湖北武汉市育才高级中学2026-2027学年高三上学期8月学业检测数学试卷

2026―2027学年度上学期武汉市育才高级中学8月学业检测 高三数学试卷 考试时间：2026年8月10日　　试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知命题，，则（ ） A．是假命题，， B．是假命题，， C．是真命题，， D．是真命题，， 3．已知直线与直线平行，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 4．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有（ ） A．12种 B．24种 C．48种 D．96种 5．已知单位向量，满足，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 6．已知，且，为虚数单位．则的最大值是（ ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，．则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A．函数的一个对称中心是 B．是偶函数 C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D．函数在上有5个零点，则的取值范围为 10．定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（ ） A． B． C．的图象关于对称 D．为的一个周期 11．在菱形中，；为的中点，将沿直线翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点．则（ ） A．平面 B． C．异面直线，所成的角为 D．与平面所成角的余弦值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上） 12．已知，则______． 13．在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______．（用数字作答） 14．若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面． （1）证明：； （2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛，某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率 （2）若该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 17．（15分）在锐角中，角、、的对边分别为，，，且，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围； （3）设是的重心，求的最小值． 18．（17分）已知椭圆的右焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线（与轴不垂直）与椭圆交于、两点，在直线上取点，使轴，证明：直线恒过定点； （3）设点为椭圆上异于其左右顶点的一点，过分别作椭圆的两条切线、，切点分别为、，设直线、的斜率分别为、，证明：为定值． 19．（17分）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个极值点，，且． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）已知函数有三个零点，分别记为，，，证明： 学科网（北京）股份有限公司 $