2.3.1 单摆及其周期 讲义-2024-2025学年高二上学期物理沪科版（2020）选择性必修第一册

第三节 单摆 第 1 课时 单摆及其周期 课时聚焦 一、单摆及单摆的回复力 1．如果细线的质量与小球的________相比可以忽略，小球的________与细线的长度相比也可以忽略，这样的装置就称为单摆，单摆也是一种理想化模型。 Comment by fanjing: 质量，大小，物理模型θ O B C Gx FT Gy G θ 2．回复力的来源：摆球的________________________________，此回复力的方向总指向_________位置。在摆角 θ 很小（< 5°）时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移近似成正比，比例系数 k = ____________，即在摆角很小的条件下，可近似认为单摆的运动是一种简谐运动。 【例 1】 关于单摆，下列说法正确的是（ ） A．单摆做简谐运动的回复力是重力和摆线对摆球拉力的合力 B．单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力 C．在最大位移处，摆球动能为零，摆线拉力为零 D．在平衡位置时，摆线拉力最大，摆球受合力为零 二、单摆的周期 1．意大利物理学家_________发现单摆振动的周期与摆球质量____________（填“有关”或“无关”）；在振幅较小时与振幅无关，这就是摆的__________性。单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期____________（填“越大”“越小”或“不变”）；重力加速度越大，周期____________（填“越大”“越小”或“不变”）。 Comment by fanjing: 伽利略，无关，等时，越大，越小 2．荷兰物理学家___________提出了单摆做简谐运动的周期公式 T = ___________，即单摆的周期与摆长的_______________成正比，与重力加速度的_____________成反比。单摆的周期仅由摆长与当地的重力加速度大小决定，称为单摆的_______________，相应的频率称为固有频率。 Comment by fanjing: 惠更斯，2π，摆长的二次方根，重力加速度的二次方根，固有周期 【例 2】 如图所示，乙图图像记录了甲图单摆摆球的动能、重力势能和机械能随摆球位置变化的关系，下列关于图像的说法正确的是（ ） Comment by fanjing: D 单摆的能量分析 A．a 图线表示重力势能随位置的变化关系 B．b 图线表示动能随位置的变化关系 C．c 图线表示重力势能能随位置的变化关系 D．图像表明摆球在重力势能和动能的相互转化过程中机械能不变 【例 3】 周期为 2 s 的单摆称为秒摆，秒摆的摆长约为 1 m。某同学观察到吊车缆绳下的物体从一侧最高位置摆到另一侧最高位置的时间约为 5 s。推测缆绳的大致长度。 Comment by fanjing: 25 m 课本节练习，比例法 【例 4】 如图甲是一个单摆在小角度振动的情形，O 是它的平衡位置，B、C 是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向运动为正方向。图乙是这个单摆的振动图像，根据图像：单摆开始振动时刻摆球在_____位置（选填“B”、“O”或“C”），若此地的重力加速度 g 取 10 m/s2，那么这个摆的摆长为______m。 Comment by fanjing: B，0.162 单摆周期公式的计算，振动图像 【例 5】 （多选）如图，长为 l 的轻绳上端固定在 O 点，下端系一小球（小球可视为质点）在 O 点正下方距 O 点 处的 P 点固定一小钉子，现将小球拉至 A 点，使细线与竖直方向间夹角为 θ（θ 很小），然后由静止释放小球，小球运动的最低点为 B，点 C （图中未标出）是小球能够到达的左方最高位置。重力加速度为 g，不计空气阻力。下列说法正确的有（ ） A．点 C 与点 A 等高 B．点 C 在点 A 上方 C．小球摆动的周期为 2π D．小球摆动的周期为 π（ + ） 同步精练 一、选择题 1． 单摆在经过平衡位置时，它的（ ） Comment by fanjing: C A．速度为 0 B．加速度为 0 C．回复力为 0 D．机械能为 0 2． 做简谐运动的单摆，当摆球通过最低位置时（ ） Comment by fanjing: C A．摆球所受的合力为零 B．摆线对摆球的拉力为零 C．摆球所受的回复力为零 D．摆球的重力势能一定为零 3． 关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论中正确的是（ ） Comment by fanjing: B A．摆球受重力、摆线的拉力、回复力、向心力的作用 B．摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大 C．摆球的回复力最大时，摆线中的拉力大小比摆球的重力大 D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向 4． 如图所示，置于地球表面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为 T0，下列说法中正确的是（ ） Comment by fanjing: D A．单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力 B．单摆摆动过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力 C．小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力 D．将该单摆置于月球表面，其摆动周期为 T > T0 5． 某单摆由 1 m 长的摆线连接一个直径 2 cm 的铁球组成，关于单摆周期，以下说法正确的是（ ） Comment by fanjing: C A．摆角从 5° 改为 3°，单摆的周期会变小 B．用等质量木球替代铁球，单摆的周期不变 C．用等质量的铜球替代铁球，单摆的周期变小 D．将单摆从上海移到北京，单摆的周期会变大 6． 【多选】一台摆钟（钟摆可看成单摆）走时变快了，其可能的原因是（ ） Comment by fanjing: BD （A）温度升高，摆线增长 （B）温度下降，摆线变短 （C）从高纬度地方移到低纬度地方 （D）从高山上移到平地处 7． 如图所示是一个单摆（θ < 5°），其周期为 T，则下列说法正确的是（ ） Comment by fanjing: C A．仅把摆球的质量增加一倍，其周期变小 B．摆球的振幅变小时，周期也变小 C．此摆由 O → B 运动的时间为 D．摆球在 B → O 过程中，动能向势能转化 8． 【多选】对单摆振动过程，正确的描述是（ ） A．摆球机械能守恒，因为它所受合外力为零 B．摆球过最低点时，动能最大 C．摆球向最高点摆动时，动能转化为势能，并且因克服重力做功而机械能减少 D．摆球到最高点时，动能为零，势能最大 9． 如图所示，长为l的细绳下方悬挂一小球 a，绳的另一端固定在天花板上 O 点处。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（小于 5°）后由静止释放，并从释放时开始计时。小球相对于平衡位置 O 的水平位移为x，向右为正，则小球在一个周期内的振动图像为（ ） A B C D 10． 一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移 x 随时间 t 变化的图象如图所示。不计空气阻力，重力加速度 g = 10 m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（ ） Comment by fanjing: B A．单摆的周期 T = 3 s，振幅 A = 8 cm B．单摆的摆长约为1.0 m C．从 t = 0.5 s 到 t = 1.0 s 的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从 t = 1.0 s 到 t = 1.5 s 的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 11． 一单摆振动过程中离开平衡位置的位移随时间变化的规律如图所示，取向右为正方向。则下列说法正确的是（ ） Comment by fanjing: C A．第 1 s 末和第 5 s 末摆球位于同一位置 B．0 ~ 1 s 的时间内，摆球的回复力逐渐减小 C．t = 3 s 时，摆球的位移为振幅的 D．t = 3 s 时，摆球的速度方向与加速度方向相反 12． 小明在实验室做单摆实验得到如图甲所示的单摆振动情形，O 是它的平衡位置，A、B 是摆球所能到达的左右最远位置，小明通过实验测得当地重力加速度为 g = 10 m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙所示，设图中单摆向右摆动为正方向，则下列正确的是（ ） Comment by fanjing: C A．根据图乙可知开始计时摆球在 B 点 B．此单摆的振动频率是 2 Hz C．图中 P 点向负方向振动 D．可以求得此单摆的摆长约为 2.0 m 13． 如图所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，下列说法正确的是（ ） Comment by fanjing: B A．甲摆的摆长比乙摆的摆长长 B．甲摆的振幅比乙摆的振幅大 C．甲摆的机械能比乙摆的机械能大 D．在 t = 1 s 时有负向最大加速度的是乙摆 二、填空题 14． 中国载人登月工程计划在 2030 年前后实现航天员登月。已知月球表面重力加速度是地球表面重力加速度的 ，航天员若将地球上的单摆带到月球上去，此单摆的周期会变为原来的______倍。 Comment by fanjing: 15． 同一地点的甲、乙两单摆，在相同时间内甲振动 35 次，乙振动 21 次。则两单摆的周期之比为_________；若甲的摆长为 45 cm，则乙的摆长_______cm。 Comment by fj: 3∶5，125 16． 【1994年全国高考改编】图（a）中盛沙漏斗下面的薄木板 N 被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙子在板上形成曲线，显示出摆的位移随时间变化的关系。图（b）表示两个摆中的沙子在各自木板上形成的曲线，若板 N1 和 N2 拉动速度 v1 和 v2 的关系 v1∶v2 = 4∶3，则板 N1、N2 对应曲线所代表的振动周期关系为 T1∶T2 = ________，若漏斗作小幅度摆动，则两摆对应的摆长关系为 L1∶L2 = ________。 Comment by fanjing: 3∶2，9∶4 对应课本的沙摆 三、解答题 17． 将一单摆向左拉高一小角度，当摆球从静止释放运动到最低点时，摆线碰到一根钉子， Comment by fanjing: （1）变大 （2）1 （3） 第（1）小问涉及向心力计算，为第4课时埋下伏笔 （1）此时摆线的拉力如何变化？ （2）摆球继续向右摆动，如图甲，设向右为正方向，其振动图像如图乙，重力加速度 g = π2，该单摆摆线的长度为多大？ （3）钉子的位置 P 距离悬点 O 的距离为多大？ 学科网（北京）股份有限公司 $$