2.2 简谐运动的回复力和能量（高效培优·讲义）物理沪科版选择性必修第一册

本高中物理讲义聚焦简谐运动的回复力和能量核心知识点，系统梳理回复力的定义、方向、表达式（F=-kx）及加速度规律（a=-kx/m），深入分析简谐运动中动能与势能的转化特点、机械能守恒原理，构建从概念理解到规律应用（如判断简谐运动的运动学与动力学方法）的完整学习支架。 资料以目标导航明确物理观念培养，通过深化点拨（如物理量变化顺序分析）助力模型建构，避坑指南专题（证明简谐运动步骤）强化科学推理。真题与分阶练习（含手机地震预警等实例）兼顾课中教学辅助与课后查漏补缺，提升学生科学探究能力与问题解决效率。

2.2 简谐运动的回复力和能量 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 简谐运动的回复力 考点02 简谐运动的能量 03 避坑指南·解题通法 角度01 证明物体做简谐运动 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.初步形成回复力的概念。 2.理解简谐运动的能量。 1.能从力和运动的角度理解回复力是振动物体沿振动方向的合外力。 2.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。 考点01 简谐运动的回复力 1．回复力：能够使物体在 平衡位置　附近做往复运动的力。 2．效果：把物体拉回到 平衡　位置。回复力是效果力。 3．方向：总是与位移x的方向相反，即总是指向 平衡位置　。 4．表达式：说明：(1)k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k等于弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。 (2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 (3)x是指物体对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长量或压缩量。 (4)因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。 5．简谐运动的加速度：根据牛顿第二定律，a＝＝－x，表明简谐运动的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。 6．简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 正比　，并且总是指向 平衡　位置，物体的运动就是简谐运动。 》特别提醒 振动物体的平衡位置也可以说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置，但不一定是合力为零的位置。例如，物体沿圆弧振动时，物体经过平衡位置时回复力为零，但合力不为零。 【深化点拨】 简谐运动的判断方法 (1)运动学方法 找出质点的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，就可判定此振动为简谐运动。 (2)动力学方法 若回复力F与位移x间的关系满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是做简谐运动。具体步骤如下： ①质点静止时的位置即平衡位置； ②在振动过程中任选一位置(偏离平衡位置的位移为x)，对质点进行受力分析； ③对力沿振动方向进行分解，求出振动方向上的合力； ④判定振动方向上的合力与位移的关系是否符合F＝－kx即可。 1．如图所示，一轻质弹簧下端挂一小球，小球静止在O点。现将小球竖直向下拉动一段距离从Q由静止释放，小球以O点为中心点在P、Q间做简谐运动，下列说法正确的是（    ） A．小球在O位置时，机械能最大，加速度最小 B．小球在Q位置时，重力势能最小，速度最大 C．小球从位置P到O过程中，回复力的功率一直增大 D．小球从位置O到Q过程中，重力的功率一直减小 2．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动，向右为正方向。振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示。下列判断正确的是（     ） A．0.2s时振子的位移等于6cm B．0.4s时振子的速度最大 C．0.4s和1.2s时振子的回复力最大，动能最小 D．0.8s和1.6s时振子的速度相同 3．（多选）弹簧振子在水平方向振动，已知弹簧的劲度系数，振子的振动图像如图所示。图中A点对应的时刻，振子（     ） A．所受的弹力大小为5N B．所受的回复力大小为5N C．加速度方向沿x轴的负方向 D．速度方向沿x轴的负方向 考点02 简谐运动的能量 1．简谐运动的能量：指振动系统的机械能。振动过程就是 动能　和 势能　相互转化的过程。 (1)在最大位移处； 势能　最大， 动能　最小为零。 (2)在平衡位置处， 动能　最大， 势能　最小。 2．决定能量大小的因素 (1)对确定的振动系统，机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能越大，振动越强。 (2)在简谐运动中，振动系统的机械能 守恒　，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化的模型。 3．简谐运动中各物理量的变化 如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为： 物理量 运动过程 A→O O→B B→O O→A 位移 大小 减小 增大 减小 增大 方向 O→A O→B O→B O→A 回复力、 加速度 大小 减小 增大 减小 增大 方向 A→O B→O B→O A→O 速度 大小 增大 减小 增大 减小 方向 A→O O→B B→O O→A 动能 增大 减小 增大 减小 势能 减小 增大 减小 增大 总结：(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反。 (2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点。 (3)最大位移处是速度方向变化的转折点。 【深化点拨】 简谐运动中各物理量变化的两种分析顺序 (1)位移x回复力F加速度a速度v动能Ek势能Ep (2)位移x 4．如图所示：轻质弹簧的一端固定，另一端连接一物块，在光滑水平面上做简谐运动，物块在振动过程中，下列说法正确的是（     ） A．物块通过平衡位置时，弹簧的弹性势能最大 B．物块通过平衡位置时，物块的动能最大 C．物块运动到最大位移处时，物块的加速度为零 D．物块运动到最大位移处时，物块的速度最大 5．如图甲所示，两木块（均可视为质点）间连接一力传感器（厚度不计，质量不计），力传感器可以实时测量两木块间的作用力，下方木块与竖直轻弹簧连接。先用力将木块竖直下压，时刻从最低点释放木块，力传感器记录两木块之间的作用力大小F随时间t变化的情况如图乙所示。已知每块木块的质量均为m，弹簧劲度系数为k。弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度大小为g，以木块释放位置所在的水平面为重力势能的参考平面，下列说法正确的是（     ） A．木块的速度最大时，弹簧处于原长 B．木块做简谐运动的振幅为 C．弹簧的最大形变量为 D．两木块的最大重力势能为 6．（多选）如图甲所示，“笑脸弹簧小人”由头部、轻弹簧及底座组成，将弹簧小人静置于桌面上，其简化模型如图乙所示，头部在O点时刚好静止。现将头部压到B点由静止释放，头部在AB之间上下振动，底座恰好未能离开地面，不计空气阻力，头部和底座质量相同，且弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（     ） A．头部在上下振动过程中，头部的机械能守恒 B．头部在A点时的加速度大小为2 g C．头部从O点向A点运动过程中，加速度逐渐增大 D．头部从B点向O点运动过程中，整个装置的弹性势能与重力势能之和逐渐减小 简谐运动对称性的拓展应用 由F＝－kx可知，关于平衡位置对称的两点回复力等大反向，知道某一位置处的回复力，就可以知道与之对称位置处的回复力，与F合＝ma结合，可以求解相关物理量。 角度01 证明物体做简谐运动 1．利用分散在各地的手机内置加速度计可以构建地震预警网络。当地震波传来时，手机随地面一起振动，水平方向的运动可视为沿直线的简谐运动，周期（其中m为手机质量，k为水平回复力与相对平衡位置水平位移的大小之比，称为回复系数）。某次地震中，记录到某手机水平方向的加速度随时间变化的曲线为正弦曲线，如图所示。已知该手机质量，求该手机在水平方向上∶ (1)振动的周期和回复系数； (2)所受回复力的最大值和振动的振幅A。（结果可保留） 2．如图所示，一足够长的固定光滑斜面倾角为，底部有一垂直斜面的挡板，质量为m的物块B和质量为4m的物块A分别与劲度系数为k的轻弹簧两端拴接，物块B紧靠挡板，系统处于静止状态。质量为2m的物块C从斜面上与A相距的位置由静止释放，与A碰撞后粘连在一起成为一个整体。物块均看作质点，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g，弹性势能（其中k为轻弹簧的劲度系数、x为轻弹簧的形变量）。求： (1)C与A碰撞后瞬间整体的速度大小； (2)碰后A、C整体做简谐运动的振幅； (3)B对挡板的最大压力与最小压力之差。 3．如图所示，质量分别为mP=0.2kg和mQ=0.1kg可视为质点的小球P和Q用细线相连，P与一端固定的劲度系数k=50N/m的轻弹簧连接，系统静止在倾角为θ=30°的光滑斜面上。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，剪断细线。 (1)试证明剪断细线后球P的运动是简谐运动； (2)求P的振幅A及其在最高点受到弹簧的弹力大小。 4．如图所示，竖直轻弹簧两端连接质量均为m的两个小物块A、B置于水平地面上，都处于静止状态。将质量也为m的小物块C从A的正上方高为h处由静止释放，物块C与A碰后粘连在一起继续向下运动，此后两物块始终未分离，且t秒后到最低点。已知在后续的振动中，当A与C达到最高点时，B对地面的弹力恰好为零，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g，求： (1)A与C碰撞后的共同速度； (2)A与C碰撞后到最低点的过程中C对A的冲量大小； (3)弹簧弹力的最大值。 【例1】（2024·贵州）（多选）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在时刻（　　）    A．位移最大，方向为正 B．速度最大，方向为正 C．加速度最大，方向为负 D．受到的回复力大小为零 【变式1-1】真空中有一点P与微粒Q，Q在运动中受到指向P且大小与离开P的位移成正比的回复力，则下列情况有可能发生的是（   ） A．速度增大，加速度增大 B．速度增大，加速度减小 C．速度增大，加速度不变 D．速度减小，加速度不变 【变式1-2】（多选）如图，质量为m的小球穿在固定光滑杆上，与两个完全相同的轻质弹簧相连。开始时将小球控制在杆上的A点，弹簧1竖直且处于原长，弹簧2处于水平伸长状态，两弹簧可绕各自转轴，无摩擦转动。B为杆上的另一个点，与、A、构成矩形，。现将小球从A点释放，两弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．小球沿杆在AB之间做往复运动 B．与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短 C．小球从A点运动到B点的过程中，两个弹簧对小球做的总功为零 D．小球从A点运动到B点的过程中，弹簧2的弹性势能先减小后增大 【变式1-3】如图甲所示，一导体杆用两条等长细导线悬挂于水平轴，接入电阻R构成回路．导体杆处于竖直向上的匀强磁场中，将导体杆从竖直位置拉开小角度由静止释放，导体杆开始下摆。当时，导体杆振动图像如图乙所示。若横纵坐标皆采用图乙标度，则当时，导体杆振动图像是（　　） A． B． C． D． ⚡基础速刷 1．如图所示为某弹簧振子在0到5s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是（     ） A．振动周期为5s，振幅为8cm B．第2s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值 C．第3s内振子的加速度逐渐增大 D．从第3s末到第4s末振子动能越来越小 2．某弹簧振子做简谐运动的x-t图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．t1时刻，振子的加速度为0 B．该图像从平衡位置开始计时 C．t2时刻，振子偏离平衡位置的位移最小 D．t3时刻，振子正通过平衡位置向负方向运动 3．如图所示，固定的斜面体表面粗糙，顶端连接一轻质弹簧，弹簧另一端系一物块。开始时物块在外力作用下保持静止，弹簧处于压缩状态，撤去外力后物块恰好运动到点速度为零，此过程物块的速度、动量、加速度、动能大小随时间变化的图像，可能正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图所示，一个小球上端连接轻绳，下端连接轻弹簧，轻绳竖直且上端固定在一根水平直杆上，弹簧竖直且下端与地面固定连接，小球静止时位于点，弹簧处于拉伸状态。现剪断轻绳，小球向下运动距离到达点时弹簧恢复原长，再向下运动距离时速度减小为0，小球从点至点运动的时间为。重力加速度为，小球可看作质点，不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度范围内。下列说法正确的是（     ） A．小球运动到点时速度最大 B．小球做简谐运动的振幅为 C．小球做简谐运动的周期为 D．小球在点时的加速度一定大于 5．如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，质量均为的A、B两物体用轻弹簧拴接。对物体B施加一沿斜面向下的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，B沿斜面向上运动，当B运动至最高点时，A刚要离开挡板。已知弹簧的劲度系数，重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．物体B运动过程中，A、B和弹簧组成的系统机械能及动量均守恒 B．物体B沿斜面向上运动的过程中，弹簧恢复原长时物体B的速度最大 C．物体B静止于P点时，对物体B施加的压力F的大小为20N D．适当减小F，物体B从释放运动到最高点的时间将减小 6．一质点做简谐运动，其位移与时间的关系曲线如图所示，由图可知（     ） A．振幅为，频率为0.2 Hz B．时质点具有负方向最大加速度 C．从到的时间内质点的路程为 D．该质点的振动方程为 7．某质点做简谐运动的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是（     ） A．简谐运动的周期为2 s B．时质点的位移最大 C．简谐运动的振幅为 D．时质点的回复力最大 8．某钓鱼爱好者用粗细均匀的塑料直管制成如图所示的浮漂，浮漂在水中平衡时，O点恰好与水面平齐，A、B两点到O点的距离相等。现将浮漂向下按至A点与水面平齐后由静止释放，若不计阻力，浮漂做简谐运动，下列对于浮漂释放后的运动过程说法正确的是（     ） A．浮漂被释放瞬间，加速度为零 B．从释放开始，到第一次运动到图示状态，加速度逐渐增大 C．浮漂上的O点与水面平齐时，浮漂的速度最大 D．浮漂位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同 9．如图甲所示，某物理兴趣小组利用橡皮槌轻敲音叉演示简谐运动。如图乙所示，取叉臂上某质点来分析，其以O点为中心，在B、C之间做周期性的往返运动。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（     ） A．该质点的运动是匀变速运动 B．该质点到达C点时，具有向右的加速度 C．该质点在O点时的速度最大 D．该质点由B往C运动时，速度先减小后增大 10．如图甲所示，将一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿水平方向在、间做简谐运动，从平衡位置开始计时。取向方向为正，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期为 B．时，小球位移为 C．时，小球由向运动 D．小球在、位置，动能为零，加速度也为零 🚀能力跃升 11．（多选）如图甲所示，将滑块连接在弹簧上并放置于气垫导轨上，将滑块拉到某一位置后由静止释放，位移传感器记录下滑块位置随时间的变化图像如图乙所示，则下列关于该滑块的说法正确的是（　） A．完成一次全振动的时间为 B．在一个周期内运动路程为 C．在第末和第末时的速度相同 D．第内滑块的动能转化为弹簧的弹性势能 12．（多选）如图所示，底部距地面高为H的箱子通过轻弹簧悬挂一个小球，小球距箱子底部的高度为h。现将箱子由静止释放，箱子落地后瞬间，速度减为零且不会反弹。此后的运动过程中，小球的最大速度为v且一直未碰到箱底，箱子对地面的压力最小值为零。忽略空气阻力，弹簧劲度系数为k且形变始终在弹性限度内。箱子和小球的质量均为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．弹簧弹力的最大值为3mg B．箱子对地面的最大压力为3mg C．小球离地面的最小高度为 D．箱子与地面碰撞损失的机械能为 13．（多选）如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（    ） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．t=0.1 s时，弹簧振子的位移为2.5 cm C．从t=0到t=0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小 D．在t=0.2 s与t=0.6 s两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 14．如图所示，我们将弹簧振子从平衡位置O拉开一段距离到位置B再放开，它会在A、O、B之间做振动。 (1)分别从运动学和动力学的角度来看，如何判定物体的运动是简谐运动呢？ (2)完成1次全振动的时间内，振子运动的路程是多少？周期振子走过的路程等于振幅吗？ (3)弹簧振子系统在振动过程中，有哪些能量在发生变化？一个周期内，这些能量是如何变化的？有什么联系？ 15．如图所示，质量为M的托盘内放有质量为m的物体，开始时手托住托盘，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于原长，现放手让托盘向下运动，求 (1)系统做简谐运动的振幅； (2)当系统运动到最低点时的加速度和物体对托盘的压力。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 简谐运动的回复力和能量 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 简谐运动的回复力 考点02 简谐运动的能量 03 避坑指南·解题通法 角度01 证明物体做简谐运动 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.初步形成回复力的概念。 2.理解简谐运动的能量。 1.能从力和运动的角度理解回复力是振动物体沿振动方向的合外力。 2.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。 考点01 简谐运动的回复力 1．回复力：能够使物体在 平衡位置　附近做往复运动的力。 2．效果：把物体拉回到 平衡　位置。回复力是效果力。 3．方向：总是与位移x的方向相反，即总是指向 平衡位置　。 4．表达式：说明：(1)k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k等于弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。 (2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 (3)x是指物体对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长量或压缩量。 (4)因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。 5．简谐运动的加速度：根据牛顿第二定律，a＝＝－x，表明简谐运动的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。 6．简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 正比　，并且总是指向 平衡　位置，物体的运动就是简谐运动。 》特别提醒 振动物体的平衡位置也可以说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置，但不一定是合力为零的位置。例如，物体沿圆弧振动时，物体经过平衡位置时回复力为零，但合力不为零。 【深化点拨】 简谐运动的判断方法 (1)运动学方法 找出质点的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，就可判定此振动为简谐运动。 (2)动力学方法 若回复力F与位移x间的关系满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是做简谐运动。具体步骤如下： ①质点静止时的位置即平衡位置； ②在振动过程中任选一位置(偏离平衡位置的位移为x)，对质点进行受力分析； ③对力沿振动方向进行分解，求出振动方向上的合力； ④判定振动方向上的合力与位移的关系是否符合F＝－kx即可。 1．如图所示，一轻质弹簧下端挂一小球，小球静止在O点。现将小球竖直向下拉动一段距离从Q由静止释放，小球以O点为中心点在P、Q间做简谐运动，下列说法正确的是（    ） A．小球在O位置时，机械能最大，加速度最小 B．小球在Q位置时，重力势能最小，速度最大 C．小球从位置P到O过程中，回复力的功率一直增大 D．小球从位置O到Q过程中，重力的功率一直减小 【答案】D 【详解】A．小球与弹簧构成的系统机械能守恒，小球在位置时弹簧处于拉伸状态，弹簧的弹性势能不是最小，所以小球在位置时机械能不是最大；此时小球合力为零，加速度最小为零，故A错误； B．小球在位置时，重力势能最小，速度为0，故B错误； C．小球在位置回复力为0，回复力的功率也为0，故C错误； D．小球从位置到过程中，因为速度一直减小，所以重力的功率一直减小，故D正确。 故选D。 2．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动，向右为正方向。振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示。下列判断正确的是（     ） A．0.2s时振子的位移等于6cm B．0.4s时振子的速度最大 C．0.4s和1.2s时振子的回复力最大，动能最小 D．0.8s和1.6s时振子的速度相同 【答案】C 【详解】A．由图像可知振幅、周期，且时振子从平衡位置向正方向运动，故位移随时间的关系为 由角速度与周期的关系得 在时，振子的位移，故A错误； BC．在和时，振子均处于最大位移处，速度为零，动能最小；由回复力公式，可知此时回复力大小最大，故B错误，C正确。 D．在时图像斜率为负，振子沿负方向运动；在时图像斜率为正，振子沿正方向运动，两时刻速度方向相反，故D错误。 故选C。 3．（多选）弹簧振子在水平方向振动，已知弹簧的劲度系数，振子的振动图像如图所示。图中A点对应的时刻，振子（     ） A．所受的弹力大小为5N B．所受的回复力大小为5N C．加速度方向沿x轴的负方向 D．速度方向沿x轴的负方向 【答案】ABC 【详解】A．由图可知，点的位移为，根据胡克定律可得弹力大小为 代入数据解得，故A正确； B．振子在水平方向做简谐运动，弹簧弹力即振子的回复力，因此回复力大小为，故B正确； C．简谐运动中加速度方向始终与位移方向相反，点位于轴正方向，因此加速度方向沿轴负方向，故C正确； D．由图像可知，点处图线斜率为正，即，所以速度方向沿轴正方向，故D错误。 故选ABC。 考点02 简谐运动的能量 1．简谐运动的能量：指振动系统的机械能。振动过程就是 动能　和 势能　相互转化的过程。 (1)在最大位移处； 势能　最大， 动能　最小为零。 (2)在平衡位置处， 动能　最大， 势能　最小。 2．决定能量大小的因素 (1)对确定的振动系统，机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能越大，振动越强。 (2)在简谐运动中，振动系统的机械能 守恒　，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化的模型。 3．简谐运动中各物理量的变化 如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为： 物理量 运动过程 A→O O→B B→O O→A 位移 大小 减小 增大 减小 增大 方向 O→A O→B O→B O→A 回复力、 加速度 大小 减小 增大 减小 增大 方向 A→O B→O B→O A→O 速度 大小 增大 减小 增大 减小 方向 A→O O→B B→O O→A 动能 增大 减小 增大 减小 势能 减小 增大 减小 增大 总结：(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反。 (2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点。 (3)最大位移处是速度方向变化的转折点。 【深化点拨】 简谐运动中各物理量变化的两种分析顺序 (1)位移x回复力F加速度a速度v动能Ek势能Ep (2)位移x 4．如图所示：轻质弹簧的一端固定，另一端连接一物块，在光滑水平面上做简谐运动，物块在振动过程中，下列说法正确的是（     ） A．物块通过平衡位置时，弹簧的弹性势能最大 B．物块通过平衡位置时，物块的动能最大 C．物块运动到最大位移处时，物块的加速度为零 D．物块运动到最大位移处时，物块的速度最大 【答案】B 【详解】AB．物块在光滑水平面上做简谐运动，通过平衡位置时，弹簧恢复原长，弹簧的弹性势能为零，物块所受合力为零，速度最大，动能最大，故A错误，B正确； CD．物块运动到最大位移处时，弹簧形变量最大，加速度最大，速度为零，故CD错误。 故选B。 5．如图甲所示，两木块（均可视为质点）间连接一力传感器（厚度不计，质量不计），力传感器可以实时测量两木块间的作用力，下方木块与竖直轻弹簧连接。先用力将木块竖直下压，时刻从最低点释放木块，力传感器记录两木块之间的作用力大小F随时间t变化的情况如图乙所示。已知每块木块的质量均为m，弹簧劲度系数为k。弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度大小为g，以木块释放位置所在的水平面为重力势能的参考平面，下列说法正确的是（     ） A．木块的速度最大时，弹簧处于原长 B．木块做简谐运动的振幅为 C．弹簧的最大形变量为 D．两木块的最大重力势能为 【答案】C 【详解】A．两木块一起做简谐运动，速度最大时，合力为0，此时弹簧处于压缩状态，长度小于原长，故A错误； D．在最低点时，对整体由牛顿第二定律 在最高点时，对整体由牛顿第二定律 则弹簧上升的总高度为 最大重力势能为，故D错误； B．木块做简谐运动的振幅为，故B错误。 C．简谐运动平衡位置处弹簧形变量为 故弹簧的最大形变量为，故C正确。 故选C。 6．（多选）如图甲所示，“笑脸弹簧小人”由头部、轻弹簧及底座组成，将弹簧小人静置于桌面上，其简化模型如图乙所示，头部在O点时刚好静止。现将头部压到B点由静止释放，头部在AB之间上下振动，底座恰好未能离开地面，不计空气阻力，头部和底座质量相同，且弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（     ） A．头部在上下振动过程中，头部的机械能守恒 B．头部在A点时的加速度大小为2 g C．头部从O点向A点运动过程中，加速度逐渐增大 D．头部从B点向O点运动过程中，整个装置的弹性势能与重力势能之和逐渐减小 【答案】BCD 【详解】A．头部在上下振动的过程中，弹簧的弹力对头部做了功，因此弹簧的弹性势能与头部的机械能（动能与重力势能之和）之间发生了相互转化，头部的机械能是不守恒的，故A错误； B．设头部和底座的质量均为 头部在点刚好静止，说明点是平衡位置，此时弹簧被压缩，弹力 根据题意，底座恰好未能离开地面，说明当头部运动到最高点时，弹簧对底座向上的拉力刚好等于底座的重力，即此时弹簧处于伸长状态，拉力 对最高点处的头部进行受力分析，它受到竖直向下的重力和竖直向下的弹簧拉力，合力 根据牛顿第二定律，加速度，方向竖直向下，故B正确； C．头部从点向点运动的过程中，弹簧由压缩状态逐渐恢复原长再变为伸长状态，弹簧弹力先向上减小后向下增大 设竖直向上为弹簧弹力的正方向，则头部合力为 可知整个过程中合力一直增大，从逐渐增大到，因此加速度也不断增大，从逐渐增大到，故C正确； D．在头部从最低点向平衡位置运动的过程中，高度升高，重力势能增大；弹簧形变量减小，弹性势能减小；动能增大（加速运动）。因为系统的总机械能守恒（动能+重力势能+弹性势能总和不变），动能增加，所以“弹性势能与重力势能之和”必然逐渐减小，故D正确。 故选BCD。 简谐运动对称性的拓展应用 由F＝－kx可知，关于平衡位置对称的两点回复力等大反向，知道某一位置处的回复力，就可以知道与之对称位置处的回复力，与F合＝ma结合，可以求解相关物理量。 角度01 证明物体做简谐运动 1．利用分散在各地的手机内置加速度计可以构建地震预警网络。当地震波传来时，手机随地面一起振动，水平方向的运动可视为沿直线的简谐运动，周期（其中m为手机质量，k为水平回复力与相对平衡位置水平位移的大小之比，称为回复系数）。某次地震中，记录到某手机水平方向的加速度随时间变化的曲线为正弦曲线，如图所示。已知该手机质量，求该手机在水平方向上∶ (1)振动的周期和回复系数； (2)所受回复力的最大值和振动的振幅A。（结果可保留） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由图，变化周期，得振动周期 又 得回复系数 （2）由图，加速度最大值 得回复力最大值 又 得振幅 2．如图所示，一足够长的固定光滑斜面倾角为，底部有一垂直斜面的挡板，质量为m的物块B和质量为4m的物块A分别与劲度系数为k的轻弹簧两端拴接，物块B紧靠挡板，系统处于静止状态。质量为2m的物块C从斜面上与A相距的位置由静止释放，与A碰撞后粘连在一起成为一个整体。物块均看作质点，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g，弹性势能（其中k为轻弹簧的劲度系数、x为轻弹簧的形变量）。求： (1)C与A碰撞后瞬间整体的速度大小； (2)碰后A、C整体做简谐运动的振幅； (3)B对挡板的最大压力与最小压力之差。 【答案】(1) (2) (3)4mg 【详解】（1）碰撞前，C做匀加速直线运动，根据速度位移关系式可知C与A碰前瞬间速度 碰撞过程根据动量守恒得 联立解得C与A碰撞后瞬间整体的速度大小 （2）碰撞前，弹簧的压缩量为，有 碰后A、C整体做简谐运动，平衡位置弹簧的压缩量为，有 设最低点弹簧的压缩量为，从碰后到最低点根据系统机械能守恒有 联立解得 碰后A、C整体做简谐运动的振幅 解得 （3）A、C整体运动到最高点时，B对挡板压力最小，此时弹簧的压缩量 解得 选B为研究对象，根据平衡条件得 解得 A、C整体运动到最低点时，B对挡板压力最大，此时弹簧的压缩量为，选B为研究对象，根据平衡条件得 解得 B对挡板的最大压力与最小压力之差 解得 3．如图所示，质量分别为mP=0.2kg和mQ=0.1kg可视为质点的小球P和Q用细线相连，P与一端固定的劲度系数k=50N/m的轻弹簧连接，系统静止在倾角为θ=30°的光滑斜面上。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，剪断细线。 (1)试证明剪断细线后球P的运动是简谐运动； (2)求P的振幅A及其在最高点受到弹簧的弹力大小。 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）设球P在平衡位置时，弹簧的伸长量为x0，有     剪断细线后，设P离开平衡位置的位移为x，取沿斜面向下为正方向，则 弹簧的拉力     球P沿斜面方向受到的合力     所以球P的运动是简谐运动 （2）球P在平衡位置时，弹簧的伸长量 代入数据得     剪断细线时，弹簧的伸长量为x1，有 代入数据得 P的振幅 P在最高点弹簧的形变量 则弹簧被压缩1cm，所以球P所受弹力 4．如图所示，竖直轻弹簧两端连接质量均为m的两个小物块A、B置于水平地面上，都处于静止状态。将质量也为m的小物块C从A的正上方高为h处由静止释放，物块C与A碰后粘连在一起继续向下运动，此后两物块始终未分离，且t秒后到最低点。已知在后续的振动中，当A与C达到最高点时，B对地面的弹力恰好为零，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g，求： (1)A与C碰撞后的共同速度； (2)A与C碰撞后到最低点的过程中C对A的冲量大小； (3)弹簧弹力的最大值。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2) (3)5mg 【详解】（1）设物块C与物块A碰撞前的速度大小为，根据动能定理可得 解得 A与C碰撞过程，A、C系统动量守恒，以竖直向下为正方向，根据动量守恒可得 解得 方向竖直向下。 （2）以竖直向上为正方向，设A对C的冲量为I，对C，根据动量定理 将代入，解得 由牛顿第三定律知，C对A的冲量大小为 （3）物块C与A碰后粘连在一起之后，物块A与C一起做简谐运动，在最高点时，B对地面的弹力恰好为零，则对B有 且对物块A、C整体，回复力为 联立可得 根据简谐运动的对称性，物块A、C在最低点时，弹簧的弹力和重力的合力提供回复力，此时的弹力最大，则有 则 【例1】（2024·贵州）（多选）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在时刻（　　）    A．位移最大，方向为正 B．速度最大，方向为正 C．加速度最大，方向为负 D．受到的回复力大小为零 【答案】AC 【详解】对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，可知此时小球位于最低点，且小球的运动可视为简谐运动，周期为T。则小球在时刻处于最高点位置，此时位移最大，方向向上（正方向）；小球受到的回复力最大，方向向下，则小球的加速度最大，方向向下（负方向）；此时小球的速度为0。 故选AC。 【变式1-1】真空中有一点P与微粒Q，Q在运动中受到指向P且大小与离开P的位移成正比的回复力，则下列情况有可能发生的是（   ） A．速度增大，加速度增大 B．速度增大，加速度减小 C．速度增大，加速度不变 D．速度减小，加速度不变 【答案】B 【详解】由题知，Q在运动中受到指向P且大小与离开P的位移成正比的回复力，即 F = －kx 则说明微粒Q以P为平衡位置做简谐振动，则微粒Q靠近平衡位置可能出现速度增大，加速度减小。 故选B。 【变式1-2】（多选）如图，质量为m的小球穿在固定光滑杆上，与两个完全相同的轻质弹簧相连。开始时将小球控制在杆上的A点，弹簧1竖直且处于原长，弹簧2处于水平伸长状态，两弹簧可绕各自转轴，无摩擦转动。B为杆上的另一个点，与、A、构成矩形，。现将小球从A点释放，两弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．小球沿杆在AB之间做往复运动 B．与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短 C．小球从A点运动到B点的过程中，两个弹簧对小球做的总功为零 D．小球从A点运动到B点的过程中，弹簧2的弹性势能先减小后增大 【答案】BC 【详解】AC．根据对称性可知，小球从A点运动到B点的过程中，两个弹簧对小球做的总功为零，则此过程合力做功等于重力对小球做的功，根据动能定理可知，小球在B点的速度大于0，所以小球到达B点后继续向下运动，小球不会在AB之间做简谐运动，故A错误，C正确； D．小球从A点运动到B点的过程中，弹簧2先从伸长状态变为原长，再从原长变为压缩状态，最后再恢复原长，故弹簧2的弹性势能先减小后增大再减小，故D错误； B．小球从A点运动到B点过程，由于两个弹簧对小球做的总功为零，与没有弹簧时相比，小球运动到B点的速度相等；没有弹簧时，小球运动的加速度为 有弹簧时，加速度先大于，然后加速度逐渐减小，到AB中点时，加速度为，之后加速度小于，则两种情况的图像如图所示 两种情况的图像与横轴围成的面积相等，由图可知与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短，故B正确。 故选BC。 【变式1-3】如图甲所示，一导体杆用两条等长细导线悬挂于水平轴，接入电阻R构成回路．导体杆处于竖直向上的匀强磁场中，将导体杆从竖直位置拉开小角度由静止释放，导体杆开始下摆。当时，导体杆振动图像如图乙所示。若横纵坐标皆采用图乙标度，则当时，导体杆振动图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】导体杆切割磁感线时，回路中产生感应电流，由楞次定律可得，导体杆受到的安培力总是阻碍导体棒的运动。当从变为时，回路中的电阻增大，则电流减小，导体杆所受安培力减小，即导体杆在摆动时所受的阻力减弱，所杆从开始摆动到停止，运动的路程和经历的时间变长。 故选B。 ⚡基础速刷 1．如图所示为某弹簧振子在0到5s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是（     ） A．振动周期为5s，振幅为8cm B．第2s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值 C．第3s内振子的加速度逐渐增大 D．从第3s末到第4s末振子动能越来越小 【答案】D 【详解】A．振子的振动周期为，振幅为，A错误； B．第末，振子位于负向最大位移处，加速度正向最大，B错误； C．第内，振子逐渐靠近平衡位置，在做加速运动，C错误； D．从第3s末到第4s末，振子从平衡位置运动到正向最大位移处，速度越来越小，动能越来越小，D正确。 故选D。 2．某弹簧振子做简谐运动的x-t图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．t1时刻，振子的加速度为0 B．该图像从平衡位置开始计时 C．t2时刻，振子偏离平衡位置的位移最小 D．t3时刻，振子正通过平衡位置向负方向运动 【答案】A 【详解】A．简谐运动中 时刻振子位于平衡位置，有，所以，故A正确； B．由图可知，时，振子位于正向最大位移处，不在平衡位置，故B错误。 C．时刻，振子偏离平衡位置的距离为，达到最大值，故C错误； D．时刻且图像的斜率为正，说明振子的速度沿正方向，故D错误。 故选A。 3．如图所示，固定的斜面体表面粗糙，顶端连接一轻质弹簧，弹簧另一端系一物块。开始时物块在外力作用下保持静止，弹簧处于压缩状态，撤去外力后物块恰好运动到点速度为零，此过程物块的速度、动量、加速度、动能大小随时间变化的图像，可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．下滑过程中，由牛顿第二定律得 因为弹簧弹力不断发生变化，则加速度发生变化，结合图像斜率表示加速度，可知图像不为直线，故A错误； B．图像的切线斜率表示合外力，物块受到的合外力先变小后变大，故B正确； CD．在恒力与弹簧弹力作用下的运动方程等价于简谐运动，物块向下运动过程中，重力的沿斜面向下分力、滑动摩擦力均为恒力，所以物块向下的运动可以看成简谐运动的一部分，则、图像都应该是左右对称的，故CD错误。 故选B。 4．如图所示，一个小球上端连接轻绳，下端连接轻弹簧，轻绳竖直且上端固定在一根水平直杆上，弹簧竖直且下端与地面固定连接，小球静止时位于点，弹簧处于拉伸状态。现剪断轻绳，小球向下运动距离到达点时弹簧恢复原长，再向下运动距离时速度减小为0，小球从点至点运动的时间为。重力加速度为，小球可看作质点，不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度范围内。下列说法正确的是（     ） A．小球运动到点时速度最大 B．小球做简谐运动的振幅为 C．小球做简谐运动的周期为 D．小球在点时的加速度一定大于 【答案】D 【详解】 A．由题意可知，点是弹簧原长的位置，小球在点所受合力为，加速度为，由于惯性小球还将继续向下运动，则有 随着弹簧形变量的增大，加速度逐渐减小，当加速度为零时速度最大，即重力等于弹簧弹力的位置速度最大，A错误； BC．点为小球振动最高点，点为振动最低点，所以振幅 小球从点到点振动的时间为半个周期，所以小球做简谐运动的周期为，故BC错误； D．在点弹簧处于拉伸状态，剪断轻绳后，根据牛顿第二定律得 解得 又振动的最高点和最低点的加速度等大反向，所以小球在点时的加速度一定大于，D正确。 故选D。 5．如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，质量均为的A、B两物体用轻弹簧拴接。对物体B施加一沿斜面向下的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，B沿斜面向上运动，当B运动至最高点时，A刚要离开挡板。已知弹簧的劲度系数，重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．物体B运动过程中，A、B和弹簧组成的系统机械能及动量均守恒 B．物体B沿斜面向上运动的过程中，弹簧恢复原长时物体B的速度最大 C．物体B静止于P点时，对物体B施加的压力F的大小为20N D．适当减小F，物体B从释放运动到最高点的时间将减小 【答案】C 【详解】A．物体B运动过程中，对A、B、弹簧组成的系统只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒，可系统在沿斜面方向受合外力不等于零，因此系统的动量不守恒，故A错误； B．从撤掉F开始，B受向上弹力大于B的重力沿斜面向下的分力，B做加速运动，速度逐渐增大，随弹力逐渐减小，加速度逐渐减小，速度仍逐渐增大，当弹力大小等于B的重力沿斜面向下的分力时，B的速度最大，故B错误； C．当B运动至最高点时，A刚要离开挡板，对A则有 B在最高点时受弹力方向沿斜面向下，此时加速度最大，由牛顿第二定律则有 解得 由简谐运动的对称性，当物体B运动到最低点时，加速度最大，大小仍为a，方向沿斜面向上，在撤去外力F瞬间，合外力等于撤去的外力的大小，由牛顿第二定律，可得施加的压力F的大小为，故C正确； D．物体B沿斜面做简谐运动，从释放运动到最高点的时间为，周期与振幅无关，可知适当减小F，物体B从释放运动到最高点的时间将不变，故D错误。 故选C。 6．一质点做简谐运动，其位移与时间的关系曲线如图所示，由图可知（     ） A．振幅为，频率为0.2 Hz B．时质点具有负方向最大加速度 C．从到的时间内质点的路程为 D．该质点的振动方程为 【答案】B 【详解】A．由图读出振幅为 周期为T=4s 则频率，故A错误； B．t=4s时质点在正向最大位移处，由，知质点具有负方向最大加速度，故B正确； C．由 由图可知t=1s时质点处于平衡位置，则从到的时间内质点的路程为，故C错误； D．该质点的振动方程为，故D错误。 故选B。 7．某质点做简谐运动的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是（     ） A．简谐运动的周期为2 s B．时质点的位移最大 C．简谐运动的振幅为 D．时质点的回复力最大 【答案】B 【详解】A．相邻两次到达正向最大位移处的时刻分别为和，故简谐运动的周期为，故A错误； B．时质点位于负向最大位移处，此时，位移大小达到最大，故B正确； C．质点离开平衡位置的最大距离为，故振幅为，故C错误； D．时质点位于平衡位置，此时，根据简谐运动的回复力公式有 回复力最小，故D错误。 故选B。 8．某钓鱼爱好者用粗细均匀的塑料直管制成如图所示的浮漂，浮漂在水中平衡时，O点恰好与水面平齐，A、B两点到O点的距离相等。现将浮漂向下按至A点与水面平齐后由静止释放，若不计阻力，浮漂做简谐运动，下列对于浮漂释放后的运动过程说法正确的是（     ） A．浮漂被释放瞬间，加速度为零 B．从释放开始，到第一次运动到图示状态，加速度逐渐增大 C．浮漂上的O点与水面平齐时，浮漂的速度最大 D．浮漂位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同 【答案】C 【详解】AB．设浮漂横截面积为，质量为，水的密度为。浮漂向下偏离平衡位置时，浸入水中的体积增加，浮力比平衡时增大 方向向上的合力大小为 故加速度大小 可知加速度大小与位移大小成正比。释放时位移大小最大，加速度大小最大；从释放到第一次到达图示平衡位置，位移大小逐渐减小，加速度大小也逐渐减小，故A错误，B错误。 C．当点与水面平齐时，浮漂位于平衡位置，回复力和加速度均为零，速度达到最大，故C正确； D．在简谐运动中，位移方向总与加速度方向相反；由释放点向平衡位置运动时，位移方向向下而速度方向向上，二者方向相反，故D错误。 故选C。 9．如图甲所示，某物理兴趣小组利用橡皮槌轻敲音叉演示简谐运动。如图乙所示，取叉臂上某质点来分析，其以O点为中心，在B、C之间做周期性的往返运动。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（     ） A．该质点的运动是匀变速运动 B．该质点到达C点时，具有向右的加速度 C．该质点在O点时的速度最大 D．该质点由B往C运动时，速度先减小后增大 【答案】C 【详解】A．质点做简谐运动，根据简谐运动回复力公式有 根据牛顿第二定律有 联立解得 由于质点的位移随时间不断变化，可知质点的加速度随时间不断变化，则该质点的运动为非匀变速运动，故A错误； B．质点到达点时，质点的位移方向向右，产生的回复力方向向左，根据牛顿第二定律可知质点具有向左的加速度，故B错误； C．点为平衡位置，质点在点时回复力为零，加速度为零，此时质点的速度达到最大值，故C正确； D．质点由往运动时，质点先靠近平衡位置后远离平衡位置，回复力先做正功后做负功，可知质点的速度先增大后减小，故D错误。 故选C。 10．如图甲所示，将一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿水平方向在、间做简谐运动，从平衡位置开始计时。取向方向为正，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期为 B．时，小球位移为 C．时，小球由向运动 D．小球在、位置，动能为零，加速度也为零 【答案】C 【详解】A．由图乙，小球振动周期为，故A错误； B．由图乙，小球振幅，角频率 从平衡位置开始计时，取向方向为正，振动图像为正弦函数，故可设振动方程为 时，，故B错误； C．由图乙，时，小球从正向最大位移处向平衡位置移动，即由向运动，故C正确； D．在、位置，处于最大位移处，速度为零，动能为零，但回复力最大，加速度最大，不为零，故D错误。 故选C。 🚀能力跃升 11．（多选）如图甲所示，将滑块连接在弹簧上并放置于气垫导轨上，将滑块拉到某一位置后由静止释放，位移传感器记录下滑块位置随时间的变化图像如图乙所示，则下列关于该滑块的说法正确的是（　） A．完成一次全振动的时间为 B．在一个周期内运动路程为 C．在第末和第末时的速度相同 D．第内滑块的动能转化为弹簧的弹性势能 【答案】BD 【详解】A．由图乙可知，滑块完成一次全振动的时间为4s，故A错误； B．滑块在一个周期内运动的路程为4倍振幅，为32cm，故B正确； C．滑块在第1s末和第3s末时的速度大小相等、方向相反，故C错误； D．由图乙可知，滑块在第4s内由平衡位置回到正向位移最大处，滑块的动能转化为弹簧的弹性势能，故D正确。 故选BD。 12．（多选）如图所示，底部距地面高为H的箱子通过轻弹簧悬挂一个小球，小球距箱子底部的高度为h。现将箱子由静止释放，箱子落地后瞬间，速度减为零且不会反弹。此后的运动过程中，小球的最大速度为v且一直未碰到箱底，箱子对地面的压力最小值为零。忽略空气阻力，弹簧劲度系数为k且形变始终在弹性限度内。箱子和小球的质量均为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．弹簧弹力的最大值为3mg B．箱子对地面的最大压力为3mg C．小球离地面的最小高度为 D．箱子与地面碰撞损失的机械能为 【答案】AD 【详解】AB．箱子落地后，小球做简谐运动，当小球位于最高点时，箱子对地面压力最小且为0，可知此时弹簧处于压缩状态，对箱子受力分析，可得弹力 对小球受力分析，可得回复力 方向向下。当小球位于最低点时，由简谐运动回复力的对称性，可知 方向向上，此时弹簧处于拉伸状态，根据 可得弹力最大值为 对箱子受力分析有 根据牛顿第三定律，可知箱子对地面压力最大值为，故A正确，B错误； C．小球静止时，对小球受力分析，则有 解得弹簧伸长量为 在简谐最低点时有 解得弹簧伸长量为 联立可得小球离地面的最小高度为，故C错误； D．小球简谐运动的速度最大，加速度为零，则有 解得 可知从箱子刚开始下落到小球简谐运动的速度最大，初末状态弹簧伸长量相等，弹性势能变化量为零。根据能量守恒有 解得，故D正确。 故选AD。 13．（多选）如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（    ） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．t=0.1 s时，弹簧振子的位移为2.5 cm C．从t=0到t=0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小 D．在t=0.2 s与t=0.6 s两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 【答案】CD 【详解】A．振子受到重力、支持力和弹簧的弹力，重力与支持力平衡，弹簧的弹力充当回复力，回复力不是额外受到的力，故A错误； B．由图可知振幅，周期，且时振子从平衡位置沿正方向运动，因此振动方程为 在时，，故B错误； C．从到，振子从平衡位置向正向最大位移处运动，速度大小持续减小，动能持续减小，故C正确； D．在与时，振子分别位于正、负最大位移处，回复力满足 两时刻位移方向相反，回复力方向也相反，故D正确。 故选CD。 14．如图所示，我们将弹簧振子从平衡位置O拉开一段距离到位置B再放开，它会在A、O、B之间做振动。 (1)分别从运动学和动力学的角度来看，如何判定物体的运动是简谐运动呢？ (2)完成1次全振动的时间内，振子运动的路程是多少？周期振子走过的路程等于振幅吗？ (3)弹簧振子系统在振动过程中，有哪些能量在发生变化？一个周期内，这些能量是如何变化的？有什么联系？ 【答案】(1)运动学角度：振子相对平衡位置的位移随时间按正弦或余弦规律变化，动力学角度：回复力与位移大小成正比、方向相反。 (2)一次全振动的路程为振幅的4倍，从最大位移处开始运动时，前四分之一周期内的路程等于振幅，但任意四分之一周期内的路程不一定等于振幅。 (3)动能和弹性势能发生变化，二者周期性地相互转化，理想情况下其总和保持不变。 【详解】（1）以平衡位置为位移零点。运动学上，若振子相对平衡位置的位移随时间按正弦或余弦规律变化，则振子的运动是简谐运动。动力学上，若振子所受回复力始终指向平衡位置，且回复力大小与位移大小成正比，即满足，其中为正常数，则振子的运动是简谐运动。 （2）设振幅为，则，振子从点出发完成一次全振动，依次经过，每一段的路程均为，所以一次全振动的路程为，本题中振子从最大位移处点由静止释放，前内从点运动到平衡位置，路程为，等于振幅。但若计时起点不是最大位移处或平衡位置，则任意内的路程不一定等于振幅。 （3）振子由最大位移处向平衡位置运动时，弹簧形变量减小，弹性势能减小，振子速度增大，动能增大；振子由平衡位置向最大位移处运动时，弹性势能增大，动能减小。在忽略阻力的理想情况下，弹簧振子系统只有弹力做功，系统机械能守恒，即 保持不变。因此，一个周期内动能与弹性势能周期性地相互转化：最大位移处弹性势能最大、动能为零，平衡位置处动能最大、弹性势能最小。 15．如图所示，质量为M的托盘内放有质量为m的物体，开始时手托住托盘，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于原长，现放手让托盘向下运动，求 (1)系统做简谐运动的振幅； (2)当系统运动到最低点时的加速度和物体对托盘的压力。 【答案】(1) (2)（方向竖直向上），（方向竖直向下） 【详解】（1）根据简谐运动的特点有 解得； （2）刚释放托盘时，托盘的加速度为g，方向竖直向下，根据简谐运动对称性可知当托盘运动到最低点时，加速度大小也为g，方向竖直向上，此时对物体受力分析 根据牛顿第三定律，可知物体对托盘的压力，方向竖直向下。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $