6.2 直线、射线、线段（知识清单）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了直线、射线、线段的核心知识。从三者的定义、表示方法、端点个数等基础概念出发，通过表格对比建立认知，进而延伸到直线相交规律、尺规作图、线段比较、两点间距离及中点计算，形成从概念到应用的学习支架。 知识链路按“概念辨析—规律探究—作图操作—计算应用”逻辑展开，易错点剖析强化理解，题型分类结合方法技巧与实例。突出几何直观与空间观念，培养推理意识和应用能力，帮助学生构建结构化知识体系。

第六章 几何图形初步 6.2 直线、射线、线段 🔷知识点一　直线、射线、线段 直线 射线 线段 定义 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 直线上一点和它一旁的部分 直线上两点及两点间的部分 图形 表示 方法 1 用两个大写字母表示：直线AB或直线BA 用它的端点和射线上的另一点来表示：射线OA 用表示端点的两个大写字母表示：线段 AB ( 或线段 BA ) 2 用一个小写字母表示： 直线m 用一个小写字母表 示： 射线d 用一个小写字母表示：线段 a 端点个数 0个 1个 2个 伸展性 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸 度量 不可度量 不可度量 可度量 基本事实 两点确定一条直线 —— 两点之间，线段最短 🔷 知识点二　直线两两相交的交点 1. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。 2. 两直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点。 3. 直线两两相交的交点个数规律： 直线两两相交 …… n条直线两两相交 交点 个数 1 1+2=3 1+2+3=6 …… 🔷 知识点三　尺规作图——作一条线段等于已知线段 1. 尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。 2. 作一条线段等于已知线段B A C 例：如图已知线段，求作线段AB，使AB=。 作法：①作射线AC； ②以点A为圆心，线段的长度为半径画弧交AC于点B； ③线段AB即为所求。 🔷 知识点四　线段的比较 1. 线段的比较： ①方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较。 ②方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较。 🔷 知识点五　两点间的距离 1. 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 2. 两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。 🔷 知识点六　中点 1. 线段的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 2. 点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫作线段AB的中点。 类似地，还有线段的三等分点，四等分点等。 易错点 1 直线、射线、线段三者端点、延伸性混淆 · 错例：认为射线有两个端点、可以双向延伸；线段可以无限延长 · 错因：概念记忆模糊，混淆三类图形的端点数量与延伸特性 · 规避方法：熟记核心特征：直线（0个端点，双向无限延伸）、射线（1个端点，单向无限延伸）、线段（2个端点，不可延伸、可测量） 易错点 2 误解“两点确定一条直线” · 错例：认为两点可以确定无数条直线，或一点不能画直线 · 错因：混淆单点、两点画直线的规律，单点可画无数条直线，两点有且只有一条直线 · 规避方法：牢记定理：过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线） 易错点 3 尺规作图工具使用错误 · 错例：作图时用刻度尺量长度、用直尺直接画刻度 · 错因：不理解尺规作图定义，尺规作图仅限无刻度直尺+圆规，禁止使用刻度尺测量 · 规避方法：严格遵守规则：直尺只用来画线、连接点，圆规用来截长度、画弧，全程不测量数值 易错点 4 混淆“线段”与“距离”概念 · 错例：直接说“两点之间的线段是两点间的距离” · 错因：概念完全混淆，线段是图形，距离是线段的长度（数值），二者本质不同 · 规避方法：规范定义：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离，距离是数值，不是图形 易错点 5 中点判定条件不完整 · 错例：只要AM=BM，就判定M是AB的中点 · 错因：忽略核心前提，未保证点M在线段AB上，线段外一点也可满足AM=BM · 规避方法：中点双条件：①点M在线段AB上；②AM=BM，二者同时满足才是中点 题型一：直线、射线、线段的联系与区别 📝方法技巧 线段、射线都是直线的一部分，线段延长可成射线、直线。 1．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 2．下列说法中正确的是（     ） A．直线相交于点 B．点P在直线的延长线上 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 【答案】D 【分析】根据直线、射线、线段的基本概念逐一判断选项正误即可． 【详解】解：对于选项A，∵点的表示应使用大写英文字母，∴点表示错误，A错误． 对于选项B，∵直线本身向两方无限延伸，不存在延长线，∴B错误． 对于选项C，∵射线的端点为，射线的端点为，端点不同，不是同一条射线，∴C错误． 对于选项D，∵线段仅由两个端点确定，与端点顺序无关， ∴线段和线段是同一条线段，D正确． 3．（25-26六年级下·山东淄博·期中）下列选项中的线段、射线、直线之间能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段、射线、直线的定义及延伸性质进行判断．线段有两个端点，不能延伸；射线有一个端点，向一方无限延伸；直线没有端点，向两方无限延伸． 【详解】解： A图中上方是线段，下方是射线，射线向左上方延伸，能与线段相交，故A选项符合题意； B图中上方是线段，下方是射线，射线向左上方延伸，不能与线段相交，故B选项不符合题意； C图中左边是射线，右边是直线，射线向左上方延伸，直线向左下方延伸，两者不能相交，故C选项不符合题意； D图中上方是直线，下方是线段，直线向左下方延伸，线段不能延伸，两者不能相交，故D选项不符合题意． 4．（25-26六年级下·山东烟台·期中）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．延长线段到 B．点在直线上 C．直线与直线相交于点 D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】根据直线，射线和线段的相关知识，结合图形逐一判断即可． 【详解】解：A、所画图形表示的是延长到C，故此选项不符合题意； B、由图可知，点C在直线外，故此选项不符合题意； C、由图可知，直线与直线相交于点，故此选项符合题意； D、由图可知，射线与线段有交点（图中未画出），故此选项不符合题意 ． 题型二：画直线、射线、线段 📝方法技巧 1. 画线段：两端画实心端点，线条平直，长度固定； 2. 画射线：起点实心端点，另一端无端点、向外延伸； 3. 画直线：两端无端点，双向延伸，超出标注点。 1．如图，已知P、M、N三点，按下面要求画出图形； (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并延长至点R，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：如图所示． 2．（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，平面上有四个点．按下列语句画图 (1)画直线，射线，线段； (2)连接，交射线于点； (3)连接线段，并将其反向延长． 【答案】(1) 如图所示，直线，射线，线段即为所求； (2) 如图所示，点即为所求； (3) 如图所示，线段及其反向延长即为所求； 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，解题的关键是掌握直线、射线和线段的定义及性质． （1）根据定义和性质，正确画出直线、射线和线段； （2）正确画线段，并标出字母； （3）正确画线段，并将其反向延长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．如图，已知A，B，C，D四点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，交于点O； (3)画射线，，交于点P． 【答案】(1)如图，直线即为所求；略 (2)如图，，，点O即为所求； (3) 如图，射线，，点P即为所求． ． 【分析】本题考查画直线，射线和线段． （1）根据直线的定义，画图即可； （2）画出线段，，交于点O即可； （3）根据射线的定义，画图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型三：直线、射线、线段的数量 📝方法技巧 1. 数直线：任意两点确定唯一一条直线，多点共线只算1条； 2. 数射线：每个端点、每个延伸方向各算1条射线；n个点共线有2n条射线； 3. 数线段：有序枚举不重不漏，公式：n个端点线段总数=； 4. 先定点、再分类数，区分共线、不共线情况。 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 【答案】A 【分析】本题考查的线段的计数，掌握计数的方法是关键． 【详解】解：点C、D在线段上，则图中有线段，，，，，，共6条线段． 故选：A． 2．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）小谦同学在与妹妹下五子棋时出现了如图所示的画面（部分），棋盘上有黑白两色棋子若干，善于思考的他想找出颜色相同的三颗棋子在同一条直线上的所有直线，请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了直线的数量问题，画出符合题意的直线即可求解． 【详解】解：画出直线如图， 共有条直线， 故选：D． 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，线段表示某趟列车的行驶路线图，线段上的6个点表示行驶途中共有6个站点（包括端点），则这趟列车往返行驶途中共需印制车票的种数是（   ） A．15种 B．20种 C．30种 D．45种 【答案】C 【分析】本题考查线段的数量问题，根据图形求得线段个数即可求解． 【详解】解：根据题意，这段路线有 共15条线段， ∴在这段路线上往返行车，需印制种车票． 故选：C． 4．如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 【答案】 3 【分析】根据线段的定义解答即可． 【详解】解：以点B为端点的线段有，共有3条． 题型四：直线相交的交点个数 📝方法技巧 1. 任意两条直线最多1个交点，n条直线两两相交最多交点公式：； 2. 存在平行、共点时，交点数量减少； 3. 全部交于一点：交点总数为1。 1．平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（   ） A．6个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】要使交点最多，需保证任意两条直线不平行，任意三条直线不交于同一点，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵4条直线两两相交，要得到最多交点，需任意两条直线相交于不同点，任意三条直线不共点， ∴第一条直线与另外3条直线相交，得到3个交点， 第二条直线与剩余2条直线相交，新增2个交点， 第三条直线与剩余1条直线相交，新增1个交点， ∴总交点个数为个， 2．平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是（   ） A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 【答案】D 【分析】本题考查平面中不重合的直线交点个数问题，准确分类讨论是解题关键．平面中不重合的三条直线可能平行或相交，相交时又可以分为两直线平行且和第三条直线相交，或三条直线相交于一点，或三条直线两两相交，据此分类讨论即可． 【详解】解：当三条直线互相平行时交点个数是0个； 当两条直线互相平行，另一条直线与它们相交时，交点个数是2个； 当三条直线交于一点时，交点个数是1个； 当三条直线两两相交，并且不交于一点时，交点个数是3个； 综上，平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是0或1或2或3． 故选：D． 3．一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有______个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 由在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点， ∴条直线两两相交，交点的个数最多为． 故答案为：45． 4．平面内三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则______． 【答案】 【分析】本题考查直线相交的交点个数，代数式求值，根据平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，即可求解． 【详解】解：当三条直线相交于同一点时，交点只有1个，即， 当三条直线的交点不是同一点时，交点最多有3个，即， 所以． 故答案为：． 题型五：两点确定一条直线 📝方法技巧 应用场景：钉木条、站队、瞄准、画线等固定现象。 1．（2026·江苏常州·一模）2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【详解】解：由题意得设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线 ． 2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定，才能稳固不动．其中的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【详解】解：由题意得，其中的数学原理是两点确定一条直线． 3．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ） A．垂线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题主要考查基本的几何图形，根据“两点确定一条直线”即可求得答案． 【详解】经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，可用“两点确定一条直线”解释． 故选：D 题型六：尺规作图——作线段 📝方法技巧 1. 工具要求：无刻度直尺+圆规，禁止直接量取长度； 2. 作等长线段：画射线→圆规截取已知线段长→在射线上截取等长线段； 3. 作线段和差：顺向截取为和，反向截取为差； 4. 作图必须保留作图痕迹，不可擦除圆弧。 1．如图，已知三点A，B，C，请按照下列语句作图．（尺规作图，保留作图痕迹） (1)作直线，射线； (2)连接并延长到D，使得． 【答案】(1)如图所示，直线，射线即为所求； (2)如图所示，线段，点D即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段，使它的长等于． 【答案】如图，为所作． 【分析】分三步进行作图：①作射线，②在射线上顺次截取，，③线段即为所求作的线段． 【详解】略 3．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，线段m，n． 求作：线段，使． 【答案】图见详解 【详解】解：如图，作射线，在射线上依次截取，在线段截取，则线段即为所求； 题型七：线段的和与差 📝方法技巧 1. 共线线段核心：整体=部分+部分，部分=整体−另一部分； 2. 三点共线：点在中间用和，点在外侧用差。 1．如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在线段上时，如图， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ； 综上所述，等于2或8． 3．在直线m上顺次取三点A、B、C，已知，，则_____________． 【答案】10 【分析】根据A、B、C顺次排列在直线上，可得为与的和，代入已知线段长度即可计算出结果． 【详解】解：∵A、B、C顺次在直线上， ∴， 将，代入得： ． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，在射线上依次截取，在线段上截取，那么的长为________． 【答案】 【分析】根据线段的截取顺序确定各线段之间的数量关系．先由已知的和的长度求出线段的长，再结合的长度，通过线段的差计算的长度． 【详解】解：∵， ∴； 又∵，且点在线段上， ∴． 题型八：与线段中点的有关计算 📝方法技巧 1. 双中点模型：任意三点共线，两中点距离=总长的一半； 2. 解题方法：算术法直接算、方程法设未知数求解。 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，已知为线段上一点，分别为的中点，若cm，cm，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵为的中点，， ∴ ∵为的中点，， ∴ ∴． 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据线段中点的定义求出和的长，再利用线段的和差关系求解． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，． ∴． 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为_____． 【答案】3 【分析】利用线段中点的含义及线段的和差运算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点D，E分别为和的中点， ∴，， ∴． 4．如图，C是线段上的一点，N是线段的中点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查线段中点的定义与线段和差的计算，利用线段和差先求出的长度，再根据中点定义求出的长度，最后计算得到的长度． 【详解】解 已知， ，   ∴ ， ∵ N是线段的中点， ∴ ∴ ． 5．（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，点在线段上，点，分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段的中点的定义，结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据线段的中点的定义，结合线段的和差推出即可. 【详解】（1）解：点，分别是、的中点，，， ，， ， 线段的长为； （2）解：点，分别是、的中点， ，， ， ， 的长为. 题型九：与线段n等分点的有关计算 📝方法技巧 1. n等分点：将线段平均分成n段，每段长度相等； 2. 靠近端点的第一个等分点，对应线段长为总长的； 3. 多个等分点叠加，按份数比例计算； 4. 结合中点（二等分点）、三等分点、四等分点综合运算。 1．如图，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，已知，则线段的长度为（    ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点的定义，线段的三等分点，数形结合是解题的关键． 根据点C是的中点求出，再根据点D是线段的三等分点即可得出． 【详解】解：点C是线段的中点，， ， 点D线段的三等分点， ， ， 故选：C． 2．（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知点是线段的中点，点在线段上，且，如果，则______． 【答案】 【分析】本题考查线段中点的定义和线段的和差计算． 首先根据已知的比例关系求出的长度，再根据线段中点的性质得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴. 故答案为：． 3．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，已知点为线段上一点，，且，，分别为线段，的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】利用线段的和差以及数量关系求解． 【详解】解：，， ，， ，分别为线段，的中点， ，， ． 4．如图，点E是线段的中点，C是上一点，， (1)若，求的长； (2)若F为的中点，，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，易得，根据，列出方程进行求解即可； （2）根据线段的和差关系和线段中点的定义，进行求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以设，则． 因为点E是线段的中点， 所以， 所以， 所以， 所以． （2）解：因为，点E是线段的中点， 所以， 所以． 因为F为的中点， 所以． 5．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）已知，如图，，两点把线段分成三部分，为的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，根据线段中点的意义得到，再根据求解，最后由求解即可． 【详解】解：∵，两点把线段分成三部分，为的中点，， ∴， ∴． 题型十：两点间的距离 📝方法技巧 1. 定义：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离； 2. 核心区分：线段是图形，距离是线段的长度（数值）； 3. 距离可测量、可计算，图形不可度量； 4. 任意两点距离唯一，与路径无关。 1．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【答案】C 【详解】解：A、B两点之间的距离指的是线段的长度． 2．如图所示，已知直线，点在线段上，则下列说法正确的个数有（    ） ①图中共有3条线段；②图中共有6条射线；③线段表示点与点之间的距离； ④若，则点为线段的中点 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了两点间距离，直线的性质，线段的性质．根据两点间距离，直线的性质，线段的性质，线段中点的定义判断即可． 【详解】解：①图中共有3条线段，则①正确； ②图中共有6条射线，则②正确； ③线段的长度表示点与点之间的距离，则③错误； ④若，则点为线段的中点，则④正确． 故选：C． 3．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了两点之间的距离，理解题意是解题的关键． 根据相关知识点解题即可． 【详解】解：两点之间的距离是以这两点为端点的线段的长度，即线段的长． 故答案为：② ． 题型十一：两点之间线段最短 📝方法技巧 1. 线段公理：两点之间，线段最短； 2. 应用场景：修路、搭桥、最短路径、折线比线段长。 1．从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 【答案】B 【详解】解：从A地到B地修公路，将公路尽量修成直路的目的是缩短总路程，这样做的道理是两点之间线段最短． 2．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【详解】解：现象：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 3．如图，某同学用剪刀沿直线将一圆形的训练场剪掉一部分，发现剩下训练场的周长比原训练场的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是_______________． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：某同学用剪刀沿直线将一圆形的训练场剪掉一部分，发现剩下训练场的周长比原训练场的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 4．（25-26六年级下·山东济南·期末）如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是________． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：由题意把道路改直以缩短路程，就用到两点之间，线段最短的性质． 题型十二：线段中动点问题 📝方法技巧 1. 核心方法：用时间t表示动点位置、线段长度； 2. 基础公式：运动路程=速度×时间； 3. 分类讨论：动点在线段上、动点在线段延长线上两种情况； 4. 结合中点、等分点、线段和差列方程求解，最后验证取值范围。 1．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 2．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)线段的长为 (2)的值是定值，定值为 (3)存在，使得 【分析】本题考查了线段中点性质与线段长度计算，解题的关键是用字母表示线段长度，结合中点定义建立代数关系． （1）当点B、C重合时，先利用中点表示出和，再相加得到； （2）设，分别用表示和，计算判断是否为定值； （3）根据移动距离分两种情况表示和，代入列方程求解． 【详解】（1）解：当点、重合时，，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 答：线段的长为． （2）解：设， 则， ． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 故的值是定值，定值为． （3）解：当线段向左移动距离（）时，分两种情况讨论： 情况一：如图，当线段的两个端点运动到点B的两侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：． 但，故该情况不存在． 情况二：如图，当线段全部运动到点B的左侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：．符合题意． 综合以上三种情况可知，故存在，使得． 3．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 4．（25-26七年级上·四川广安·期末）如图，线段，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，为的中点． (1)出发秒后，____________，____________（不必说明理由）； (2)出发几秒后，？ (3)当在延长线上运动时，为的中点，下列两个结论： ①的值不变； ②长度不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)，； (2)秒或秒； (3)选择结论②，． 【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是设参数并准确表示出各线段的长度． （1）先根据路程=速度×时间求出，再根据中点的定义求出，根据线段的和差关系求出． （2）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，根据题意列出方程求解即可． （3）设，根据条件推出，，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：出发秒后，，． （2）设出发秒后，，分两种情况： 当在上时，，， 则， 解得； 当在延长线上时，， ， 则， 解得， 综上，出发秒或秒后，． （3）选择结论②：长度不变 设，则 ∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴， 则， 故的长度恒为（定值）． ①中：（变化）． 故选②． 5．【探索新知】 如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． （1）一条线段的中点____________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒． （2）问为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）同时点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 【答案】（1）是；（2）或5或；（3）或8或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键． （1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断即可； （2）用含t的代数式分别表示出线段，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论即可得结果； （3）用含t的代数式分别表示出线段，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论即可． 【详解】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分， 该线段等于2倍的中点一侧的线段长， 所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”； （3）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得： ； 答：t为或8或时，点M是线段的“二倍点”． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 6.2 直线、射线、线段 🔷知识点一　直线、射线、线段 直线 射线 线段 定义 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 直线上一点和它一旁的部分 直线上两点及两点间的部分 图形 表示 方法 1 用两个大写字母表示：直线AB或直线BA 用它的端点和射线上的另一点来表示：射线OA 用表示端点的两个大写字母表示：线段 AB ( 或线段 BA ) 2 用一个小写字母表示： 直线m 用一个小写字母表 示： 射线d 用一个小写字母表示：线段 a 端点个数 0个 1个 2个 伸展性 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸 度量 不可度量 不可度量 可度量 基本事实 两点确定一条直线 —— 两点之间，线段最短 🔷 知识点二　直线两两相交的交点 1. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。 2. 两直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点。 3. 直线两两相交的交点个数规律： 直线两两相交 …… n条直线两两相交 交点 个数 1 1+2=3 1+2+3=6 …… 🔷 知识点三　尺规作图——作一条线段等于已知线段 1. 尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。 2. 作一条线段等于已知线段B A C 例：如图已知线段，求作线段AB，使AB=。 作法：①作射线AC； ②以点A为圆心，线段的长度为半径画弧交AC于点B； ③线段AB即为所求。 🔷 知识点四　线段的比较 1. 线段的比较： ①方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较。 ②方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较。 🔷 知识点五　两点间的距离 1. 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 2. 两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。 🔷 知识点六　中点 1. 线段的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 2. 点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫作线段AB的中点。 类似地，还有线段的三等分点，四等分点等。 易错点 1 直线、射线、线段三者端点、延伸性混淆 · 错例：认为射线有两个端点、可以双向延伸；线段可以无限延长 · 错因：概念记忆模糊，混淆三类图形的端点数量与延伸特性 · 规避方法：熟记核心特征：直线（0个端点，双向无限延伸）、射线（1个端点，单向无限延伸）、线段（2个端点，不可延伸、可测量） 易错点 2 误解“两点确定一条直线” · 错例：认为两点可以确定无数条直线，或一点不能画直线 · 错因：混淆单点、两点画直线的规律，单点可画无数条直线，两点有且只有一条直线 · 规避方法：牢记定理：过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线） 易错点 3 尺规作图工具使用错误 · 错例：作图时用刻度尺量长度、用直尺直接画刻度 · 错因：不理解尺规作图定义，尺规作图仅限无刻度直尺+圆规，禁止使用刻度尺测量 · 规避方法：严格遵守规则：直尺只用来画线、连接点，圆规用来截长度、画弧，全程不测量数值 易错点 4 混淆“线段”与“距离”概念 · 错例：直接说“两点之间的线段是两点间的距离” · 错因：概念完全混淆，线段是图形，距离是线段的长度（数值），二者本质不同 · 规避方法：规范定义：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离，距离是数值，不是图形 易错点 5 中点判定条件不完整 · 错例：只要AM=BM，就判定M是AB的中点 · 错因：忽略核心前提，未保证点M在线段AB上，线段外一点也可满足AM=BM · 规避方法：中点双条件：①点M在线段AB上；②AM=BM，二者同时满足才是中点 题型一：直线、射线、线段的联系与区别 📝方法技巧 线段、射线都是直线的一部分，线段延长可成射线、直线。 1．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 2．下列说法中正确的是（     ） A．直线相交于点 B．点P在直线的延长线上 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 3．（25-26六年级下·山东淄博·期中）下列选项中的线段、射线、直线之间能相交的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·山东烟台·期中）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．延长线段到 B．点在直线上 C．直线与直线相交于点 D．射线与线段没有交点 题型二：画直线、射线、线段 📝方法技巧 1. 画线段：两端画实心端点，线条平直，长度固定； 2. 画射线：起点实心端点，另一端无端点、向外延伸； 3. 画直线：两端无端点，双向延伸，超出标注点。 1．如图，已知P、M、N三点，按下面要求画出图形； (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并延长至点R，使． 2．（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，平面上有四个点．按下列语句画图 (1)画直线，射线，线段； (2)连接，交射线于点； (3)连接线段，并将其反向延长． 3．如图，已知A，B，C，D四点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，交于点O； (3)画射线，，交于点P． 题型三：直线、射线、线段的数量 📝方法技巧 1. 数直线：任意两点确定唯一一条直线，多点共线只算1条； 2. 数射线：每个端点、每个延伸方向各算1条射线；n个点共线有2n条射线； 3. 数线段：有序枚举不重不漏，公式：n个端点线段总数=； 4. 先定点、再分类数，区分共线、不共线情况。 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 2．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）小谦同学在与妹妹下五子棋时出现了如图所示的画面（部分），棋盘上有黑白两色棋子若干，善于思考的他想找出颜色相同的三颗棋子在同一条直线上的所有直线，请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，线段表示某趟列车的行驶路线图，线段上的6个点表示行驶途中共有6个站点（包括端点），则这趟列车往返行驶途中共需印制车票的种数是（   ） A．15种 B．20种 C．30种 D．45种 4．如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 题型四：直线相交的交点个数 📝方法技巧 1. 任意两条直线最多1个交点，n条直线两两相交最多交点公式：； 2. 存在平行、共点时，交点数量减少； 3. 全部交于一点：交点总数为1。 1．平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（   ） A．6个 B．3个 C．4个 D．5个 2．平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是（   ） A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 3．一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有______个交点． 4．平面内三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则______． 题型五：两点确定一条直线 📝方法技巧 应用场景：钉木条、站队、瞄准、画线等固定现象。 1．（2026·江苏常州·一模）2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定，才能稳固不动．其中的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ） A．垂线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 题型六：尺规作图——作线段 📝方法技巧 1. 工具要求：无刻度直尺+圆规，禁止直接量取长度； 2. 作等长线段：画射线→圆规截取已知线段长→在射线上截取等长线段； 3. 作线段和差：顺向截取为和，反向截取为差； 4. 作图必须保留作图痕迹，不可擦除圆弧。 1．如图，已知三点A，B，C，请按照下列语句作图．（尺规作图，保留作图痕迹） (1)作直线，射线； (2)连接并延长到D，使得． 2．如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段，使它的长等于． 3．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，线段m，n． 求作：线段，使． 题型七：线段的和与差 📝方法技巧 1. 共线线段核心：整体=部分+部分，部分=整体−另一部分； 2. 三点共线：点在中间用和，点在外侧用差。 1．如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 3．在直线m上顺次取三点A、B、C，已知，，则_____________． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，在射线上依次截取，在线段上截取，那么的长为________． 题型八：与线段中点的有关计算 📝方法技巧 1. 双中点模型：任意三点共线，两中点距离=总长的一半； 2. 解题方法：算术法直接算、方程法设未知数求解。 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，已知为线段上一点，分别为的中点，若cm，cm，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为_____． 4．如图，C是线段上的一点，N是线段的中点，若，，求的长． 5．（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，点在线段上，点，分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，如果，求的长． 题型九：与线段n等分点的有关计算 📝方法技巧 1. n等分点：将线段平均分成n段，每段长度相等； 2. 靠近端点的第一个等分点，对应线段长为总长的； 3. 多个等分点叠加，按份数比例计算； 4. 结合中点（二等分点）、三等分点、四等分点综合运算。 1．如图，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，已知，则线段的长度为（    ） A．3 B．6 C．4 D．8 2．（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知点是线段的中点，点在线段上，且，如果，则______． 3．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，已知点为线段上一点，，且，，分别为线段，的中点，求线段的长． 4．如图，点E是线段的中点，C是上一点，， (1)若，求的长； (2)若F为的中点，，求长． 5．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）已知，如图，，两点把线段分成三部分，为的中点，，求的长． 题型十：两点间的距离 📝方法技巧 1. 定义：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离； 2. 核心区分：线段是图形，距离是线段的长度（数值）； 3. 距离可测量、可计算，图形不可度量； 4. 任意两点距离唯一，与路径无关。 1．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 2．如图所示，已知直线，点在线段上，则下列说法正确的个数有（    ） ①图中共有3条线段；②图中共有6条射线；③线段表示点与点之间的距离； ④若，则点为线段的中点 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 题型十一：两点之间线段最短 📝方法技巧 1. 线段公理：两点之间，线段最短； 2. 应用场景：修路、搭桥、最短路径、折线比线段长。 1．从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 2．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 3．如图，某同学用剪刀沿直线将一圆形的训练场剪掉一部分，发现剩下训练场的周长比原训练场的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是_______________． 4．（25-26六年级下·山东济南·期末）如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是________． 题型十二：线段中动点问题 📝方法技巧 1. 核心方法：用时间t表示动点位置、线段长度； 2. 基础公式：运动路程=速度×时间； 3. 分类讨论：动点在线段上、动点在线段延长线上两种情况； 4. 结合中点、等分点、线段和差列方程求解，最后验证取值范围。 1．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 2．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 3．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 4．（25-26七年级上·四川广安·期末）如图，线段，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，为的中点． (1)出发秒后，____________，____________（不必说明理由）； (2)出发几秒后，？ (3)当在延长线上运动时，为的中点，下列两个结论： ①的值不变； ②长度不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 5．【探索新知】 如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． （1）一条线段的中点____________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒． （2）问为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）同时点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $