精品解析：2026年辽宁沈阳市新民市九年级下学期学业水平测试数学试卷

新民市2026年九年级学业水平测试 数学试卷 （本试卷共4页，满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 如图的一个几何体，其左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 我国地势西高东低，呈三级阶梯分布，下表是我国三级阶梯上部分地形区的平均海拔数据，其中海拔最低的是（ ） 盆地名称 塔里木盆地 准噶尔盆地 柴达木盆地 四川盆地 最低点海拔/ 2670 220 A. 塔里木盆地 B. 准噶尔盆地 C. 柴达木盆地 D. 四川盆地 3. 2025年我国新能源汽车保有量突破18.2亿辆，数据18.2亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 正六边形 D. 平行四边形 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋子里装有个红球、个白球、个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出个球，摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 小明同学对数据17，36，50，6□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 8. 如图，连接正八边形的两条对角线， ，则（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余2.3尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余0.8尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（）的部分图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向上平移4个单位长度，再关于x轴对称得到点B，则点B的坐标为__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为，则的值为__________． 14. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则_________． 15. 如图，长方形中，，，E在边上，且，点P、Q为边上两个动点，且线段，当_________时，四边形的周长最小． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 17. 某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． （1）问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ （2）该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过835元，则至少购买A款材料包多少份？ 18. 天宫一号飞行乘组曾经给全国中小学生上过一堂太空实验课，这次我们会与地面上的航天员王亚平一起客串“太空科普老师”，为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共700名学生参加了以“格物致知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛，为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级随机选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： 信息一：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图； 信息二：竞赛成绩在这一组的成绩是： 89、88、88、87、87、86、86、85、85、84、84、84、83、83、83、83、81、80 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求这个样本的中位数； （3）学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 19. “麻辣拌”是抚顺的一种地方特色小吃，香辣利口，含口飘香，深受抚顺游客和当地老百姓喜爱．某店销售“麻辣拌”，每份成本价为10元，通过分析销售情况发现，“麻辣拌”的日销量（份）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售“麻辣拌”的固定损耗为50元．日销量、销售单价的部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 16 14 12 … 日销量（份） … 200 300 400 … （1）求与之间的函数解析式； （2）当“麻辣拌”的销售单价定为多少元时，该店每天出售这种“麻辣拌”所获的利润最大？最大日利润为多少元？ 20. 如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面． （1）当水桶在井里时，，求此时支点到小竹竿的距离（结果精确到）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 21. 如图，内接于，是的直径，D是上的一点，连接，交于点F，平分，交的延长线于点E． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求长； 22. 如图，在中，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）点H在边上，且，连接交于点N． ①判断与的位置关系，并证明你的结论； ②连接．若，请直接写出线段长度的最小值． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线（）．定义：若抛物线L上存在两个不同的点P、Q，使得它们的纵坐标互为相反数（即），且线段的中点恰好落在y轴上，则称该抛物线为“正交抛物线” （1）当时，求抛物线L与x轴的交点坐标． （2）若抛物线L是“正交抛物线”，求a的取值范围． （3）若抛物线L是“正交抛物线”，且关于x的方程的两个根均为整数，求此时整数a的值及线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民市2026年九年级学业水平测试 数学试卷 （本试卷共4页，满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 如图的一个几何体，其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图的意义，画出左视图即可作出判断． 【详解】解：从左面看该几何体，所得到的图形如下： 故选：B． 【点睛】本题考查了简单几何体的左视图，掌握“能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示”是正确判断的关键． 2. 我国地势西高东低，呈三级阶梯分布，下表是我国三级阶梯上部分地形区的平均海拔数据，其中海拔最低的是（ ） 盆地名称 塔里木盆地 准噶尔盆地 柴达木盆地 四川盆地 最低点海拔/ 2670 220 A. 塔里木盆地 B. 准噶尔盆地 C. 柴达木盆地 D. 四川盆地 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值更大的负数更小，又 ，，且， ∴，因此海拔最低的是塔里木盆地． 3. 2025年我国新能源汽车保有量突破18.2亿辆，数据18.2亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的规则确定和的值，科学记数法的表示要求为，其中，为整数． 【详解】解：数据18.2亿用科学记数法表示为． 4. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 正六边形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形；绕某一点旋转后能与原图形重合的图形是中心对称图形，然后依次排除选项即可． 【详解】解：A．等腰梯形是轴对称图形，旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，符合要求； B．菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合要求； C．正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合要求； D．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A，，A错误； 对于选项B，，B错误； 对于选项C，，C错误； 对于选项D， ，D正确． 6. 一个不透明的袋子里装有个红球、个白球、个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出个球，摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：袋子中有个红球，个白球，个黄球， 球的总数量为，白球数量为， 摸到白球的概率为， 故选：B． 7. 小明同学对数据17，36，50，6□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差、极差的定义，判断哪个统计量的结果不受被涂污个位数字的影响即可． 【详解】解：由题意可把这组数据从小到大排序为17，36，50，52，6□， ∴5个数据的中位数是排序后的第3个数，即中位数为，与被涂污数字无关；平均数需要计算所有数据的和，方差与每个数据的大小有关，极差为最大数减最小数，最大数为6□，因此平均数、方差、极差都与被涂污数字有关． 8. 如图，连接正八边形的两条对角线， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题以正多边形及其外接圆为载体，以正多边形的性质及其应用，解题的关键是掌握相关的知识．首先证明圆周长，然后求出所对的圆心角度数为，问题即可解决． 【详解】解：设正八边形的外接圆为； 正八边形的各边相等， 圆周长， 所对的圆心角度数为， 圆周角． 故选：C． 9. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余2.3尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余0.8尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可得方程组为． 10. 已知二次函数（）的部分图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质判断各选项即可. 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交点在负半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，， ∴A、B选项不符合题意； ∵由图象可知，当时，， ∴， 把代入得， ∴C选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， ∴， ∴D选项符合题意． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知，低于标准尺寸记作． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向上平移4个单位长度，再关于x轴对称得到点B，则点B的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据坐标平移规律求出点A向上平移4个单位后的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求出点B的坐标． 【详解】解：点向上平移个单位长度，平移时横坐标不变，向上平移纵坐标加， 平移后得到的点坐标为， 点关于轴对称，关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， 点的坐标为． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设， 与轴相切于点， 轴， ，， 则点到的距离为， 为的直径， ， ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，且相似比为，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵与是位似图形，且， ∴，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，长方形中，，，E在边上，且，点P、Q为边上两个动点，且线段，当_________时，四边形的周长最小． 【答案】 【解析】 【分析】四边形的周长中和是定值，要使四边形的周长最小，只要最小即可；在上截取，作点关于的对称点连接与交于点，过点作，过作交延长线于点，根据题意可得，即可求出，则即可求解； 【详解】解：四边形的周长中和是定值， 要使四边形的周长最小，只要最小即可； 在上截取，作点关于的对称点连接与交于点，过点作，过作交延长线于点， ， ，，，， ，，， ， ∵， ， ， ， ． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． （1）问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ （2）该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过835元，则至少购买A款材料包多少份？ 【答案】（1）购买一份A款材料包元，购买一份B款材料包元 （2）至少购买A款材料包份 【解析】 【分析】（1）设购买一份A款材料包x元，购买一份B款材料包元，由题意得，进而求解即可； （2）设购买A款材料包m份，则购买B款材料包份，由题意得，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一份A款材料包元，购买一份B款材料包元．由题意得： ， 解得：； 答：购买一份A款材料包16元，购买一份B款材料包18元． 【小问2详解】 解：设购买A款材料包m份，则购买B款材料包份，由题意得： ， 解得：； ∵m为正整数， ∴m至少为33． 答：至少购买A款材料包33份． 18. 天宫一号飞行乘组曾经给全国中小学生上过一堂太空实验课，这次我们会与地面上的航天员王亚平一起客串“太空科普老师”，为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共700名学生参加了以“格物致知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛，为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级随机选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： 信息一：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图； 信息二：竞赛成绩在这一组的成绩是： 89、88、88、87、87、86、86、85、85、84、84、84、83、83、83、83、81、80 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求这个样本的中位数； （3）学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 【答案】（1）图见详解 （2）中位数为 （3）七年级学生的获奖人数名 【解析】 【分析】（1）由题意易得成绩在的人数有，然后可补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）由题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：成绩在的人数有， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解：由题意可知：总共50名学生，所以中位数为第和第个数据之和的平均数， ∵， ∴中位数落在中， ∴中位数为； 【小问3详解】 解：由题意得： （名）； 答：七年级学生的获奖人数名． 19. “麻辣拌”是抚顺的一种地方特色小吃，香辣利口，含口飘香，深受抚顺游客和当地老百姓喜爱．某店销售“麻辣拌”，每份成本价为10元，通过分析销售情况发现，“麻辣拌”的日销量（份）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售“麻辣拌”的固定损耗为50元．日销量、销售单价的部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 16 14 12 … 日销量（份） … 200 300 400 … （1）求与之间的函数解析式； （2）当“麻辣拌”的销售单价定为多少元时，该店每天出售这种“麻辣拌”所获的利润最大？最大日利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为15元时，日销售利润最大，最大利润为1200元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出关系式是解此题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据利润=销量×每份的利润固定损耗，列出函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设“麻辣拌”的日销售量（份）与销售单价（元）的函数表达式为， 由题意得，， 解得，， “麻辣拌”的日销售量（份）与销售单价（元）的函数表达式为 ． 【小问2详解】 解：设日销售利润为元，由题意得 ， ，抛物线开口向下，， 当时，有最大值，为1200元， 答：当销售单价定为15元时，日销售利润最大，最大利润为1200元． 20. 如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面． （1）当水桶在井里时，，求此时支点到小竹竿的距离（结果精确到）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）约为米 （2）约为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题关键． （1）过点作，垂足为，先求出，再在中，解直角三角形即可得； （2）过点作，垂足为，设交于点，先求出，再在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得的长，最后利用求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， 在中，（米）， 答：此时支点到小竹竿的距离约为米． 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，设交于点， 由题意得：，，米， ∵， ∴， 在中，米， 由（1）可知，在中，米， ∴（米）， 答：点上升的高度约为米． 21. 如图，内接于，是的直径，D是上的一点，连接，交于点F，平分，交的延长线于点E． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求长； 【答案】（1）相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 证明：与相切，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）点H在边上，且，连接交于点N． ①判断与的位置关系，并证明你的结论； ②连接．若，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题． （1）根据等边对等角，结合旋转的性质得，证明即可得结论； （2）①首先证明四边形是正方形，再证明即可解决问题．②如图，取的中点O，连接．利用三角形的三边关系解决问题即可． 【小问1详解】 证明：如图1中， ∵， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①解：结论：． 理由：如图2中，连接． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图3中，取的中点O，连接． ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴的最小值为． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线（）．定义：若抛物线L上存在两个不同的点P、Q，使得它们的纵坐标互为相反数（即），且线段的中点恰好落在y轴上，则称该抛物线为“正交抛物线” （1）当时，求抛物线L与x轴的交点坐标． （2）若抛物线L是“正交抛物线”，求a的取值范围． （3）若抛物线L是“正交抛物线”，且关于x的方程的两个根均为整数，求此时整数a的值及线段的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知抛物线，令时，则有，然后进行求解即可； （2）由题意易得点P、Q的横坐标互为相反数，且，由题意可设，且，然后可得，进而问题可求解； （3）设，且，由（2）可知：抛物线L是“正交抛物线”时，，且a为整数，，然后对方程进行求解可得，进而根据两点间距离公式可进行求解． 【小问1详解】 解：当时，则抛物线， 令时，则有， 解得：， ∴抛物线L与x轴的交点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线L是“正交抛物线”， 线段的中点在轴上， 其横坐标为0，即，故， 由题意可设，且， 把代入抛物线得：， 两式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设，且，由（2）可知：抛物线L是“正交抛物线”时，，且a为整数，， 由方程可因式分解为， 解得：， ∵方程的两个根均为整数， ∴， 当时，， ∴， 将代入抛物线得：， ∴， ∴根据两点间距离公式可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $