湖北省高中名校联盟2027届高三上学期8月联考数学试卷

数　　学 本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，，是图象与轴的交点，且，，．则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在正实数，，使得，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 数据，，，，，的分位数是 C. 若随机变量，，则 D. 当相关系数时，样本点都落在同一条直线上 10. 记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. C. D. 数列为周期数列 11. 已知曲线，点在上，为坐标原点，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 直线与有且仅有4个交点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________． 13. 已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 14. 在正方体中，为的中点．设正方体的所有顶点与棱的中点构成集合，若从中任取两个点连成直线，则与直线垂直的直线条数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为等差数列，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，． （1）求二面角的余弦值； （2）求三棱柱的体积． 17. 记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． （1）若为的角平分线，，，求的面积； （2）若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 18. 已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． （1）求的标准方程； （2）若，求的方程； （3）记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 19. 某精密仪器厂对生产的一批产品进行质量检验，产品按质量分为一等品和二等品．已知每个产品为一等品的概率都为，且各产品是否为一等品相互独立．现从这批产品中有放回地抽取件作检验，记其中一等品的个数为．定义该批产品的综合质量指数为． （1）求； （2）设，记，证明：； （3）设，且正实数，满足，定义函数，证明：对任意满足条件的，． 数　　学 本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】10 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】19 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）． 【17题答案】 【答案】（1）； （2）． 【18题答案】 【答案】（1）； （2）； （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）因为，所以． 所以 ． 所以． 求导得．因为，所以在上单调递增． 所以． 由于，所以． 所以原不等式成立． （3）由题意可知 因为，所以． 所以． 又，所以． 又， 所以． 所以，所以原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $