精品解析：2024年河南省洛阳市汝阳县 九年级中考第一次模拟考试数学试题

汝阳县2024年中招第一次模拟考试 数学试题 （考试时间100分钟，满分120分） 参考公式：二次函数 图像的顶点坐标，即 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，只有一个是正确的，将正确的选项代码填入括号中．） 1. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式中的被开方数都必须是非负数，由此得到，即可求出x的取值范围． 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴解得． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2. 下列调查项目中：①了解某班50名学生的体重情况；②选出某校短跑最快的学生参加全市比赛；③调查中央电视台新闻联播的收视率；④调查某批次汽车的抗撞击能力．适宜抽样调查的项目是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查；根据抽样调查和全面调查的特点逐项判断即可； 【详解】解：①了解某班50名学生的体重情况，涉及人数较少，适合全面调查，不符合题意； ②选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，涉及人数较少，适合全面调查，不符合题意； ③调查中央电视台新闻联播的收视率，涉及人数较多，适合抽样调查，符合题意； ④调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，适合抽样调查，符合题意； 故答案为：C． 3. 如图，以点O为位似中心，将△DEF放大后得到△ABC，已知OD=1，OA=3．若△DEF的面积为S，则△ABC的面积为（ ） A. 2S B. 3S C. 4S D. 9S 【答案】D 【解析】 【分析】首先由OD=1，OA=3，求出△DEF和△ABC的位似比为1：3，进而得到相似比为1：3，即可根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积． 【详解】解：∵OD=1，OA=3， ∴△DEF和△ABC的位似比为1：3， ∴△DEF和△ABC的相似比为1：3， ∴，即， ∴， ∴△ABC的面积为． 故选：D． 【点睛】此题考查了位似三角形的性质，相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握位似三角形的性质．位似三角形的位似比等于相似比．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的相似比等于对应高的比，对应角平分线的比以及对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方． 4. 在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（ ） A. 向右平移3个单位长度，向上平移5个单位长度 B. 向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度 C. 向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度 D. 向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；根据平移的规律即可求出平移方法； 【详解】解：， 平移方法为向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度． 故选：B． 5. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键；根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ； 故选：C． 6. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 其图像开口向左 B. 其最小值为20 C. 当时随增大而减小 D. 其图像的对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式得出开口向上，最小值，对称轴以及增减性，即可求解． 【详解】解：关于的图象， ，则抛物线开口向上，对称轴为直线，最小值为，当时随增大而增大， 故选：D． 7. 如图中，不规则小图形是一座山的地形图．现施工队沿方向开山修路，而且要在小山的另一边同时施工．在上取一点，使得．已知米，，点，，在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，用到的知识点是邻补角的定义和余弦定理，判断出是直角三角形是解题的关键．根据邻补角的定义求出，然后判断出是直角三角形，再根据余弦列出算式，求出点离点的距离即可． 【详解】解：， ， 是直角三角形， 米， 开挖点离点的距离米． 故选：A 8. 物理学中，电源、电奵、开关形成闭合回路，电灯新会发光．如图，电路图上有4个开关、、、和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下，只闭合2个开关的操作下，“小灯泡发光”是随机事件，其概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解即可； 【详解】画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有共4种， 小灯泡发光的概率为； 故选：C． 9. 如图，为的直径，与相切于点．交的延长线于点，若，，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．连接，，求出，证明是等边三角形，求出，得到，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵为的直径，与相切于点C ，， ∴，，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：A． 10. 图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．如图所示，已知二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据所给的图像，可得、、的正负，再根据抛物线的对称性与增减性逐一判断即可． 【详解】解：根据图像可得：，， ，故①正确； 当时，，故②正确； 抛物线的对称轴在直线和轴之间， ， 则，故③正确； 当时，函数值小于零，则； 当时，函数值大于零，则； ， 即， ， ，故④正确； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是二次函数顶点坐标式的应用．把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：把二次函数化为顶点式为：； 顶点坐标为：． 故答案为：． 12. 化简______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟记“”是解题关键．直接利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2024． 13. 如图，、、是半径为3的上的三点，已知，则劣弧的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理和弧长计算方法可以得到解答． 【详解】解：∵∠C=30°，∴∠O=60°， ∴劣弧 AB 的长为：， 故答案为． 【点睛】本题考查圆的应用，熟练运用圆周角定理及弧长计算方法求解是解题关键． 14. 现有一副三角板，即含的和含的，如图放置，点在上滑动，交于，交于，且在滑动过程中始终保持在线段上，且．若，设，的面积为y，则y关于的函数表达式是______．（结果化为一般式，不必写x的取值范围．） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，涉及的知识点有三角函数，全等三角形的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以分别用含x的代数式表示出点F到边的高和的长，从而可以表示出的面积． 【详解】过F作于点H， ， ，， ， 关于的函数表达式是， 故答案为：． 15. 在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若cos∠BAD=，BD=，则CD的长为__________． 【答案】1或5 【解析】 【分析】分两种情况：①若△ABC为锐角三角形，在Rt△ABD中由cos∠BAD＝，可设AD＝2x，AB＝3x，结合BD的长根据勾股定理列方程，求得x的值后即可得AB＝AC＝3，AD＝2，由CD＝AC−AD得出答案；②若△ABC为钝角三角形，同理可得AD＝2，AB＝AC＝3，由CD＝AC＋AD得出答案． 【详解】解：①如图1，若△ABC为锐角三角形， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵cos∠BAD＝， ∴设AD＝2x，AB＝3x， ∵AB2＝AD2＋BD2， ∴9x2＝4x2＋5， 解得：x＝1或x＝−1（舍）， ∴AB＝AC＝3x＝3，AD＝2x＝2， ∴CD＝AC−AD＝1； ②如图2，若△ABC为钝角三角形， 同理可得，AD＝2，AB＝AC＝3， ∴CD＝AC＋AD＝5， 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是根据三角形的形状分类讨论． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的运算， （1）先进行二次根式的化简，然后合并； （2）分别将特殊角的三角函数值代入，然后化简求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 已知等边内接于，为弧的中点，连接、，过作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：与相切； （2）若，求的边长． 【答案】（1） 证明：连接，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 与相切． （2）6 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质： （1）连接，，由等边三角形的性质可得，求出，则，结论得证； （2）由条件可得，，可求出，进而可求解； 解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是圆的内接四边形， ， ． 是的中点， ， ， ， ， 即：的边长为6． 18. 某商场今年年初以每件元的进价购进一批“网红”商品．当商品售价为元时，一月份销售件，三月份销售3240件．设二月和三月该商品销售的月平均增长率相等． （1）求二月和三月该商品的月平均增长率； （2）从四月初起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为 （2）当商品降价1元时，商品获利元． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：件，由此等量关系列出方程求出的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价元时，商品获利元， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）． 答：当商品降价1元时，商品获利元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 19. 某校组织七、八年级学生参加厂“科教兴国、强国在我”科普知识竞赛．现该校从七、八年级学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为五组：，，，），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89． 根据以上信息，解答下列问题： 七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 87 86 八年级 87 89 （1）直接写出图表中、、的值：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1）86，88，30 （2） 八年级的学生掌握科普知识较好．理由如下： 七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的中位数大， 所以八年级的学生掌握科普知识较好． （3）两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有290人 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数、众数的定义可得答案． （2）根据平均数、中位数的意义可得结论． （3）根据用样本估计总体，用400乘以七年级成绩达到90分及以上的百分比加上500乘以八年级成绩达到90分及以上的百分比即可得出答案． 【小问1详解】 由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为86， ． 八年级20名学生的成绩在组中的人数为（人）， 在组中的人数为（人）， 将八年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的为87，89， ， 八年级20名学生的成绩在组中的人数为（人）， ， 故答案为：86，88，30； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）． 两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有290人． 20. 目前，我国的太空站是世界上仅有的两个太空站之一，它为我国的科学实验提供了极大的支持．2023年5月，“神舟十六号”载人飞船成功把三名航天员送入到我国空间站，为了观察飞船的发射情况，科学家预设了两个飞船上升位置与．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为，后飞船到达点时，测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从点到点的平均速度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2）飞船从处到处的平均速度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质得到，再结合等腰直角三角形即可得到结论； （2）由（1）可知，，再结合，根据速度路程时间即可求解． 【小问1详解】 解：在中， ，，． ，． 在中，， ， ． 【小问2详解】 在中，， 在， ， ， 飞船从处到处的平均速度． 21. 如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上． （1）求证：， （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质证明即可； （2）由，可得，设，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，由相似可得，再由三角函数求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， 设，则， ， 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是综合运用以上知识解决问题． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点． （1）求抛物线表达式中的、； （2）点是直数上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，请直接写出新抛物线的表达式______． 【答案】（1）， （2）取得最大值为，此时． （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式： （1）利用待定系数法即可求解； （2）延长交轴于，根据题意求得直线的解析式为，，设点，则，，证得是等腰直角三角形，从而求得，即可求解； （3）先求得，根据由抛物线，向右和向下分别平移2个单位长度得到，进而可求解； 掌握待定系数法求函数解析式及利用数学结合是解题的关键． 【小问1详解】 解：抛物线交于和， ， 解得：． 【小问2详解】 延长交轴于，如图： ，， 直线的解析式为，， 轴， 轴， ， ， ， ， ， ， 设点，则，， ，， ， 的最大值为，此时点的坐标为． 【小问3详解】 ，， ， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线， 由抛物线，向右和向下分别平移2个单位长度得到， ， 故答案为：． 23. 同学们，“在同一个圆中，同弧对的圆周角相等”，这个命题的逆命题是“在一条线段的同侧，若干个点对线段两端点张角相等，那么这些点与线段的两端是共圆的”．这是真命题．如右图，若，则、、、共圆．这个命题可以解决很多问题． （1）如图1，和均为正三角形，、、三点共线，的度数是______，线段、之间的数量关系是______． （2）如图2，在等腰直角和等腰直角中，，、、三点共线，线段、交于点．求出的度数． （3）如图3所示，在中，，，，连接，，将绕点逆时针方向旋转，当所在直线与直线交于点时，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据正三角形的性质可证明，得到，，进而判断出，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证明，得到，，即可求解； （3）分两种情况，根据相似三角形的判定与性质以及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：和均为正三角形， ，，，， ，即， 在和中， ， ， ，， 、、三点共线， ， ， ， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 和均为等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ，， ， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 ①当直线在直线下方时，如图4， ，， 是的中位线，，， ，，， 在中，， ，， ， ， 由旋转得：， ， ，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ； ②当直线在直线上方时，如图5， 同①得：，则，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汝阳县2024年中招第一次模拟考试 数学试题 （考试时间100分钟，满分120分） 参考公式：二次函数 图像的顶点坐标，即 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，只有一个是正确的，将正确的选项代码填入括号中．） 1. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列调查项目中：①了解某班50名学生的体重情况；②选出某校短跑最快的学生参加全市比赛；③调查中央电视台新闻联播的收视率；④调查某批次汽车的抗撞击能力．适宜抽样调查的项目是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 3. 如图，以点O为位似中心，将△DEF放大后得到△ABC，已知OD=1，OA=3．若△DEF的面积为S，则△ABC的面积为（ ） A. 2S B. 3S C. 4S D. 9S 4. 在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（ ） A. 向右平移3个单位长度，向上平移5个单位长度 B. 向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度 C. 向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度 D. 向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度 5. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 其图像开口向左 B. 其最小值为20 C. 当时随增大而减小 D. 其图像的对称轴为直线 7. 如图中，不规则小图形是一座山的地形图．现施工队沿方向开山修路，而且要在小山的另一边同时施工．在上取一点，使得．已知米，，点，，在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 物理学中，电源、电奵、开关形成闭合回路，电灯新会发光．如图，电路图上有4个开关、、、和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下，只闭合2个开关的操作下，“小灯泡发光”是随机事件，其概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，与相切于点．交的延长线于点，若，，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．如图所示，已知二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 12. 化简______． 13. 如图，、、是半径为3的上的三点，已知，则劣弧的长为______． 14. 现有一副三角板，即含的和含的，如图放置，点在上滑动，交于，交于，且在滑动过程中始终保持在线段上，且．若，设，的面积为y，则y关于的函数表达式是______．（结果化为一般式，不必写x的取值范围．） 15. 在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若cos∠BAD=，BD=，则CD的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．） 16. 计算： （1） （2）． 17. 已知等边内接于，为弧的中点，连接、，过作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：与相切； （2）若，求的边长． 18. 某商场今年年初以每件元的进价购进一批“网红”商品．当商品售价为元时，一月份销售件，三月份销售3240件．设二月和三月该商品销售的月平均增长率相等． （1）求二月和三月该商品的月平均增长率； （2）从四月初起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 19. 某校组织七、八年级学生参加厂“科教兴国、强国在我”科普知识竞赛．现该校从七、八年级学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为五组：，，，），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89． 根据以上信息，解答下列问题： 七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 87 86 八年级 87 89 （1）直接写出图表中、、的值：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 20. 目前，我国的太空站是世界上仅有的两个太空站之一，它为我国的科学实验提供了极大的支持．2023年5月，“神舟十六号”载人飞船成功把三名航天员送入到我国空间站，为了观察飞船的发射情况，科学家预设了两个飞船上升位置与．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为，后飞船到达点时，测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从点到点的平均速度．（结果精确到，参考数据：） 21. 如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上． （1）求证：， （2）若，求的值． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点． （1）求抛物线表达式中的、； （2）点是直数上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，请直接写出新抛物线的表达式______． 23. 同学们，“在同一个圆中，同弧对的圆周角相等”，这个命题的逆命题是“在一条线段的同侧，若干个点对线段两端点张角相等，那么这些点与线段的两端是共圆的”．这是真命题．如右图，若，则、、、共圆．这个命题可以解决很多问题． （1）如图1，和均为正三角形，、、三点共线，的度数是______，线段、之间的数量关系是______． （2）如图2，在等腰直角和等腰直角中，，、、三点共线，线段、交于点．求出的度数． （3）如图3所示，在中，，，，连接，，将绕点逆时针方向旋转，当所在直线与直线交于点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $