精品解析：2024年辽宁省大连市沙河口区一模数学试题

2024年辽宁省大连市沙河口区一模数学试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个实数中，比小的数是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 如图所示放置茶杯，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 4. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（ ） A. 小于 B. 大于 C. 小于 D. 大于 10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A. B. C. 3 D. 第二部分 非选择题 （共90分） 二、填空题（本题共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：=__________ 12. 要使分式有意义，的取值应满足_____________． 13. 一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为______． 14. 如图，将矩形纸片对折，使边与与分别重合，展开后得到四边形． 若，则四边形的面积为__________． 15. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共 75分． 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程 16. （1）计算：． （2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解： 第一步， 第二步， 第三步， 第四步， 第五步， 检验：当时，． 第六步， 所以，是原方程的根 第七步． 任务一：以上解方程步骤中，第 是错误的； 任务二：请直接写出该分式方程的正确结果． 17. 某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加到51.2万辆． （1）求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； （2）若按此平均年增长率，请预估该品牌新能源汽车2024年销售量． 18. 据统计，数学家群体是一个长寿群体，在《数学家传略辞典》书中收录约2200位数学家的年龄，其中大约有200人在90岁以上．某研究小组随机抽取了收录的部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下： 年龄范围（岁） 人数（人） 25 ■ □ 11 10 m （1）填空：m的值 ；该小组共统计了 名数学家的年龄； （2）调查的数学家群体中，哪个年龄范围的长寿数学家最多； （3）请预估《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数． 19. 因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图实线所示，不超过按15元来结算费用；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图y2实线所示． （1）求与x之间的函数解析式； （2）现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 20. 如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到． 参考数据：） 21. 如图，已知内接于，的延长线交于点E，交的切线于点D，且点A是的中点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系? 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． （1）请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； （2）某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； （3）如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上? 23. 【发现问题】在数学活动课上，同学们研究两个正三角形位置关系时，发现某些连线之间总存在某种特定的关系． 【问题探究】如图1，在正和正中，点A和点E重合，点C与点F重合，所以，； 【类比分析】 （1）如图2，点E在上，点C与点F重合，求证：； 【学以致用】 （2）点E在上，连接，以为边向上作正． ①如图3，点F在上，当点D、E在异侧，求的值； ②点F在上，当点D、E在同侧，，请利用备用图，画出图形，求的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的前提下，如图4，点F在上，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年辽宁省大连市沙河口区一模数学试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个实数中，比小的数是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：A．﹣2＜﹣1，故正确； B．0＞﹣1，故本选项错误； C．1＞﹣1，故本选项错误； D．2＞﹣1，故本选项错误； 故选A． 考点：有理数大小比较． 2. 如图所示放置茶杯，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据俯视图的定义，即可得出答案，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形是解题的关键． 【详解】如图所示的正三棱柱的俯视图是： ， 故选：D． 3. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 故的值可选5， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键． 4. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据去括号法则判断A；根据完全平方公式判断B；根据合并同类项法则判断C；根据积的乘方法则判断D即可． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B．，计算错误，不符合题意； C．，，计算错误，不符合题意； D． ，计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了去括号法则，合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式等知识，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 7. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 8. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程． 【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则碳水化合物含量为， 则：，即， 故选A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 9. 如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（ ） A. 小于 B. 大于 C. 小于 D. 大于 【答案】A 【解析】 【分析】根据压力压强受力面积之间的关系即可求出答案. 【详解】解：假设为， 为， . ， . 故选：A. 【点睛】本题考查的是反比例函数值的取值范围，解题的关键是要知道压力压强受力面积之间的关系以及越大，越小 10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ∵， ∴， 则， 故正十二边形的面积为， 圆的面积为， 用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键． 第二部分 非选择题 （共90分） 二、填空题（本题共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：=__________ 【答案】 【解析】 【详解】解： 故答案为： 12. 要使分式有意义，的取值应满足_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，从而得到，求解即可得到答案． 【详解】解：要使分式有意义，的取值应满足，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件：分母不为零是解决问题的关键． 13. 一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 由题意及概率公式用红球的个数除以总球数进行求解． 【详解】有2个红球和5个白球， 从袋中摸出一个球是红球的概率为：， 故答案为：． 14. 如图，将矩形纸片对折，使边与与分别重合，展开后得到四边形． 若，则四边形的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定等知识点，根据矩形的性质，得出，．根据折叠可知，，，推出，则，推出四边形是菱形．由题意得，，则四边形的面积，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 由题意，得，， ∴四边形的面积． 故答案为：4． 15. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可． 【详解】解：当时， ∵四边形矩形， ∴，则， 由平行线分线段成比例可得：， 又∵M为对角线的中点， ∴， ∴， 即：， ∴， 当时， ∵M为对角线的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵四边形矩形， ∴，则， ∴ ∴， 综上，的长为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共 75分． 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程 16. （1）计算：． （2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解： 第一步， 第二步， 第三步， 第四步， 第五步， 检验：当时，． 第六步， 所以，是原方程的根 第七步． 任务一：以上解方程步骤中，第 是错误的； 任务二：请直接写出该分式方程的正确结果． 【答案】（1）2；（2）任务一：二；任务二：． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和解分式方程，熟练掌握解分式方程是关键． （1）根据实数的运算法则运算即可； （2）根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】解：（1） ； （2）根据题意，解答第二步出现错误，项漏乘， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 故答案为：二． 17. 某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加到51.2万辆． （1）求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； （2）若按此平均年增长率，请预估该品牌新能源汽车2024年销售量． 【答案】（1） （2）81.92万辆 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售量的年平均增长率为x，根据2023年的销售量比2021年增加到51.2万辆，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率，列出算式求解即可． 【小问1详解】 解：设这两年新能源汽车销售量的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（舍去）； 答：从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； 【小问2详解】 （万辆）． 18. 据统计，数学家群体是一个长寿群体，在《数学家传略辞典》书中收录约2200位数学家的年龄，其中大约有200人在90岁以上．某研究小组随机抽取了收录的部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下： 年龄范围（岁） 人数（人） 25 ■ □ 11 10 m （1）填空：m的值 ；该小组共统计了 名数学家的年龄； （2）调查的数学家群体中，哪个年龄范围的长寿数学家最多； （3）请预估《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数． 【答案】（1）5；100 （2）岁 （3）22人 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和统计表，从扇形统计图和统计表中获取正确信息，进行正确计算是解题的关键． （1）利用年龄范围为的人数为10人，对应的百分比为，求出总的统计人数，然后求出m的值即可； （2）由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在岁的占的百分比最大，即可得出答案； （3）用乘以小组共统计了100名数学家的年龄中在岁的百分比，即可求出结果． 【小问1详解】 解：∵年龄范围为的人数为10人，对应的百分比为， ∴总的统计人数为：（人）， ∴； 【小问2详解】 解：由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在岁的占的百分比最大，即长寿数学家年龄在岁的人数最多． 【小问3详解】 解：（人）， 答：《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数估计有22人． 19. 因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图实线所示，不超过按15元来结算费用；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图y2实线所示． （1）求与x之间的函数解析式； （2）现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【答案】（1） （2）选甲商店购买更多水果 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次方程的应用根据等量关系列出方程是，解答本题的关键． （1）用待定系数法，分段求出函数解析式即可； （2）再求出与x之间的函数解析式，把分别代入解析式，求得x的值，然后比较即可． 【小问1详解】 解：当时，由题意可得：与x之间的函数解析式为， 当时，，即的转折点的坐标为； 当时，设y1与x之间的函数解析式为， 把和代入解析式得 ，解得， ∴， 综上所述，与x之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，解得：， 设与x之间的函数解析式为，则有：，解得：， ∴ ∴，解得：， ∵， ∴选甲商店购买更多水果． 20. 如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到． 参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，等腰三角形的判定和性质等知识点，过B作于M，于N，得到，，解直角三角形即可得到结论，正确地找出辅助线是解题的关键． 【详解】如图所示，过B作于M，于N， ∴， ， ∴和都是等腰直角三角形， 设， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴解得，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 答：太阳能电池板宽的长度约为 21. 如图，已知内接于，的延长线交于点E，交的切线于点D，且点A是的中点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示，连接交于F， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵点A是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接交于F，根据切线的性质得到，求得，根据垂径定理得到，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）连接，在中，，根据三角函数的定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系? 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． （1）请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； （2）某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； （3）如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上? 【答案】（1）①；②；③63m （2）不超过6分钟 （3）光源应放在和之间 【解析】 【分析】（1）①作轴于D点，由题意得，根据求出S的值，即可得的长，由此可得B点的坐标； ②设，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式； ③设最长的吊杆为，由题意得，代入表达式中求出y的值，即可得的长，即吊杆的长． （2）作轴，交抛物线于M、N两点，则，求出M、N两点的横坐标，进而可得的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果． （3）设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点，先求出直线的表达式为，由可知直线与直线的k相同，设直线的表达式为，联立抛物线和直线的表达式可得，由，求出m的值为，由此可得直线的表达式为，求出G点的坐标即可得到答案． 【小问1详解】 ①如图，作轴于D点， 由题意得， ， ， ， ， ∴点B的坐标为； ②设， 把代入得， 解得， ∴y与x的函数解析式为：； ③如图，设最长的吊杆为EF， ∵吊杆间距10m， ∴， ， 由得，时，， ， ∴最长的吊杆的长度约为63m． 【小问2详解】 如图，作轴，交抛物线于M、N两点， 由题意知，代入抛物线解析式得， 解得，， ，， ， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间为：， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟． 【小问3详解】 设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点， 设直线的表达式为，则 ， 解得， ∴直线的表达式为：． ， ∴直线与直线的k相同， 设直线的表达式为， 联立， 得， 整理得， ∵直线与抛物线只有一个交点， ， 解得， ∴直线的表达式为． 当时，， 解得， ∴， ∴光源应放在和之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，熟练掌握求二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 23. 【发现问题】在数学活动课上，同学们研究两个正三角形位置关系时，发现某些连线之间总存在某种特定的关系． 【问题探究】如图1，在正和正中，点A和点E重合，点C与点F重合，所以，； 【类比分析】 （1）如图2，点E在上，点C与点F重合，求证：； 【学以致用】 （2）点E在上，连接，以为边向上作正． ①如图3，点F在上，当点D、E在异侧，求的值； ②点F在上，当点D、E在同侧，，请利用备用图，画出图形，求的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的前提下，如图4，点F在上，直接写出的最小值． 【答案】（1）∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）①2；②； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，三角函数等知识点， （1）由均为等边三角形，得出，进而可证得，即可得知，由平行线的判定即可得证； （2）①如图，过点F作交于N，得出，均为等边三角形，由（1）中结论知：，由已知得出，进而即可得解；②如图所示，过点E作交于N，则为等边三角形，得出（1）中结论，再由已知即可用k表示出的值，进而即可得解； （3）过点E作交于N，连，构造出（1）中模型，进而可得，即可得出为定点，D在定直线上运动，由垂线段最短知，当时，最小，再利用三角函数知即可得出结论； 熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】【类比分析】（1）略 【学以致用】 （2）①如图，过点F作交于N， ∴， ∴为等边三角形， 又∵为等边三角形， 由（1）中结论知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ②如图所示，过点E作交于N，则为等边三角形， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 【拓展应用】 （3）如图所示，过点E作交于N，连， ∴， ∴为等边三角形， 又∵为等边三角形， ∴由（1）结论知，， 又∵， ∴为定点， ∴D在过N点且平行于的定直线上运动，由垂线段最短知，当时，最小， 作交直线于点M，设直线交于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当D与M重合时，最小为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $