30.2 三角形的内切圆 同步讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦“三角形的内切圆”核心知识点，系统梳理内切圆定义、内心性质（角平分线交点、到三边距离相等），通过典例及变式构建从概念理解到角度计算、半径求解的学习支架，衔接圆与三角形位置关系的知识脉络。 该资料亮点在于梯度化题型设计，从基础选择到综合解答（如结合正方形、直角三角形），融入刘徽勾股容圆等数学文化。通过问题链培养推理能力与几何直观（数学思维与眼光），课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第30章 30.2 三角形的内切圆 内 容 导 航 题型1 三角形的内切圆与内心 考 点 演 练 题型1 三角形的内切圆与内心 解｜题｜知｜识 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【典例1】在△ABC中，∠A＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则∠BOC的度数为（　　） A．105° B．110° C．115° D．125° 【答案】C 【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°， 故选：C． 【变式1】如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF＝BG＝CH＝DE．若AB＝17，EF＝13，则△GCH的内切圆半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：设△GCH的内切圆圆心为点I，⊙I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝17，EF＝13， ∴AD＝CD＝CB＝AB＝17，∠A＝∠BCD＝90°， 设AF＝BG＝CH＝DE＝m，则CG＝AE＝17﹣m， ∴GH2＝CG2+CH2＝AE2+AF2＝EF2＝132＝169， ∴（17﹣m）2+m2＝169，GH＝EF＝13， 解得m＝5或m＝12， 当m＝5时，则CH＝5，CG＝12， 当m＝12时，则CH＝12，CG＝5， ∴m＝5及m＝12时，△GCH的形状和大小相同， 连接IP、IQ、IR、IC、IG、IH，则IP⊥CG，IQ⊥CH，IR⊥GH，设IP＝IQ＝IR＝r，令CH＝5，CG＝12， ∵S△CIG+S△CIH+S△GIH＝S△GCH， ∴12r5r13r5×12， 解得r＝2， ∴△GCH的内切圆半径为2， 故选：B． 【变式2】已知Rt△ABC的两直角边长分别为6，8，则此三角形内切圆的半径是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：∵在Rt△ABC中，两直角边分别为6和8， ∴斜边， ∴内切圆半径， 故选：A． 【变式3】如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BC＝5，则△ABC的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F， ∴AD＝AF＝3，BD＝BE，CF＝CE， ∴BD+CF＝BE+CE＝BC＝5， ∴AB+AC+BC＝AD+AF+BD+CF+BC＝3+3+5+5＝16， ∴△ABC的周长为16， 故选：A． 【变式4】如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（　　） A．130° B．120° C．100° D．90° 【答案】A 【解答】解：∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°， ∵点O是△ABC的内切圆的圆心， ∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB＝50°， ∴∠BOC＝130°． 故选：A． 【变式5】如图，正方形ABCD的边长为15，点E是AB边上一点，点F是BC边上一点，连接DE，DF，EF，若∠EDF＝45°，AE＝3，则△BEF的内切圆半径长度是（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：如图，延长BC，使CM＝AE＝3， 在△DCM和△DAE 中，DC＝DA，∠DCM＝∠A＝90°，CM＝AE， ∴△DCM≌△DAE（SAS）， ∴∠CDM＝∠ADE，DM＝DE， ∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°， ∴∠ADE+∠CDF＝45°， ∴∠CDM+∠CDF＝45°，即∠MDF＝45°， ∴∠MDF＝∠EDF，在△MDF 和△EDF 中，DM＝DE，∠MDF＝∠EDF，DF＝DF， ∴△MDF≌△EDF（SAS）， ∴MF＝EF，设CF＝a，则MF＝EF＝a+3，BF＝15﹣a， ∵AE＝3，AB＝15， ∴BE＝15﹣3＝12， 在Rt△EBF中，根据勾股定理得BE2+BF2＝EF2， ∴144+（15﹣a）2＝（a+3）2，解得a＝10， 设△EBF内切圆的半径是r， ∴（13+12+5）r12×5， 解得r＝2， 故选：B． 【变式6】若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（　　） A．， B． C． D．1，2 【答案】D 【解答】解：如图，设等边三角形ABC的中心为O，AB＝BC＝AC＝2， 连接OA、OB、OC，延长AO交BC于点E，则OB＝OC＝OA， 在△AOB和△AOC中， ， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠BAO＝∠CAO， ∴AO⊥BC， ∴OA为△ABC外接圆的半径，OE为△AOB内切圆的半径，∠AEB＝90°， ∵BE＝CEBC， ∴AE3， ∴∠BOC180°＝120°， ∴∠OBE＝∠OCE（180°﹣120°）＝30°， ∴OEOBOA， ∴OEAE3＝1，OAAE3＝2， ∴△ABC内切圆与外接圆的半径分别为1和2， 故选：D． 【变式7】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝2，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB＝90°，AK＝BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T． ∵点P是△ACB的内心，∠C＝90°， ∴，， ∴， ∴∠APB＝180°﹣45°＝135°， ∴点P在以K为圆心，KA为半径的圆上运动， ∵AB＝2，AK＝BK，∠AKB＝90°， ∴，∠ABK＝45°， ∵∠ABT＝90°， ∴∠KBT＝45°， ∴KT＝BT＝1， ∵OA＝OB＝BD＝1， ∴DT＝2， ∴， ∴， ∴DP的最小值为． 故答案为：． 【变式8】已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP． （1）求证：BD＝PD； （2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵点P是△ABC的内心， ∴∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP， ∴∠ABD＝∠ACD＝45°， ∵∠DPB＝∠BCP+∠CBP＝45°+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠EBP＝45°+∠EBP， ∴∠DPB＝∠DBP， ∴BD＝DP； （2）解：连接AD，过点B作BH⊥CD于H，如图所示： ∵AB是直径，∠ABD＝45°， ∴AB＝6，△ABD是等腰直角三角形， ∴BDAB66， ∵∠BCD＝45°，BH⊥CD， ∴∠BCH＝∠CBH＝45°， ∴BH＝CH， ∴BCBH， ∵BD2＝DH2+BH2， ∴36＝（8﹣BH）2+BH2， ∴BH＝4±， ∵BC＞AC， ∴BC＝42． 【变式9】如图，⊙O的直径AB为10cm，点E是△ABC内切圆的内心，CE的延长线交⊙O于点D． （1）求AD的长； （2）求DE的长； （3）求弦AD、劣弧AD所围成的图形面积． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）如图，连接OD， ， ∵直径AB， ∴∠ACB＝90°， ∵点E为△ABC内心， ∴CE平分∠ACB， ∴， ∴∠AOD＝90°， ∴； （2）连接AE， ， ∵点E为△ABC内心， ∴∠3＝∠4， ∵∠5＝∠2， ∴∠DAE＝∠4+∠5＝∠4+∠2，∠AED＝∠3+∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠DAE＝∠AED， ∴； （3）由（1）可得△AOD是等腰直角三角形， S＝S扇形AOD﹣S△AOD ． 过 关 验 收 1. 刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　） A．d＝a+b﹣c B． C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）| 【答案】D 【解答】方法一：本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案． ∵三角形ABC为直角三角形，∴令a＝3，b＝4，c＝5． 选项A：d＝a+b﹣c＝2， 选项B：d2， 选项C：d2， 选项D：d＝|（a﹣b）（c﹣b）|＝1， 很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项． 故答案选：D． 方法二：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F． 易证四边形OECD是正方形，设OE＝OD＝OF＝r， 则EC＝CD＝r， ∴AE＝AF＝b﹣r，BD＝BF＝a﹣r， ∵AF+BF＝AB， ∴b﹣r+a﹣r＝c， ∴r， ∴d＝a+b﹣c．故选项A正确． ∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴abarbrcr， ∴ab＝r（a+b+c）， ∴r，即d．故选项B正确． ∵由前面可知d＝a+b﹣c， ∴d2＝（a+b﹣c）2＝（a+b）2﹣2c（a+b）+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2， ∵a2+b2＝c2， ∴上述式子＝2c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝2（c2+ab﹣ac﹣bc）＝2[（c2﹣ac）+b（a﹣c）]＝2（c﹣a）（c﹣b）， ∴d，故选项C正确． 排除法可知选项D错误． 故答案选：D． 2. 已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为（　　） A．50° B．55° C．62.5° D．65° 【答案】C 【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵O是△ABC的内心， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠BOC＝180°（∠ABC+∠ACB）＝90°∠BAC＝90°70°＝125°， ∵点O是△BCP的外心， ∴∠BPC∠BOC125°＝62.5°． 故选：C． 3. 一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图： 过O点作OD⊥AB，则ADAB＝1， ∵∠OAD＝30°， ∴OD＝tan30°•AD． 故选：C． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，若AC＝6，BC＝8，则CD的长为（　　） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】A 【解答】解：设CD＝x， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵Rt△ABC的内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F， ∴CD＝CF＝x，AD＝AE＝6﹣x，BF＝BE＝8﹣x， ∵AE+BE＝10， ∴6﹣x+8﹣x＝10， 解得：x＝2， ∴CD＝2， 故选：A． 5. 如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点D是下列哪个三角形的内心（　　） A．△ACE B．△ABE C．△APE D．△BCE 【答案】B 【解答】解：连接AE、AB、BE，取格点F、H，连接DF、DH，作DI⊥BE于点I， ∵∠BAE＝90°，AB＝3，AE＝4， ∴BE5， 连接AD、BD、ED，则S△BDE+S△ADB+S△ADE＝S△ABC， ∵DF⊥AB，DH⊥AE，且DF＝DH＝1， ∴5DI3×14×13×4， 解得DI＝1， ∴DF＝DH＝DI， ∴点D是△ABE的内心， 故选：B． 6. 如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为（　　） A．110° B．125° C．130° D．140° 【答案】B 【解答】解：∵点O为△ABC的外心， ∴∠A∠BOC＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∵点I为△ABC的内心， ∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB（∠ABC+∠ACB）＝55°， ∴∠BIC＝180°﹣55°＝125°， 故选：B． 7. 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是（　　） A．1：： B．1：2： C．1：2：3 D．1：：2 【答案】C 【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，O是△ABC的外心，连接OA、OB、OC，延长AO交BC于点F， ∵∠AOB＝∠AOC＝×360°＝120°， ∴∠BOF＝∠COF＝180°﹣120°＝60°， ∵OB＝OC，OF平分∠BOC， ∴OF⊥BC， ∴AF⊥BC于点F， ∴OF是△ABC内切圆的半径，OB是△ABC外接圆的半径，AF是△ABC的高， 设OF＝m， ∵∠OFB＝90°，∠BOF＝60°， ∴∠OBF＝90°﹣∠BOF＝30°， ∴OB＝OA＝2m， ∴AF＝OA+OF＝2m+m＝3m， ∴OF：OB：AF＝m：（2m）：（3m）＝1：2：3， 故选：C． 8. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝13，CA＝12，则⊙O的半径是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠A＝90°，BC＝13，CA＝12， ∴， ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE， 如图，连接OD，OF， ∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF， ∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°， ∴四边形ADOF是正方形， 设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则CE＝CF＝12﹣x，BD＝BE＝5﹣x， ∵BE+CE＝13， ∴5﹣x+12﹣x＝13， ∴x＝2， 则圆O的半径为2． 故选：B． 9. 下列说法中，正确的是（　　） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．三点确定一个圆 D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 【答案】B 【解答】解：A、过半径的外端垂直于半径的直线是这个圆的切线，所以A选项错误； B、任何三角形有且只有一个内切圆，所以B选项正确； C、不共线的三点确定一个圆，所以C选项错误； D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，所以D选项错误． 故选：B． 10. 如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是⊙O的切线，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设AB与⊙O、⊙P的切点分别是Q、G，AC与⊙O、⊙P的切点分别是T、S，连接OQ、PG、OM、OA、PS、OT，过O作OH垂直于PN，垂足为H，则AG＝AS，EG＝EN，FS＝FN，EQ＝EM，FM＝FT，FM＝FT，AQ＝AT， ∵OQ＝OT，OQ⊥AB，OT⊥AC， ∴AO是∠BAC的角平分线， ∵PG＝PS，PG⊥AB，PS⊥AC， ∴P在OA上， Rt△APG中，AG， ∴AE+AF﹣EF＝AG+EG+AS+FS﹣EN﹣FN＝AG+AS＝2AG①， Rt△AOQ中，AQr， ∴AE+AF+EF＝AE+AF+EM+FM＝AE+AF+EQ+FT＝AQ+AT＝2AQ＝2r②， ②﹣①得2EF， ∴EF， ∵∠OMN＝∠MNH＝∠NHO＝90°， ∴四边形OMNH是矩形， ∴MN＝OH，NH＝MO， Rt△POH中，OP＝AO﹣AP＝2OQ﹣2PG＝2r﹣2，PH＝PN+NH＝PN+MOr， ∴OH， ∴MN， ∴， 故选：D． 11. 如图，⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，点P是EPD上任意一点（不与点E，D重合），则∠EPD＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【解答】解：连接OE，OD， ∵⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点， ∴OE⊥BC，OD⊥AC， ∴∠C＝∠OEC＝∠ODC＝90°， ∴四边形OECD是矩形， ∴∠O＝90°， ∴∠EPD∠O＝45°， 故选：B． 12. 如图，等边三角形ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是　．　 ． 【答案】． 【解答】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O， 设等边△ABC的边长为a， ∴AB＝BC＝AC＝a，则， ∵∠ADB＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半， ∴， ∵S△ABC， ∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是：． 故答案为：． 13. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C是弧AB上一点，CD⊥OB，垂足为D，点P是△OCD的内心，连接AP，则AP的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵CD⊥OB， ∴∠ODC＝90°， ∴∠COD+∠DCO＝90°， ∵点P是△OCD的内心， ∴PO，PC分别平分∠COD，∠DCO， ∴∠POC+∠PCO（∠COD+∠DCO）＝45°， ∴∠OPC＝135°， 如图，连接PB， 在△COP和△BOP中， ， ∴△COP≌△BOP（SAS）， ∴∠OPC＝∠OPB＝135°， 如图，作△OPB的外接圆，圆心为O′， 连接O′O，O′B， ∴∠OO′B＝90°， ∵OB＝OA＝2， ∴O′OOB， 连接O′A交圆O′于点P′， 此时AP′的最小， ∴O′O＝O′P′， 过点O′作O′E⊥AO的延长线于点E， ∴O′E∥BO， ∴∠EO′′O＝∠O′OB＝45°， ∴△O′OE是等腰直角三角形， ∴OE＝O′EO′O＝1， 在Rt△AEO′中，AE＝AO+OE＝2+1＝3，根据勾股定理得： AO′， ∴AP′＝AO′﹣O′P′． ∴AP的最小值为． 故答案为：． 14. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5cm，BC＝7cm，CA＝6cm，则AF＝　2cm ． 【答案】2cm． 【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴BF＝BD，CE＝CD，AF＝AE， ∴BF+CE＝BD+CD＝BC， ∴AF+AE＝2AF＝AB+CA﹣（BF+CE）＝AB+CA﹣BC， ∵AB＝5cm，BC＝7cm，CA＝6cm， ∴2AF＝5+6﹣7＝4（cm）， ∴AF＝2cm， 故答案为：2cm． 15. 如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：设△ABC的内切圆切三边于点F、H、G，连接OF、OH、OG， ∴四边形OHCG是正方形， 由切线长定理可知AF＝AG，BF＝BH， ∵DE是⊙O的切线， ∴EM＝EG，MD＝DF， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB5， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴CH+CG＝AC+BC﹣BH﹣AG＝AC+BC﹣BF﹣AF＝AC+BC﹣AB， ∴内切圆的半径为， ∴CG＝1， ∴AG＝AC﹣CG＝3， ∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝AD+DF+AE+EG＝AF+AG＝2AG＝6． 故答案为：6． 16. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝1，则AB的长为 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：延长BI交⊙O于M点，连接MA， 在△ABM中斜边AB经过圆心O， ∴∠AMB＝90°， 又∵BI⊥OI，AO＝OB， ∴OI为△AMB的中位线， ∴AM＝2OI＝2， 在Rt△ABC中，I为三个角平分线的交点 ∴∠IAB+∠IBA＝45°， 即∠MIA＝45°（三角形外角与内角的关系）， ∴Rt△MAI为等腰直角三角形， ∴MA＝MI＝IB＝2， 根据勾股定理可得， AB2＝MA2+MB2＝22+42＝20， 即AB＝2， 故答案为：2． 17. 已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于　22　 ． 【答案】22． 【解答】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如答图： ∵BC＝6，AC＝8，AB＝10， ∴BC2+AC2＝AB2 ∴∠C＝90° ∵⊙I为△ABC的内切圆， ∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID， ∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x， 则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x， ∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x， 由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x， 而AH+BH＝10， ∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2， ∴AH＝6，IH＝2， ∴IA2， ∴点A到圆上的最近距离为22， 故答案为：22． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直角边BC在x轴上，其内切圆的圆心坐标为I（0，1），抛物线y＝ax2+2ax+1的顶点为A，则a＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，其内切圆的圆心坐标为I（0，1）， ∴CE＝OC＝OI＝1，OB＝BD，AE＝AD， ∴AB＝AD+BD＝AE+OB， 设AE＝x，OB＝y， ∴AC＝x+1，BC＝y+1， ∵∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC，即AB＝2（x+1），2（x+1）＝x+y，化简得y＝x+2①， 由勾股定理，得（x+1）2+（y+1）2＝[2（x+1）]2， 化简得3x2+6x﹣y2﹣2y+2＝0②， 把①代入②解得：（负值不符合题意，已舍去）， ∴， ∴， ∵y＝ax2+2ax+1＝a（x+1）2+1﹣a， ∴抛物线y＝ax2+2ax+1的顶点为（﹣1，1﹣a）， ∵抛物线y＝ax2+2ax+1的顶点为A， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　35°　 ． 【答案】35°． 【解答】解：连接OD，OE，OB，OB交ED于点G， ∵∠ACB＝70°， ∴∠CAB+∠CBA＝110°， ∵点O为△ABC的内切圆的圆心， ∴∠OAB+∠OBA＝55°， ∴∠AOB＝125°， ∵OE＝OD，BD＝BE， ∴OB垂直平分DE， ∴∠OGE＝90°， ∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°， 故答案为：35°． 20. 已知P为平面上一点，O是△ABC的内心，也是△BCP的外心，∠BAC＝80°．则∠BPC的度数为 　65°　 ． 【答案】65°． 【解答】解：连接OB、OC， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°， ∵O是△ABC的内心， ∴，， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝130°， ∵O是△BCP的外心， ∴， 故答案为：65°． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30章 30.2 三角形的内切圆 内 容 导 航 题型1 三角形的内切圆与内心 考 点 演 练 题型1 三角形的内切圆与内心 解｜题｜知｜识 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【典例1】在△ABC中，∠A＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则∠BOC的度数为（　　） A．105° B．110° C．115° D．125° 【变式1】如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF＝BG＝CH＝DE．若AB＝17，EF＝13，则△GCH的内切圆半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知Rt△ABC的两直角边长分别为6，8，则此三角形内切圆的半径是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BC＝5，则△ABC的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【变式4】如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（　　） A．130° B．120° C．100° D．90° 【变式5】如图，正方形ABCD的边长为15，点E是AB边上一点，点F是BC边上一点，连接DE，DF，EF，若∠EDF＝45°，AE＝3，则△BEF的内切圆半径长度是（　　） A． B．2 C．3 D．4 【变式6】若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（　　） A．， B． C． D．1，2 【变式7】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝2，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为 　 ． 【变式8】已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP． （1）求证：BD＝PD； （2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长． 【变式9】如图，⊙O的直径AB为10cm，点E是△ABC内切圆的内心，CE的延长线交⊙O于点D． （1）求AD的长； （2）求DE的长； （3）求弦AD、劣弧AD所围成的图形面积． 过 关 验 收 1. 刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　） A．d＝a+b﹣c B． C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）| 2. 已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为（　　） A．50° B．55° C．62.5° D．65° 3. 一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（　　） A． B．1 C． D． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，若AC＝6，BC＝8，则CD的长为（　　） A．2 B．4 C．5 D．3 5. 如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点D是下列哪个三角形的内心（　　） A．△ACE B．△ABE C．△APE D．△BCE 6. 如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为（　　） A．110° B．125° C．130° D．140° 7. 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是（　　） A．1：： B．1：2： C．1：2：3 D．1：：2 8. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝13，CA＝12，则⊙O的半径是（　　） A．1 B．2 C． D． 9. 下列说法中，正确的是（　　） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．三点确定一个圆 D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 10. 如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是⊙O的切线，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则（　　） A． B． C． D． 11. 如图，⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，点P是EPD上任意一点（不与点E，D重合），则∠EPD＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 12. 如图，等边三角形ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是 　 ． 13. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C是弧AB上一点，CD⊥OB，垂足为D，点P是△OCD的内心，连接AP，则AP的最小值为 　 ． 14. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5cm，BC＝7cm，CA＝6cm，则AF＝　 ． 15. 如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为　 　 ． 16. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝1，则AB的长为 　 ． 17. 已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于　 　 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直角边BC在x轴上，其内切圆的圆心坐标为I（0，1），抛物线y＝ax2+2ax+1的顶点为A，则a＝ 　 ． 19. 如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　 　 ． 20. 已知P为平面上一点，O是△ABC的内心，也是△BCP的外心，∠BAC＝80°．则∠BPC的度数为 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $