山东潍坊市某校2025-2026学年高一上学期第一次段考数学试题

**基本信息** 高一上学期第一次段考数学试题，聚焦集合与常用逻辑用语基础，通过基础辨析（如第1题集合关系判断）、新定义应用（第8题集合元素个数新定义）及综合问题（第19题二次方程与集合结合），考查抽象能力与推理意识，适配高一初始阶段知识巩固与思维培养需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合关系（第1题）、充分必要条件（第2题）、韦恩图应用（第3题）|基础概念辨析，结合符号语言与图表表征| |多选题|3|集合运算（第9题）、不等式性质（第10题）|多角度考查易错点，培养批判性思维| |填空题|3|命题否定（第12题）、充要条件判断（第13题）|强化逻辑表达，注重细节理解| |解答题|5|集合运算与参数范围（第15题）、二次不等式求解（第17题）、方程与集合综合（第19题）|梯度设计，从基础运算到创新应用，体现数学思维的严谨性|

2025级高一上学期第一次段考—数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列写法：（1）{0}∈{2，3，4}；（2）∅⊆{0}；（3）{-1，0，1 }={0，-1，1}；（4）0∈∅，其中错误写法的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 4．已知是成立的必要非充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．下列说法中，错误的是（    ） A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 8．记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．设集合，则下列表述不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．对于任意实数，，，，下列四个命题中为假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 11．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 12．已知命题，，那么为 ． 13．给出下列命题： ①已知集合，且，则集合的真子集个数是4； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 ④设，则“”是“”的必要不充分条件 其中所有正确命题的序号是 ． 14．对于实数x，当时，规定，例如不等式解集是 . 四、解答题 15．已知集合. (1)若，求，及 (2)若，求实数m的取值范围. 16．已知命题：，命题：， (1)若命题p为真，求集合A； (2)若命题p是命题q成立的充分条件，求实数的取值范围. 17．设函数 (1)若不等式的解集为，试求的值； (2)若，求不等式的解集. 18．已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 19．已知，一个二次项系数为的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足. (1)直接写出该一元二次方程； (2)若，求的取值范围； (3)若为正整数，记集合，若，且中元素个数不超过，求正整数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025级高一上学期第一次段考—数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A B A C C ABC AD 题号 11 答案 CD 1．B 【分析】由集合与集合的关系判断（1），由空集的性质判断（2）（4）；由集合的无序性以及集合相等的定义判断（3）. 【详解】由集合与集合的关系可知，（1）错误；空集是任何集合的子集，（2）正确；由集合的无序性以及集合相等的定义可知，（3）正确；空集是不含任何元素的集合，（4）错误； 故选：B 2．B 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】设, 由于，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．D 【分析】根据集合的交集和补集的定义进行求解即可. 【详解】图中阴影部分表示为：，因为集合，， 所以，而，所以， 故选：D 4．A 【分析】解不等式，由已知条件可得出集合的包含关系，由此可求得实数的取值范围. 【详解】解不等式，即，解得， 因为是成立的必要非充分条件，则，. 故选：A. 5．B 【分析】由两集合元素特点，逐个判断即可； 【详解】由， 当，，当，，当，，当，，当，， 所以，所以中有3个元素， 故选：B. 6．A 【分析】对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误. 对于B，由，可知，所以，所以.故B正确. 对于C，，因为， 所以，所以.故C正确. 对于D，因为，所以.又，所以.故D正确. 故选：A. 7．C 【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 8．C 【分析】根据给定条件可得或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，即可得出结果. 【详解】由定义得，又，则或， 由方程，得或， 当时，方程只有一个实数根， 而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此； 当时，必有，方程有两个不相等的实数根， 并且都不是方程的根， 显然方程有两个相等的实数根，且异于， 于是，解得或， 当时，方程的根为，满足题意， 当时，方程的根为，满足题意， 因此或，所以，. 故选：C 9．ABC 【解析】将集合化简可得，然后再根据元素与集合的关系及集合与集合的关系，判断各选项即可. 【详解】因为，所以，，，. 故选：ABC. 10．AD 【分析】利用特殊值判断A、D，根据不等式的性质判断B、C. 【详解】对于A ，当时，满足条件，，但是，所以A为假命题； 对于B，因为，所以，所以，所以成立，所以B为真命题； 对于C，因为，所以且，所以，所以C为真命题； 对于D，当，，，时，满足条件，，但是，所以D为假命题． 故选：AD． 11．CD 【分析】根据题意可得：，且是的真子集，根据真子集关系分析可得，对比选项判断即可. 【详解】对于，因为， 则，解得，即：， 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 则，结合选项可知AB错误，CD正确. 故选：CD. 12．，. 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解. 【详解】因为命题p是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即，． 故答案为：，. 13．③④ 【分析】①根据集合描述列举出元素，进而判断真子集个数；②③④由充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可判断正误. 【详解】①，故真子集个数为个，错误； ②由，可得或，故“”是“”的充分不必要条件，错误； ③由开口向上且对称轴为，只需即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确； ④当，时，不成立；当时，且，故“”是“”的必要不充分条件，正确. 故答案为：③④ 14． 【分析】根据题意，先求出的取值范围，结合函数的含义，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，不等式，解可得：， 又由为正整数，则， 故有，即不等式的解集为； 故答案为：． 15．(1)，，或. (2) 【分析】（1）利用并集、交集、补集运算求解即可； （2）根据交集运算列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，，又， 所以，， 所以或. （2）因为，所以或， 又，，所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 16．(1)； (2). 【分析】（1）直接解不等式即得解； （2）首先求出的解集为，，根据命题是命题成立的充分条件，可以列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：（1）若命题为真，则，即， 解集为．所以 （2）解：命题为真，则，即， 又因为，所以集合， 因为命题是命题成立的充分条件，可以列出方程组， 解得， 所以的取值范围为． 17．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解集确定1和3是方程的两个根，结合韦达定理即可求得答案； （2）求出方程的两根为和2，分类讨论两根的大小，即可求得不等式解集. 【详解】（1）由题意知1和3是方程的两个根，且， 即有， 解得. （2），则不等式，即 即， 因为，方程的两根为和2， 所以： ①当，即时，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当且，即时，不等式的解集为. 18．(1) (2)或 【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值. （2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围. 【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 19．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出，利用根与系数的关系可写出该一元二次方程； （2）分析可知，以及已知条件和，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）根据题意可得出，再由可得出的取值范围，确定正整数的可能取值，然后结合题意逐一检验即可. 【详解】（1）解：因为，则， 所以，， 所以，这个一元二次方程为，即， 即. （2）解：因为 ，可得， 因为，则，可得，则， 对于方程，，可得， 所以，，解得或， 因此，实数的取值范围是或. （3）解：由，可得， 因为集合，，且中元素个数不超过， 则，即， 可得，所以，， 所以，正整数的可能取值集合为， 当时，方程为，解得，，则，合乎题意； 当时，方程为，解得，， 此时，，合乎题意. 综上所述，正整数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题的解题关键在于根据中的元素不超过，分析出，在求出的可能取值后，逐一检验即可. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $