3.4圆周角（3）导学案 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“圆内接四边形”，引导学生掌握其概念及“对角互补”性质定理。通过复习圆内接三角形、直径所对圆周角等旧知导入，搭建前后知识联系的学习支架，自然过渡到新知探索。 资料以“特殊到一般”的探索活动为主线，先研究圆心在对角线上的情况，再拓展至一般情形，培养学生推理意识。练习与例题层次分明，结合图形应用性质，提升应用意识，当堂训练与课后作业助力巩固，便于学生自主学习和教师教学评估。

3.4圆周角（3） 学习目标： 班级_________姓名_________ 1.了解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的概念及其性质定理； 2.经历“圆内接四边形的对角互补”的探索过程，培养动手操作、自主探索的能力； 3.能用“圆内接四边形的对角互补”进行简单的说理，培养合情推理的意识，掌握说理的基本方法，从而提高数学素养. 学习重点：探索“圆内接四边形的性质——对角互补”． 学习难点：圆内接四边形性质的应用. 学习过程： 一、复习回顾： 1.（1）如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，△ABC是⊙O 的 三角形；⊙O 是△ABC的 圆． （2）如图，AB是⊙O的直径，∠A=α°，则∠ABC= ． 二、探索活动： （1）如图，四边形的四个顶点A、B、C、D 都在⊙O上， 这个四边形 ABCD是⊙O的 四边形； ⊙O是四边形ABCD的 圆． （2）圆的内接四边形的内角之间有什么关系？ ①⊙O 的内接四边形ABCD中，AC是⊙O 的直径，∠B与∠D、∠BAD与∠BCD有怎样的数量关系？ ②如果圆心O不在四边形的对角线上，上述结论是否成立？试说明. 归纳定理： ． 符号语言： 练习： 1. 已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D= ． 2. 已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD= 度． 3. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是AB上两点，∠ADC=120°，则∠BAC的度数是 度． 4. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=110°，则∠BOD= 度． 第1题 第3题 第4题 第5题 5. 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是 ． 6. 圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：5，则∠D等于 ． 7. 一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 度；弦所对的圆周角为 度． 8. 圆的内接平行四边形必为 ． 三、例题讲解： 例1、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若点E在弧AD上，求∠E的度数. 例2、已知：如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D． 求证：DB=DC． 四、课堂小结： （1）通过本节课你学到了哪些知识？（2）你最大的收获是什么？ 【当堂训练】 1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE//AD，交CD于点E. 若∠BEC=50°，则∠ABC=______. 2. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且∠B+∠E=165°，则弧CD的度数为________. 3. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与 BC的延长线交于点E，BA与 CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为________. 4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠ DBE，AD=5，CE=，则AE的长度为________. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，⊙D经过A、B、 O、C四点，∠ACO=120°，AB=4，则圆心D的坐标是________. 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 课后作业 1.在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=3：4：6，则∠A=   ，∠D=   ． 2.已知下列三个命题： （1）圆内接平行四边形是矩形；（2）圆内接矩形是正方形；（3）圆内接菱形是正方形．其中正确的命题有 .（填序号） 3.如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形. （1）若∠BOD=80°，则∠BCD= ，∠DCE= ； （2）若∠BCD=130°，则∠BOD= ； （3）若∠DCE=40°，则∠BAD= ，∠BOD=　 　． 4.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝80°，∠OBC＝60°，则∠ODC的度数为 . 5.已知图中，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，且∠AOC＝80°，则∠D＝　 　，∠CBE＝　 　． 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 6.如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝　 　． 7.如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB＝　 　°． 8.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为　 　． 第8题 第9题 第10题 第11题 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠E＝50°，∠F＝30°．∠A的度数是 ． 10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB＝60°，∠ADC＝106°，则∠OCB＝　 °． 11.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=210°，则∠CAD=　 　°． 12.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠ACB＝70°. 求∠BCD和∠ABD的度数． 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，C是中点，AB与DC的延长线交⊙O外一点E．试判定△EAD和△EBC的形状，并证明你的结论． 14. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E. （1） 求证：点E是BC的中点； （2） 若∠C=70°，求∠ODE的度数. 15.已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝4，BC＝，求CD的长． 16.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE． （1）求证：∠A＝∠AEB； （2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形． 17. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F，连接AF、CF、EF，AF=EF. （1） 求证：四边形DBCF是平行四边形； （2） 若点D是AB的中点，求证：AC是⊙O的直径. 学科网（北京）股份有限公司 $