21.2.2.1 二次函数y=ax2+k的图象和性质 课件 - 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，通过复习y=ax²的性质导入，以“如何转化复杂二次函数”为问题支架，引导学生从旧知自然过渡到新知探究。 其亮点在于通过列表描点对比y=2x²、y=2x²+1等函数图象，培养几何直观与推理意识，结合例题和分层练习用数学语言总结平移规律。学生能提升观察推理能力，教师可借助清晰流程和练习设计高效教学。

第二十一章二次函数与反比例函数 21.2.2.1二次函数y=ax2+k的图象和性质 01 教学目标 会画二次函数y=的图象 01 掌握二次函数y=的性质并会应用 02 03 理解 𝒚=𝒂与 𝒚=𝒂+𝒌 之间的联系。 02 复习旧知 抛物线y= ax2的性质是什么？ （2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点; 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点. （3）|a|越大，抛物线的开口越小. （1）抛物线y= ax2的对称轴是y轴，顶点是原点. 02 创设情境 在研究了的图象和性质之后，我们进一步探讨当b，c不全为0时，二次函数的图象和性质.如何研究呢？能否将 转化为类似 的简单形式？ 4 03 新知探究 思考 在同一平面直角坐标系中，怎样画出二次函数 y =2x2， y=2x2 +1和y=2x2 -1的图象？ 列表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 03 新知探究 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 描点、连线如图： 观察上述图象，说说它有哪些特征. 03 新知探究 观察 1.这三条抛物线的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？ 向上 （0，1） 向上 （0，-1） 向上 （0，0） y轴 y轴 y轴 03 新知探究 2.对于同一个x值，这三个函数对应的y值之间有什么关系？这三个函数的图象在位置上有什么关系？ 观察图象，我们很容易看出对于同一个x值，y=2x2的y值比y=2x2–1的y值大1，同时比y=2x2+1的y值小1. 通过观察图象，我们可以得到：函数y=2x2的图象分别向上或向下平移，就可得到y=2x2+1和y=2x2–1的图象. 03 新知探究 3.当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？ 三条抛物线都是开口向上，所以最低点就是它们对应的顶点坐标，分别为(0，0)，(0，1)，(0，-1).因此得到它们都是当x=0时取得最小值，最小值分别为0，1，-1. 03 新知探究 归纳总结 一般地，抛物线y=ax²+k(k≠0)与y=ax²的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同. 抛物线y=ax²+k(k≠0)可由抛物线y=ax²沿y轴方向平移|k|个单位长度得到：当k＞0时，向上平移；当k＜0时，向下平移. 03 新知探究 例 通过描点法画出的图象. 2 y -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 (1) 填表： (2) 描点、连线 03 新知探究 根据例题的图象，思考并填空： （1）抛物线 的开口方向是__________，顶点坐标是________，对称轴是______，抛物线可由抛物线 向___平移____个单位得到； （2）对于函数，当>0时，函数随的增大而_____;当<0时，函数随的增大而_____;当x=0时，y有最大值为 。 向下 （0，-1） y轴 下 1 减小 增大 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.二次函数 的图象大致是( ) . B A B C D 2.下列关于二次函数 的说法中，不正确的是( ) . 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： C A.图象开口向下 B.当 时， 随 的增大而减小 C.当 时， 取得最大值 D.图象的对称轴是 轴 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 3. 已知抛物线的顶点在 轴的负半轴上，且开口向上，则 的取值范围是___________. 4.将函数 的图象向下平移2个单位长度后，得到的新函数的解析式为____________. 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 5、已知抛物线过点(-2,-3) 和点(1,6). (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． (1)解：把点(-2,-3) 和点(1,6)代入得 ， 解得 所以这个函数的关系式为； 16 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 5、已知抛物线过点(-2,-3) 和点(1,6). (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． (2)解：这个函数的关系式为 ； ∴对称轴x=0，∵a=-3<0 ，∴抛物线开口向下， ∴当x>0时，函数y随x的增大而减少． 17 05 课堂小结 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 开口方向由a的符号决定； k决定顶点位置； 对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1．在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋k 和二次函数 y＝ax2＋k 的图象大致为 (　　) D 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C， 点B在y轴上，则ac的值为（　B　） A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 B 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 3.若 是抛物线 上的点， 是抛物线 上的点，则 ___. 4. 已知二次函数 ，当时， 的取值 范围为_____________. 3 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． 解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2， 即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4. ∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b， ∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2. 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． 当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－，2)； 当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±， 此时P点坐标为(，2)，(－，2)． 二一教育 $