专题2.1认识有理数（31大题型 小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年数学北师大版七年级上册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”三级体系构建有理数认知框架，通过27个基础模块+3个微专题+1个压轴题实现从概念识别到综合应用的递进式训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正负数识别|1典例+3变式|定义判断法（大于0为正，小于0为负）|从实际情境抽象正负数概念，建立相反意义量的表示规则| |数轴应用|5模块（三要素/距离/整数点等）|数形结合法（左减右加，距离公式|xA-xB|）|通过数轴实现数与形的转化，深化有理数几何意义| |绝对值化简|3模块+微专题|符号判断法（非负性应用，分类讨论）|从代数定义到几何意义，构建绝对值与数轴的关联| |压轴突破|1典例+3变式|动态轨迹法（含t代数式表示动点位置）|综合运用数轴、绝对值知识解决运动问题，培养数学抽象与推理能力|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.1 认识有理数》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 识别正负数 模块17互为相反数求值 模块2 判断相反意义的量 模块18求数的绝对值 模块3 解释正负数意义 模块19已知绝对值求数 模块4 用正负数表示相反意义的量 模块20绝对值非负性应用 模块5 实际情境辨正负 模块21数轴三要素判断 模块6用正负数表示允许偏差 模块22数轴上的点与数互化 模块7正负数分类 模块23求数轴上两点间距离的方法 模块8 有理数的定义辨析 模块24数轴上找原点 模块9写出有理数的个数 模块25找数轴对应整数点 模块10 有理数的类别归属 模块26利用数轴比较数的大小 模块11 有理数分类填表 模块27利用绝对值比较大小的方法 模块12求一个数的相反数 微专题1绝对值化简计算 模块13判断相反数是否互为相反数 微专题2数轴结合绝对值 模块14相反数符号化简 微专题3有理数大小比较的实际应用 模块15相反数符号化简 压轴1 数轴动点基础题 模块16相反数的简单计算 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1正数和负数的概念 1.正数和负数的定义: 正数的概念：大于0的数叫做正数． 负数的概念：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数． 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数． （不是带“-”号的数都是负数，而是在正数前加“-”的数．） 2.注意:0既不是正数，也不是负数 3.0的意义 (1)0是正负数的分界; (2)0可以表示“没有”; (3)0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示. 知识点2 具有相反意义的量 1.定义:在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量， 2.表示方法:一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示.例如:若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86m,记作+8848.86m. 知识点3 有理数 1.定义:：整数和分数统称有理数．    说明：整   数：正整数、0、负整数统称为整数． 分   数：正分数、负分数统称分数．（有限小数与无限循环小数都是有理数．） 注意：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数． 2.有理数的分类: （1）按正、负性质分类： （2）按定义分类：         3几类特殊有理数的含义 知识点4 数轴 1．概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 三要素：原点、正方向、单位长度 2．对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的．                     3．应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 ．    （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法． 知识点5 相反数 1．概念：只有符号不同，数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数．特别的0的相反数是0． 2．性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数． 3．多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数．②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数． （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点6绝对值 1．概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值． 2．代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0． 3．代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a． 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数． 4．性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数．即±a． 5．非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0．几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0．故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 知识点7 利用绝对值比较大小 1．代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数．两个负数比较大小时，绝对值大的反而小． 2.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大． 模块通关·举一反 三 【模块一】识别正负数 识别正负数是有理数板块的入门知识点，核心是依据定义判断：大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数。在实际应用中，正负数常用来表示一对具有相反意义的量，例如在某问题中，可以用正数表示高出基准的量，用负数表示低于基准的量，是后续开展有理数分类、大小比较与运算的重要基础。 【典例1】下列四个数中，是负数的是（    ） A．-1 B．4 C．0 D． 【变式1-1】在数，0，，9，－0.1，8844.43，－32％中，其中负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】在，，3.14，，0，100，，中，正数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“”写成“”．下列算筹表示负数的是（    ）． A． B． C． D． 【模块二】判断相反意义的量 .① 首先确定两个量是否属于同一类属性的量，即必须描述的是同一个事件的同一个属性，比如都描述收支、都描述海拔升降、都表示数的正负属性，若两个量属性不同，则不可能是相反意义的量； ② 其次看两个量的意义是否相反，只要意义相反，同时都带有对应数量，就可以判定为相反意义的量。 在本题中，普通算筹表示的正数和带斜杠算筹表示的负数，属于同一类计数的量，意义一正一负恰好相反，因此就是一对相反意义的量，也符合题目给出的负数表示规则。 【典例2】在下列选项中，具有相反意义的量是(　　) A．胜二局与负三局 B．气温升高3°C与气温为℃ C．盈利5万元与支出5万元 D．甲、乙两队篮球比赛比分分别为66∶63与63∶66 【变式2-1】下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走5米和向南走5米 B．身高增加3厘米和体重减少2千克 C．胜10局和亏本10元 D．收入5元和支出400元 【变式2-2】下列具有相反意义的量是（　　） A．气温降低4℃与气温为10℃ B．收入3万元与亏损3万元 C．节约水与浪费水 D．转盘顺时针转5圈与逆时针转圈 【变式2-3】下列四组量中，不具有相反意义的是（    ） A．海拔“上升200米”与“下降400米” B．温度计上“零上15℃”与“零下5℃” C．盈利100元与亏本25元 D．长3米与重10千克 【模块三】解释正负数意义 正负数的产生源于对实际生活中相反意义的量的记录需求，我们可以先规定某一种意义的量为正，那么与之相反意义的同类量就记为负，习惯上我们把上升、零上、盈利、增加等意义的量规定为正，与之对应的下降、零下、亏本、减少等意义的量就规定为负。需要注意的是，正负数表示的必须是同一类且意义相反的量，不同类的量不能用正负数来表示一对相反意义的量。 【典例3】我国古代著名的数学专著《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思如下：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果收入元记作元．那么元表示______． 【变式3-1】若向南走6m，记为+6m，则﹣3m表示为（ ） A．向东走3m B．向南走3m C．向西走3m D．向北走3m 【变式3-2】．若气温为零上10℃记作+10℃，则-3℃表示气温为（   ） A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃ 【变式3-3】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣60元表示（　　） A．收入60元 B．收入20元 C．支出60元 D．支出20元 【模块四】用正负数表示相反意义的量 可以总结为三个清晰的步骤：① 识别相反意义：先从题目情境中找出一对具有相反意义的量，比如收入与支出、零上温度与零下温度、向东行走与向西行走等，通常我们会把具有“正向”意义的量，如收入、零上、前进、上升等规定为正，与之意义相反的量就用负表示；② 对应转换含义：如果题目已经给定了某类量的正负表示方式，就可以按照“正负数表示相反意义”的规则，推出带符号量的实际意义，或是给实际的量添加对应的符号；③ 需要注意的是，正负的规定是相对的，核心要求是保证一对相反意义的量符号相反，只要符合这个规则，正负的设定可以根据题目要求灵活调整。 【典例4】如果体重增加1.5kg记作＋1.5kg，那么体重减少2kg记作__________kg． 【变式4-1】．中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的方程一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入20元记作+20元，那么支出10元记作______元． 【变式4-2】李白出生于公元701 年，我们记作+701 年，那么秦始皇出生于公元前 259 年，可记作_____年． 【变式4-3】在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记作＋0.22，那么小东跳出了3.85米，记作______． 【模块五】实际情境辨正负 核心在于先明确基准，再理清一对相反意义：我们此前遇到的公元纪年、跳远成绩计量问题，都是先选定统一标准作为零点，公元后、超出标准记为正，公元前、低于标准就对应记为负。只要找准基准和对应的相反意义，就能快速正确地用正负数表示实际情境中的对应数量。 【典例5】如图所示的是某用户微信支付情况，3月28日150表示的意思是（    ） A．转账给别人150元 B．收到转账150元 C．余额150元 D．发出150元红包 【变式5-1】手机移动支付给生活带来便捷．若小颖某天收到微信红包200元，记为元，则小颖当天支付出的两笔费用19.9元和38.7元分别记为（    ） A．元和元 B．元和元 C．元和元 D．元和元 【变式5-2】把六一班男生平均体重作为标准，记作，超过平均体重的记作正，低于平均体重的记作负．明明重应记作 ． 【变式5-3】在十月份结束的杭州亚运会女子举重49公斤级比赛中，朝鲜选手李盛金创造该组赛会记录和世界记录，以总成绩216公斤夺冠，中国选手蒋惠花以总成绩213公斤拿到银牌，泰国选手素乍龙以总成绩199公斤获得铜牌．若将216公斤记为，则199公斤可记为（    ） A． B． C． D． 【模块六】用正负数表示允许偏差 用正负数表示允许偏差，是正负数在工业生产和日常商品标注中的典型应用，在零件加工、食品包装等场景中，我们通常会在标称值后加上“±a”的形式来标注允许的误差范围，其中正数表示不超过标称值的最大上浮量，负数表示不低于标称值的最大下浮量，我们可以据此快速计算出产品的合格范围，进而判断对应产品是否符合生产或使用要求。 【典例6】某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】大米包装袋上有的标识，则下面几袋大米重量合格的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】某品牌的大米包装袋上的质量标识为：“”．质检人员随机抽测了四袋该品牌大米的质量，依次记录为：，，，，则所抽测的四袋大米中，符合该品牌大米包装袋上的质量标识要求的有（　　　） A．4袋 B．3袋 C．2袋 D．1袋 【变式6-3】一桶奶粉上标有“净含量（单位：克）”，它的净含量最少是（    ） A．995克 B．1000克 C．1005克 D．895克 【模块七】正负数分类 正负数分类方法 第一步先明确分类标准，通常我们按符号将有理数分为正有理数、0、负有理数三类，其中0是正负数的分界点，它既不属于正数，也不属于负数，需要单独归类。 第二步对需要分类的数先化简，再判断符号：凡是化简后大于0的数都属于正数，包括正整数、正分数，其中正有限小数、正无限循环小数都属于正分数范畴；化简后小于0的数都属于负数，需要注意不能仅根据数表面是否带负号判断正负，必须先化简再判定符号。， 【典例7】把下列各数填入相应的横线上： -2.5，10，0.22，0，，-20，+9.78，+68，0.45，+. 负整数： ； 负分数： ； 非负有理数： . 【变式7-1】把下列各数分别填在相应的集合内： ，，，，，，，，． (1)正数集合：{            …}； (2)负数集合：{            …}； (3)整数集合：{            …}． 【变式7-2】把下列各数填在相应的括号内： +5，+，0.31，0，-1.3，，62.6，-8.3，，7，100 （1）正整数：（                                     ） （2）分数：（                                       ） （3）非负数：（                                     ） 【变式7-3】将下列各数填入所属的集合中： 0，，，，，3.5，0.6，，10，，，6.5 正数集合：{    …}； 整数集合：{    …}； 分数集合：{    …}； 负整数集合：{    …}； 正分数集合：{    …}； 【模块八】有理数的定义辨析 有理数的定义辨析是初中有理数模块学习阶段需要掌握的核心基础能力，主要考察对有理数不同分类标准、定义边界的理解与判断。按照有理数的分类规则，整数与分数统称为有理数，若按符号属性划分，有理数可分为正有理数、零、负有理数，在有理数范畴内，负有理数包含负整数和负分数两类，需要注意的是，部分题型会设置陷阱，比如将带根号的无理数、化简后为正的“负负得正”型数混入归类中，解题时需先对给定的数化简后再根据定义判断，避免被表面的符号或形式误导。 【典例8】下面的说法正确的是（　　） A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和分数统称有理数 C．正整数和负整数统称整数 D．有理数包括整数、自然数、零、负数和分数 【变式8-1】下列说法正确的是（ ） A．0是最小的有理数 B．一个有理数不是正数就是负数 C．分数不是有理数 D．没有最大的负数 【变式8-2】下列说法正确的是（ ） A．正数和负数统称有理数 B．正整数和负整数统称为整数 C．小数不是分数 D．整数和分数统称为有理数 【变式8-3】下列说法中，正确的是（    ） A．整数和分数统称有理数 B．有理数a一定是正数 C．有理数分为正数和负数 D．自然数就是正整数 【模块九】写出有理数的个数 首先紧扣有理数的核心定义，即整数和分数统称为有理数，解题第一步要先对题目中给出的数做预处理：带有正负号、绝对值的先化简符号、算出最终结果，含有根号的先计算得到确定结果后再做判断，不要被表面形式干扰。其次记住特殊情形：无限循环小数可以转化为分数，属于有理数范畴，而无限不循环小数不符合有理数定义，不属于有理数；0是整数，因此也属于有理数，不要因为它既不是正数也不是负数就错误归类。 【典例9】在，，，，，中，有理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式9-1】．下列各数：，，，0，，……，其中有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-2】下列数中：0，，，，，，，有理数有（    ）个 A．7 B．6 C．5 D．4 【变式9-3】在﹣3.5，，0.161161116…，中，有理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【模块十】有理数的类别归属 我们通常可以从两个不同维度对有理数进行类别划分： 第一种划分方式依照定义划分：有理数可分为整数和分数两大类，其中整数包含正整数、零和负整数，分数包含正分数和负分数。 第二种划分方式依照数的正负性划分：有理数可分为正有理数、零、负有理数。正有理数可进一步细分为正整数和正分数，在有理数中，负数包括负整数、负分数，二者共同构成负有理数的全部范围；需要注意的是，零既不是正有理数也不是负有理数，是一个独立的特殊有理数类别。 【典例10】把下列各数相应的数填入相应的横线内：，，，，20，0，，，，． 负有理数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}； 正数集合：{ …}． 【变式10-1】把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开） ，，，，，， 负数：{           …} 非负整数：{              …} 分数：{                  …} 【变式10-2】把下列各数填到相应的括号内1，，0.5，+7，0，－6，4，，，5% 非负数{                       …}；负有理数{                  …} 整数{                      …}；分数{                       …}； 【变式10-3】有理数的分类： （1）正数集合：{               }； （2）负数集合：{               }； （3）整数集合：{                }； （4）分数集合：{               }； 【模块十一】 有理数分类填表 有理数分类填表时，需先将题目给出的每个待分类数预先化简，得到最终化简结果后，再根据其所属类别填入对应表格：若待判断的数是带括号、带绝对值或带相反数符号的形式，不能仅凭原式形式判断，必须先完成计算得到确定结果再分类，避免错判。填表过程中要注意不要漏填任意一个待分类数，也不要将同一个数重复填入同一个分类集合，同时要牢记零的分类归属：零属于整数，但不属于正有理数，也不属于负有理数，不要将其错放至正负分类的集合中。 【典例11】将下列各数填入相应的集合圈内， ﹣，﹣7，+2.6，﹣100，﹣2，9.2，0，1． 【变式11-1】如图，这两个圈分别表示正数集合和整数集合，则它们的重叠部分表示的是_____集合. 【变式11-2】(1)如下图，下而两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里: (2)上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合? 【变式11-3】如图，关于、、这三部分数集的个数，下列说法正确的是（    ） A．、两部分有无数个，部分只有一个0 B．、、三部分有无数个 C．、、三部分都只有一个 D．部分只有一个，、两部分有无数个 【模块十二】求一个数的相反数 核心方法是直接改变原数的符号即可得到它的相反数。需要注意的是，相反数是成对出现的概念，不能单独说某一个数是相反数；同时特殊数0的相反数仍是它本身，这也是各类题目中经常考察的易错点。 【典例12】如果一个数的相反数是，那么这个数是（    ） A．2021 B． C． D． 【变式12-1】的相反数是（    ） A． B． C．-5 D．5 【变式12-2】有理数的相反数为（　　） A． B． C． D． 【变式12-3】一个数的相反数是它本身，则该数为（ ） A． B． C． D．不存在 【模块十三】判断相反数是否互为相反数 判断两个数是否互为相反数，核心依据就是相反数的定义：只有符号不同的两个数才互为相反数。解题时我们可以先求出给定数的相反数，再和题目给出的另一个数进行比对，若二者完全相等即可确认二者互为相反数，反之则不是。需要额外注意的是，0的相反数仍是它本身，这是相反数概念里的特殊情况，解题时不要遗漏这个特殊点而出错。 【典例13】下面每组中的两个数互为相反数的是（    ） A．或 B．和 C．和 D．和 【变式13-1】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．2和 B．2和− C．1和−1 D．2和2 【变式13-2】下列两数互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式13-3】下列各对数中，是互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【模块十四】相反数符号化简 相反数符号化简核心遵循“数负号，看奇偶”的规则，无需考虑正号个数对最终符号的影响，具体判定逻辑为：当一个数的前面带有奇数个负号时，化简结果为原数的相反数；当一个数的前面带有偶数个负号时，化简结果就是原数本身；无论多少层多重符号嵌套，都可以逐层剥离符号，按规则判定即可。 【典例14】在，，，，这些数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式14-1】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式14-2】下列各对数中，互为相反数的有    （     ） 与；与；与；与；与 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式14-3】下列各组数中，不相等的是（    ） A．－（+2）和+（－2） B．－7和－（+7） C．+（－5）和－（－5） D．－[+（－1）]和－[－（+1）] 【模块十五】 数轴上找对应相反数 我们可以借助相反数的几何意义快速找到对应点：互为相反数的两个数对应的点，分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。因此找一个数对应相反数的数轴坐标时，首先确定这个数对应点到原点的距离，再在原点另一侧找到距离原点相同长度的点，该点对应的数就是原数的相反数。如果原数在数轴上标注为点A，那么只需过点A作原点的对称点，对称点对应的数就是点A对应数的相反数。 【典例15】如图，数轴上点A、、、表示的数中，表示互为相反数的两个点是（     ） A．点和点 B．点A和点 C．点和点 D．点A和点 【变式15-1】如图，点A，B表示的有理数互为相反数，则点B表示的数是（    ） A． B． C．2 D． 【变式15-2】．如图，数轴上表示数的相反数的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式15-3】如图，数轴有四个点，其中表示互为相反数的点是（    ） A．点与点 B．点与点 C．点与点 D．点与点 【模块十六】相反数的简单计算 相反数简单计算的核心依据是相反数的基本性质：互为相反数的两个数相加和为0。计算时遵循基础规则：求任意一个数的相反数，只需改变这个数的符号，将原数前的正号改为负号、负号改为正号即可得到结果。若遇到带多重符号、绝对值或括号的题型，需要先按照运算法则化简原式得到确定结果，再求化简后结果的相反数，避免被原式的符号干扰出现计算错误；计算完成后也可以利用“两数和为0则互为相反数”的性质验证结果，保障计算准确。 【典例16】若a的相反数是，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式16-1】如果与互为相反数，则_________. 【变式16-2】已知多项式3x+6与多项式5﹣2x的值互为相反数，则x＝_____． 【变式16-3】若，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，则的值是（    ） A．0 B． C．或0 D．2 【模块十七】互为相反数求值 这类题目的核心考点是相反数的基本性质，我们牢记“互为相反数的两个数之和为0”这一关键结论，就能拿到解题的第一个突破口。如果题目还结合了倒数、特殊有理数的概念，我们再对应利用“互为倒数的两个数乘积为1”、最大负整数是-1、绝对值最小的有理数是0这些常用结论，逐步整理出已知条件后代入所求式子计算，就能轻松得到正确结果。 【典例17】已知有理数所表示的点与原点的距离为4个单位长度，互为相反数，且都不为零，互为倒数． （1）求的值； （2）求的值． 【变式17-1】如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对面上的数字或代数式互为相反数，求的值． 【变式17-2】已知的相反数是，的相反数是，的相反数是，求的值． 【变式17-3】已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出a的相反数的位置． (2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？ 【模块十八】求数的绝对值 求一个数的绝对值，首先要判断这个数是正数、负数还是0：若这个数是正数，则它的绝对值等于它本身；若这个数是负数，则它的绝对值等于它的相反数；若这个数是0，则它的绝对值等于0。 【典例18】的绝对值是（    ） A． B． C． D．3 【变式18-1】等于（    ） A．0 B．2022 C．1 D．－2022 【变式18-2】在有理数，2，0，，中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【变式18-3】下列各数中，最大的数是（    ） A．3 B．0 C． D． 【模块十九】已知绝对值求数 已知绝对值求数时，要牢记绝对值的核心性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。因此满足条件的数共有两个，且二者互为相反数。解题时要注意题干给出的限定条件，若题目已经明确了所求数的正负范围，就可以排除不符合要求的解，得到唯一确定的答案，避免出现漏解或多解的错误。 【典例19】如果，那么（    ） A． B．或2 C． D．2 【变式19-1】如果，那么___． 【变式19-2】若，则______． 【变式19-3】．已知，互为相反数，且，则___________． 【模块二十】绝对值非负性应用 我们知道任意实数的绝对值都满足|x|≥0，即绝对值本身具有非负性，当若干个非负数相加和为0时，只有每一个非负数本身都等于0，等式才能成立。因此我们可以根据这个性质得到每一个绝对值内部的代数式都等于0，再将已经求得的a的值代入，即可依次算出其他未知量的值，最后代入所求代数式就能得到最终结果。 【典例20】若，则与的大小关系是（    ） A．与不相等 B．与互为相反数 C．与互为倒数 D． 【变式20-1】若，则a的值不可以是（   ） A．2 B．-5 C．0 D．-0.5 【变式20-2】式子取最小值时，等于(    ) A． B． C． D． 【变式20-3】下列一定是正数的是（　　） A． B． C． D． 【模块二十一】数轴三要素判断 判断一条直线是否为数轴，需要同时核查三个要素是否齐全，缺一不可：第一要确认是否规定了唯一的正方向，通常选取水平向右为默认正方向；第二要确认是否标注了原点，也就是表示数值0的基准点；第三要确认整条数轴上的单位长度是否统一一致，不存在刻度标准混乱的问题。只有三个条件同时满足，该直线才是符合要求的数轴，若任意一个条件不满足，都不能称之为规范的数轴。 【典例21】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） B． C． D． 【变式21-1】图中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式21-2】下列说法正确的是（   ） A．有原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C．有些有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示 【变式21-3】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（       ） A． B． C． D． 【模块二十二】数轴上的点与数互化 这类题目的核心是掌握数轴的三要素，即原点、正方向与单位长度，理解每一个位置的点所对应数的实际含义。解题时，首先要先观察已知点的位置和标注，先确定原点位置与单位长度，再根据点在原点的左侧还是右侧，判断数的正负，最后结合单位长度计算出点对应数的具体值；反过来，要将给定的数标注在数轴上时，也要先根据数的正负确定点在原点的哪一侧，再数出对应的单位长度，就能准确标出点的位置。掌握这个方法，就能准确完成点与数的互化问题。 【典例22】如图，数轴上的点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式22-1】如图，数轴的单位长度是1，若点A表示的数是，则点B表示的数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式22-2】有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则是（    ） A．非负数 B．负数 C．正数 D．0 【变式22-3】如图，数轴上表示数的相反数的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【模块二十三】求数轴上两点间距离的方法 若数轴上两个点分别对应实数A和B，那么两点之间的距离可直接用公式|xA - xB|计算，无论两个点在数轴上的左右位置如何，加上绝对值后都能得到正确的非负距离，不需要提前调整两个数的相减顺序。 如果题目只给出其中一个点对应的数，以及两个点之间的距离，要求另一个点对应的数，解题时一定要注意分情况讨论：待求点既可能在已知点的左侧，也可能在已知点的右侧，两种情况都需要考虑，不能只写出其中一种结果造成漏解。 【典例23】数轴上点M到原点的距离是6，则点M表示的数是（   ） A．6或-6 B．-6 C．6 D．不能确定 【变式23-1】数轴上点A表示的数是2，那么与点A相距3个单位长度的点表示的数是______． 【变式23-2】．在数轴上与-1对应的点相距4个单位长度的点所表示的数是（   ） A．-5 B．3 C．-3 D．-5或3 【变式23-3】已知点A和点B在同一条数轴上，点A表示的数是-2，又知点B和点A相距3个单位，则点B表示的数是（    ） A．-1或5 B．-5 C．1或-5 D．1 【模块二十四】数轴上找原点 主要可以分为两种常见解题思路：第一种是已知数轴上两个点所表示的具体有理数时，可以根据数轴两点间距离公式，设原点表示的数为x，结合原点到已知点的距离关系列方程求解，再对应到数轴上确定原点位置；第二种是仅知道两个点之间的距离，以及原点和两个点的位置距离关系时，需要用到分类讨论思想，分原点在两个点的左侧、原点在两个点之间、原点在两个点的右侧三种情况分别计算，验证后就能得到原点的准确位置。 【典例24】如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是（    ） A．2 B．1 C．−1 D．−2 【变式24-1】如图，数轴的单位长度为，如果点表示的数是，那么点表示的数是（  ） A． B． C． D． 【变式24-2】如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是（    ） A．2 B．1 C．−1 D．−2 【变式24-3】如图，数轴的单位长度为1，若点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是（    ） A．2 B．1 C． D． 【模块二十五】找数轴对应整数点 核心步骤可梳理为四步： 第一步先定位原点，结合题目给出的相反数、两点距离等条件，先确定数轴上代表0的原点位置，这是找整数点的基础； 第二步确认单位长度，根据题干给出的数轴单位长度信息，明确每一格代表的实际数值； 第三步数格计算，从原点出发，原点右侧依次为1、2、3……正整数，原点左侧依次为-1、-2、-3……负整数，若目标点不是从原点出发，也可以借助“左减右加”的规律，根据已知点对应的数，结合目标点和已知点之间间隔的单位长度，计算出目标点对应的数值； 第四步判断结果，若计算得到的数值没有分数或小数部分，该点就是我们要找的对应整数点。如果题目要求找出符合特定范围的整数点，只需要按照这个方法逐个排查范围内的所有点即可。 【典例25】在数轴上表示和5.2之间的整数有（    ）． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式25-1】小明在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图的数值，判断墨迹盖住的整数共有（    ）个． A．11 B．9 C．10 D．8 【变式25-2】利用数轴判断，大于且小于3的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式25-3】小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数之和为（ ） A． B． C． D． 【模块二十六】利用数轴比较数的大小 首先要将所有待比较的数先做化简，得到最终确定的结果后，再把每个数对应标注到数轴上，确定每个数对应的点所在位置。 由于数轴本身从左到右就是按照从小到大的顺序排列的，因此可以直接根据点的位置关系判断大小：数轴上位于左侧的点对应的数，一定小于右侧点对应的数。遇到带有参数、无法确定具体位置的数时，可以先根据题干给出的参数范围，确定数对应点在数轴上的大致区间，再结合区间位置比较大小，这种方法比纯代数推导更直观，能有效降低出错概率。 【典例26】在数轴上表示下列各数：．并用“<”把这些数连接起来． 【变式26-1】 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接： -3.5，，，4，0，2.5 【变式26-2】将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把这些数连接起来．，0，，，2． 【变式26-3】画出数轴且在数轴上表示下列各数，并把它们按照从小到大的顺序排列：3， ， -1.5，0，， 【模块二十七】利用绝对值比较大小的方法 比较两个负数的大小时，先分别求出两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最终根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”得到两个数的大小关系。对于任意两个有理数比较大小，可结合这一方法与数轴的性质总结出通用规律：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值更大的数更大。 【典例27】已知，，，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式27-1】下列四组有理数大小的比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式27-2】用“＞、＝、＜”符号填空：______. 【变式27-3】比较大小：______（填“”“”或“”）． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】绝对值化简计算 按照绝对值的化简规则进行计算：先判断每个绝对值符号内代数式的正负性，再根据绝对值的性质“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”去掉绝对值符号，最后进行合并计算就能得到最终结果。 【典例28】已知，，且，则的值是（    ） A．-8 B．-2 C．-2或-8 D．2或-8 【变式28-1】．_____． 【变式28-2】计算│-│+│-│+│-│-│-│=______. 【变式28-3】已知有理数满足，且，那么的值等于________． 【微专题二】数轴结合绝对值 数轴结合绝对值是初中阶段考察绝对值知识点的核心题型，常见的题型主要有三类：第一类是给出数轴上各点的位置，要求去掉绝对值符号后化简代数式；第二类是已知一点在数轴上对应的数，以及该点和未知点的距离，结合绝对值求未知点对应的数；第三类是结合绝对值的几何意义，求解代数式的最值或满足条件的数的范围。 解答这类题目需要注意三个核心问题： 一是去绝对值符号前，必须先根据点在数轴上的位置，准确判断绝对值内部代数式的正负性，再根据绝对值的性质“正留负变”去掉绝对值符号，不能直接将每个字母直接改写为正数，忽略符号判断； 二是涉及求解未知点对应的数时，一定要分情况讨论，未知点既可能在已知点的左侧，也可能在已知点的右侧，避免出现漏解； 三是利用绝对值几何意义分析问题时，要牢记|x-a|的几何含义就是数轴上x对应的点与a对应的点之间的距离，结合点的位置变化规律分析即可。 【典例29】已知实数a，b在数轴上的位置如图，则（　　） A． B． C． D． 【变式29-1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（ ） A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b 【变式29-2】有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足，则b的值不可能是（    ） A．－3 B．－1 C．0 D．2 【变式29-3】已知有理数，数轴上的位置如图所示，则下列关系不正确的是（  ） A． B． C． D． 【微专题三】有理数大小比较的实际应用 这类问题通常结合生活场景中的实际量设置题目，比如不同城市的气温对比、不同地点海拔高低对比、经营活动中的盈亏对比等，解题时第一步需要先结合题意，将场景中描述的实际量转化为对应的有理数，再遵循有理数大小比较的规则进行排序比较：正数大于0，0大于一切负数，两个负数比较时，绝对值更大的负数反而更小，最终根据比较结果就能解答题目提出的对应问题。 【典例30】．下面是我省四个地市2017年12月份的日均最低温度：﹣10℃（太原），﹣14℃（大同），﹣5℃（运城），﹣8℃（吕梁）．其中日均最低温度最高的是（　　） A．吕梁 B．运城 C．太原 D．大同 【变式30-1】．下表是几种液体在标准大气压下的沸点，则沸点最低的液体是（    ） 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氨 沸点/℃ －183 －253 －196 －268.9 A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氨 【变式30-2】下表记录了某日我国几个城市的平均气温： 北京 西安 哈尔滨 上海 广州 （1）将各城市的平均气温从高到低进行排列； （2）在地图上找到这几个城市的位置，并将它们从北到南进行排列． 【变式30-3】在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ 压轴拓展·素养提升 【压轴一】数轴动点基础题 核心第一步是先用含运动时间t的代数式表示出动点在任意时刻对应的数：先确定动点的起始位置对应的数，再结合运动速度与方向，依据前文提到的“左减右加”规律写出表达式——若动点从对应数为a的位置出发，以v个单位长度每秒的速度向右运动，则t秒后该动点对应的数为若向左运动，则对应数为。 接下来根据题目要求的位置关系，结合数轴两点间距离公式，列出距离关于t的代数式：若存在两个动点，分别对应数x1t和x2t，则两点间距离为|x1t-x2t|。 最后结合题目给定的距离条件、位置关系列出方程或不等式，求解后还要验证结果是否在题目限定的运动时间范围内，舍去不符合实际运动过程的增根即可得到最终答案。 【典例31】如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次的移动游戏规则如下：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正另一面是反，而后根据所猜结果进行移动． ①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位； ②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位． (1)若第一次移动游戏，甲、乙两人都猜对了，则甲、乙两人之间的距离是_______________个单位； (2)若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m．请你用含n的代数式表示m； (3)经过_______________次移动游戏，甲、乙两人相遇． 【变式31-1】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为－10，，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发） (1)数轴上点B对应的数是______． (2)经过几秒，点M、点N重合？ 【变式31-2】如图1，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q．如图2，先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示-2014的点与圆周上重合的点对应的字母是（    ） A．m B．n C．p D．q 【变式31-3】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（    ） A．1011 B． C．505 D． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.向东走，记为，那么走，表示（    ） A．向南走 B．向东走 C．向西走 D．向北走 2．下列说法错误的是（    ） A．0既不是正数，也不是负数 B．零上4摄氏度可以写成，也可以写成 C．若盈利100元记作元，则元表示亏损20元 D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示 3.如图，数轴的单位长度是1，若点A表示的数是，则点B表示的数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（　　） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．不能确定 5.用符号语言表述“负数的绝对值等于它的相反数”正确的是（    ） A． B． C． D． 二 填空题 6.把下列各数分别填入相应的集合里． 0， ， 5， 3.14， π， -3， ． （1）整数集合：  {　 　 ……}； （2）分数集合：  {　 　 ……}； （3）有理数集合：{　 　 ……}； （4）非负数集合：{　 　 ……}． 7.若与互为相反数，则代数式 ． 8.若，则 ． 9. 如图，数a在原点的右边，则a、、0的大小关系是 （用小于号连接） 10.大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．数轴上表示x与﹣2的两点之间的距离为5，则x的值是 ． 三解答题 11.把下列各数填入相应的集合里： ，，，，，，，，，，，. （1）正数集合：{____________…}； （2）负数集合：{____________…}； （3）正整数集合：{____________…}； （4）负整数集合：{____________…}； （5）非负数集合：{____________…}． 12若，求、的值． 13.把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“ ”连接起来． ． 14.同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求|4﹣（﹣2）|=_____； （2）若|x﹣2|=5，则x=_____； （3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|=3． 15（学过有理数减法的尝试做一下）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A′落在射线CB上，并且A′B＝6，求C点表示的数 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.1 认识有理数》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 识别正负数 模块17互为相反数求值 模块2 判断相反意义的量 模块18求数的绝对值 模块3 解释正负数意义 模块19已知绝对值求数 模块4 用正负数表示相反意义的量 模块20绝对值非负性应用 模块5 实际情境辨正负 模块21数轴三要素判断 模块6用正负数表示允许偏差 模块22数轴上的点与数互化 模块7正负数分类 模块23求数轴上两点间距离的方法 模块8 有理数的定义辨析 模块24数轴上找原点 模块9写出有理数的个数 模块25找数轴对应整数点 模块10 有理数的类别归属 模块26利用数轴比较数的大小 模块11 有理数分类填表 模块27利用绝对值比较大小的方法 模块12求一个数的相反数 微专题1绝对值化简计算 模块13判断相反数是否互为相反数 微专题2数轴结合绝对值 模块14相反数符号化简 微专题3有理数大小比较的实际应用 模块15相反数符号化简 压轴1 数轴动点基础题 模块16相反数的简单计算 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1正数和负数的概念 1.正数和负数的定义: 正数的概念：大于0的数叫做正数． 负数的概念：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数． 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数． （不是带“-”号的数都是负数，而是在正数前加“-”的数．） 2.注意:0既不是正数，也不是负数 3.0的意义 (1)0是正负数的分界; (2)0可以表示“没有”; (3)0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示. 知识点2 具有相反意义的量 1.定义:在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量， 2.表示方法:一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示.例如:若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86m,记作+8848.86m. 知识点3 有理数 1.定义:：整数和分数统称有理数．    说明：整   数：正整数、0、负整数统称为整数． 分   数：正分数、负分数统称分数．（有限小数与无限循环小数都是有理数．） 注意：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数． 2.有理数的分类: （1）按正、负性质分类： （2）按定义分类：         3几类特殊有理数的含义 知识点4 数轴 1．概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 三要素：原点、正方向、单位长度 2．对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的．                     3．应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 ．    （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法． 知识点5 相反数 1．概念：只有符号不同，数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数．特别的0的相反数是0． 2．性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数． 3．多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数．②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数． （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点6绝对值 1．概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值． 2．代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0． 3．代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a． 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数． 4．性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数．即±a． 5．非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0．几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0．故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 知识点7 利用绝对值比较大小 1．代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数．两个负数比较大小时，绝对值大的反而小． 2.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大． 模块通关·举一反 三 【模块一】识别正负数 识别正负数是有理数板块的入门知识点，核心是依据定义判断：大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数。在实际应用中，正负数常用来表示一对具有相反意义的量，例如在某问题中，可以用正数表示高出基准的量，用负数表示低于基准的量，是后续开展有理数分类、大小比较与运算的重要基础。 【典例1】下列四个数中，是负数的是（    ） A．-1 B．4 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据负数的定义即可得出答案． 【详解】解：是负数， 故选：A． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握在正数前面加负号“”叫做负数． 【变式1-1】在数，0，，9，－0.1，8844.43，－32％中，其中负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】结合题意，根据负数的定义分析，即可得到答案． 【详解】，0，，9，－0.1，8844.43，－32％中，其中负数有：，，－0.1，－32％ 故选：C． 【点睛】本题考查了正数、负数的知识；解题的关键是熟练掌握负数的定义，从而完成求解． 【变式1-2】在，，3.14，，0，100，，中，正数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正数为大于零的数进行判断即可． 【详解】解： ，3.14，100，都是正数，共4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是熟练正数是指大于零的数，注意零既不是正数，也不是负数． 【变式1-3】我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“”写成“”．下列算筹表示负数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】解：在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“”写成“”， 算筹表示负数的是选项“” ． 故选：B． 【点睛】此题考查了正数与负数，熟练掌握负数的意义，以及题目中表示负数的符号是解本题的关键． 【模块二】判断相反意义的量我们可以从两个核心要点进行判断： .① 首先确定两个量是否属于同一类属性的量，即必须描述的是同一个事件的同一个属性，比如都描述收支、都描述海拔升降、都表示数的正负属性，若两个量属性不同，则不可能是相反意义的量； ② 其次看两个量的意义是否相反，只要意义相反，同时都带有对应数量，就可以判定为相反意义的量。 在本题中，普通算筹表示的正数和带斜杠算筹表示的负数，属于同一类计数的量，意义一正一负恰好相反，因此就是一对相反意义的量，也符合题目给出的负数表示规则。 【典例2】在下列选项中，具有相反意义的量是(　　) A．胜二局与负三局 B．气温升高3°C与气温为℃ C．盈利5万元与支出5万元 D．甲、乙两队篮球比赛比分分别为66∶63与63∶66 【答案】A 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：A．胜二局与负三局，具有相反意义的量，故正确； B．升高与降低是具有相反意义，气温为-3℃只表示某一时刻的温度，故错误； C．盈利与亏损是具有相反意义，与支出5万元不具有相反意义，故错误． D．比分66：63与63：66不具有相反意义，故错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【变式2-1】下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走5米和向南走5米 B．身高增加3厘米和体重减少2千克 C．胜10局和亏本10元 D．收入5元和支出400元 【答案】D 【分析】根据具有相反意义的量的定义即可判断． 【详解】解：向东走5米和向南走5米，不是具有相反意义的量，故A选项错误； 身高增加3厘米和体重减少2千克，不是具有相反意义的量，故B选项错误； 胜10局和亏本10元，不是具有相反意义的量，故C选项错误； 收入5元和支出400元，具有相反意义的量，故D选项正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查的是具有相反意义的量的定义，掌握具有相反意义的量的定义是解题的关键． 【变式2-2】下列具有相反意义的量是（　　） A．气温降低4℃与气温为10℃ B．收入3万元与亏损3万元 C．节约水与浪费水 D．转盘顺时针转5圈与逆时针转圈 【答案】C 【分析】根据一般情况下，一对反义词具有相反意义，对选项逐一判断即可 【详解】解：A、气温降低4℃与气温为10℃，不具有相反意义的量，故A错误； B、收入与亏损不是相反的概念，故B错误； C、节约和浪费是具有相反意义的量，故C正确； D、转盘顺时针转5圈与逆时针转圈，不是相反意义的量，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了相反意义的量，解题的关键是理解“正”与“负”的相对性，明确什么是具有相反意义的量． 【变式2-3】下列四组量中，不具有相反意义的是（    ） A．海拔“上升200米”与“下降400米” B．温度计上“零上15℃”与“零下5℃” C．盈利100元与亏本25元 D．长3米与重10千克 【答案】D 【分析】根据相反意义的量的特征逐一判断即可． 【详解】解：A.海拔上升与下降是相反意义，故A选项正确，不符合题意； B.温度计零上与零下是相反意义，故B选项正确，不符合题意； C.盈利100与亏本25元相反意义，故C选项正确，不符合题意； D.长3米与重10千克不是相反意义，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相反意义的量，熟练掌握具有相反意义的量有两个特征：（1）表示的是同一类量；（2）意义相反，是解题的关键． 【模块三】解释正负数意义 正负数的产生源于对实际生活中相反意义的量的记录需求，我们可以先规定某一种意义的量为正，那么与之相反意义的同类量就记为负，习惯上我们把上升、零上、盈利、增加等意义的量规定为正，与之对应的下降、零下、亏本、减少等意义的量就规定为负。需要注意的是，正负数表示的必须是同一类且意义相反的量，不同类的量不能用正负数来表示一对相反意义的量。 【典例3】我国古代著名的数学专著《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思如下：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果收入元记作元．那么元表示______． 【答案】支出元 【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，即可得． 【详解】解：根据题意得，元表示支出元， 故答案为：支出元． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是理解题意，掌握正负数的意义． 【变式3-1】若向南走6m，记为+6m，则﹣3m表示为（ ） A．向东走3m B．向南走3m C．向西走3m D．向北走3m 【答案】D 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向南走记为正，可得向北走的表示方法． 【详解】若向南走6m，记为+6m，则-3m表示为向北走3m． 故选：D． 【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示 【变式3-2】．若气温为零上10℃记作+10℃，则-3℃表示气温为（   ） A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃ 【答案】B 【详解】根据用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，故若气温为零上10℃记作+10℃，则−3℃表示气温为零下3℃． 故选B. 【变式3-3】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣60元表示（　　） A．收入60元 B．收入20元 C．支出60元 D．支出20元 【答案】C 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】根据题意，若收入80元记作+80元，则-60元表示支出60元． 故选C． 【点睛】考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【模块四】用正负数表示相反意义的量 可以总结为三个清晰的步骤：① 识别相反意义：先从题目情境中找出一对具有相反意义的量，比如收入与支出、零上温度与零下温度、向东行走与向西行走等，通常我们会把具有“正向”意义的量，如收入、零上、前进、上升等规定为正，与之意义相反的量就用负表示；② 对应转换含义：如果题目已经给定了某类量的正负表示方式，就可以按照“正负数表示相反意义”的规则，推出带符号量的实际意义，或是给实际的量添加对应的符号；③ 需要注意的是，正负的规定是相对的，核心要求是保证一对相反意义的量符号相反，只要符合这个规则，正负的设定可以根据题目要求灵活调整。 【典例4】如果体重增加1.5kg记作＋1.5kg，那么体重减少2kg记作__________kg． 【答案】-2 【分析】增加和减少具有相反意义，根据正负数可以表示一对具有相反意义的量即可求解． 【详解】解：如果体重增加1.5kg记作+1.5kg，那么体重减少2kg应记作-2kg． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了学生对正负数意义理解与掌握，用正负数表示两种具有相反意义的量． 【变式4-1】．中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的方程一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入20元记作+20元，那么支出10元记作______元． 【答案】-10 【分析】根据相反意义的量解答即可． 【详解】解：如果收入20元记作+20元，那么支出10元记作-10元， 故答案为：-10． 【点睛】本题主要考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【变式4-2】李白出生于公元701 年，我们记作+701 年，那么秦始皇出生于公元前 259 年，可记作_____年． 【答案】-259 【分析】根据相反意义的量的定义：再现实生活中存在着各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同，但表示的意义相反，这样的量叫做相反意义的量，进行求解即可． 【详解】解：∵李白出生于公元701 年，记作+701 年， ∴秦始皇出生于公元前 259 年，可记作-259年， 故答案为：-259． 【点睛】本题主要考查了相反意义的量，解题的关键在于熟知定义． 【变式4-3】在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记作＋0.22，那么小东跳出了3.85米，记作______． 【答案】-0.15米 【分析】根据多于标准记为正，可得少于标准记为负． 【详解】解：∵以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22， ∴小东跳出了3.85米，记作-0.15米， 故答案为：-0.15米． 【点睛】本题考查了正数和负数，注意高于标准用正数表示，低于标准用负数表示 【模块五】实际情境辨正负 核心在于先明确基准，再理清一对相反意义：我们此前遇到的公元纪年、跳远成绩计量问题，都是先选定统一标准作为零点，公元后、超出标准记为正，公元前、低于标准就对应记为负。只要找准基准和对应的相反意义，就能快速正确地用正负数表示实际情境中的对应数量。 【典例5】如图所示的是某用户微信支付情况，3月28日150表示的意思是（    ） A．转账给别人150元 B．收到转账150元 C．余额150元 D．发出150元红包 【答案】B 【分析】根据正数和负数的实际意义分析判断即可． 【详解】解：由该用户微信支付情况可知，3月28日显示，表示的意思是收到转账150元． 【点睛】本题主要考查了正数和负数在实际生活中的应用，理解正数和负数表示相反意义的量是解题关键． 【变式5-1】手机移动支付给生活带来便捷．若小颖某天收到微信红包200元，记为元，则小颖当天支付出的两笔费用19.9元和38.7元分别记为（    ） A．元和元 B．元和元 C．元和元 D．元和元 【答案】D 【分析】 本题考查了正数、负数，解题的关键是掌握正数、负数表示意义相反的数．利用正数、负数的意义解答即可． 【详解】解：若小颖某天收到微信红包200元，记为元，则小颖当天支付出的两笔费用19.9元和38.7元分别记为元和元． 故选：D． 【变式5-2】把六一班男生平均体重作为标准，记作，超过平均体重的记作正，低于平均体重的记作负．明明重应记作 ． 【答案】 【来源】黑龙江省绥化市望奎县2023-2024学年六年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，先求出明明体重相对于平均体重超过或不足的重量，再根据超过平均体重的记作正，低于平均体重的记作负进行求解即可． 【详解】解：， 所以明明的体重与平均体重相比不足， 所以明明重应记作， 故答案为：． 【变式5-3】在十月份结束的杭州亚运会女子举重49公斤级比赛中，朝鲜选手李盛金创造该组赛会记录和世界记录，以总成绩216公斤夺冠，中国选手蒋惠花以总成绩213公斤拿到银牌，泰国选手素乍龙以总成绩199公斤获得铜牌．若将216公斤记为，则199公斤可记为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，理解基准的确定是解本题的关键，先确定基准为公斤是解本题的关键． 【详解】解：将216公斤记为，则215公斤记为0， 那么，199公斤可记为， 故选C 【模块六】用正负数表示允许偏差 用正负数表示允许偏差，是正负数在工业生产和日常商品标注中的典型应用，在零件加工、食品包装等场景中，我们通常会在标称值后加上“±a”的形式来标注允许的误差范围，其中正数表示不超过标称值的最大上浮量，负数表示不低于标称值的最大下浮量，我们可以据此快速计算出产品的合格范围，进而判断对应产品是否符合生产或使用要求。 【典例6】某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据超市出售的某种品牌的大米袋上，标有质量为（20±0.4）kg的字样，可以求得从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差多少． 【详解】解：∵超市出售的某种品牌的大米袋上，标有质量为（20±0.4）kg的字样， ∴标准大米的质量最多相差：0.4−（−0.4）＝0.4＋0.4＝0.8（kg）， 故选：D． 【点睛】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． 【变式6-1】大米包装袋上有的标识，则下面几袋大米重量合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正负数的意义求出质量合格的取值范围，然后判断即可． 【详解】解：∵10-0.2=9.8， 10+0.2=10.2， ∴质量合格的取值范围是9.8kg～10.2kg． 所以，四个选项中只有10.2kg合格． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【变式6-2】某品牌的大米包装袋上的质量标识为：“”．质检人员随机抽测了四袋该品牌大米的质量，依次记录为：，，，，则所抽测的四袋大米中，符合该品牌大米包装袋上的质量标识要求的有（　　　） A．4袋 B．3袋 C．2袋 D．1袋 【答案】B 【分析】根据质量标识可得符合要求的质量范围，再逐个判断即可得． 【详解】设该品牌大米的符合要求的质量为， 由质量标识得：，即， 则所抽测的四袋大米中，符合该品牌大米包装袋上的质量标识要求的有，，，共3袋， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数加减的应用，理解题意，正确求出符合要求的质量范围是解题关键． 【变式6-3】一桶奶粉上标有“净含量（单位：克）”，它的净含量最少是（    ） A．995克 B．1000克 C．1005克 D．895克 【答案】A 【分析】净含量1000±5（单位：克），意思是净含量最大不超过1000+5，最少不低于1000-5，再进行计算，即可得出答案． 【详解】解：1000-5=995（克） 即这种奶粉净含量最少是995克． 故选：A． 【点睛】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【模块七】正负数分类 正负数分类方法 第一步先明确分类标准，通常我们按符号将有理数分为正有理数、0、负有理数三类，其中0是正负数的分界点，它既不属于正数，也不属于负数，需要单独归类。 第二步对需要分类的数先化简，再判断符号：凡是化简后大于0的数都属于正数，包括正整数、正分数，其中正有限小数、正无限循环小数都属于正分数范畴；化简后小于0的数都属于负数，需要注意不能仅根据数表面是否带负号判断正负，必须先化简再判定符号。， 【典例7】把下列各数填入相应的横线上： -2.5，10，0.22，0，，-20，+9.78，+68，0.45，+. 负整数： ； 负分数： ； 非负有理数： . 【答案】负整数：-20；负分数：-2.5，；非负有理数： 10，0.22，0，+9.78，+68，0.45，+. 【详解】试题分析：根据有理数的分类进行解答即可. 试题解析：负整数：-20； 负分数：-2.5，； 非负有理数： 10，0.22，0，+9.78，+68，0.45，+. 【变式7-1】把下列各数分别填在相应的集合内： ，，，，，，，，． (1)正数集合：{            …}； (2)负数集合：{            …}； (3)整数集合：{            …}． 【答案】(1)，，，， (2)，， (3)，， 【分析】（1）在有理数中，正数包括正整数、正分数； （2）在有理数中，负数包括负整数、负分数； （3）在有理数中，除了分数以外都是整数，包括正整数、负整数和零． 【详解】（1）解：正数集合： 故答案为：，，，， （2）负数集合： 故答案为：，， （3）整数集合： 故答案为：，， 【点睛】本题主要考查了有理数．正确把握正数、负数和整数的概念是解题关键． 【变式7-2】把下列各数填在相应的括号内： +5，+，0.31，0，-1.3，，62.6，-8.3，，7，100 （1）正整数：（                                     ） （2）分数：（                                       ） （3）非负数：（                                     ） 【答案】（1）正整数：（ +5， 7，100）；（2）分数：（ +，0.31， -1.3，，62.6，-8.3， ）；（3）非负数：（+5，+，0.31，0， ，62.6， 7，100） 【分析】根据正整数，分数和非负数的意义进行判断即可，注意0既不是正数也不是负数，有限小数属于分数，非负数即正数和0． 【详解】解：（1）正整数：（ +5， 7，100） （2）分数：（ +，0.31， -1.3，，62.6，-8.3， ） （3）非负数：（+5，+，0.31，0， ，62.6， 7，100） 【点睛】本题考查有理数的分类，掌握0既不是正数也不是负数，有限小数属于分数，非负数即正数和0是本题的解题关键． 【变式7-3】将下列各数填入所属的集合中： 0，，，，，3.5，0.6，，10，，，6.5 正数集合：{    …}； 整数集合：{    …}； 分数集合：{    …}； 负整数集合：{    …}； 正分数集合：{    …}； 【答案】见解析 【分析】根据正数、整数、分数的概念，即可得出答案． 【详解】正数集合：； 整数集合：； 分数集合：； 负整数集合：； 正分数集合：； 【点睛】本题考查了正数、整数、分数的概念，掌握以上内容是解题的关键． 【模块八】有理数的定义辨析 有理数的定义辨析是初中有理数模块学习阶段需要掌握的核心基础能力，主要考察对有理数不同分类标准、定义边界的理解与判断。按照有理数的分类规则，整数与分数统称为有理数，若按符号属性划分，有理数可分为正有理数、零、负有理数，在有理数范畴内，负有理数包含负整数和负分数两类，需要注意的是，部分题型会设置陷阱，比如将带根号的无理数、化简后为正的“负负得正”型数混入归类中，解题时需先对给定的数化简后再根据定义判断，避免被表面的符号或形式误导。 【典例8】下面的说法正确的是（　　） A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和分数统称有理数 C．正整数和负整数统称整数 D．有理数包括整数、自然数、零、负数和分数 【答案】B 【分析】有理数的分类：正有理数、负有理数、零统称有理数．整数的分类：正整数，负整数，零统称整数． 【详解】A、正有理数、0和负有理数统称有理数，故本选项错误； B、整数和分数统称为有理数，故本选项正确； C、整数还包括0，故本选项错误； D、零属于自然数的范围，这样的表达不正确，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的分类；熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键． 【变式8-1】下列说法正确的是（ ） A．0是最小的有理数 B．一个有理数不是正数就是负数 C．分数不是有理数 D．没有最大的负数 【答案】D 【分析】根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】A、没有最小的有理数，故本选项错误； B、一个有理数不是正数就是负数或0，故本选项错误； C、分数是有理数，故本选项错误； D、没有最大的负数，故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类和定义是本题的关键． 【变式8-2】下列说法正确的是（ ） A．正数和负数统称有理数 B．正整数和负整数统称为整数 C．小数不是分数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】根据有理数的分类及整数，分数的概念解答即可． 【详解】A中正有理数，负有理数和0统称为有理数，故A错误； B中正整数，负整数和0统称为整数，故B错误； C中小数3.14是分数，故C错误； D中整数和分数统称为有理数，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了有理数，整数，分数的含义．掌握有理数，整数，分数的含义是解题的关键． 【变式8-3】下列说法中，正确的是（    ） A．整数和分数统称有理数 B．有理数a一定是正数 C．有理数分为正数和负数 D．自然数就是正整数 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的概念与分类，自然数的含义，根据定义逐一分析即可判断． 【详解】解：整数和分数统称有理数，故A符合题意； 有理数a可以是正数，0，负数，故B不符合题意； 有理数分为正数和负数与0，故C不符合题意； 自然数就是非负整数，故D不符合题意； 故选A 【模块九】写出有理数的个数 首先紧扣有理数的核心定义，即整数和分数统称为有理数，解题第一步要先对题目中给出的数做预处理：带有正负号、绝对值的先化简符号、算出最终结果，含有根号的先计算得到确定结果后再做判断，不要被表面形式干扰。其次记住特殊情形：无限循环小数可以转化为分数，属于有理数范畴，而无限不循环小数不符合有理数定义，不属于有理数；0是整数，因此也属于有理数，不要因为它既不是正数也不是负数就错误归类。 【典例9】在，，，，，中，有理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数的定义解答即可，熟练掌握有理数的定义是解题的关键，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 【详解】解：，，，是有理数，共个， 故选：． 【变式9-1】．下列各数：，，，0，，……，其中有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，进行判断即可． 【详解】解：，，，0，，……，中，，，0，是有理数，共5个； 故选D． 【点睛】本题考查有理数的定义．熟练掌握整数和分数统称为有理数，是解题的关键． 【变式9-2】下列数中：0，，，，，，，有理数有（    ）个 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据有理数的定义：分数和整数统称有理数，进行判断即可． 【详解】解：0，，，，，，中，有理数有：0，，，，，，共6个； 故选B． 【点睛】本题考查有理数．熟练掌握分数和整数统称有理数，是解题的关键．注意，不是有理数． 【变式9-3】在﹣3.5，，0.161161116…，中，有理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据有理数的概念判断即可，整数和分数统称有理数，无限不循环小数不是有理数． 【详解】解：-3.5是负分数，故是有理数； 是正分数，故为有理数； ，0.161161116…都是无限不循环小数，故不是有理数； ∴有理数有两个， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的判断，解题的关键是掌握有理数的概念． 【模块十】有理数的类别归属 我们通常可以从两个不同维度对有理数进行类别划分： 第一种划分方式依照定义划分：有理数可分为整数和分数两大类，其中整数包含正整数、零和负整数，分数包含正分数和负分数。 第二种划分方式依照数的正负性划分：有理数可分为正有理数、零、负有理数。正有理数可进一步细分为正整数和正分数，在有理数中，负数包括负整数、负分数，二者共同构成负有理数的全部范围；需要注意的是，零既不是正有理数也不是负有理数，是一个独立的特殊有理数类别。 【典例10】把下列各数相应的数填入相应的横线内：，，，，20，0，，，，． 负有理数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}； 正数集合：{ …}． 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，正确掌握有理数的分类是解题的关键，根据有理数的分类依次解答． 【详解】，， 负有理数集合：{， …}； 正分数集合：{，，…}； 非负整数集合：{ 20，0，…}； 负整数集合：{…}； 正数集合：{，，20，，，…}． 【变式10-1】把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开） ，，，，，， 负数：{           …} 非负整数：{              …} 分数：{                  …} 【答案】见解析 【分析】根据负数、非负数、分数的概念即可解答． 【详解】解：负数：，，； 非负整数：，； 分数：，，，； 【点睛】本题考查了负数、非负数、分数的概念，理解负数、非负数、分数的概念是解题的关键． 【变式10-2】把下列各数填到相应的括号内1，，0.5，+7，0，－6，4，，，5% 非负数{                       …}；负有理数{                  …} 整数{                      …}；分数{                       …}； 【答案】非负数有：1，，0.5，+7，0，4，5%；负有理数有：－6， ，； 整数有：1，+7，0，－6，4，；分数有：，0.5，，5%． 【分析】根据有理数的分类，即可得到答案． 【详解】非负数有：1，，0.5，+7，0，4，5%； 负有理数有：－6， ，； 整数有：1，+7，0，－6，4，； 分数有：，0.5，，5%． 【点睛】本题主要考查有理数的分类，掌握非负数，负有理数，整数，分数的概念是解题的关键． 【变式10-3】有理数的分类： （1）正数集合：{               }； （2）负数集合：{               }； （3）整数集合：{                }； （4）分数集合：{               }； 【答案】见解析 【分析】根据正数、负数、整数、分数的定义即可判断； 【详解】解：（1）正数集合：{}； （2）负数集合：{}； （3）整数集合：{}； （4）分数集合：{}； 【点睛】本题主要考查的是有理数的分类，熟悉相关定义是解题的关键． 【模块十一】 有理数分类填表 有理数分类填表时，需先将题目给出的每个待分类数预先化简，得到最终化简结果后，再根据其所属类别填入对应表格：若待判断的数是带括号、带绝对值或带相反数符号的形式，不能仅凭原式形式判断，必须先完成计算得到确定结果再分类，避免错判。填表过程中要注意不要漏填任意一个待分类数，也不要将同一个数重复填入同一个分类集合，同时要牢记零的分类归属：零属于整数，但不属于正有理数，也不属于负有理数，不要将其错放至正负分类的集合中。 【典例11】将下列各数填入相应的集合圈内， ﹣，﹣7，+2.6，﹣100，﹣2，9.2，0，1． 【答案】见解析 【分析】根据负数、整数、正数的定义解决此题． 【详解】解：根据负数的定义，负数有． 根据整数的定义，整数有、、0、1． 根据正数的定义，正数有、9.2、1． 既是负数又是整数的有、；既是整数又是正数的有1． 【点睛】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握负数、整数、正数的定义是解题关键 【变式11-1】如图，这两个圈分别表示正数集合和整数集合，则它们的重叠部分表示的是_____集合. 【答案】正整数 【分析】根据有理数的概念求解即可． 【详解】解：依据题意可知重叠部分表示的是正整数. 【点睛】本题考查的是有理数的概念，有理数包括整数和分数． 【变式11-2】(1)如下图，下而两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里: (2)上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合? 【答案】（1）见解析；（2）重叠部分表示负分数集合 【分析】（1）根据负数、分数、负分数的定义去填写即可； （2）即是负数又是分数，则该数为负分数，据此求解即可. 【详解】(1)根据题意如图: (2)这两个圈的重叠部分表示负分数集合; 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握相关概念是解题关键. 【变式11-3】如图，关于、、这三部分数集的个数，下列说法正确的是（    ） A．、两部分有无数个，部分只有一个0 B．、、三部分有无数个 C．、、三部分都只有一个 D．部分只有一个，、两部分有无数个 【答案】A 【分析】根据有理数的分类可以看出A指的是负整数，B指的是整数中除了正整数与负整数外的部分整数，C指的是正整数，最后根据各数性质进一步判断即可. 【详解】由图可得：A指的是负整数，B指的是整数中除了正整数与负整数外的部分整数，C指的是正整数， ∵整数中除了正整数与负整数外的部分整数只有0、负整数与正整数都有无数个， ∴A、C两部分有无数个，B只有一个. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握相关概念是解题关键. 【模块十二】求一个数的相反数 核心方法是直接改变原数的符号即可得到它的相反数。需要注意的是，相反数是成对出现的概念，不能单独说某一个数是相反数；同时特殊数0的相反数仍是它本身，这也是各类题目中经常考察的易错点。 【典例12】如果一个数的相反数是，那么这个数是（    ） A．2021 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义求解可得． 【详解】解：因为2021的相反数是，所以这个数是2021， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，关键是根据相反数的定义解答． 【变式12-1】的相反数是（    ） A． B． C．-5 D．5 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 【变式12-2】有理数的相反数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数是：． 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的定义的知识，熟知相反数的定义是解题关键． 【变式12-3】一个数的相反数是它本身，则该数为（ ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据的相反数是解答即可． 【详解】解：的相反数是， 一个数的相反数是它本身，则该数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，要注意的特殊性 【模块十三】判断相反数是否互为相反数 判断两个数是否互为相反数，核心依据就是相反数的定义：只有符号不同的两个数才互为相反数。解题时我们可以先求出给定数的相反数，再和题目给出的另一个数进行比对，若二者完全相等即可确认二者互为相反数，反之则不是。需要额外注意的是，0的相反数仍是它本身，这是相反数概念里的特殊情况，解题时不要遗漏这个特殊点而出错。 【典例13】下面每组中的两个数互为相反数的是（    ） A．或 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，对各选项进行分析即可一一判定． 【详解】解：、和不互为相反数，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，，的相反数为8，故该选项符合题意； D、和不互为相反数，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键． 【变式13-1】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．2和 B．2和− C．1和−1 D．2和2 【答案】C 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：A. 2和互为倒数，不合题意； B. 2和−互为负倒数，不合题意； C. 1和−1互为相反数，符合题意； D. 2和2相等，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，利用了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数． 【变式13-2】下列两数互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】将各个数进行化简，再根据相反数的定义即可进行解答． 【详解】解：A、∵，，∴和不是相反数，不符合题意； B、∵，，∴和互为相反数，符合题意； C、∵，∴和不是相反数，不符合题意； D、∵，∴和不是相反数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义和化简多重符号，解题的关键是熟练掌握：只有符号不同的两个数互为相反数． 【变式13-3】下列各对数中，是互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据相反数的概念“只有符号不同的两个数叫互为相反数”即可得． 【详解】解：A．，，-0.01与0.01互为相反数，选项说法正确，符合题意； B．，不互为相反数，选项说法错误，不符合题意； C．，，不互为相反数，选项说法错误，不符合题意； D．，不互为相反数，选项说法错误不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的概念． 【模块十四】相反数符号化简 相反数符号化简核心遵循“数负号，看奇偶”的规则，无需考虑正号个数对最终符号的影响，具体判定逻辑为：当一个数的前面带有奇数个负号时，化简结果为原数的相反数；当一个数的前面带有偶数个负号时，化简结果就是原数本身；无论多少层多重符号嵌套，都可以逐层剥离符号，按规则判定即可。 【典例14】在，，，，这些数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】将数列中的数化简，再根据正数、负数的定义解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴在，，，，这些数中，正数有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了化简多重符号，正负数的定义，正确化简各数是解题的关键． 【变式14-1】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】先化简多重符号，然后根据相反数的定义进行逐一判断即可：如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数，0的相反数是0． 【详解】解：A．与不互为相反数，不符合题意； B．与互为相反数，符合题意； C．与不互为相反数，不符合题意； D．与不互为相反数，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义和化简多重符号，熟知相反数的定义是解题的关键． 【变式14-2】下列各对数中，互为相反数的有    （     ） 与；与；与；与；与 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】各数能化简的先进行化简，然后根据相反数的概念进行判断． 【详解】解：与互为相反数； ∵，， ∴与互为相反数； ∵，， ∴与相等，不互为相反数； ∵，， ∴与相等，不互为相反数； ∵，， ∴与互为相反数； 即互为相反数的有3对． 故选：C． 【点睛】本题考查了化简多重符号，相反数，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答本题的关键． 【变式14-3】下列各组数中，不相等的是（    ） A．－（+2）和+（－2） B．－7和－（+7） C．+（－5）和－（－5） D．－[+（－1）]和－[－（+1）] 【答案】C 【分析】先化简再比较两个数，即可判断出答案． 【详解】解：A. －（+2）和+（－2）相等，此选项不符合题意， B. －7和－（+7）相等，此选项不符合题意， C. +（－5）和－（－5）不相等，此选项符合题意，     D. －[+（－1）]和－[－（+1）] 相等，此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了化简多重符号，相反数的意义，掌握相反数的意义是解题的关键． 【模块十五】 数轴上找对应相反数 我们可以借助相反数的几何意义快速找到对应点：互为相反数的两个数对应的点，分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。因此找一个数对应相反数的数轴坐标时，首先确定这个数对应点到原点的距离，再在原点另一侧找到距离原点相同长度的点，该点对应的数就是原数的相反数。如果原数在数轴上标注为点A，那么只需过点A作原点的对称点，对称点对应的数就是点A对应数的相反数。 【典例15】如图，数轴上点A、、、表示的数中，表示互为相反数的两个点是（     ） A．点和点 B．点A和点 C．点和点 D．点A和点 【答案】D 【分析】一对相反数在数轴上的位置特点：分别在原点的左右两旁，并且到原点的距离相等． 【详解】解：点A和点分别在原点的左右两旁，到原点的距离相等， ∴它们表示的两个数互为相反数． 故选D． 【点睛】本题主要考查一对相反数在数轴上的位置特点，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【变式15-1】如图，点A，B表示的有理数互为相反数，则点B表示的数是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据互为相反数的两数之和为0，即可得解． 【详解】解：由图可知：点表示的数为：， ∵点A，B表示的有理数互为相反数， ∴点B表示的数是； 故选D． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数以及相反数．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键． 【变式15-2】．如图，数轴上表示数的相反数的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据的相反数的是判断即可． 【详解】解：的相反数的是， 在数轴上点表示的是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数和数轴，解题关键是求出的相反数的是． 【变式15-3】如图，数轴有四个点，其中表示互为相反数的点是（    ） A．点与点 B．点与点 C．点与点 D．点与点 【答案】C 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为相反数的点是点B和点C， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 【模块十六】相反数的简单计算 相反数简单计算的核心依据是相反数的基本性质：互为相反数的两个数相加和为0。计算时遵循基础规则：求任意一个数的相反数，只需改变这个数的符号，将原数前的正号改为负号、负号改为正号即可得到结果。若遇到带多重符号、绝对值或括号的题型，需要先按照运算法则化简原式得到确定结果，再求化简后结果的相反数，避免被原式的符号干扰出现计算错误；计算完成后也可以利用“两数和为0则互为相反数”的性质验证结果，保障计算准确。 【典例16】若a的相反数是，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数的性质和倒数的性质求解即可； 【详解】∵a的相反数是， ∴， ∴； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了相反数的性质和倒数的性质应用，准确计算是解题的关键 【变式16-1】如果与互为相反数，则_________. 【答案】0 【分析】根据相反数的性质，列出等式，即可得解. 【详解】由已知得， 解得 故答案为0. 【点睛】此题主要考查对相反数的理解，熟练掌握其性质，列出等式即可解题. 【变式16-2】已知多项式3x+6与多项式5﹣2x的值互为相反数，则x＝_____． 【答案】-11 【分析】根据相反数的意义：“和是0的两个数互为相反数”求解即可. 【详解】根据题意得：3x+6+5﹣2x＝0， 解得：x＝﹣11， 故答案为：﹣11． 【点睛】本题考查了相反数的意义，由此建立关于x的方程是解题的关键. 【变式16-3】若，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，则的值是（    ） A．0 B． C．或0 D．2 【答案】B 【分析】根据相反数、倒数的性质求出式子的值代入计算即可； 【详解】∵，互为相反数， ∴， ∵，互为倒数， ∴， ∵是最大的负整数， ∴， ∴． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，结合相反数，倒数的性质计算是解题的关键． 【模块十七】互为相反数求值 这类题目的核心考点是相反数的基本性质，我们牢记“互为相反数的两个数之和为0”这一关键结论，就能拿到解题的第一个突破口。如果题目还结合了倒数、特殊有理数的概念，我们再对应利用“互为倒数的两个数乘积为1”、最大负整数是-1、绝对值最小的有理数是0这些常用结论，逐步整理出已知条件后代入所求式子计算，就能轻松得到正确结果。 【典例17】已知有理数所表示的点与原点的距离为4个单位长度，互为相反数，且都不为零，互为倒数． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）或0 【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可； （2）根据相反数、倒数的性质算出相对应的值，带入求解即可； 【详解】（1）因为有理数所表示的点与原点的距离为4个单位长度 所以,的值为; （2）由题意可知:， 所以,， ， ， ， 当时,原式； 当时,原式； 综上所述,的值为或0． 【点睛】本题主要考查了相反数、绝对值、倒数的性质，准确计算是解题的关键． 【变式17-1】如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对面上的数字或代数式互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据正方体的表面展开图，找出相对面，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可知，与相对，与相对，与相对， 正方体中相对面上的数字或代数式互为相反数， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找出相对面是解题的关键． 【变式17-2】已知的相反数是，的相反数是，的相反数是，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数的概念求出x，y，z的值，代入x+y+z即可得到结果． 【详解】解：的相反数是， ， 的相反数是， ， 的相反数是， ， ． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），解决本题的关键是要熟练掌握相反数的概念． 【变式17-3】已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出a的相反数的位置． (2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？ 【答案】(1)数轴表示见解析； (2)a表示的数是﹣10； (3)b表示的数是5或15 【分析】（1）根据相反数的定义在数轴上表示出来即可； （2）根据题意列出方程，求出方程的解即可； （3）分为两种情况，列出算式，求出即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：根据题意可列式， ﹣a﹣a＝20， 解得a＝﹣10． 即a表示的数是﹣10． （3）解：∵﹣a＝10， 当b在﹣a的右边时，b表示的数是10+5＝15， 当b在﹣a的左边时，b表示的数是10﹣5＝5， ∴b表示的数是5或15． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，数轴上两点间的距离的应用，解题的关键是能根据题意列出算式和方程． 【模块十八】求数的绝对值 求一个数的绝对值，首先要判断这个数是正数、负数还是0：若这个数是正数，则它的绝对值等于它本身；若这个数是负数，则它的绝对值等于它的相反数；若这个数是0，则它的绝对值等于0。 【典例18】的绝对值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】先计算，根据绝对值的意义即可求解．正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：∵， ∴的绝对值是3， 故选：D． 【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【变式18-1】等于（    ） A．0 B．2022 C．1 D．－2022 【答案】D 【分析】根据求一个数的相反数和绝对值进行求解即可． 【详解】解：． 故选D 【点睛】本题考查了求一个数的相反数和绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【变式18-2】在有理数，2，0，，中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】先求出四个数的绝对值，然后再比较大小即可得出答案． 【详解】解：，，，，， ∵， ∴绝对值最小的数是0，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，有理数大小的比较，解题的关键是求出各个数的绝对值． 【变式18-3】下列各数中，最大的数是（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最大的数是； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小． 【模块十九】已知绝对值求数 已知绝对值求数时，要牢记绝对值的核心性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。因此满足条件的数共有两个，且二者互为相反数。解题时要注意题干给出的限定条件，若题目已经明确了所求数的正负范围，就可以排除不符合要求的解，得到唯一确定的答案，避免出现漏解或多解的错误。 【典例19】如果，那么（    ） A． B．或2 C． D．2 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 【变式19-1】如果，那么___． 【答案】 【分析】由于互为相反数的两个数的绝对值相等，由此即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了绝对值，解题关键是熟记绝对值的概念进行解答． 【变式19-2】若，则______． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴m=±7， 故答案为：±7． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 【变式19-3】．已知，互为相反数，且，则___________． 【答案】1或5/5或1 【分析】根据相反数的定义用m表示出n，去绝对值即可． 【详解】解：，互为相反数， 故n＋m＝0，n＝－m ＝4 2m＝，m＝ 故m＋3＝1或m＋3＝5 故答案为1或5． 【点睛】本题考查去绝对值和相反数的定义，理解掌握相关概念是解题的关键． 【模块二十】绝对值非负性应用 我们知道任意实数的绝对值都满足|x|≥0，即绝对值本身具有非负性，当若干个非负数相加和为0时，只有每一个非负数本身都等于0，等式才能成立。因此我们可以根据这个性质得到每一个绝对值内部的代数式都等于0，再将已经求得的a的值代入，即可依次算出其他未知量的值，最后代入所求代数式就能得到最终结果。 【典例20】若，则与的大小关系是（    ） A．与不相等 B．与互为相反数 C．与互为倒数 D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的非负性求解即可得． 【详解】解：∵且，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查绝对值的非负性，理解绝对值的非负性是解题关键． 【变式20-1】若，则a的值不可以是（   ） A．2 B．-5 C．0 D．-0.5 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质进行判断． 【详解】解：∵， ∴的值是非负数． ∵， ∴是非负数， ∴a是负数或零． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解决本题的关键是掌握绝对值的非负性． 【变式20-2】式子取最小值时，等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义可知，当时取得最小值，据此即可求解． 【详解】解：∵， 式子取最小值时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【变式20-3】下列一定是正数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正数大于零，以及绝对值的非负性，逐一进行判断即可． 【详解】A、可能小于0，可能等于0，也可能大于0，不一定是正数，不符合题意； B、∵，∴，可能小于0，可能等于0，也可能大于0，不一定是正数，不符合题意； C、，不一定是正数，也可能是0，不符合题意； D、∵，∴，一定是正数，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正数的定义以及绝对值的非负性．熟练掌握正数大于0，以及绝对值的非负性，是解题的关键． 【模块二十一】数轴三要素判断 判断一条直线是否为数轴，需要同时核查三个要素是否齐全，缺一不可：第一要确认是否规定了唯一的正方向，通常选取水平向右为默认正方向；第二要确认是否标注了原点，也就是表示数值0的基准点；第三要确认整条数轴上的单位长度是否统一一致，不存在刻度标准混乱的问题。只有三个条件同时满足，该直线才是符合要求的数轴，若任意一个条件不满足，都不能称之为规范的数轴。 【典例21】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，进行判断即可． 【详解】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大， ∴四个选项中只有选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴的定义．熟练掌握数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，是解题的关键． 【变式21-1】图中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的定义分析即可. 【详解】解：A，B，C的单位长度不一致，故所画的数轴不正确； D.具备数轴的三要素，故所画的数轴正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查了学生对数轴的掌握情况，数轴有三要素：原点、单位长度和正方向，任何一个条件都不能少，都必须体现在数轴上． 【变式21-2】下列说法正确的是（   ） A．有原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C．有些有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示 【答案】D 【分析】根据数轴的定义及意义，依次分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项可得， A、根据数轴的概念，有原点、正方向且规定了单位的直线是数轴，A错误，不符合题意； B．数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故选项B不符合题意； C．∵任意有理数都能在数轴上表示出来，故选项C不符合题意； D、∵任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了运用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【变式21-3】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】规定了原点、正方向以及单位长度的直线，叫做数轴，据此判断即可． 【详解】解： A．数轴单位长度不一致，因此选项A不符合题意； B．数轴数据标识不正确，因此选项B不符合题意； C．数轴符合数轴的定义，因此选项C符合题意； D．数轴数据标识不全、没有正方向，因此选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查数轴的概念，熟知数轴三要素是解题的关键． 【模块二十二】数轴上的点与数互化 这类题目的核心是掌握数轴的三要素，即原点、正方向与单位长度，理解每一个位置的点所对应数的实际含义。解题时，首先要先观察已知点的位置和标注，先确定原点位置与单位长度，再根据点在原点的左侧还是右侧，判断数的正负，最后结合单位长度计算出点对应数的具体值；反过来，要将给定的数标注在数轴上时，也要先根据数的正负确定点在原点的哪一侧，再数出对应的单位长度，就能准确标出点的位置。掌握这个方法，就能准确完成点与数的互化问题。 【典例22】如图，数轴上的点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设数轴上的点表示的数为，根据数轴的性质可得，由此即可得． 【详解】解：设数轴上的点表示的数为， 由数轴可知，， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 【变式22-1】如图，数轴的单位长度是1，若点A表示的数是，则点B表示的数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】直接利用数轴结合，B点位置进而得出答案． 【详解】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是， ∴点表示的数是：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，正确应用数形结合分析是解题关键． 【变式22-2】有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则是（    ） A．非负数 B．负数 C．正数 D．0 【答案】B 【分析】先根据数轴确定a的符号，再根据相反数的意义解答即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴的位置如图， 即是负数， 故选：B． 【点睛】本题考查的是有理数与数轴，相反数的意义，根据数轴确定的位置是解题的关键． 【变式22-3】如图，数轴上表示数的相反数的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据的相反数的是判断即可． 【详解】解：的相反数的是， 在数轴上点表示的是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数和数轴，解题关键是求出的相反数的是． 【模块二十三】求数轴上两点间距离的方法 若数轴上两个点分别对应实数A和B，那么两点之间的距离可直接用公式|xA - xB|计算，无论两个点在数轴上的左右位置如何，加上绝对值后都能得到正确的非负距离，不需要提前调整两个数的相减顺序。 如果题目只给出其中一个点对应的数，以及两个点之间的距离，要求另一个点对应的数，解题时一定要注意分情况讨论：待求点既可能在已知点的左侧，也可能在已知点的右侧，两种情况都需要考虑，不能只写出其中一种结果造成漏解。 【典例23】数轴上点M到原点的距离是6，则点M表示的数是（   ） A．6或-6 B．-6 C．6 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用数轴上的点与有理数的关系判断即可． 【详解】解：数轴上到原点的距离是6的点有6或-6， ∴M=6或M=-6， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可由数轴上的点表示，0可以用原点表示，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示． 【变式23-1】数轴上点A表示的数是2，那么与点A相距3个单位长度的点表示的数是______． 【答案】5或/-1或5 【分析】根据数轴上到一点距离相等的点有两个，可得答案． 【详解】设这个点表示的数是x， 则|x-2|= 3 x- 2=3或x-2=-3 x = 5或x=-1 故答案为：5或-1 【点睛】本题考查了实数与数轴，数轴上到一点距离相等的点有两个，以防遗漏． 【变式23-2】．在数轴上与-1对应的点相距4个单位长度的点所表示的数是（   ） A．-5 B．3 C．-3 D．-5或3 【答案】D 【分析】由数轴上两点间的距离解答，距离与方向无关，从两个方面讨论． 【详解】解：在数轴上与-1对应的点相距4个单位长度的点所表示的数是-5或3 故选：D． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离、用数轴上的点表示有理数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式23-3】已知点A和点B在同一条数轴上，点A表示的数是-2，又知点B和点A相距3个单位，则点B表示的数是（    ） A．-1或5 B．-5 C．1或-5 D．1 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：当点B在点A的右侧时；当点B在点A的左侧时，即可求解． 【详解】解：当点B在点A的右侧时，点B表示的数是-2+3=1； 当点B在点A的左侧时，点B表示的数是-2-3=-5； 综上所述，点B表示的数是1或-5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【模块二十四】数轴上找原点 主要可以分为两种常见解题思路：第一种是已知数轴上两个点所表示的具体有理数时，可以根据数轴两点间距离公式，设原点表示的数为x，结合原点到已知点的距离关系列方程求解，再对应到数轴上确定原点位置；第二种是仅知道两个点之间的距离，以及原点和两个点的位置距离关系时，需要用到分类讨论思想，分原点在两个点的左侧、原点在两个点之间、原点在两个点的右侧三种情况分别计算，验证后就能得到原点的准确位置。 【典例24】如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是（    ） A．2 B．1 C．−1 D．−2 【答案】C 【分析】根据题意：之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等，得出点表示的数为，点表示的数为，再结合数轴，即可得出点表示的数． 【详解】解：∵之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等， ∴点、表示的数的绝对值相等， ∵， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点在原点的左侧个单位长度处， ∴点表示的数为． 故选：C 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，能够通过题意确定数轴的原点是解本题的关键 【变式24-1】如图，数轴的单位长度为，如果点表示的数是，那么点表示的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上两点间的距离，进行计算即可解答． 【详解】解：点在点的右边，且距点共3个单位长度， 点表示的数， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． 【变式24-2】如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是（    ） A．2 B．1 C．−1 D．−2 【答案】C 【分析】根据题意：之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等，得出点表示的数为，点表示的数为，再结合数轴，即可得出点表示的数． 【详解】解：∵之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等， ∴点、表示的数的绝对值相等， ∵， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点在原点的左侧个单位长度处， ∴点表示的数为． 故选：C 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，能够通过题意确定数轴的原点是解本题的关键 【变式24-3】如图，数轴的单位长度为1，若点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据A、B所表示的数互为相反数可得原点的位置及对应的数，然后求解C即可． 【详解】解：∵由数轴的单位长度为1，点、所表示的数互为相反数，可得数轴的原点在点A和点B的中点处，而，之间的距离为6， ∴表示， ∴点C表示的数为； 故选C． 【点睛】本题主要考查数轴上数的表示及相反数，熟练掌握数轴上数的表示及相反数是解题的关键． 【模块二十五】找数轴对应整数点 核心步骤可梳理为四步： 第一步先定位原点，结合题目给出的相反数、两点距离等条件，先确定数轴上代表0的原点位置，这是找整数点的基础； 第二步确认单位长度，根据题干给出的数轴单位长度信息，明确每一格代表的实际数值； 第三步数格计算，从原点出发，原点右侧依次为1、2、3……正整数，原点左侧依次为-1、-2、-3……负整数，若目标点不是从原点出发，也可以借助“左减右加”的规律，根据已知点对应的数，结合目标点和已知点之间间隔的单位长度，计算出目标点对应的数值； 第四步判断结果，若计算得到的数值没有分数或小数部分，该点就是我们要找的对应整数点。如果题目要求找出符合特定范围的整数点，只需要按照这个方法逐个排查范围内的所有点即可。 【典例25】在数轴上表示和5.2之间的整数有（    ）． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】画出数轴，在数轴上找出和，进而可得出结论． 【详解】解：如图所示， 由图可知，数轴上和之间的整数有共8个． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，理解数轴的三要素是解题的关键． 【变式25-1】小明在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图的数值，判断墨迹盖住的整数共有（    ）个． A．11 B．9 C．10 D．8 【答案】B 【分析】根据题意结合数轴，知墨迹盖住的范围有两部分，即大于而小于，大于而小于，写出其中的整数即可． 【详解】解：结合数轴，得 墨迹盖住的整数共有，，，，，，，，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查数轴以及有理数，熟练掌握并弄清数轴上点表示的数是解答本题的关键． 【变式25-2】利用数轴判断，大于且小于3的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】画出数轴，观察大于且小于的所有整数，即可解答． 【详解】如图： 大于且小于的整数有：，，，，，， 共个， 故选：C 【点睛】本题考查了数轴，通过数轴上两点之间整数的求解，解题关键是熟练掌握整数，数轴等知识． 【变式25-3】小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设覆盖区域的数为，由数轴可知，，求出该范围内的整数即可求解． 【详解】解：设覆盖区域的数为， 由数轴可知，， 是整数， 的值为，，，，，， 墨迹盖住的整数共有个， ， 故选： D． 【点睛】本题考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上的点的特征是解题的关键． 【模块二十六】利用数轴比较数的大小 首先要将所有待比较的数先做化简，得到最终确定的结果后，再把每个数对应标注到数轴上，确定每个数对应的点所在位置。 由于数轴本身从左到右就是按照从小到大的顺序排列的，因此可以直接根据点的位置关系判断大小：数轴上位于左侧的点对应的数，一定小于右侧点对应的数。遇到带有参数、无法确定具体位置的数时，可以先根据题干给出的参数范围，确定数对应点在数轴上的大致区间，再结合区间位置比较大小，这种方法比纯代数推导更直观，能有效降低出错概率。 【典例26】在数轴上表示下列各数：．并用“<”把这些数连接起来． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据数轴上的点表示有理数的方法描点即可比较大小． 【详解】解：如图所示： 故． 【点睛】此题考查了在数轴上表示有理数，比较有理数的大小，正确掌握数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键． 【变式26-1】 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接： -3.5，，，4，0，2.5 【答案】数轴见解析，-3.5<<0<<2.5<4 【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”号连接起来即可． 【详解】解：如图： ， 由数轴可得：-3.5<<0<<2.5<4． 【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． 【变式26-2】将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把这些数连接起来．，0，，，2． 【答案】画图见解析；＜＜0＜2＜． 【分析】先把各数在数轴上表示出来，然后按照数轴上的点所表示的数从左到右依次增大即可比较大小． 【详解】解：把这些数在数轴上表示如图： ∴＜＜0＜2＜． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小特点是解题的关键． 【变式26-3】画出数轴且在数轴上表示下列各数，并把它们按照从小到大的顺序排列：3， ， -1.5，0，， 【答案】数轴及数轴上表示下列各数见解析， 【分析】先分别化简各数，再把各个数在数轴上画出表示出来，根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数，即可把各个数按由小到大的顺序用“＜”连接起来． 【详解】∵，， ∴在数轴上表示下列各数如图所示： 数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得： ． 【点睛】本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． 【模块二十七】利用绝对值比较大小的方法 比较两个负数的大小时，先分别求出两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最终根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”得到两个数的大小关系。对于任意两个有理数比较大小，可结合这一方法与数轴的性质总结出通用规律：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值更大的数更大。 【典例27】已知，，，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，，可得，，，据此判定即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则：正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．掌握有理数大小比较的法则是关键． 【变式27-1】下列四组有理数大小的比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数比较大小的方法：正数大于负数和0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小，进行求解即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、∵，∴，不符合题意； D、，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知有理数比较大小的方法是解题的关键． 【变式27-2】用“＞、＝、＜”符号填空：______. 【答案】＞ 【分析】根据两个负数比较大小其绝对值越大值越小进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知有理数比较大小的方法是解题的关键． 【变式27-3】比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先化简，然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出结论． 【详解】解：∵， ，， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是有理数的比较大小，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解决此题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】绝对值化简计算 按照绝对值的化简规则进行计算：先判断每个绝对值符号内代数式的正负性，再根据绝对值的性质“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”去掉绝对值符号，最后进行合并计算就能得到最终结果。 【典例28】已知，，且，则的值是（    ） A．-8 B．-2 C．-2或-8 D．2或-8 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义得到m＝±3，n＝±5，由于|m+n|＝m+n，则m+n>0，于是m＝3，n＝5或m＝﹣3，n＝5，然后分别代入m﹣n中计算即可． 【详解】解：∵|m|＝3，|m|＝5， ∴m＝±3，n＝±5， ∵|m+n|＝m+n， ∴m+n>0， ∴m＝3，n＝5或m＝﹣3，n＝5， ∴m﹣n＝﹣2或﹣8． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a． 【变式28-1】．_____． 【答案】1 【分析】首先分别判断和的正负情况，然后根据绝对值的性质进行解答即可． 【详解】解：， ． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【变式28-2】计算│-│+│-│+│-│-│-│=______. 【答案】0 【分析】先依据绝对值的性质化去绝对值符号，再依据有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】解：│-│+│-│+│-│-│-│ ＝ ﹣ + ﹣ + ﹣ ﹣（ ﹣ ） ＝﹣ + ﹣ + ﹣ ﹣ + ＝0 故答案为0． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． 【变式28-3】已知有理数满足，且，那么的值等于________． 【答案】0 【分析】根据非零有理数a，b，c满足：a+b+c=0，可判断出，a、b、c中负数的个数为1个或2个，然后分类化简即可． 【详解】解：∵非零有理数a，b，c满足：a+b+c=0，abc≠0 ∴a、b、c中负数的个数为1个或2个， 当a、b、c中负数的个数为1个时， 原式=-1+1+1+（-1）=0． 当a、b、c中负数的个数为2个时， 原式=-1+（-1）+1+1=0． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查的绝对值化简，确定a、b、c中负数的个数是解题的关键． 【微专题二】数轴结合绝对值 数轴结合绝对值是初中阶段考察绝对值知识点的核心题型，常见的题型主要有三类：第一类是给出数轴上各点的位置，要求去掉绝对值符号后化简代数式；第二类是已知一点在数轴上对应的数，以及该点和未知点的距离，结合绝对值求未知点对应的数；第三类是结合绝对值的几何意义，求解代数式的最值或满足条件的数的范围。 解答这类题目需要注意三个核心问题： 一是去绝对值符号前，必须先根据点在数轴上的位置，准确判断绝对值内部代数式的正负性，再根据绝对值的性质“正留负变”去掉绝对值符号，不能直接将每个字母直接改写为正数，忽略符号判断； 二是涉及求解未知点对应的数时，一定要分情况讨论，未知点既可能在已知点的左侧，也可能在已知点的右侧，避免出现漏解； 三是利用绝对值几何意义分析问题时，要牢记|x-a|的几何含义就是数轴上x对应的点与a对应的点之间的距离，结合点的位置变化规律分析即可。 【典例29】已知实数a，b在数轴上的位置如图，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以解答本题． 【详解】解：由数轴可得， ∵a<0，b>0， ∴｜a｜=-a，｜b｜=b， ∴-a-b. 故选D. 【点睛】本题考查绝对值，解答本题的关键是明确绝对值的意义． 【变式29-1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（ ） A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b 【答案】C 【详解】试题分析：观察数轴可得a＞0，b＜0，所以则|a|﹣|b|=a﹣（﹣b）=a+b．故答案选C． 考点：数轴；绝对值. 【变式29-2】有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足，则b的值不可能是（    ） A．－3 B．－1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据数轴上的位置得：，因为，所以b的值可能为：-1，0，2，即可得． 【详解】解：根据数轴上的位置得：， ∵， ∴b的值可能为：-1，0，2， 则b的值不可能是-3， 故选A． 【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数． 【变式29-3】已知有理数，数轴上的位置如图所示，则下列关系不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的特点，从左到右，数字依次增大，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，，， ∴选项，，正确，不符合题意； 选项，，正确，不符合题意； 选项，，取特殊值法得，正确，不符合题意； 选项，，，错误，符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查有理数与数轴的关系，利用数轴比较有理数的大小，绝对值的性质，掌握数轴的特点，有理数比较的大小的方法，绝对值的性质是解题的关键． 【微专题三】有理数大小比较的实际应用 这类问题通常结合生活场景中的实际量设置题目，比如不同城市的气温对比、不同地点海拔高低对比、经营活动中的盈亏对比等，解题时第一步需要先结合题意，将场景中描述的实际量转化为对应的有理数，再遵循有理数大小比较的规则进行排序比较：正数大于0，0大于一切负数，两个负数比较时，绝对值更大的负数反而更小，最终根据比较结果就能解答题目提出的对应问题。 【典例30】．下面是我省四个地市2017年12月份的日均最低温度：﹣10℃（太原），﹣14℃（大同），﹣5℃（运城），﹣8℃（吕梁）．其中日均最低温度最高的是（　　） A．吕梁 B．运城 C．太原 D．大同 【答案】B 【详解】分析：根据负数大小比较原则：绝对值大的反而小得出结论． 详解：最低温度从小到大排列为：-14＜-10＜-8＜-5， 所以最高为：-5℃（运城）， 故选B． 点睛：本题主要考查了有理数的大小比较，属于基础题型，熟练掌握两个负数大小比较原则． 【变式30-1】．下表是几种液体在标准大气压下的沸点，则沸点最低的液体是（    ） 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氨 沸点/℃ －183 －253 －196 －268.9 A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氨 【答案】D 【分析】根据有理数比较大小的办法，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】详解：∵， ∴， ∴沸点最低的液体是液态氨． 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知有理数比较大小的方法是解题的关键． 【变式30-2】下表记录了某日我国几个城市的平均气温： 北京 西安 哈尔滨 上海 广州 （1）将各城市的平均气温从高到低进行排列； （2）在地图上找到这几个城市的位置，并将它们从北到南进行排列． 【答案】（1）、、、、；（2）哈尔滨、北京、西安、上海、广州 【分析】（1）先画数轴将各地区的平均气温表示在数轴上，通过两数之间的大小关系，当 a<b时，在数轴上反映为表示数 a的点在表示数 b的点的左边，判断即可； （2）在地图上，找出各个城市，根据其纬度的大小关系确定其由北到南的顺序． 【详解】解：（1）将各地区的平均气温表示在数轴上，如下图： 各城市的平均气温从高到低排列为：、、、、； （2）在地图上，由北到南依次为哈尔滨、北京、西安、上海、广州． 【点睛】此题考查有理数与数轴上的点的对应关系，并且要通过数轴比较大小，属于基础题，熟练掌握基础知识是解题关键． 【变式30-3】在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ 【答案】(1)张兵和蔡伟做的合乎要求 (2)蔡伟做的质量最好；李明做的较差 【分析】（1）绝对值大于0.02的就都是不合格的，所以张兵、蔡伟合格； （2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟最好、李明最差． （1） 解：，，，，，， ，，，，，， ∵直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为符合要求，张兵的是−0.017，蔡伟的是−0.011不超过0.02毫米的误差， ∴张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的； （2） 解：， ∴6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王芳、李明， ∴蔡伟做的质量最好，李明同学做的质量最差， 答：蔡伟做的质量最好；李明做的较差． 【点睛】本题考查正数与负数的实际运用，涉及绝对值运算，弄清题意是解本题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】数轴动点基础题 核心第一步是先用含运动时间t的代数式表示出动点在任意时刻对应的数：先确定动点的起始位置对应的数，再结合运动速度与方向，依据前文提到的“左减右加”规律写出表达式——若动点从对应数为a的位置出发，以v个单位长度每秒的速度向右运动，则t秒后该动点对应的数为若向左运动，则对应数为。 接下来根据题目要求的位置关系，结合数轴两点间距离公式，列出距离关于t的代数式：若存在两个动点，分别对应数x1t和x2t，则两点间距离为|x1t-x2t|。 最后结合题目给定的距离条件、位置关系列出方程或不等式，求解后还要验证结果是否在题目限定的运动时间范围内，舍去不符合实际运动过程的增根即可得到最终答案。 【典例31】如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次的移动游戏规则如下：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正另一面是反，而后根据所猜结果进行移动． ①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位； ②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位． (1)若第一次移动游戏，甲、乙两人都猜对了，则甲、乙两人之间的距离是_______________个单位； (2)若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m．请你用含n的代数式表示m； (3)经过_______________次移动游戏，甲、乙两人相遇． 【答案】(1)6 (2) (3)4 【分析】（1）利用规则可知甲乙都对两人移动后两人的距离缩短2个单位，甲对乙错两人移动后两人的距离缩短2个单位，由此可得结论； （2）根据乙猜对n次，则甲猜对 次，利用平移规则即可推算出结果； （3）由题意可得开始时两人相距8个单位，根据情况推算3种情况缩小的距离即可得到结果． 【详解】（1）解：∵甲、乙两人（看成点）分别在数轴 和5的位置上， ∴甲乙之间的距离为8， ∵若甲乙都对，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位， ∴移动后甲乙的距离缩小2个单位， ∴移动后甲乙的距离为： 个单位)； （2）解：由题意可得， 乙猜对n次，则乙猜错 次， 则有： ； （3）解：由题意可得， ∵若甲乙都对，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位， ∴移动后甲乙的距离缩小2个单位， ∵若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位， ∴移动后甲乙的距离缩小2个单位， ∵若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位， ∴移动后甲乙的距离缩小2个单位， ∵甲乙之间的距离为8， ∴甲、乙两人相遇要经过： （次）． 【点睛】本题主要考查了列代数式，数轴，本题是动点型题目，找出移动后甲乙距离变化的规律是解题的关键． 【变式31-1】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为－10，，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发） (1)数轴上点B对应的数是______． (2)经过几秒，点M、点N重合？ 【答案】(1)30 (2)10 【分析】（1）根据点A表示的数为－10，OB＝3OA，可得点B对应的数； （2）点M、点N重合时，即点M追上点N，此时两点在数轴上的运动路程之差为10，以此列式即可求出． （1） 解：OB＝3OA＝30． 故B点对应的数是30． （2） 点M、点N重合时，此时两点在数轴上的运动路程之差为10， 设时间为t秒，则有 3t－2t＝10 解得：t＝10 故经过10秒，点M、点N重合． 【点睛】此题主要考查了一元一方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【变式31-2】如图1，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q．如图2，先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示-2014的点与圆周上重合的点对应的字母是（    ） A．m B．n C．p D．q 【答案】A 【分析】从0到-2014共2015个数，与圆周上重合的点对应的字母按p，q，m，n的顺序循环，通过循环即可找出表示-2014的点与圆周上重合的点对应的字母． 【详解】解：由题可知，从0到-2014共2015个数，与圆周上重合的点对应的字母按p，q，m，n的顺序循环 ∴表示-2014的点与圆周上重合的点对应的字母是m 故选：A． 【点睛】本题考查了数字循环问题，找出是每4个一循环是解题关键．易错点：0到-2014共2015个数，容易漏掉0． 【变式31-3】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（    ） A．1011 B． C．505 D． 【答案】A 【分析】先得到前四次蚂蚁到达的位置，依此类推得到一般性规律，即可得到结果． 【详解】解：蚂蚁第一次到达的位置为1， 蚂蚁第二次到达的位置为-1， 蚂蚁第三次到达的位置为2， 蚂蚁第四次到达的位置为-2， …… 依此类推，第2n-1次到达n， 第2n次到达-n， 故第2021次到达1011． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点间的距离，弄清题中的规律是解本题的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.向东走，记为，那么走，表示（    ） A．向南走 B．向东走 C．向西走 D．向北走 【答案】C 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可． 【详解】解：由题意知：向东走为“+”，则向西走为“”，所以表示向西走， 故选：C． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2．下列说法错误的是（    ） A．0既不是正数，也不是负数 B．零上4摄氏度可以写成，也可以写成 C．若盈利100元记作元，则元表示亏损20元 D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示 【答案】D 【分析】根据0的特征、正负数的意义和相反意义的量进行判断即可． 【详解】解：A．0既不是正数，也不是负数，故选项正确，不符合题意； B．零上4摄氏度可以写成，也可以写成，故选项正确，不符合题意； C．若盈利100元记作元，则元表示亏损20元，故选项正确，不符合题意； D．规定向正北走用正数表示，向正南走才用负数表示，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了0的特征、正负数的意义和相反意义的量，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 3.如图，数轴的单位长度是1，若点A表示的数是，则点B表示的数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】直接利用数轴结合，B点位置进而得出答案． 【详解】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是， ∴点表示的数是：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，正确应用数形结合分析是解题关键． 4.数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（　　） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据绝对值的几何意义，数轴上到原点的距离是5的点有2个，就是M点表示的数的绝对值等于5即可求解． 【详解】解：数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和﹣5，则M表示5或﹣5． 故选：C． 【点睛】本题考查数与数轴，绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5.用符号语言表述“负数的绝对值等于它的相反数”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设一个负数为，则它的绝对值为，它的相反数为，由此即可得到答案． 【详解】解：设一个负数为，则它的绝对值为，它的相反数为， ∴用符号语言表述“负数的绝对值等于它的相反数”是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了绝对值和相反数，熟知二者的定义是解题的关键． 二 填空题 6.把下列各数分别填入相应的集合里． 0， ， 5， 3.14， π， -3， ． （1）整数集合：  {　 　 ……}； （2）分数集合：  {　 　 ……}； （3）有理数集合：{　 　 ……}； （4）非负数集合：{　 　 ……}． 【答案】（1）0，5，﹣3；（2），3.14，；（3）0，，5，3.14，﹣3，；（4）0，5，3.14，π， 【分析】（1）整数分正整数、负整数和0，据此解答； （2）分数分正分数与负分数，据此填写即可； （3）有理数分整数和分数，据此填写即可； （4）非负数分0和正数，据此解答． 【详解】解：（1）整数集合：{0，5，﹣3，……}； （2）分数集合：{，3.14，，……}； （3）有理数集合：{0，，5，3.14，﹣3，，……}； （4）非负数集合：{0，5，3.14，π，，……}． 【点睛】本题考查了有理数的分类，属于基础知识题型，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 7.若与互为相反数，则代数式 ． 【答案】 【分析】根据相反数的性质解决此题． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相反数的定义．熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键． 8.若，则 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值与平方的非负性，求得，的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质，代数式求值，求得，的值是解题的关键． 9. 如图，数a在原点的右边，则a、、0的大小关系是 （用小于号连接） 【答案】 【分析】根据数轴上的点所代表的数，右边比左边的大，即可得解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴， 【点睛】本题考查比较有理数的大小．熟练掌握数轴上的点所代表的数，右边比左边的大，是解题的关键． 10.大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．数轴上表示x与﹣2的两点之间的距离为5，则x的值是 ． 【答案】3或 【分析】根据绝对值的意义和数轴的性质可得，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 即或， 解得或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、一元一次方程的应用，熟练掌握绝对值的意义和数轴的性质是解题关键． 三解答题 11.把下列各数填入相应的集合里： ，，，，，，，，，，，. （1）正数集合：{____________…}； （2）负数集合：{____________…}； （3）正整数集合：{____________…}； （4）负整数集合：{____________…}； （5）非负数集合：{____________…}． 【答案】（1） 正数集合：4.3，+72，，0.4，，26； （2）−3.14，−6，−7.3，−12，−； （3）+72，26； （4）−6，−12； （5）4.3，+72，0，，0.4，，26． 【分析】根据有理数的分类，按照正数、负数、正整数、负整数、非负数，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：（1）正数集合：{4.3，+72，，0.4，，26…}； 故答案为：4.3，+72，，0.4，，26； （2）负数集合：{−3.14，−6，−7.3，−12，−…}； 故答案为：−3.14，−6，−7.3，−12，−； （3）正整数集合：{+72，26…}； 故答案为：+72，26； （4）负整数集合：{−6，−12…}； 故答案为：−6，−12； （5）非负数集合：{4.3，+72，0，，0.4，，26…}． 故答案为：4.3，+72，0，，0.4，，26． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 12若，求、的值． 【答案】， 【分析】根据绝对值的非负性即可求出、的值． 【详解】解：由题意得，，， 解得，． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，熟知当几个数或式的绝对值相加和为时，则其中的每一项都必须等于是解题的关键． 13.把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“ ”连接起来． ． 【答案】，见解析 【分析】先利用数轴表示数的方法表示出7个数，然后利用数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可． 【详解】解：， 在数轴上表示各数如图所示： 它们的大小关系为：． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的大小比较、绝对值、相反数等知识点，能正确在数轴上表示各个数是解此题的关键，且要注意在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 14.同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求|4﹣（﹣2）|=_____； （2）若|x﹣2|=5，则x=_____； （3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|=3． 【答案】（1）6；（2）7或﹣3（3）x=﹣2或﹣1或0或1 【详解】试题分析：根据题意给出的定义即可求出答案． 试题解析：（1）原式=6； （2）∵|x﹣2|=5， ∴x﹣2=±5， ∴x=7或﹣3； （3）由题意可知：|1﹣x|+|x+2|表示数x到1和﹣2的距离之和， ∴﹣2≤x≤1， ∴x=﹣2或﹣1或0或1． （2022秋•江阴市期中） 15（学过有理数减法的尝试做一下）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A′落在射线CB上，并且A′B＝6，求C点表示的数 【答案】1或﹣5 【分析】设点C所表示的数为x，则AC＝x﹣（﹣14）＝x+14，根据A′B＝6，B点所表示的数为10，可得A′表示的数为16或4，从而得到AA′＝30或AA′＝18，再由折叠可得：AC＝AA′，从而得到关于x的方程，即可求解． 【详解】解：设点C所表示的数为x，则AC＝x﹣（﹣14）＝x+14， ∵A′B＝6，B点所表示的数为10， ∴A′表示的数为10+6＝16或10﹣6＝4， ∴AA′＝16﹣（﹣14）＝30或AA′＝4﹣（﹣14）＝18， 根据折叠得，AC＝AA′， ∴x+14＝×30或x+14＝×18， 解得：x＝1或﹣5， 【点睛】本题主要考查了数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $