广西壮族自治区南宁市第二中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

2024-2025学年广西南宁二中高三（下）月考数学试卷（2月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，若P∪M＝M，则集合P可以为（　　） A．{3} B．[﹣1，1] C．（0，3） D．[﹣1，3] 2．（5分）若函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x＝对称，则φ的值为（　　） A． B． C． D． 3．（5分）若复数z满足z﹣＝2i，z＝i，则z＝（　　） A．2+i B．2﹣i C．1+i D．1﹣i 4．（5分）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（　　） A．（﹣2，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1） 5．（5分）过点P（﹣2，4）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25的切线l，直线m：ax﹣3y＝0与直线l平行，则a的值为（　　） A．4 B．2 C． D． 6．（5分）如图1，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄共法师为保存经卷、佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，如图2塔顶是正四棱锥P﹣ABCD则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（　　） A． B． C． D． 7．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c若cos（A﹣C）＝1﹣cosB，c＝3a，则cos2A的值为（　　） A． B． C． D． 8．（5分）刘老师沿着某公园的环形跑道（周长大于1km）按逆时针方向跑步，他从起点出发，并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）下列说法正确的是（　　） A．若随机变量X服从正态分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.2 B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 C．若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是﹣4 （多选）10．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于两点A，B，O为坐标原点，则（　　） A．C的准线方程为x＝﹣2 B．若|AF|＝4，则 C．若|AF|•|BF|＝4p2，则l的斜率为 D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|＝5 （多选）11．（6分）已知函数的部分图象如图1所示，A、B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于A′，点C为该部分图象与x轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（　　） A． B． C．图2中， D．图2中，S是△A′BC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S||AQ|≤2}，则T表示的区域的面积大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣e3x，则f（ln2）＝ 　 　 ． 13．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 　 　 种（用数字作答）． 14．（5分）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为10cm，开口直径为6cm．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点B时，椭圆的离心率等于 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人模型的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50%． （1）在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望； （2）设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人模型的回答被采纳的概率为80%，求p的值． 16．（15分）已知数列{an}的前n项和Sn满足，且a1＝1． （1）求Sn； （2）求数列{an}的通项公式； （3）记，Tn为{bn}的前n项和，求使成立的n的最小值． 17．（15分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx+1（a，b∈R，ab≠0）． （1）当f（x）在x＝1处取得极小值﹣1时，求f（x）的解析式； （2）当a＝b时，求f（x）在区间上的最值； （3）当a＞0且b＝1时，若x∈（1，+∞），f（x）＞0，求a的取值范围． 18．（17分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为，面积为． （1）求E的方程． （2）设E的左、右顶点分别为A，B，直线l方程为：与E交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点（不同于左右顶点），记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2． （i）证明：． （ii）是否存在实常数λ，使得k1＝λk2恒成立． 19．（17分）我们规定：在四面体P﹣ABC中，取其异面的两条棱的中点连线称为P﹣ABC的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”． （1）如图1，在四面体P﹣ABC中，Mi（i＝1，2，…，6）分别为所在棱的中点，证明：P﹣ABC的三条内棱交于一点． （2）同图1，若P﹣ABC为垂棱四面体，M1M2＝2，M3M4＝4，M5M6＝6，求直线PB与平面ABC所成角的正弦值． （3）如图2，在空间直角坐标系中，xOy平面内有椭圆C1：x2+＝1，F1为其下焦点，经过F1的直线y＝kx+m与C交于A、B两点，P为xOy平面下方一点，若P﹣ABO为垂棱四面体，则其外接球表面积S是k的函数S（k），求S（k）的定义域与最小值． 2024-2025学年广西南宁二中高三（下）月考数学试卷（2月份） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C A A D D B 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ACD BC AC 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，若P∪M＝M，则集合P可以为（　　） A．{3} B．[﹣1，1] C．（0，3） D．[﹣1，3] 【分析】根据子集的定义即可判断． 【解答】解：若P∪M＝M， 则P⊆M， 集合M＝{x|﹣1＜x＜3}， 则集合P可以为（0，3）． 故选：C． 2．（5分）若函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x＝对称，则φ的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性可得2•+φ＝kπ+，k∈Z，由此求得 φ的值． 【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x＝对称， ∴2•+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝kπ+，∴φ＝， 故选：A． 3．（5分）若复数z满足z﹣＝2i，z＝i，则z＝（　　） A．2+i B．2﹣i C．1+i D．1﹣i 【分析】根据共轭复数，复数的运算及相等复数概念得解． 【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则， ∵z﹣＝2bi＝2i，解得：b＝1， 又，∴a+i＝i（a﹣i），解得a＝1，故z＝1+i． 故选：C． 4．（5分）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（　　） A．（﹣2，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1） 【分析】先求出，然后利用投影向量的公式求解． 【解答】解：由，得， 又，所以， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：A． 5．（5分）过点P（﹣2，4）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25的切线l，直线m：ax﹣3y＝0与直线l平行，则a的值为（　　） A．4 B．2 C． D． 【分析】根据两条直线平行，求出直线l的方程为ax﹣3y+2a+12＝0，然后根据直线l与圆C相切，利用点到直线的距离公式算出a的值，可得答案． 【解答】解：由题意，圆C的圆心为C（2，1），半径r＝5． 因为直线l经过P（﹣2，4）与直线m：ax﹣3y＝0平行， 所以直线l的方程为a（x+2）﹣3（y﹣4）＝0，可得ax﹣3y+2a+12＝0． 由直线l与圆C相切，可得直线l到点C的距离d＝r， 即＝5，整理得a2﹣8a+16＝0，解得a＝4． 故选：A． 6．（5分）如图1，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄共法师为保存经卷、佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，如图2塔顶是正四棱锥P﹣ABCD则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用正四棱锥的几何结构特征，设底面边长为a，则底面是正方形，求出底面面积，再利用侧棱与底面所成的角为45°，求出PA，得到△PAB是正三角形，求出其面积，然后计算比值即可． 【解答】解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD， 如图，PO是正四棱锥的高， 设底面边长为a，底面积为， 因为， 所以， 所以△PAB是正三角形，面积为， 所以． 故选：D． 7．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c若cos（A﹣C）＝1﹣cosB，c＝3a，则cos2A的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用两角和公式对原式进行整理求得sinAsinC的值，然后利用正弦定理求得sinA和sinC的关系，进而求得sinA，最后通过二倍角公式求得答案． 【解答】解：∵cos（A﹣C）＝1﹣cosB， ∴cosAcosC+sinAsinC＝1+cos（A+C）＝1+cosAcosC﹣sinAsinC， ∴sinAsinC＝， ∵c＝3a， ∴sinC＝3sinA， ∴3sin2A＝， ∴cos2A＝1﹣2sin2A＝1﹣2×＝． 故选：D． 8．（5分）刘老师沿着某公园的环形跑道（周长大于1km）按逆时针方向跑步，他从起点出发，并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解． 【解答】解：设公园的环形道的周长为t，刘老师总共跑的圈数为x，（x∈N*）， 则由题意，所以＜t＜， 所以＜＜，因为xt＝11，所以＜x＝＜，又x∈N*，所以x＝8， 即刘老师总共跑的圈数为8． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）下列说法正确的是（　　） A．若随机变量X服从正态分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.2 B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 C．若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是﹣4 【分析】由题意，根据正态分布曲线的对称性即可判断选项A；结合百分位数的定义即可判断选项B；利用相关系数的概念即可判断选项C；根据线性方程必过样本点中心，将坐标代入即可判断选项D． 【解答】解：对于选项A：若随机变量X服从正态分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7， 则P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣0.5＝0.2，故选项A正确； 对于选项B：已知一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22， 该组数据共有10个数， 因为10×60%＝6， 所以第60百分位数为＝15，故选项B错误； 对于选项C：若线性相关系数|r|越接近1， 则两个变量的线性相关性越强，故选项C正确； 对于选项D：已知线性回归方程为， 因为样本点的中心为（m，2.8）， 所以2.8＝0.3m﹣m， 解得m＝﹣4，故选项D正确． 故选：ACD． （多选）10．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于两点A，B，O为坐标原点，则（　　） A．C的准线方程为x＝﹣2 B．若|AF|＝4，则 C．若|AF|•|BF|＝4p2，则l的斜率为 D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|＝5 【分析】根据抛物线p的几何意义求出p，即可得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义判断A、B、D，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x＝my+1，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据焦半径公式计算即可判断C； 【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，所以p＝2， 所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，故A错误； 若|AF|＝4，则xA＝3，所以＝4xA＝12，所以|OA|＝＝，故B正确； 可设A（x1，y1），B（x2，y2）， 直线AB的方程为x＝my+1，与抛物线y2＝4x联立， 消去x，可得y2﹣4my﹣4＝0， 可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4， 由抛物线的定义可得|AF|•|BF|＝（x1+1）（x2+1）＝（my1+2）（my2+2）＝16， 即m2y1y2+2m（y1+y2）+4＝16，即﹣4m2+8m2+4＝16， 解得m＝，则直线AB的斜率为，故C正确； 对于D，若x轴平分∠HFB，则∠OFH＝∠OFB，又AH∥x轴， 所以∠AHF＝∠OFH＝∠OFB＝∠AFH，所以HF＝AF＝AH， 所以＝xF，即xA＝3，所以|AF|＝xA+1＝4，故D错误． 故选：BC． （多选）11．（6分）已知函数的部分图象如图1所示，A、B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于A′，点C为该部分图象与x轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（　　） A． B． C．图2中， D．图2中，S是△A′BC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S||AQ|≤2}，则T表示的区域的面积大于 【分析】在图2中，以点O为坐标原点，、的方向分别为y′、z′轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣x′y′z′，根据已知条件求出λ的值，即可判断A；结合φ的取值范围求出φ的值，可判断B；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C；求出cos∠BA′C，结合扇形的面积公式可判断D． 【解答】解：函数f（x）的最小正周期为， 在图2中，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣x′y′z′， 对于A，B，设点A′（0，t，0），则点A（0，t，λ）、B（λ，t+2，0）， ，因为λ＞0，解得，故A正确； 所以，则，可得， 又因为函数f（x）在x＝0附近单调递减，且0＜φ＜π，所以，，故B错误； 对于C，因为，可得， 又因为点A是函数f（x）的图象在y轴左侧距离y轴最近的最高点，则，可得， 所以， 因为点C是函数f（x）在y轴右侧的第一个对称中心，所以，，可得， 翻折后，则有、，、、 所以，， 所以在图2中，，故C正确； 对于D，在图2中，设点Q（x，y，0），， 可得， ，，， 易知∠BA′C为锐角，则， 所以，区域T是坐标平面x′Oy′内以点A′为圆心，半径为|A′C|＝1，且圆心角为∠BA′C的扇形及其内部， 故区域T的面积，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣e3x，则f（ln2）＝ 　　 ． 【分析】利用奇函数的性质求解即可． 【解答】解：根据题意，ln2＞0，则﹣ln2＜0 故， 则． 故答案为：． 13．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 　20　 种（用数字作答）． 【分析】分甲和乙站前排，丙站后排和甲和乙站后排，丙站后排两类情况，根据分类加法原理和分步乘法原理即可求解． 【解答】解：当甲和乙站前排，丙不站前排，即丙站后排时，甲和乙须左右相邻，不同站法有（种）； 当甲和乙站后排，丙站后排时，甲和乙须左右相邻，不同站法有（种）， 所以不同的站法共有12+8＝20（种）． 故答案为：20． 14．（5分）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为10cm，开口直径为6cm．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点B时，椭圆的离心率等于 　　 ． 【分析】依题意，利用等腰三角形ABC求得cosα，再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点P，Q，建立坐标系，利用相似三角形求出点P坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得． 【解答】解：设∠BCD＝α，该纸杯母线长为10cm，开口直径为6cm．可知AB＝AC＝10，BC＝6，故，如图所示： 又∵CD＝5， 由余弦定理，， 即， 设椭圆中心为O，作圆锥的轴截面AMN，与底面直径BC交于E，与椭圆交于P，Q， 连AE交BD于G，以点O为原点，DB为x轴，建立直角坐标系， 过E点作EH∥BD， 则， ， 则， △ADG∽△AHE， 则， 又由△APQ∽△AMN得：， ， 从而， 则得， 不妨设椭圆方程为，把和点P坐标代入方程， 解得， 则， 故． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人模型的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50%． （1）在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望； （2）设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人模型的回答被采纳的概率为80%，求p的值． 【分析】（1）ξ的所有取值为2，3，4，求出对应的概率，可得分布列及数学期望； （2）由全概率公式表示出回答被采纳的概率，结合已知可得关于p的方程，解方程即可得解． 【解答】解：（1）由题意可得ξ的所有可能取值为2，3，4， ， ， ， 所以ξ的分布列为： ξ 2 3 4 P 数学期望． （2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，则“输入的问题有语法错误”为事件，记“回答被采纳”为事件B， 由已知得，P（B）＝0.8，P（B|A）＝0.9，P（B|）＝0.5，P（）＝p，P（A）＝1﹣p， 因为P（B）＝P（AB）+P（B） ＝P（A）•P（B|A）+P（）•P（B|） ＝0.9（1﹣p）+0.5p＝0.9﹣0.4p， 所以0.9﹣0.4p＝0.8，解得p＝0.25． 16．（15分）已知数列{an}的前n项和Sn满足，且a1＝1． （1）求Sn； （2）求数列{an}的通项公式； （3）记，Tn为{bn}的前n项和，求使成立的n的最小值． 【分析】（1）由等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）由数列的通项与求和的关系，可得所求通项公式； （3）由数列的裂项相消求和，以及二次不等式的解法，可得所求最小值． 【解答】解：（1）数列{an}的前n项和Sn满足，且a1＝1， 可得数列{}是首项和公差均为1的等差数列， 即有＝1+n﹣1＝n，即Sn＝n2； （2）当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，对n＝1也成立， 则an＝2n﹣1，n∈N*； （3）＝＝（﹣）， 可得Tn＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝（1﹣）＝， 不等式，即为≥，即n2﹣4n﹣2≥0，解得n≥2+， 则n的最小值为5． 17．（15分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx+1（a，b∈R，ab≠0）． （1）当f（x）在x＝1处取得极小值﹣1时，求f（x）的解析式； （2）当a＝b时，求f（x）在区间上的最值； （3）当a＞0且b＝1时，若x∈（1，+∞），f（x）＞0，求a的取值范围． 【分析】（1）求f′（x），由题意可得，解方程求出a，b，即可求出f（x）； （2）对a分类讨论求出f（x）的最大值即可； （3）对f（x）求导，得到f（x）的单调性，对a分类讨论，要使x∈（1，+∞），f（x）min＞0即可． 【解答】解：（1）因为f（x）＝axlnx﹣bx+1（a，b∈R，ab≠0），所以f′（x）＝a（lnx+1）﹣b， 又f（x）在x＝1处取得极小值﹣1，所以f（1）＝﹣1，f′（1）＝0， 即，解得所以f（x）＝2xlnx﹣2x+1， 此时f′（x）＝2lnx， 所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增， f（x）在x＝1处取得极小值﹣1，满足题意， 综上，f（x）的解析式为f（x）＝2xlnx﹣2x+1． （2）当a＝b时，f（x）＝axlnx﹣ax+1（a≠0），f′（x）＝alnx， ①当a＞0时，f（x）在内单调递减，在（1，3）内单调递增，所以f（x）的最小值为f（1）＝1﹣a， 又，f（3）＝（3ln3﹣3）a+1， 所以， 故f（x）的最大值为f（3）＝（3ln3﹣3）a+1； ②当a＜0时，f（x）在内单调递增，在（1，3）内单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）＝1﹣a， 此时， 故f（x）的最小值为f（3）＝（3ln3﹣3）a+1； 综上，当a＞0时，f（x）在区间上的最小值为f（1）＝1﹣a，最大值为f（3）＝（3ln3﹣3）a+1； 当a＜0时，f（x）在区间上的最大值为f（1）＝1﹣a，最小值为f（3）＝（3ln3﹣3）a+1． （3）当a＞0且b＝1时，f（x）＝axlnx﹣x+1，f′（x）＝alnx+a﹣1， 令f′（x）＝0，解得，所以f（x）在内单调递减，在内单调递增， ①当a≥1时，，f（x）在（1，+∞）内单调递增，所以f（x）＞f（1）＝0； ②当0＜a＜1时，，f（x）在内单调递减，在内单调递增； 所以，不满足题意，综上，a的取值范围为[1，+∞）． 18．（17分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为，面积为． （1）求E的方程． （2）设E的左、右顶点分别为A，B，直线l方程为：与E交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点（不同于左右顶点），记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2． （i）证明：． （ii）是否存在实常数λ，使得k1＝λk2恒成立． 【分析】（1）设椭圆E方程为（a＞b＞0），依题意建立关于a、b、c的方程组，解得a、b、c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）联立直线与椭圆的方程，消元得关于y的一元二次方程，由韦达定理即可证明；（ii）表示出，结合（i）的结论计算化简，即可求解． 【解答】解：（1）设椭圆E的方程为（a＞b＞0）， 因为MF2⊥F1F2，且M在椭圆上，不妨设点M在第一象限，则， △MF1F2的周长为，即①， ，则a＝3b2②，又a2＝b2+c2③， 联立①②③解得，所以椭圆E的方程为． （2）由椭圆E的方程可得A（﹣3，0），B（3，0）． （i）证明：联立，消去x并整理得4（t2+9）y2+12ty﹣27＝0，Δ＝144t2+16×27（t2+9）＞0恒成立， 因为C（x1，y1），D（x2，y2），则，． 所以． （ii）依题意有，， 则 ＝＝， 所以，即存在实常数，使得恒成立． 19．（17分）我们规定：在四面体P﹣ABC中，取其异面的两条棱的中点连线称为P﹣ABC的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”． （1）如图1，在四面体P﹣ABC中，Mi（i＝1，2，…，6）分别为所在棱的中点，证明：P﹣ABC的三条内棱交于一点． （2）同图1，若P﹣ABC为垂棱四面体，M1M2＝2，M3M4＝4，M5M6＝6，求直线PB与平面ABC所成角的正弦值． （3）如图2，在空间直角坐标系中，xOy平面内有椭圆C1：x2+＝1，F1为其下焦点，经过F1的直线y＝kx+m与C交于A、B两点，P为xOy平面下方一点，若P﹣ABO为垂棱四面体，则其外接球表面积S是k的函数S（k），求S（k）的定义域与最小值． 【分析】（1）利用两内棱的端点构成四边形为平行四边形，然后证明两个内棱相交且互相平分，然后得到三个内棱相交于同一点且互相平分； （2）由定义易证：四边形M1M3M2M4为菱形，于是再由中位线定理，其对棱相等，所以可以补形为长方体，然后建立空间直角坐标系求解即可； （3）由（2）易知棱长与外接球表面积的关系，然后设A（x1，y1），B（x2，y2），求得直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得：， 求得然后利用三角形ABO为锐角三角形求得最后求最值即可． 【解答】解：（1）证明：如图，连接M1M2，M3M4，M1M3，M1M4，M3M2，M4M2， 由题可知，M1M3平行且等于，M2M4平行且等于， 所以M1M3平行且等于M2M4， 所以四边形M1M3M2M4为平行四边形， 所以对角线M1M2∩M3M4＝O，O为线段M1M2中点， 同理M1M2∩M5M6＝O，O为线段M1M2中点， 故P﹣ABC的三条内棱交于一点O． （2）由（1）可知，四边形M1M3M2M4为平行四边形， 若P﹣ABC为垂棱四面体，则四边形M1M3M2M4为菱形， 即M1M3＝M1M4， 显然PB＝2M1M3，AC＝2M1M4， 故PB＝AC， 同理PA＝BC，PC＝AB， 如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系B﹣xyz， 因为M1M2＝2，M3M4＝4，M5M6＝6， 所以有A（4，6，0），B（0，0，0），C（0，6，2），P（4，0，2）， 所以，， 设平面ABC的一个法向量为， 则，则， 令y＝﹣2，解得x＝3，z＝6， 所以， 直线PB与平面ABC所成角的正弦值为． （3）由（2）易知将P﹣ABO补成长方体，设长宽高分别设为a、b、c， 则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半即：， 则：S＝4πR2＝π（a2+b2+c2）， 显然AB2＝a2+b2，BO2＝b2+c2，AO2＝a2+c2， 所以， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为直线y＝kx+m过椭圆焦点F1， 所以m＝﹣1 联立， 得（2+k2）x2﹣2kx﹣1＝0， 显然Δ＞0， 由韦达定理可知，，得， 所以， 所以， 整理得， 得， 所以， 由于△ABO为某长方体的三个顶点由余弦定理可知A、B、O均为锐角， 显然△ABO中角A、B均为锐角， 所以只需角O锐角，即：， 得， 解得， 由的定义域为， ， 所以当最大时，最小， 不妨令， 所以， 因为， 由对勾函数性质可知，当t＝10时，有最大值， 此时k＝0， 故S（k）的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$