高中数学单元测试——第8章函数应用（较难版02）

**基本信息** 高中数学第8章函数应用较难版单元卷，覆盖零点、二分法、函数模型等核心知识点，通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度设计，结合农药降解、企业脱贫等实际情境，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|零点概念、二分法步骤、零点区间判断|第5题以农药降解为情境，考查指数函数模型应用，体现数学建模| |多选题|2/12|零点存在性、方程根的个数|第8题结合分段函数图像，分析参数对根个数的影响，培养逻辑推理| |填空题|2/10|零点求参数、函数图像应用|第10题行程问题函数图像分析，提升数学眼光观察现实的能力| |解答题|3/48|函数奇偶性与零点、利润函数最值、方程解的个数|第12题企业脱贫利润模型，综合考查函数建模与最值求解，强化应用意识；第13题探究方程解的个数，培养批判性思维|

高中数学单元测试 —— 第8章 函数应用（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，解方程可得结论. 【详解】令，可得， 所以，故. 所以函数的零点是. 故选：B. 2．（本题5分）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二分法的适用条件可得出合适的选项. 【详解】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足， 则可以利用二分法求函数的零点的近似值， 故选项A不能用二分法求图中函数零点， 故选：A. 3．（本题5分）函数，则零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】易知是上的增函数，且，，由零点存在定理知，零点所在区间为. 故选：C. 4．（本题5分）小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二分法的概念判断． 【详解】由题意零点在区间上，因此应计算， 故选：C． 5．（本题5分）农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（   ） A．3天 B．6天 C．9天 D．12天 【答案】C 【分析】根据国家食品安全标准规定得出不等式，再由函数单调性解不等式即可求得结果. 【详解】设该蔬菜的最短安全采收间隔期为天, 依题意可得,其中，， 所以可得，即，解得； 因此该蔬菜的最短安全采收间隔期为9天. 6．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 7．（本题6分）（多选）下列函数有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用零点概念，结合判别式判断. 【详解】A中，令方程有两个不相等的实数根，即该函数有两个零点； B中，令，方程有两个相等的实数根，即该函数有一个零点； C中，令方程没有实数根，即该函数无零点； D中，令方程有两个不相等的实数根，即该函数有两个零点． 故选：ABD. 8．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出图象，令，则，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，可得判别式，根据关于x的方程有4个不同的实根，且与图象有2个交点，可得与图象也得有2个交点，分析即可得答案. 【详解】作出图象，如下图所示， 由图象可得， 令，则， 所以， 由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根， 所以，解得， 解得或， 因为与图象有2个交点， 所以与图象也得有2个交点， 所以，解得，且， 所以符合条件的选项有AC. 故选：AC 三、填空题 9．（本题5分）已知函数，若1是此函数的零点，则实数的值是______． 【答案】0 【分析】由得出. 【详解】因为1是此函数的零点，所以，解得. 故答案为： 10．（本题5分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米．    【答案】2080 【分析】设小明原速度为x每分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得方程组，求出x、y的值即可解答． 【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为 ， 设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：， 解得： ∴小明家到学校的路程为：（米）. 故答案为：2080． 四、解答题 11．（本题14分）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)； (2)当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 【分析】（1）应用偶函数的性质有恒成立，即可求参数值； （2）设，问题化为分析解的个数，分类讨论判断原函数零点的个数. 【详解】（1）依题意，得，即 即恒成立，得. （2）令，得 设，则 由函数在上单调递增，在上单调递减，且最大值为， 当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 12．（本题16分）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 【答案】(1) (2)年产量为9万件时，企业获得的年利润最大，为24万元；该企业最早5年后能偿还所有贷款 【分析】（1）年利润等于销售收入减去生产成本与职工工资，并分情况讨论，由此可求年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）分情况考虑年利润，结合二次函数与基本不等式即可求得年利润的最大值，并以此值根据题意建立不等式，即可求得企业最早在几年后能偿还所有贷款. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）由（1）得当时，， 所以当时，该企业获得的利润最大，为14万元， 当时，， 当且仅当时，该企业获得的利润最大，为24万元， 故年产量为9万件时，企业获得年利润最大，为24万元， 由题意设最早年后还清所有贷款，则有，解得， 所以该企业最早5年后还清贷款. 13．（本题18分）已知函数． (1)求的定义域； (2)当时，求的零点个数； (3)若关于的方程恰有2个解，求的值． 【答案】(1) (2)零点个数为1 (3)2 【分析】（1）根据函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域； （2）根据函数的单调性及判断零点个数； （3）令，得到是方程的1个解，转化为只有1个解，结合基本不等式求出的值. 【详解】（1）由且，得的定义域为． （2）当时，因为函数和在上都是增函数，所以是增函数． 因为，所以的零点个数为 （3）令，得，显然是方程的1个解． 当时，，即．① 因为关于的方程恰有2个解，所以方程①只有1个不等于1的解． ，当且仅当时，等号成立． 当时，方程①无解，不符合题意； 当时，方程①恰有1个解（），符合题意； 当时，方程①有2个解（均不等于1），不符合题意． 综上，的值为2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第8章 函数应用（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数，则零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（   ） A．3天 B．6天 C．9天 D．12天 6．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）（多选）下列函数有零点的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（本题5分）已知函数，若1是此函数的零点，则实数的值是______． 10．（本题5分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米．    四、解答题 11．（本题14分）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 12．（本题16分）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 13．（本题18分）已知函数． (1)求的定义域； (2)当时，求的零点个数； (3)若关于的方程恰有2个解，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $