第13章 勾股定理 单元测试 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

**基本信息** 华东师大版八上勾股定理单元卷，以数学文化（赵爽弦图）、现实情境（无人机表演）及实践探究为载体，覆盖勾股定理应用、证明及拓展，适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|勾股数判断、实际应用（无人机爬升）、数学文化（勾股定理证明图形）|结合数轴表示无理数，考查几何直观| |填空题|8/32|等腰三角形中线、规律探究（等腰直角三角形边长）、黄金分割|原创规律题（第13题）体现创新意识| |解答题|8/86|网格直角三角形证明、实践操作（拼图证勾股定理）、综合探究（中线加倍法）|第23题通过拼图实践，发展推理能力与应用意识|

学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年八上单元测试—勾股定理 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：华东师大版2024八年级上册第13章—勾股定理 一、选择题（共32分） 1．（本题4分）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．4，7，9 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 【分析】计算每组数中两较短边的平方和与最长边的平方，判断二者是否相等． 【详解】解：A、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意； B、∵，，，∴，，不能作为直角三角形三边长，符合题意； C、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意； D、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意． 2．（本题4分）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 3．（本题4分）马年春节期间，“凤鸣曲周”无人机表演在河北省曲周县凤凰文体中心震撼上演．在彩排期间，小冀在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点B处，如图所示，则点A与点B之间的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】依题意，根据勾股定理可得点A与点B之间的距离是． 4．（本题4分）如图，点为数轴原点，数轴上点表示的数为1，过点作，使．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（     ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件判断，根据勾股定理求出长度，利用半径相等，即可求出长度，从而求出点所表示的数． 【详解】解：数轴上点表示的数为1， ， ， ， ， ， 点表示的数是． 5．（本题4分）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出直角顶点，再结合三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵， ∴根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，， ∵三角形内角和为， ∴． 6．（本题4分）如图，一圆柱高为8cm，底面周长为30cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　） A．15cm B．17cm C．18cm D．30cm 【答案】B 【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可． 【详解】如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB， 则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， AC＝×30＝15（cm），∠C＝90°，BC＝8cm， 由勾股定理得：AB＝＝17（cm）． 故选B． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出AB的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程． （数学文化·改编）7．（本题4分）中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 8．（本题4分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形性质和中心对称性，确定为及中点，过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出长，进而求出长； 【详解】四边形和均为正方形， 图形关于点中心对称，，，共线， ， ，， ，，， 点是的中点， ， 过点作于点，则为中点，， 设， ， ，，， ， 在中，， ， 解得：（负值已舍去）， ，， 在中，， ，，，共线， ． 二、填空题（共32分） 9．（本题4分）已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的底边长为_____． 【答案】16 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质求得底边的一半，从而求得底边长． 【详解】解：∵等腰三角形的腰长为17cm，底边上的中线长为15cm， ∴底边的一半为， ∴底边长为． 10．（本题4分）如图，在中，，，，则的面积为________． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶∵在中，，，， ∴， ∴． 11．（本题4分）如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式及勾股定理可得，进而可求出． 【详解】解：∵分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴． 12．（本题4分）如图，中，，平分，，垂足为，若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，角的平分线性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．先证明，再设，则 ，根据勾股定理，得，解答即可． 【详解】解：，平分， 于 F，， 故． 在和中 ， ∴， ∴， 在 中，，， 由勾股定理得 ． 设，则 ， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 即； 故答案为：． （规律探究·原创）13．（本题4分）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，…，按此规律作下去，则的长度为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及规律型．利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出规律，即可得出答案． 【详解】解：为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， 的长度为， ， 故答案为：． 14．（本题4分）采用如图方法可以得到线段的黄金分割点：作，使，且，在上截取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据已知条件，及求出，在中利用勾股定理求出的长，结合求出的长，由得到的长，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（本题4分）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】已变形 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证三角形是否为直角三角形，从而判断木门的角是否保持垂直，以此确定是否变形． 【详解】解：∵木门正常时，应为直角，根据勾股定理，应有： ∵，， ∴ 又测得， ∴ ∵，即， ∴不再是直角，木门已变形． 16．（本题4分）如图，为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②；③点到的距离为；④直线与直线相交所形成的锐角是；⑤．其中正确的是________（只填序号）． 【答案】 ①③④⑤ 【分析】根据等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， 可以由绕点逆时针旋转得到， 故①正确； 如下图所示，连接， ， ， 由旋转可知，， 是等边三角形， ，， ， ， 是直角三角形，， ， ， 故②错误； 是直角三角形，， 点到的距离为， 故③正确； 如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， 故④正确； 是等边三角形，， ， ，，， ， ， 故⑤正确； 综上所述，结论正确的有①③④⑤． 三、解答题（共86分） 17．（本题10分）如图，在等腰直角三角形中，，，以的中点为旋转中心，将旋转，点、、的对称点分别是、、． (1)请画出旋转后的 (2)求出的长 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换，勾股定理，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质； （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （2）根据，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）略 （2） （原创）18．（本题10分）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)，或，． 【分析】本题考查了勾股数及其应用． （1）根据解题过程，结合上下文即可完成； （2）分三种情况：；；，分别求出n，由（1）中结论即可求出余下两个数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴为勾股数． ①；②；③；④． （2）解：分三种情况： ①若，则， ， ； ②若，则， ， ； ③若，则不是有理数，故舍去． 综上所述，，或，． 19．（本题10分）如图，在小正方形的边长都为的网格中，的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)试说明：是直角三角形． (2)求点到的距离． 【答案】(1) 证明：由勾股定理得，，，， ∵， ∴是直角三角形； (2) 【分析】（）利用勾股定理及其逆定理即可求证； （）设点到的距离为，利用三角形的面积解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理及其逆定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：点到的距离为， 由（）可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 20．（本题10分）如图，在中，，，，求： (1)边上的高的长度； (2)的面积． 【答案】(1)12 (2)84 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的高，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先，则，又因为是边上的高，则运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）根据三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设， ∵ 则， ∵是边上的高，， ∴ ∴， 解得， ∴， （负值已舍去）． （2）解：由（1）得，是边上的高， ∵， ∴． 21．（本题10分）如图是某沿江地区交通平面图，该地区拟修建两条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知，，，，，．求该沿江高速公路预计要修多少千米？ 【答案】180千米 【分析】本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．利用勾股定理可得答案． 【详解】解：观察图形可得，， ，，，， ，， ， 答：该沿江高速公路预计要修180千米． 22．（本题10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC 的平分线分别交BC，CD于E、F． （1）试说明△CEF是等腰三角形． （2）若AC=6， BC=8，求CF长 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据余角的性质可得∠ACD=∠B，然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠CFE=∠CEF，进一步即可推出结论； （2）根据勾股定理可求得AB的长，过点E作EG⊥AB于点G，如图，根据角平分线的性质可得EC=EG，进而可根据HL证明Rt△AEG≌Rt△AEC，于是可得AG=AC=6，继而可得BG的长，然后设CE=EG=x，则在Rt△BEG中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求出x，从而可得结果． 【详解】解：（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠B+∠BAC=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠B， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE=∠EAB， ∵∠EAB+∠B=∠CEF，∠CAE+∠DCA=∠CFE， ∴∠CFE=∠CEF， ∴CF=CE， ∴△CEF是等腰三角形． （2）在Rt△ABC中，由勾股定理，得：，所以AB=10， 过点E作EG⊥AB于点G，如图， ∵AE是∠BAC的平分线，∠ACB=90°， ∴EC=EG， ∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）， ∴AG=AC=6， ∴BG=4， 设CE=EG=x，则BE=8－x， 在Rt△BEG中，由勾股定理，得，即， 解得：x=3， ∴CF=CE=3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． （实践探究·改编）23．（本题12分）动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)，， (2)① (3) (4) 证明：图3中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得 ∴． 【分析】（1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题；（2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）由得到，再因式分解所给的代数式，即可判断； （4）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此， 化简可得， 故答案为：，，； （2）图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①、②、③中，图①可证明勾股定理， 故答案为：①； （3）， ， ，， ； （4）略 24．（本题14分）综合与探究 (1)【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长．为了解决问题，小明作了如下辅助线：如图2，延长中线至点，使得，连接，则有，可证明，在中可用勾股定理逆定理证明，再在中求出，即可求出．请写出解答过程： (2)【类比分析】如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)【学以致用】如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 【答案】(1) 如图，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； (2)． 理由如下， 理由：如图中，延长，交于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)的长度为． 【分析】（1）延长中线至点，使得，连接．证明，利用勾股定理的逆定理求得，再利用勾股定理求解即可； （2）延长，交于点F，证明，推出，再证明即可解决问题； （3）设，过点作交的延长线于点，连接，证明，推出，，再证明，推出，得到，求得，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设，如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵将沿折叠到， ∴，，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年八上单元测试—勾股定理 细目表 题号 难度 知识点 一、选择题（32分） 1 容易 判断三边能否构成直角三角形 2 容易 勾股树（数）问题 3 容易 用勾股定理解三角形 4 容易 数轴上两点之间的距离,实数与数轴,用勾股定理解三角形 5 容易 判断三边能否构成直角三角形 6 适中 用勾股定理构造图形解决问题 7 适中（改编） 勾股定理的证明方法,运用完全平方公式进行运算 8 困难 以弦图为背景的计算题,判断中心对称图形的对称中心,用勾股定理解三角形 二、填空题（32分） 9 容易 三线合一,用勾股定理解三角形 10 容易 与三角形的高有关的计算问题,用勾股定理解三角形 11 容易 以直角三角形三边为边长的图形面积 12 容易 全等的性质和HL综合（HL）,角平分线的性质定理,用勾股定理解三角形 13 容易（原创） 用勾股定理解三角形 14 适中 线段的和与差,用勾股定理解三角形 15 适中 利用勾股定理的逆定理求解,勾股定理逆定理的实际应用 16 困难 全等的性质和SAS综合（SAS）,利用勾股定理的逆定理求解,根据旋转的性质求解,等边三角形的判定和性质 三、解答题（86分） 17 容易 画旋转图形,根据旋转的性质求解,用勾股定理解三角形 18 容易（原创） 运用完全平方公式进行运算,勾股树（数）问题 19 容易 勾股定理与网格问题,在网格中判断直角三角形,与三角形的高有关的计算问题 20 容易 与三角形的高有关的计算问题,用勾股定理解三角形 21 容易 用勾股定理解三角形 22 适中 根据等角对等边证明等腰三角形,角平分线的性质定理,用勾股定理解三角形 23 适中（改编） 勾股定理的证明方法,以弦图为背景的计算题,用勾股定理解三角形 24 困难 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题),用勾股定理解三角形 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年八上单元测试—勾股定理 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：华东师大版2024八年级上册第13章—勾股定理 一、选择题（共32分） 1．（本题4分）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．4，7，9 C．5，12，13 D．6，8，10 2．（本题4分）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 3．（本题4分）马年春节期间，“凤鸣曲周”无人机表演在河北省曲周县凤凰文体中心震撼上演．在彩排期间，小冀在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点B处，如图所示，则点A与点B之间的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（本题4分）如图，点为数轴原点，数轴上点表示的数为1，过点作，使．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（     ） A． B．2 C．1 D． 5．（本题4分）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，一圆柱高为8cm，底面周长为30cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　） A．15cm B．17cm C．18cm D．30cm （数学文化·改编）7．（本题4分）中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   8．（本题4分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共32分） 9．（本题4分）已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的底边长为_____． 10．（本题4分）如图，在中，，，，则的面积为________． 11．（本题4分）如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 12．（本题4分）如图，中，，平分，，垂足为，若，，则的长为___________． （规律探究·原创）13．（本题4分）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，…，按此规律作下去，则的长度为________． 14．（本题4分）采用如图方法可以得到线段的黄金分割点：作，使，且，在上截取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________． 15．（本题4分）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 16．（本题4分）如图，为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②；③点到的距离为；④直线与直线相交所形成的锐角是；⑤．其中正确的是________（只填序号）． 三、解答题（共86分） 17．（本题10分）如图，在等腰直角三角形中，，，以的中点为旋转中心，将旋转，点、、的对称点分别是、、． (1)请画出旋转后的 (2)求出的长 （原创）18．（本题10分）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 19．（本题10分）如图，在小正方形的边长都为的网格中，的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)试说明：是直角三角形． (2)求点到的距离． 20．（本题10分）如图，在中，，，，求： (1)边上的高的长度； (2)的面积． 21．（本题10分）如图是某沿江地区交通平面图，该地区拟修建两条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知，，，，，．求该沿江高速公路预计要修多少千米？ 22．（本题10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC 的平分线分别交BC，CD于E、F． （1）试说明△CEF是等腰三角形． （2）若AC=6， BC=8，求CF长 （实践探究·改编）23．（本题12分）动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 24．（本题14分）综合与探究 (1)【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长．为了解决问题，小明作了如下辅助线：如图2，延长中线至点，使得，连接，则有，可证明，在中可用勾股定理逆定理证明，再在中求出，即可求出．请写出解答过程： (2)【类比分析】如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)【学以致用】如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $