广西南宁市第九中学、第十中学等学校2025-2026学年度高三下学期第二次联考数学试卷

**基本信息** 高三数学联考卷覆盖集合、函数、几何等模块，解答题融合概率传球建模与导数应用，梯度分明适配高考复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|三角证明、立体几何、椭圆、概率传球、函数零点|18题以传球游戏为情境构建概率模型，19题通过导数研究函数零点与不等式证明，体现逻辑推理与数学建模素养|

2025-2026学年度高三下学期第二次联考数学试卷 (考试用时:120分钟 满分:150分) 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣x=0},则A∩B=( ) A.{﹣1,1} B.{0,1} C.{﹣1,0,1} D.{﹣1,0,1,2} 2.已知i为虚数单位,z=(3+4i)(2﹣i),则|z|=( ) A.5 B. C.10 D.5 3.已知向量满足,,则在方向上的投影向量为( ) A. B. C. D. 4.设Sn为正项等比数列{an}的前n项和,若a5+3a6=8,a8+3a9=64,则S3=( ) A. B. C. D.2 5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,体积为28,则该正四棱台的侧棱长为( ) A. B. C. D. 6.某地气象局天气预报的准确率为,则4次预报中恰有3次准确的概率是( ) A. B. C. D. 7.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2﹣x),f(1)=2,则f(2024)+f(2027)=( ) A.0 B.﹣2 C.2 D.4 8.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率为的直线与双曲线E的右支交于A,B两点,若|AB|=|AF1|,则双曲线E的离心率为( ) A. B.2 C.2或 D.或 二.多选题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分.在每个小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.样本数据3.4,3.5,3.6,3.8,4.0,4.1,4.1,4.2,4.5,4.8,则( ) A.这组数据的极差为1.6 B.这组数据的平均数为4 C.这组数据的中位数与众数相等 D.去掉最大值和最小值后,所得新数据的方差小于原数据的方差 10.如图,矩形ABCD是圆柱OO1的轴截面,AB=2,AD=4,E为的中点,M为BE的中点,则( ) A.圆柱OO1的侧面积为16 B.三棱锥B﹣ADE的体积为 C.圆柱OO1的外接球的表面积为20 D.O1M∥平面ADE 11.已知函数f(x)=(x﹣1)3﹣ax+a,则( ) A.曲线y=f(x)是中心对称图形 B.当f(x)在R上单调递增时,a≥0 C.当f(x)的极小值为﹣2时,a=3 D.当a<0时,若|b|>|c|,则 三.填空题(每小题5分,满分15分) 12.设向量,,向量与的夹角为锐角,则x的范围为 . 13.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,P是抛物线C上一动点,Q是曲线x2+y2﹣10x﹣2y+25=0上一动点,则|PF|+|PQ|的最小值为 . 14.记Sn为数列{an}的前n项和,已知点(n,an)在直线y=10﹣2x上,若有且只有4个正整数n满足Sn≥k,则实数k的取值范围是 . 四.解答题(共5小题,满分77分) 15.(13分)在锐角 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足:. (1)证明:A=2B; (2)求的取值范围. 16.(15分)如图,在圆台O1O2中,上、下底面半径分别为1和4,高为4,轴截面为四边形ABCD,E在下底⊙O2上,O2E⊥CD,F为O1E中点. (1)求证:O1E⊥平面O2CF; (2)求平面BDE与平面O2CF夹角的余弦值. 17.(15分)已知椭圆C:经过(﹣2,0),两点. (1)求C的方程. (2)过点T(t,0)的直线l与C交于A,B两点. (i)若,且,求l的倾斜角. (ii)若l的斜率不为0,t>0,是否存在点P(s,0),使得为定值?若存在,求出s的最小值;若不存在,请说明理由. 18.(17分)甲、乙、丙三名同学进行传球游戏,有1个红球和1个绿球,每一轮中,持有球的人都将手中的球传出,若某人持有1个球,就将此球等可能地传给另外两人中的一人,若某人持有2个球,就在这一轮中将2个球分别传出,每个球都等可能地传给另外两人中的一人,2个球的去向互不影响,每个球一轮中只传递一次.游戏开始时,2个球都在甲手中. (1)求2轮后2个球恰好都回到甲手中的概率; (2)设n轮后红球在甲手中的概率为pn,求pn; (3)设n轮后甲手中球的个数为Xn,Xn的期望为E(Xn),求E(X1)+E(X2)+E(X3)+⋯+E(Xn). 19.(17分)已知函数f(x)=a(ex﹣1﹣x)﹣lnx+x﹣1,a≥0. (1)求证:f(x)存在唯一零点; (2)设g(x)=aex﹣1+x﹣1,若存在x1,x2∈(0,+∞),使得g(x2)=g(x1)﹣f(x1),试比较和的大小