精品解析：广西玉林市北流市2025-2026学年高三下学期4月模拟数学试卷

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 26 B. 5 C. D. 3. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数且是奇函数，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 14 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 是指线上引流、线下消费的商业模式，近年来随着技术的渗透，特别是智能配送使得配送时效显著提升，为消费者提供了“沉浸式购物”新体验.已知2020年到2024年我国到家市场规模（单位：千亿元）依次为，则这个数据的（ ） A. 极差是 B. 中位数是 C. 60%分位数是 D. 平均数是 10. 已知函数的导函数为，则（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 在上单调递减 C. 曲线是中心对称图形 D. 存在常数，使对成立 11. 已知双曲线的渐近线方程为分别为的左、右顶点，的右焦点为 为上在第一象限内的一点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. 的离心率为3 B. C. 直线的斜率之积为定值 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为______． 13. 已知为等差数列的前项和，若，则___________. 14. 如图，在正三棱柱中，，与平面平行的平面截三棱柱得到截面，若几何体的体积为，且几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）化简的表达式并求的值； （2）在中，内角所对的边分别为，若的面积为，求. 16. 在某次运动会期间，有学生10人为运动员服务.由于5000米跑，跳远，铅球比赛是同时进行的，所以他们10人分成了三组分别服务这3个赛项.4人服务于5000米赛跑，3人服务于跳远比赛，3人服务于铅球比赛.赛后从这10人中随机选出3人作为代表参加座谈会. （1）设为事件“选出的3人服务的赛项互不相同”，求事件发生的概率； （2）设为选出的3人中服务的赛项是5000米跑的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，，点是棱的中点，点是棱上的一点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 设点为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线交于两点，. （1）求的方程； （2）圆与轴的正、负半轴分别交于两点，与在第一象限交于点. （i）若直线的倾斜角为，求的值； （ii）若直线与的另一个交点分别为，直线与直线相交于点，求的面积取得最小值时，的值. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时， （i）证明：恰有两个零点； （ii）在（i）的条件下，证明：，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 已知复数，则（ ） A. 26 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知. 所以. 3. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，由，得， 即,所以. 4. 若函数且是奇函数，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为是奇函数，所以， 又且，所以. 当时，是奇函数. 故满足题意. 5. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 【详解】设，则， 因为，所以，所以. 故选：A. 6. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由条件得，整理得. 可得的公比，则. 7. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 14 【答案】C 【解析】 【详解】因为的二项展开式中，通项公式是， 所以展开式中的常数项为与中项的乘积、与中项的乘积、与中项的乘积之和. 因为的展开式中不含项， 所以展开式中的常数项为. 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将等式两边平方化简可得，从而得到，利用即可求解. 【详解】由得，两边平方得， 解得或， 又，所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 是指线上引流、线下消费的商业模式，近年来随着技术的渗透，特别是智能配送使得配送时效显著提升，为消费者提供了“沉浸式购物”新体验.已知2020年到2024年我国到家市场规模（单位：千亿元）依次为，则这个数据的（ ） A. 极差是 B. 中位数是 C. 60%分位数是 D. 平均数是 【答案】ABD 【解析】 【详解】极差为，故A正确； 中位数是，故B正确； ，所以分位数是与的平均数，故C错误； ，故D正确. 10. 已知函数的导函数为，则（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 在上单调递减 C. 曲线是中心对称图形 D. 存在常数，使对成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于函数的对称性，可通过判断之间的关系来确定；对于函数的单调性，可通过求导并分析导数的正负来判断；对于选项D，可通过分析导数的表达式来判断是否存在常数满足条件. 【详解】对于A：因为函数，所以. 所以， 所以根据中心对称图形的性质可知，曲线关于点对称，是中心对称图形，A正确； 对于B：因为函数的导函数为，所以. 因为，所以当时，，此时， 所以此时在上单调递减； 当时，，此时， 所以此时在上单调递减； 综上，在上单调递减，B正确； 对于C：，，所以， 所以为偶函数，关于轴对称，不是中心对称图形，C错误； 对于D：当时，，此时，； 当时，不等式化简为，而，所以要使得不等式恒成立， 则，所以存在常数，使对成立，D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线的渐近线方程为分别为的左、右顶点，的右焦点为 为上在第一象限内的一点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. 的离心率为3 B. C. 直线的斜率之积为定值 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据渐近线与焦点条件，求出双曲线的标准方程与基本参数；接着，对每个选项分别运用双曲线的离心率公式、两点间距离公式、斜率定值推导、点到直线距离公式，并结合余弦定理与均值不等式，逐一验证选项的正确性. 【详解】选项A：因为双曲线 ，渐近线为 ， 所以，故 ，即， 因为右焦点 ，故 ， 所以，所以， 所以的离心率为，A错误； 选项B：由得，又，解得， 则的方程为， 设,，则，即： ， 则 ， 因为 ，所以 ，故 ，B正确； 选项C：由上可知，， 设 ，则：， 因为由，得 ， 所以 ，C正确； 选项D：因为渐近线方程为 ， 其两条渐近线夹角为 ，且，是垂线，因此与的夹角是 ， 则点 到两条渐近线的距离： 设 ，所以，所以， 由余弦定理得： ， 代入双曲线方程 ， ， 因为 在第一象限，，所以 ，故： ，所以， 故 的取值范围为 ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，结合导数的运算、直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】由， 所以在点处切线的斜率为， 因此切线方程为：， 故答案为： 13. 已知为等差数列的前项和，若，则___________. 【答案】14 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式求得首项和公差，再计算. 【详解】设等差数列的公差为，由，得 解得则 14. 如图，在正三棱柱中，，与平面平行的平面截三棱柱得到截面，若几何体的体积为，且几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用棱柱体积公式求得边长，分别求出两个平面和平面的外接圆半径，圆心分别为和，由球心在上，按照在平面上方和下方分类讨论求得球的半径，从而可得表面积.. 【详解】方法一：因为， 所以，又，所以， ，即， 因为到的距离为，所以到的距离为， 如图，设正方形的外接圆圆心为，半径， 设正方形的外接圆圆心为，半径， 已知几何体的所有顶点均在同一个球面上， 设此球的半径为，若球心在平面下方，则（舍）， 若球心在平面的上方，则解得， 故该球的表面积为. 方法二：因为， 所以，又，所以， 即，如图，设四边形的外接圆的半径为， 由余弦定理可得， 故，故，已知几何体的所有顶点均在同一个球面上， 则该球的半径为，所以该球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）化简的表达式并求的值； （2）在中，内角所对的边分别为，若的面积为，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和辅助角公式化简即可得到，将代入即可求解； （2）结合(1)问可得，利用三角形的面积公式以及余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由已知， ， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，即. 又，所以. 因为的面积为，所以，所以. 由余弦定理，得， 则. 16. 在某次运动会期间，有学生10人为运动员服务.由于5000米跑，跳远，铅球比赛是同时进行的，所以他们10人分成了三组分别服务这3个赛项.4人服务于5000米赛跑，3人服务于跳远比赛，3人服务于铅球比赛.赛后从这10人中随机选出3人作为代表参加座谈会. （1）设为事件“选出的3人服务的赛项互不相同”，求事件发生的概率； （2）设为选出的3人中服务的赛项是5000米跑的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式结合组合数的计算求解； （2）利用超几何分布求解即可. 【小问1详解】 由已知，有， 所以事件发生的概率为. 【小问2详解】 因为有4人服务于5000米赛跑，所以随机变量的所有可能取值为0，1，2，3. 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，，点是棱的中点，点是棱上的一点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)连接，利用几何关系证明，结合线面垂直的性质可得，利用线面垂直判定定理证明平面即可得到结论； (2)以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别表示出各点坐标，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 连接，如图所示，则， 所以，又，所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 由平面平面，故，又底面是矩形，故，故两两垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 设平面的一个法向量，又， 所以可得， 令，解得， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量，又， 所以可得，令，解得， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 设点为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线交于两点，. （1）求的方程； （2）圆与轴的正、负半轴分别交于两点，与在第一象限交于点. （i）若直线的倾斜角为，求的值； （ii）若直线与的另一个交点分别为，直线与直线相交于点，求的面积取得最小值时，的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）根据即可求解； （2）（i）求出点的坐标，联立圆与抛物线方程求出点的坐标，利用两点间的斜率公式化简即可求解； （ii）根据题意可得，分别表示出直线的方程与抛物线联立，得到点的坐标，过点作，垂足为，相似三角形性质可得，从而得到，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题知，点. 因为过点且与轴垂直，所以，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）由题知. 联立解得或（舍去）， 所以，所以，解得或（舍去），故. （ii）由题知圆的圆心为， 设，则， 所以圆的方程可化为， 所以. 设直线的方程为，联立得，所以. 因为，所以. 又直线的方程为， 联立得， 所以. 因为，所以. 过点作，垂足为，则， 直线的方程为，① 又直线的方程为，② 联立①②，得点， 所以， 所以，由相似三角形性质可得， 所以， 因为， 则， 所以，当且仅当时，等号成立 故，即的面积的最小值为，此时. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时， （i）证明：恰有两个零点； （ii）在（i）的条件下，证明：，且. 【答案】（1）的极大值为，无极小值 （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先代入求出函数解析式，再求导得到导函数表达式，通过判断导函数在不同区间的正负确定原函数的单调区间，依据单调性找出函数极值点，代入极值点坐标算出极大值并判定无极小值。 （2）（i）先对含参函数求导，求出导数零点划分函数单调区间，进而得到函数最大值并构造关于参数的新函数，对新函数求导判断单调性，证明函数最大值恒大于0，再选取特殊点计算函数值均为负值，结合函数单调性与零点存在性定理，分步证明函数在不同区间各有唯一零点，最终确定函数恰有两个零点并锁定零点取值范围. （ii）先构造辅助函数，求导分析单调性得到最值，推出不等式，将其代入零点满足的方程，放缩化简后证得的下界不等式；再构造另一辅助函数，同理求导判单调性得对应指数放缩不等式，代入零点的方程作放缩变形，逐步化简分式并结合已有范围，最终推导出与的大小不等关系. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 （i），令，得，易知在上单调递增，在上单调递减； 故. 令，则，因为. 所以， 所以在上单调递增， 因为，所以在上存在唯一的零点，即； 又， 记，则，所以在上单调递减， 所以，故， 因此在上存在唯一的零点，即. 结合的单调性可知，恰有两个零点且. （ii）设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 即，所以， 所以， 故. 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 又 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $