的位置关系、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的焦点、焦距 【详解】A：由椭圆的标准方程可知：， 由椭圆的定义可知：，所以本选项说法不正确； B：由椭圆的标准方程可知：， 所以椭圆的焦距为，所以本选项说法不正确； C：的周长为，所以本选项说法正确； D：， 因为，所以， 所以点P在以原点为圆心，半径为的圆上，即圆的方程为， 所以本选项说法正确. 10．ABD 【知识点】等轴双曲线、根据方程表示双曲线求参数的范围、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 11．ACD 【知识点】三角形面积公式及其应用、求点到直线的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】求出双曲线中，然后逐项判断即可． 【详解】因为双曲线C：，所以，，． 对于A，C的离心率为，故A正确； 对于B，左焦点，渐近线方程为， 所以点到渐近线的距离为，故B错误； 对于C，在中，，所以为直角三角形， 由得， 所以的面积为，故C正确； 对于D，由得， 所以椭圆的离心率为，故D正确． 12． 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】由题意得，故，， 又，故， 即，可得， 故离心率为 13． 答案：4 【知识点】椭圆定义及辨析 【详解】由题可知，又， 所以. 14． 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】因为， 所以该抛物线的焦点坐标为，即焦点的坐标为. 15．(1) (2)或 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】（1）根据已知及离心率求椭圆参数，即可得； （2）由（1）及已知，设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理，结合中点坐标求参数m，再由面积公式求面积. 【详解】（1）由题意知：椭圆短轴长为，即，所以， 离心率，且， 代入得 ， 所以，从而， 因此，椭圆的标准方程为； （2）由题意，直线过右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时中点纵坐标为，不合题意，    设直线的方程为， 代入椭圆方程中，得， 整理得关于的一元二次方程， 设，，由韦达定理得，， 已知线段的中点的纵坐标为，即，所以， 因此， 整理得， 因式分解得，解得或， 由， 其中， 当时，，面积， 当时，，面积， 综上所述，的面积为或. 16．(1) (2)1 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【详解】（1）易知，则，     根据抛物线的定义，得，所以．     因此的方程为． （2）易得，设， 联立得消去得， ，     设的重心为， 则，     直线OG的斜率为，     要求直线OG的斜率的最大值，需使，则直线OG的斜率为， 当且仅当时，直线OG的斜率取得最大值1． 17．(1) (2) (3)由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的定值问题、由弦中点求弦方程或斜率、双曲线中向量点乘问题 【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程； （2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得； （3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果. 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）略 18．(1) (2)2 (3) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据离心律和椭圆系数求得； （2）设而不求，联立直线与椭圆联立，用伟达定理求出得到三角形面积；第三小问，设直线为横截距式，设与轴交点为，联立求解。 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为． （2）由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2． （3）设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点． 19．(1) (2)①；②过定点，定点坐标为 【知识点】双曲线定义的理解、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）由已知可得，，由双曲线的定义可求得圆心M的轨迹方程E； （2）①设，联立直线与双曲线方程，消去，利用根与系数的关系可得，求解即可；②结合①，求得，利用，可得的关系，进而分类讨论可求得直线l所过定点. 【详解】（1）因为动圆M与圆外切，所以， 因为动圆M与圆内切，所以， 所以，根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支， 且，所以，所以， 所以圆心M的轨迹方程E为. （2）①由（1）知，E的方程为，设， 由，消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. ② 由①，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $