专题06 用二分法求方程的近似解（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以二分法定义为起点，通过条件判定-区间确定-近似求解-实际应用的递进式题型设计，系统构建“概念-操作-迁移”的方法体系，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01|1典例+3变式|判定三步骤：看图象连续性、交点类型、算端点值符号|从定义出发，明确二分法适用条件，建立“连续+变号零点”的核心判断逻辑| |题型02|1典例+3变式|四步区间定位：定初始区间、算中点、判符号、缩区间|基于零点定理，通过迭代缩小范围，体现数学逼近思想| |题型03|1典例+3变式|五步近似求解：定区间→求中点→判零点→缩范围→达精度|整合判定与区间方法，强化精确度控制，培养运算能力| |题型04|1典例+3变式|故障排查模型：中点检测→区间减半→逐步逼近|将数学方法迁移到实际问题，发展数学应用意识与模型观念|

专题06 用二分法求方程的近似解 （题型突破·举一反三） 题型01 用二分法求近似解的条件 1 题型02用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间 4 题型03 用二分法求方程的近似解（函数零点的近似值) 6 题型04 二分法的实际应用 11 ▌题型01 用二分法求近似解的条件 1.二分法的定义 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2. 判定能否使用二分法 ①看图象：函数图象是否连续？（有无断点） ②看交点：函数图象与 x 轴是“穿过”还是“相切”? 穿过则为变号零点，可以用二分法; 相切则为不变号零点，不能用二分法. ③算数值：如果给了解析式，尝试代入零点两侧的数值. 能用二分法; 不能用二分法. 【典例1】（23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的定义逐项判断即可. 【详解】根据二分法的定义，用二分法求近似解，需函数在上连续，且. 对于A，令，显然在其定义域上单调递增， ，所以可用二分法求方程近似解，所以A错误； 对于B，令，显然在其定义域上连续，，所以可用二分法求方程近似解，所以B错误； 对于C，令，显然在其定义域上连续， ，所以可用二分法求方程近似解，所以C错误； 对于D，令，所以不能用二分法求方程的近似解.所以D正确. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据零点的概念以及二分法的概念，可得答案. 【详解】函数的图象与轴有4个交点，左右函数值异号的交点有3个，所以可以用二分法求近似值的零点个数为3. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 【变式1-3】（多选）（25-26高一上·四川南充·期末）下列命题正确的有（    ） A．函数的反函数是 B．函数过定点 C．对于函数，能用二分法求函数零点近似值 D．已知为奇函数，当时，，则时， 【答案】AB 【分析】选项A，根据反函数的定义判断；选项B，根据对数函数的性质求出定点；选项C，根据二分法的适用条件判断；选项D，根据奇函数的性质求出时的函数表达式. 【详解】选项A：函数，其定义域为，值域为， 且是单调递增函数，则它存在反函数， 两边取自然对数可得，将互换，得到， 所以函数的反函数是，故选项A正确； 选项B：对数函数 ，当 时，， 在函数 中， 令 ，即 ，此时 ， 因为 （ 且 ），所以 ， 即函数 过定点 ，故选项B正确； 选项C：对于函数 ， 令 ，即 ，解得 ， 当 时，，不存在区间 使得 ， 所以不能用二分法求函数零点近似值，故选项C错误； 选项D：因为 为奇函数，则 ， 当 时，， 当 时，，则 ， 因为 是奇函数，所以 ，而非 ，故选项D错误. 故选：AB. ▌题型02用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间 使用二分法确定函数零点（方程的根）所在区间，通常遵循以下步骤： 1.确定初始区间：选择区间[a, b]，使得函数f(x) 在该区间内连续，且（即端点函数值异号）。根据零点定理，至少存在一个零点在(a, b) 内。 2.计算中点：取区间中点，并计算 f(c). 3.判断零点(方程根)位置： 若，则c 即为精确零点，过程结束。 若，则零点在区间(a, c) 内，令 。 若，则零点在区间 (c, b) 内，令 。 4.重复迭代：对新的区间[a, b] 重复步骤2和3，直到区间长度小于预设的精度（例如，此时可取中点c 作为零点(方程的根)的近似值，而新的区间[a, b]则为所求的近似区间. 【典例2】（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法即可判断. 【详解】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【变式2-1】在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二分法及零点存在定理即可判断. 【详解】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【变式2-2】（21-22高一上·广东惠州·期中）用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（    ） A．(1，1.25) B．(1.25，1.5) C．(1.5，1.75) D．(1.75，2) 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理可求解. 【详解】由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0， 又函数f(x)的图象是连续不断的， 根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)， 即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)， 故选：B 【变式2-3】（25-26高一上·山西·期末）利用二分法求方程的近似解，已求得的部分函数值的数据如下表： x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 0.6931 0.3096 0.1105 0.0088 则当精确度为0.1时，该方程的近似解可取为（    ） A．1.55 B．1.62 C．1.71 D．1.76 【答案】A 【分析】根据二分法依次判断函数的零点所在的区间，根据精确度确定方程的近似解即可. 【详解】设函数的零点为， 由表格信息可知： 所以， 取，由于，， 所以， 取，由于，， 所以， 取，由于，， 所以， 取，由于，， 所以， 因为精确度为0.1， 观察选项，函数的零点近似值为1.55， 所以方程的近似解为1.55. ▌题型03 用二分法求方程的近似解（函数零点的近似值) 二分法操作步骤： 1.定区间 ，验证. 2.求中点 . 3.判断： 若，则为零点. 若 ，则零点在 ，令. 若 ，则零点在，令. 重复上述步骤，直到区间长度满足精确度要求. 【典例3】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，，其中a为常数. (1)若的解集为或，求a的值； (2)已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次二分法的迭代操作？. (3)，使，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）由，得.根据题意知方程的两根分别为，由韦达定理可求得的值. （2）根据零点存在性定理，应用二分法求近似解，逐渐缩小近似解所在区间，使区间的长度小于，可得至少需要进行4次函数值的计算；或根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. （3）由题意知，的最大值须不大于的最大值，所以结合函数性质，分别求得的最大值和的最大值，由此列出不等式，可求得实数a的取值范围. 【详解】（1）由，得，即. 因为的解集为，或所以方程的两根分别为. 由韦达定理可知， ，所以. 当时， 由，得，或， 解得. 所以的解集为或. 综上，的值为. （2）因为函数在上有零点， ，，. 所以函数在上有零点；此时 因为，所以函数在上有零点；此时. 因为， 所以函数在上有零点；此时, 因为， 所以函数在上有零点.此时. 所以用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. 方法二：因为用二分法求零点的近似值，每次二分后，区间的长度均缩小为原来的一半. 所以经过1次二分后，区间的长度为； 经过2次二分后，区间的长度为； 经过3次二分后，区间的长度为； 经过4次二分后，区间的长度为. 故用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. （3）因为，所以在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，，即的最大值为. 设，且，则. 因为，所以； 因为，所以. 所以，即.所以在上单调递增. 所以当时，的最大值为. 因为，使，所以，即. 所以实数a的取值范围是. 【变式3-1】（25-26高二上·江西宜春·期末）已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【答案】9 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【答案】(1) 在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. (2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【分析】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明； （2）根据单调性以及零点存在性定理可知在内有且仅有一个零点，结合二分法分析求解. 【详解】（1）略 （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 【变式3-3】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】（1）先说明的单调性，再由，，应用二分法求近似解； （2）由题设可得，进而有，且，转化为证，结合（1）即可证结论. 【详解】（1）由解析式知：在上递增， ，， ，则， ，则， 又，且，， 所以更接近于零点，故方程的近似解为. （2）证明：由题设， 故，且， 要证，只需，即， 由（1）知，显然成立， 综上，，得证. ▌题型04 二分法的实际应用 二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐藏的故障排查方面有着重要的作用，在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用. 【典例4】（25-26高三·全国·一轮复习）在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 【答案】 【分析】结合二分法即可得到，解不等式即可求出结果. 【详解】如图，工人师傅首先从中点检测，用随身带的话机向两端测试， 不妨设发现段正常，可见故障在段； 再从线段的中点检测，假设发现段正常，可见故障在段； 再从段的中点检测；， 由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过次检测，所剩线路的长度为 m， 则有，即，由于，， 故至多检测次就能找到故障地点所在区域． 【点拨】利用二分法解决问题就是数学逼近思想的具体体现，它主要是通过取区间(或线路)的中点，依次使区间的长度减半，逐步逼近函数的零点(或焊点)，从而使问题得到解决. 【变式4-1】从A城到B城的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接点？ 【答案】1 【详解】用二分法的原理进行查找，先从8号接点查起，用仪器向两端测试，若发现前半段正常，那么可断定故障在后半段.在由后半段的中点查起，这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩小一半，故至少需要检查三个接点. 【变式4-2】（2026高一·全国·专题练习）一块电路板的AB段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测几次？ 【答案】六次 【详解】第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法； 第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法； 第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法； 第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法； 第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法； 第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次. 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？ (1)当时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？ (2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？ 【答案】(1)答案见解析 (2)至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球” 【分析】（1）（2）由二分法的相关知识即可求解； 【详解】（1）第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况： ①若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中，第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个“好乒乓球”为另一边，放在天平上. （i）若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个“好乒乓球”放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重； （ii）若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是偏轻还是偏重，任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”. ②若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边偏重，从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面“好乒乓球”中取3个乒乓球补入左边，看天平，有三种可能. （i）若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重； （ii）若左边重，则“坏乒乓球”已从一边换到另一边，因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻； （ⅲ）若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓球”是其中之一（暂不知是偏轻还是偏重）. 显然对于以上两种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是偏轻还是偏重. （2）将26个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面； 从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面； 将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面； 从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一个即是“坏乒乓球”. 综上可知，至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球”. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 用二分法求方程的近似解 （题型突破·举一反三） 题型01 用二分法求近似解的条件 1 题型02用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间 3 题型03 用二分法求方程的近似解（函数零点的近似值) 4 题型04 二分法的实际应用 7 ▌题型01 用二分法求近似解的条件 1.二分法的定义 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2. 判定能否使用二分法 ①看图象：函数图象是否连续？（有无断点） ②看交点：函数图象与 x 轴是“穿过”还是“相切”? 穿过则为变号零点，可以用二分法; 相切则为不变号零点，不能用二分法. ③算数值：如果给了解析式，尝试代入零点两侧的数值. 能用二分法; 不能用二分法. 【典例1】（23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的定义逐项判断即可. 【详解】根据二分法的定义，用二分法求近似解，需函数在上连续，且. 对于A，令，显然在其定义域上单调递增， ，所以可用二分法求方程近似解，所以A错误； 对于B，令，显然在其定义域上连续，，所以可用二分法求方程近似解，所以B错误； 对于C，令，显然在其定义域上连续， ，所以可用二分法求方程近似解，所以C错误； 对于D，令，所以不能用二分法求方程的近似解.所以D正确. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（25-26高一上·四川南充·期末）下列命题正确的有（    ） A．函数的反函数是 B．函数过定点 C．对于函数，能用二分法求函数零点近似值 D．已知为奇函数，当时，，则时， ▌题型02用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间 使用二分法确定函数零点（方程的根）所在区间，通常遵循以下步骤： 1.确定初始区间：选择区间[a, b]，使得函数f(x) 在该区间内连续，且（即端点函数值异号）。根据零点定理，至少存在一个零点在(a, b) 内。 2.计算中点：取区间中点，并计算 f(c). 3.判断零点(方程根)位置： 若，则c 即为精确零点，过程结束。 若，则零点在区间(a, c) 内，令 。 若，则零点在区间 (c, b) 内，令 。 4.重复迭代：对新的区间[a, b] 重复步骤2和3，直到区间长度小于预设的精度（例如，此时可取中点c 作为零点(方程的根)的近似值，而新的区间[a, b]则为所求的近似区间. 【典例2】（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法即可判断. 【详解】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【变式2-1】在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（21-22高一上·广东惠州·期中）用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（    ） A．(1，1.25) B．(1.25，1.5) C．(1.5，1.75) D．(1.75，2) 【变式2-3】（25-26高一上·山西·期末）利用二分法求方程的近似解，已求得的部分函数值的数据如下表： x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 0.6931 0.3096 0.1105 0.0088 则当精确度为0.1时，该方程的近似解可取为（    ） A．1.55 B．1.62 C．1.71 D．1.76 ▌题型03 用二分法求方程的近似解（函数零点的近似值) 二分法操作步骤： 1.定区间 ，验证. 2.求中点 . 3.判断： 若，则为零点. 若 ，则零点在 ，令. 若 ，则零点在，令. 重复上述步骤，直到区间长度满足精确度要求. 【典例3】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，，其中a为常数. (1)若的解集为或，求a的值； (2)已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次二分法的迭代操作？. (3)，使，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）由，得.根据题意知方程的两根分别为，由韦达定理可求得的值. （2）根据零点存在性定理，应用二分法求近似解，逐渐缩小近似解所在区间，使区间的长度小于，可得至少需要进行4次函数值的计算；或根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. （3）由题意知，的最大值须不大于的最大值，所以结合函数性质，分别求得的最大值和的最大值，由此列出不等式，可求得实数a的取值范围. 【详解】（1）由，得，即. 因为的解集为，或所以方程的两根分别为. 由韦达定理可知， ，所以. 当时， 由，得，或， 解得. 所以的解集为或. 综上，的值为. （2）因为函数在上有零点， ，，. 所以函数在上有零点；此时 因为，所以函数在上有零点；此时. 因为， 所以函数在上有零点；此时, 因为， 所以函数在上有零点.此时. 所以用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. 方法二：因为用二分法求零点的近似值，每次二分后，区间的长度均缩小为原来的一半. 所以经过1次二分后，区间的长度为； 经过2次二分后，区间的长度为； 经过3次二分后，区间的长度为； 经过4次二分后，区间的长度为. 故用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. （3）因为，所以在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，，即的最大值为. 设，且，则. 因为，所以； 因为，所以. 所以，即.所以在上单调递增. 所以当时，的最大值为. 因为，使，所以，即. 所以实数a的取值范围是. 【变式3-1】（25-26高二上·江西宜春·期末）已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【变式3-2】（25-26高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【变式3-3】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. ▌题型04 二分法的实际应用 二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐藏的故障排查方面有着重要的作用，在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用. 【典例4】（25-26高三·全国·一轮复习）在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 【答案】 【分析】结合二分法即可得到，解不等式即可求出结果. 【详解】如图，工人师傅首先从中点检测，用随身带的话机向两端测试， 不妨设发现段正常，可见故障在段； 再从线段的中点检测，假设发现段正常，可见故障在段； 再从段的中点检测；， 由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过次检测，所剩线路的长度为 m， 则有，即，由于，， 故至多检测次就能找到故障地点所在区域． 【点拨】利用二分法解决问题就是数学逼近思想的具体体现，它主要是通过取区间(或线路)的中点，依次使区间的长度减半，逐步逼近函数的零点(或焊点)，从而使问题得到解决. 【变式4-1】从A城到B城的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接点？ 【变式4-2】（2026高一·全国·专题练习）一块电路板的AB段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测几次？ 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？ (1)当时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？ (2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 用二分法求方程的近似解 ▌题型01 用二分法求近似解的条件 【典例1】D 【分析】根据二分法的定义逐项判断即可. 【详解】根据二分法的定义，用二分法求近似解，需函数在上连续，且. 对于A，令，显然在其定义域上单调递增， ，所以可用二分法求方程近似解，所以A错误； 对于B，令，显然在其定义域上连续，，所以可用二分法求方程近似解，所以B错误； 对于C，令，显然在其定义域上连续， ，所以可用二分法求方程近似解，所以C错误； 对于D，令，所以不能用二分法求方程的近似解.所以D正确. 故选：D. 【变式1-1】C 【分析】根据零点的概念以及二分法的概念，可得答案. 【详解】函数的图象与轴有4个交点，左右函数值异号的交点有3个，所以可以用二分法求近似值的零点个数为3. 故选：C. 【变式1-2】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 【变式1-3】AB 【分析】选项A，根据反函数的定义判断；选项B，根据对数函数的性质求出定点；选项C，根据二分法的适用条件判断；选项D，根据奇函数的性质求出时的函数表达式. 【详解】选项A：函数，其定义域为，值域为， 且是单调递增函数，则它存在反函数， 两边取自然对数可得，将互换，得到， 所以函数的反函数是，故选项A正确； 选项B：对数函数 ，当 时，， 在函数 中， 令 ，即 ，此时 ， 因为 （ 且 ），所以 ， 即函数 过定点 ，故选项B正确； 选项C：对于函数 ， 令 ，即 ，解得 ， 当 时，，不存在区间 使得 ， 所以不能用二分法求函数零点近似值，故选项C错误； 选项D：因为 为奇函数，则 ， 当 时，， 当 时，，则 ， 因为 是奇函数，所以 ，而非 ，故选项D错误. 故选：AB. ▌题型02用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间 【典例2】C 【分析】利用二分法即可判断. 【详解】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【变式2-1】C 【分析】应用二分法及零点存在定理即可判断. 【详解】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【变式2-2】B 【分析】根据零点存在性定理可求解. 【详解】由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0， 又函数f(x)的图象是连续不断的， 根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)， 即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)， 故选：B 【变式2-3】A 【分析】根据二分法依次判断函数的零点所在的区间，根据精确度确定方程的近似解即可. 【详解】设函数的零点为， 由表格信息可知： 所以， 取，由于，， 所以， 取，由于，， 所以， 取，由于，， 所以， 取，由于，， 所以， 因为精确度为0.1， 观察选项，函数的零点近似值为1.55， 所以方程的近似解为1.55. ▌题型03 用二分法求方程的近似解（函数零点的近似值) 【典例3】 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）由，得.根据题意知方程的两根分别为，由韦达定理可求得的值. （2）根据零点存在性定理，应用二分法求近似解，逐渐缩小近似解所在区间，使区间的长度小于，可得至少需要进行4次函数值的计算；或根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. （3）由题意知，的最大值须不大于的最大值，所以结合函数性质，分别求得的最大值和的最大值，由此列出不等式，可求得实数a的取值范围. 【详解】（1）由，得，即. 因为的解集为，或所以方程的两根分别为. 由韦达定理可知， ，所以. 当时， 由，得，或， 解得. 所以的解集为或. 综上，的值为. （2）因为函数在上有零点， ，，. 所以函数在上有零点；此时 因为，所以函数在上有零点；此时. 因为， 所以函数在上有零点；此时, 因为， 所以函数在上有零点.此时. 所以用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. 方法二：因为用二分法求零点的近似值，每次二分后，区间的长度均缩小为原来的一半. 所以经过1次二分后，区间的长度为； 经过2次二分后，区间的长度为； 经过3次二分后，区间的长度为； 经过4次二分后，区间的长度为. 故用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. （3）因为，所以在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，，即的最大值为. 设，且，则. 因为，所以； 因为，所以. 所以，即.所以在上单调递增. 所以当时，的最大值为. 因为，使，所以，即. 所以实数a的取值范围是. 【变式3-1】9 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. 【变式3-2】 【答案】(1) 在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. (2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【分析】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明； （2）根据单调性以及零点存在性定理可知在内有且仅有一个零点，结合二分法分析求解. 【详解】（1）略 （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 【变式3-3】 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】（1）先说明的单调性，再由，，应用二分法求近似解； （2）由题设可得，进而有，且，转化为证，结合（1）即可证结论. 【详解】（1）由解析式知：在上递增， ，， ，则， ，则， 又，且，， 所以更接近于零点，故方程的近似解为. （2）证明：由题设， 故，且， 要证，只需，即， 由（1）知，显然成立， 综上，，得证. ▌题型04 二分法的实际应用 【典例4】 【分析】结合二分法即可得到，解不等式即可求出结果. 【详解】如图，工人师傅首先从中点检测，用随身带的话机向两端测试， 不妨设发现段正常，可见故障在段； 再从线段的中点检测，假设发现段正常，可见故障在段； 再从段的中点检测；， 由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过次检测，所剩线路的长度为 m， 则有，即，由于，， 故至多检测次就能找到故障地点所在区域． 【点拨】利用二分法解决问题就是数学逼近思想的具体体现，它主要是通过取区间(或线路)的中点，依次使区间的长度减半，逐步逼近函数的零点(或焊点)，从而使问题得到解决. 【变式4-1】 【答案】1 【详解】用二分法的原理进行查找，先从8号接点查起，用仪器向两端测试，若发现前半段正常，那么可断定故障在后半段.在由后半段的中点查起，这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩小一半，故至少需要检查三个接点. 【变式4-2】 【答案】六次 【详解】第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法； 第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法； 第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法； 第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法； 第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法； 第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次. 【变式4-3】 【答案】(1)答案见解析 (2)至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球” 【分析】（1）（2）由二分法的相关知识即可求解； 【详解】（1）第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况： ①若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中，第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个“好乒乓球”为另一边，放在天平上. （i）若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个“好乒乓球”放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重； （ii）若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是偏轻还是偏重，任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”. ②若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边偏重，从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面“好乒乓球”中取3个乒乓球补入左边，看天平，有三种可能. （i）若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重； （ii）若左边重，则“坏乒乓球”已从一边换到另一边，因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻； （ⅲ）若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓球”是其中之一（暂不知是偏轻还是偏重）. 显然对于以上两种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是偏轻还是偏重. （2）将26个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面； 从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面； 将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面； 从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一个即是“坏乒乓球”. 综上可知，至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球”. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $