5.3 实际问题与一元一次方程（知识清单）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学资料聚焦一元一次方程实际应用，以“审设列解验答”六步解题法为基础，结合设未知数规范、实际意义检验等易错点，构建行程、工程、销售利润等十二类问题的应用支架，形成从理论到实践的完整学习路径。 知识链路按“基础步骤-易错警示-题型应用”逻辑展开，每种题型配备方法技巧与分层例题，融入生活、古代情境。通过实际问题抽象等量关系培养数学眼光，规范解题步骤发展数学思维，建立方程模型提升数学语言表达能力，助力学生掌握应用能力。

第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 🔷知识点一　列一元一次方程解应用题 1. 列方程解应用题解题步骤： ①审：读懂题目,弄清题意，明确哪些是已知量、未知量，寻找等量关系； ②设：设未知数，一般求什么就设什么，但有时也要间接设未知数； ③列：列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，单位要统一； ④解：解方程，求出未知数的值； ⑤检验：检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，舍去即可； ⑥答：写出答案并作答，注意单位要写清楚。 易错点 1 设未知数带单位、表述不规范 · 错例：设未知数书写为“设x米为速度”“设x是多少”，表述混乱冗余 · 错因：未知数本身不带单位，单位统一在最后答案书写，设句语法不规范 · 规避方法：规范设句：直接写“设……为x”，未知数x不附带任何单位，全程保持书写规范 易错点 2 只解方程，忽略实际意义检验 · 错例：求出人数、物品个数、天数为小数、负数，直接作为答案书写 · 错因：一元一次方程计算出的数学解，不一定符合实际场景，人数、数量、长度不能为负数和小数 · 规避方法：解方程后必须检验：负数解、非整数解、超出题意范围的解，全部舍去，结合实际取舍 题型一：行程问题 📝方法技巧 核心公式：路程=速度×时间。 1．（2026·辽宁大连·一模）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）中有这样一个问题，“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东珠海·二模）为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 3．（25-26六年级下·山东东营·期中）已知两地相距，甲车从地出发开往地，同时乙车从地开往地，甲车的速度是，乙车的速度是．求出发多长时间两车相遇？（列方程解题） 4．（25-26六年级下·山东泰安·期末）小明和爸爸周末同时出发沿相同路线绕西湖骑行和步行，小明骑自行车速度是12千米/小时，爸爸步行，速度是6千米/小时．小明骑行1小时后立即调转车头，仍以12千米/小时的速度往回骑，爸爸仍按原速度步行，直到与爸爸会合，会合时，爸爸总共步行了多长距离？ 5．（25-26七年级下·山西长治·期末）下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： (1)设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ (2)求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ① 回程（顺流） ② ③ 题型二：工程问题 📝方法技巧 1. 总工程默认看作单位1； 2. 工作效率=1÷单独完成天数；工作量=效率×时间； 3. 合作问题：总工作量=各个人工作量之和； 4. 分批干活、中途换人：分段累加工作量=1。 1．一项工程甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（    ） A． B． C． D． 2．小区需制作一块广告牌，请来两名工人．已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，问：两人合作需几天完成？针对小林提出的问题，设两人合作需x天完成，根据题意，可列方程为______（列出的方程不需要化简） 3．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务，求该产品一共有多少个？ 4．课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需要制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天，”就因校长叫他听一个电话而离开了教室． (1)请你把题目补充完整并作出解答； (2)若先由徒弟做天，再两人合作，完成任务后共得到报酬元，如果按各人的工作量计算报酬，那么应如何分配？ 题型三：销售利润问题 📝方法技巧 核心公式：利润=售价−进价；利润率=利润÷进价；售价=标价×折扣。 1．某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来，农村电商为扶贫插上了“互联网”的翅膀，让农产品通过互联网走出山村，走进千家万户．在丰收的季节，某电商团队用30000元从果农处收购苹果和梨共千克，并通过互联网进行销售．若苹果的收购价为每千克6元，梨的收购价为每千克4元，则这次收购了____________千克梨． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）3月14日国际数学日（节），我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套30元，竞速三阶魔方每套35元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少2套，共花费1240元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？ 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）为了迎接新学期，书店计划购进A，B两类书刊，A类书刊和B类书刊的售价分别是15元/本和20元/本，且每本B类书刊的进价比每本A类书刊贵2元．已知购买300本A类书刊和200本B类书刊共需要4400元． (1)每本A类书刊、B类书刊的进价各是多少元？ (2)因销售情况良好，书店又购进A类书刊350本，B类书刊250本．为了更快售罄，书店决定在保持A类书刊售价不变的基础上，对B类书刊打折出售．若这600本书刊全部售完后总利润为4200元，则B类书刊打几折？ 5．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 题型四：配套问题 📝方法技巧 1. 核心等量：配套比例恒定（如1桌配4椅）； 2. 列式方法：A零件总数∶B零件总数=配套比； 3. 设生产A的人数为x，剩余人生产B，按比例列方程。 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）在准备学校文化艺术节的社团展示时，数学社团的李老师组织社团学生做数学元素的帽子．社团共有学生45人，每名学生一节课能做帽身10个或装饰物30个．若每个帽身需要匹配2个装饰物，为了使本节课做的帽身和装饰物刚好配套，假设分配x名学生做帽身，可列方程为：________． 3．某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，则需要多少工人生产大齿轮多少工人生产小齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套． 4．某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 5．（25-26六年级下·山东威海·期末）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 题型五：方案选择问题 📝方法技巧 1. 分别列出方案一、方案二的费用代数式； 2. 令两式相等，求出费用相等的临界值； 3. 分范围判断：大于、小于临界值分别选最优方案。 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 2．（25-26七年级上·广西贺州·期末）列方程解应用题： 在国庆放假期间，小明、小刚等同学跟随家长一起到公园游玩，下面是购买门票时小明和爸爸的对话：请根据图中的信息解答问题： 公园门票票价公示 成人票：每张40元 学生票：按成人票5折优惠 团体票：按成人票6折优惠（20人以上含20人） 爸爸 成人票是每张40元，学生票五折优惠，咱们共18人，共出600元 小明 爸爸，等一下，让我再算一算，换种方式购票是否可以更省钱？ (1)他们中一共有成年人多少人？学生多少人？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱并说明理由． 3．为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 4．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 5．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 题型六：比赛积分问题 📝方法技巧 1. 总场次=胜场+负场+平场； 2. 总积分=胜场积分+平场积分−负场扣分； 3. 固定规则：无平局、全平局按题干条件列式。 1．在2026年美加墨世界杯亚洲区预选赛40强赛阶段，40支足球队经过抽签平均分到8个小组中进行主客场小组循环赛，每两队分主客场共赛2场，每场胜的队得3分，负的队得0分，踢平则两队各得1分，中国队和另外四支球队被分到组，若主客场小组循环赛全部结束后，中国队之外的四支球队的总分分别为20分、10分、7分、5分，则中国队可能的最高得分为________分． 2．（25-26七年级上·安徽黄山·期末）某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，七（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）我校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 10 10 40 (1)根据表格数据，参赛者答对1道题得__________分，答错1道题得__________分； (2)参赛者E得64分，他答对了__________道题； (3)参赛者F说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 题型七：数字问题 📝方法技巧 1. 设个位、十位、百位数字为未知数； 2. 数值表示：两位数=10×十位+个位，三位数=100×百位+10×十位+个位； 3. 数字对调、增减数值按新老数列等式。 1. 已知三位数3□2正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则________． 3 2 3．有五个连续的整数，设其中最小的数为n． (1)请写出这五个数的和． (2)这五个数各是什么数时，它们的和等于300？ 4．如图，将这40个数按照下表进行排列，现用一个字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)求出框中4个数的和（用含的代数式表示）； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 5．（2026·宁夏吴忠·二模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数是“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”． (1)判断四位数5324是不是“递减数”； (2)若一个“递减数”为，求这个“递减数”． 题型八：电费、水费问题 📝方法技巧 1. 分段计费：不超基础量按原价，超出部分按高价； 2. 总费用=基础费用+超出部分费用； 3. 先判断用量是否超标，再分段列式。 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 2．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 3．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 题型九：古代问题 📝方法技巧 1. 翻译古文：抓关键词“共、余、不足、倍、分”； 2. 盈亏问题：总量不变列等式； 3. 设人数、物件数为x，以总数相等建立方程。 1．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题，现对该问题改编如下：某人买了一批椽，每株椽的价格是135文，每株椽的运费是3文，椽的总价和总运费一共是6210文，设买椽的数量为株，则根据题意可列方程为___________． 4．（25-26六年级上·上海金山·期末）《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 题型十：几何问题 📝方法技巧 1. 周长、面积、体积公式为核心等量； 2. 长宽增减、拼接问题按变化前后关系列方程。 1．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长为，则这个正方形纸板的边长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 2．一个长方形的宽为厘米，长比宽的倍少厘米，长方形的周长为厘米，则可列方程为______． 3．如图所示，将底面半径为的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为，，的长方体铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．（取3.14，精确到）． 4．（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 5．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）某体育馆在一个长方形的空地上修建两个扇形游泳池（阴影部分），如图所示，两个游泳池之间的空地上铺上五彩石．（单位：米） (1)请用含a，b的代数式表示铺五彩石的空地的面积；（结果保留π） (2)为了便于施工，用高为2米长为116米的围挡把该施工地段围成一个无盖的长方体，如果该长方体的长比宽多8米，那么此时长方体的长、宽各为多少米？ 题型十一：动点问题 📝方法技巧 1. 动点表示：初始位置±速度×时间（左减右加）； 2. 距离公式：两点坐标差的绝对值； 3. 相遇、相距、中点问题均转化为距离等量列方程。 1．小丽在纸上画了一条数轴后．折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为5，点E，F分别从点A，B出发，同时分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度逆时针移动．当点E，F首次重合时，运动时间________秒． 3．如图，数轴上点表示的为是数轴上一点，点在点左边且点与点的距离，动点、分别从点、两点同时向左移动，点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． (1)求出数轴上点表示的数___________； (2)求经过几秒点追上点？ (3)经过几秒，、两点的距离为6个单位长度，并求出此时点表示的数是多少？ 4．（25-26七年级下·吉林·期中）如图，在直角中，，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时，的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时，的值． 5．阅读理解：若A、B、C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离 2倍，我们就称点C 是的好点．例如，如图 1，点A 表示的数为，点B 表示的数为 2．表示 1 的点C 到点A 的距离是 2，到点B 的距离是 1，那么点 C 是的好点； 又如，表示 0 的点D 到点A 的距离是 1，到点B 的距离是 2，那么点 D 就不是的好点． 知识运用： (1)如图1，点D是 的好点； (2)如图 2，M、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为，点N 所表示的数为 4．则数 所表示的点是的好点； (3)已知A、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为，点 B 所表示的数为 40．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以 2 个单位每秒的速度向左运动，到达点 A 停止．当 t 为何值时， P、A 和B 中恰有一个点为其余两点的好点？ 题型十二：其他问题 📝方法技巧 先找不变量、总量，再列方程。 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，若山上的温度为，设山上距离地面的垂直高度为，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁铁岭·三模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是___________． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期末）某校七年级学生乘车去参加社会实践活动，若每辆客车乘50人，还有12人不能上车；若每辆客车乘55人，则最后一辆空了8个座位，求该校租了多少辆客车？七年级学生多少人？ 请列方程解决这个问题． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“★”代表一个有理数． 根据该程序，解答下列问题： (1)若输入的数是，★表示的数为，求输出的结果； (2)若输入的数是，且输出结果为，求★表示的数； (3)若输入的数是，★表示的数为，当输出结果为时，直接写出与之间的数量关系． 5．（25-26七年级上·北京海淀·期末）学校开展“健康小达人”主题活动，活动分为“耐力挑战”和“技巧闯关”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个获奖条件时仅颁发最高奖） 卓越奖 参加两个项目的得分之和不低于100分，且至少一个项目的得分达到60分． 优秀奖 参加两个项目的得分之和不低于100分． 参与奖 完成全部两个项目的活动． 在参加活动时，在正式计分之前可以先体验一次．小明在体验时，“耐力挑战”得分与“技巧闯关”得分比为；在正式计分时，“耐力挑战”得分比体验时提高了10分，“技巧闯关”得分比体验时增加了，最后共得104分．请利用所学的一元一次方程知识，为小明颁发合适的奖项，并说明理由． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 🔷知识点一　列一元一次方程解应用题 1. 列方程解应用题解题步骤： ①审：读懂题目,弄清题意，明确哪些是已知量、未知量，寻找等量关系； ②设：设未知数，一般求什么就设什么，但有时也要间接设未知数； ③列：列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，单位要统一； ④解：解方程，求出未知数的值； ⑤检验：检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，舍去即可； ⑥答：写出答案并作答，注意单位要写清楚。 易错点 1 设未知数带单位、表述不规范 · 错例：设未知数书写为“设x米为速度”“设x是多少”，表述混乱冗余 · 错因：未知数本身不带单位，单位统一在最后答案书写，设句语法不规范 · 规避方法：规范设句：直接写“设……为x”，未知数x不附带任何单位，全程保持书写规范 易错点 2 只解方程，忽略实际意义检验 · 错例：求出人数、物品个数、天数为小数、负数，直接作为答案书写 · 错因：一元一次方程计算出的数学解，不一定符合实际场景，人数、数量、长度不能为负数和小数 · 规避方法：解方程后必须检验：负数解、非整数解、超出题意范围的解，全部舍去，结合实际取舍 题型一：行程问题 📝方法技巧 核心公式：路程=速度×时间。 1．（2026·辽宁大连·一模）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）中有这样一个问题，“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设快马天可以追上慢马，根据快马追上慢马时，快马走的总路程等于慢马走的总路程列方程即可． 【详解】解：设快马天可以追上慢马， 由题意得，． 2．（2026·广东珠海·二模）为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 【答案】400 【分析】先根据小健比小康少跑16米的路程差求出相遇时间，再利用反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长计算周长. 【详解】解：设出发到第一次相遇的时间为秒. 根据题意列方程得 合并同类项，得 系数化为，得 反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长，因此周长为： ， ∴环形跑道的周长为米. 3．（25-26六年级下·山东东营·期中）已知两地相距，甲车从地出发开往地，同时乙车从地开往地，甲车的速度是，乙车的速度是．求出发多长时间两车相遇？（列方程解题） 【答案】小时 【分析】题目中存在的等量关系为甲车行驶的路程乙车行驶的路程． 【详解】解：设出发小时两车相遇．根据题意，得： ， 解得：， 所以，出发小时两车相遇． 4．（25-26六年级下·山东泰安·期末）小明和爸爸周末同时出发沿相同路线绕西湖骑行和步行，小明骑自行车速度是12千米/小时，爸爸步行，速度是6千米/小时．小明骑行1小时后立即调转车头，仍以12千米/小时的速度往回骑，爸爸仍按原速度步行，直到与爸爸会合，会合时，爸爸总共步行了多长距离？ 【答案】8千米 【分析】根据相向阶段，小明与爸爸的路程和为12千米，设出未知数，列式求解即可． 【详解】解：∵小明骑自行车速度是12千米/小时，骑行1小时后立即调转车头， ∴小明掉头前行驶12千米， 设爸爸总共步行了x小时，则小明掉头后骑行了小时, 则有，解得， 则千米． 答：爸爸总共步行了8千米． 5．（25-26七年级下·山西长治·期末）下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： (1)设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ (2)求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 【答案】(1) 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ① 回程（顺流） ② ③ (2)解：由（1）得， 解得， 答：A、B两地之间的路程为． 【分析】（1）根据时间路程速度，结合题意求解即可； （2）根据（1），结合回到A码头比去时少花了建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，去程的时间为， 回程的速度为，则回程的时间为， 填表见解析 （2）略 题型二：工程问题 📝方法技巧 1. 总工程默认看作单位1； 2. 工作效率=1÷单独完成天数；工作量=效率×时间； 3. 合作问题：总工作量=各个人工作量之和； 4. 分批干活、中途换人：分段累加工作量=1。 1．一项工程甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把整个工程的工作总量看作单位1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得，． 2．小区需制作一块广告牌，请来两名工人．已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，问：两人合作需几天完成？针对小林提出的问题，设两人合作需x天完成，根据题意，可列方程为______（列出的方程不需要化简） 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设总工作量为1，甲每天完成，乙每天完成，合作时每天完成，x天完成的工作量为，等于总工作量1． 【详解】解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，两人合作的工作效率为， 合作x天完成的工作量为， 根据题意，完成总工作量1， 故列方程为， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务，求该产品一共有多少个？ 【答案】80个 【分析】设每小时加工产品10个时，总加工小时，列式得，再解方程即可． 【详解】解：设每小时加工产品10个时，总加工小时，则实际加工小时， ， 整理得，解得， （个）， 答：该产品一共有80个． 4．课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需要制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天，”就因校长叫他听一个电话而离开了教室． (1)请你把题目补充完整并作出解答； (2)若先由徒弟做天，再两人合作，完成任务后共得到报酬元，如果按各人的工作量计算报酬，那么应如何分配？ 【答案】(1)见解析 (2)师傅徒弟每人均应得元 【分析】（1）补充“两人合作需要几天完成？”，设需要天可以完成，列出一元一次方程，进而求出的值； （2）徒弟先做一天，可求出第一天徒弟做了总工作量的，剩下了由徒弟与师傅共同完成，设徒弟师傅还需天完成剩余的，列出一元一次方程，进而求出的值，然后按工作量比例分配报酬即可． 【详解】（1）解：补充：问两人合作需要几天完成？ 设两人合作需天完成， ∵师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天， ∴， 解得：， 答：两人合作需要天可完成． （2）解：设徒弟先做天后，师傅徒弟一起还要天能完成剩余工作量， ∵师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天 ∴， 解得：， ∴徒弟共完成总工作量的，报酬为（元）； 师傅完成总工作量的，报酬为（元）． 答：师傅徒弟每人均应得元． 题型三：销售利润问题 📝方法技巧 核心公式：利润=售价−进价；利润率=利润÷进价；售价=标价×折扣。 1．某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系“售价=成本+利润”，依次表示出标价和实际售价，即可列出方程． 【详解】解：设这种商品每件的成本是元， ∵商品按成本价提高后标价， ∴标价为元， ∵又按标价的打折卖出， ∴实际售价为元， ∵获利85元，根据“售价=成本+利润”， ∴列方程得． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来，农村电商为扶贫插上了“互联网”的翅膀，让农产品通过互联网走出山村，走进千家万户．在丰收的季节，某电商团队用30000元从果农处收购苹果和梨共千克，并通过互联网进行销售．若苹果的收购价为每千克6元，梨的收购价为每千克4元，则这次收购了____________千克梨． 【答案】4500 【分析】设这次收购了千克梨，则苹果收购了千克，根据总收购费用为元列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设这次收购了千克梨，则苹果收购了千克， 根据题意得，， 解得：， 答：这次收购了千克梨． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）3月14日国际数学日（节），我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套30元，竞速三阶魔方每套35元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少2套，共花费1240元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？ 【答案】此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． 【分析】设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，然后列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，根据题意得， 解得， （套） 答：此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）为了迎接新学期，书店计划购进A，B两类书刊，A类书刊和B类书刊的售价分别是15元/本和20元/本，且每本B类书刊的进价比每本A类书刊贵2元．已知购买300本A类书刊和200本B类书刊共需要4400元． (1)每本A类书刊、B类书刊的进价各是多少元？ (2)因销售情况良好，书店又购进A类书刊350本，B类书刊250本．为了更快售罄，书店决定在保持A类书刊售价不变的基础上，对B类书刊打折出售．若这600本书刊全部售完后总利润为4200元，则B类书刊打几折？ 【答案】(1)每本A类书刊进价8元，每本B类书刊进价10元 (2)B类书刊打折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准题中的等量关系． （1）先理解题意，再设每本类书刊的进价是元，则每本类书刊的进价是元，根据购买本类书刊和本类书刊共需要元，进行列式计算，即可作答． （2）设类书刊打了折，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每本类书刊的进价是元，则每本类书刊的进价是元． 根据题意，得， 解得， （元） 答：每本类书刊的进价为元，每本类书刊的进价是元． （2）解：设类书刊打了折， 根据题意，得， 解得． 答：类书刊打了折． 5．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 【答案】(1)紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100元． (2) 【分析】（1）设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元，根据已知总的销售额，列方程并解方程即可得到答案； （2）依题意可知紫精轩单价元，数量150个，瓷青单价80元，数量个，再依据五月份的总销售额，列方程并解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元， 依题意得 解得， 紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为元． （2）解：根据题意可知 紫精轩：单价元，销量（个）； 瓷青：单价元，销量个； 五月份总销售额为：元． 依题意得 ， 解得． 题型四：配套问题 📝方法技巧 1. 核心等量：配套比例恒定（如1桌配4椅）； 2. 列式方法：A零件总数∶B零件总数=配套比； 3. 设生产A的人数为x，剩余人生产B，按比例列方程。 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将配套关系转化为螺母总数量是螺钉总数量2倍的等量关系，据此列方程． 【详解】解：∵生产螺钉的工人数为人， ∴生产螺母的工人数为人， ∴每天生产螺钉总数为个，生产螺母总数为个． ∵1个螺钉配2个螺母，即螺母总数量是螺钉总数量的2倍， ∴． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）在准备学校文化艺术节的社团展示时，数学社团的李老师组织社团学生做数学元素的帽子．社团共有学生45人，每名学生一节课能做帽身10个或装饰物30个．若每个帽身需要匹配2个装饰物，为了使本节课做的帽身和装饰物刚好配套，假设分配x名学生做帽身，可列方程为：________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设应该分配名学生做帽身，根据每个帽身需要匹配2个装饰物，得到装饰物的数量是帽身数量的2倍，列出方程即可． 【详解】解：设应该分配名学生做帽身，则名学生做装饰物， 由题意得：． 故答案为：． 3．某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，则需要多少工人生产大齿轮多少工人生产小齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套． 【答案】需要4个工人生产大齿轮，8个工人生产小齿轮 【分析】根据配套比例，大齿轮数量与小齿轮数量应满足的比例，因此大齿轮数的3倍等于小齿轮数的2倍，据此列出方程即可． 【详解】解：设生产大齿轮的工人数为个，则生产小齿轮的工人数为个， 则可得， 解得， 个， 答：需要4个工人生产大齿轮，8个工人生产小齿轮． 4．某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 【答案】分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套 【分析】设生产甲零件人数为，乙零件人数为，利用配套关系：甲零件总数乙零件总数列出方程，解出人数后再计算配套套数． 【详解】解：设分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件． 依题意得：， 解得， ， （套）， 答：分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套． 5．（25-26六年级下·山东威海·期末）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 【答案】(1)甲车间有33人，乙车间有17人. (2)应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 【分析】（1）设乙车间有x人，则甲车间有人，结合两个车间共有50名工人，再建立方程求解即可； （2）设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套，利用一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设乙车间有x人，则甲车间有人， 根据题意，得． 解得． 所以． 答：甲车间有33人，乙车间有17人. （2）解：设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套， ∴， 解得：， 答：应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 题型五：方案选择问题 📝方法技巧 1. 分别列出方案一、方案二的费用代数式； 2. 令两式相等，求出费用相等的临界值； 3. 分范围判断：大于、小于临界值分别选最优方案。 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 【答案】(1)8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠 (2)学生14人，非学生游客16人 【分析】本题考查一次函数的实际应用，有理数的混合运算，利用方程解决问题是解题的关键； （1）让非学生游客享受8折优惠的同时，使尽量多的学生享受6折优惠即可； （2）设学生有x人，非学生游客有人，列方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知家长买团体票可以享受优惠， 因为团体购票需要10人以上（含10人）， 则方案一：8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案二：8位家长和3位学生购买团体票，剩余1位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案三：8位家长和4位学生购买团体票， 需付款（元）； ， 所以8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠； （2）解：设学生有x人，非学生游客有人， 即， 解得， ， 答：学生14人，非学生游客16人． 2．（25-26七年级上·广西贺州·期末）列方程解应用题： 在国庆放假期间，小明、小刚等同学跟随家长一起到公园游玩，下面是购买门票时小明和爸爸的对话：请根据图中的信息解答问题： 公园门票票价公示 成人票：每张40元 学生票：按成人票5折优惠 团体票：按成人票6折优惠（20人以上含20人） 爸爸 成人票是每张40元，学生票五折优惠，咱们共18人，共出600元 小明 爸爸，等一下，让我再算一算，换种方式购票是否可以更省钱？ (1)他们中一共有成年人多少人？学生多少人？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱并说明理由． 【答案】(1)他们中一共有成年人12人，学生6人 (2)按照团体票的优惠方案购买20张门票更省钱，能节省120元钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设他们中一共有成年人x人，那么学生有人，根据成人票是每张40元，学生票五折优惠，咱们共18人，共出600元，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，结合按成人票6折优惠（20人以上含20人），成人票是每张40元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设他们中一共有成年人x人，那么学生有人， 根据题意得： 解得： 答：他们中一共有成年人12人，学生6人． （2）解：∵按成人票6折优惠（20人以上含20人），成人票是每张40元， ∴（元）． ． 按照团体票的优惠方案购买20张门票更省钱，能节省120元钱． 3．为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)710 (2)甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演 (3)最省钱的方案是购买50套服装；理由如下： （人）， 方案一：购买49套服装，需要花费（元）； 方案二：购买50套服装，需要花费（元）； 方案三：购买80套服装，需要花费（元）； ∵， ∴应该购买50套服装最省钱． 【分析】（1）根据：“节省费用单独购买服装总费用联合起来购买服装总费用”列式计算； （2）由两学校分别单独购买时的相等关系：“甲校购买服装总费用+乙校购买服装总费用＝共付费用”，列方程可得； （3）有三种方案：购买49套、购买50套、购买80套，分别计算、比较可得． 【详解】（1）解：若甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省： （元）； （2）解：设甲校有学生x人（依题意），则乙校有学生人． 当时，， 依题意得：， 解得：． 经检验符合题意； ∴（人）． 当时，， 则， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演． （3）略 4．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 5．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 【答案】(1)足球的单价是元，跳绳的单价是元 (2)当时，两种方案购买总费用相同 (3)先按方案②购买个足球（赠送条跳绳），再按方案①购买剩余条跳绳更省钱 【分析】（1）先根据素材给出的总价关系列方程求出足球和跳绳的单价， （2）分别列出两种优惠方案的总费用代数式，令两者相等求出总费用相同时的值， （3）计算时不同购买方案的总费用，比较后得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，由题意得2个足球的费用等于11根跳绳的费用，因此足球单价为元． 根据题意列方程： 化简得 解得 则足球单价为 （元）． 答：足球的单价是110元，跳绳的单价是20元． （2）由题意得，， 方案①总费用： （元） 方案②总费用： （元） 令总费用相等，得： 解得． 答：当时，两种方案购买总费用相同． （3）当时，分别计算不同方案的费用： ①全部使用方案①：总费用为 （元） ②全部使用方案②：总费用为 （元） ③混合使用两种方案：先用方案②购买30个足球，赠送30条跳绳，剩余条跳绳用方案①购买，总费用为： （元） 混合方案费用更低． 答：先按方案②购买30个足球（赠送30条跳绳），再按方案①购买剩余30条跳绳更省钱． 题型六：比赛积分问题 📝方法技巧 1. 总场次=胜场+负场+平场； 2. 总积分=胜场积分+平场积分−负场扣分； 3. 固定规则：无平局、全平局按题干条件列式。 1．在2026年美加墨世界杯亚洲区预选赛40强赛阶段，40支足球队经过抽签平均分到8个小组中进行主客场小组循环赛，每两队分主客场共赛2场，每场胜的队得3分，负的队得0分，踢平则两队各得1分，中国队和另外四支球队被分到组，若主客场小组循环赛全部结束后，中国队之外的四支球队的总分分别为20分、10分、7分、5分，则中国队可能的最高得分为________分． 【答案】 【分析】要得到中国队的最高得分，需要使四个对手从与中国队的比赛中获得的总得分最少，四个对手的总得分固定，因此最大化四个对手在互相比赛中的总得分，即可最小化四个对手从中国队身上获得的得分，再结合比赛得分规则，即可计算中国队的最高得分． 【详解】解：设中国队赛8场，战绩为胜平负，则，中国队得分为．四个对手从中国队身上获得的总分为．要最大化，需最小化．四个对手总分为 （分）．这42分由两部分组成：①4队之间内部12场比赛的总分；②4队与中国队8场比赛的总分．最高为（分）（12场均分出胜负）．此时取得最小值，为（分）．即我们需要在的条件下，最小化． 当,时，满足条件，取得最小值6．此时中国队战绩为，6胜0平2负．中国队最高得分为（分）．此情况可以构造：中国队输给积20分的球队两场（该队从中国队得6分，满足其总分20分的要求），赢下与其他三支球队的全部6场比赛．此时，4队内部比赛全部分出胜负，内部总分为36分，从中国队得分6分，总分合计42分，符合题意．故中国队可能的最高得分为18分． 2．（25-26七年级上·安徽黄山·期末）某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，七（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【答案】7场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意找到等量关系建立方程． 设获胜场，则平局为场，根据积分建立方程求解即可． 【详解】解：设七（1）班获胜场，则平局为场， ∴， 解得．           答：该班获胜7场． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）我校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 10 10 40 (1)根据表格数据，参赛者答对1道题得__________分，答错1道题得__________分； (2)参赛者E得64分，他答对了__________道题； (3)参赛者F说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)14 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设参赛者E答对了x道题，则答错了道题，根据得分为64分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设参赛者F答对了y道题，则答错了道题，根据得分为80分，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，由该值不为整数，即可得出参赛者F不可能得80分． 【详解】（1）解：，即参赛者答对1道题得5分， ，即答错1道题得分； 故答案为：，； （2）解：设参赛者E答对了x道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：， 即他答对了道题； 故答案为： （3）解：不可能，理由如下： 设参赛者F答对了y道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：，不是整数，不符合题意， 参赛者F说他得了分，是不可能的． 题型七：数字问题 📝方法技巧 1. 设个位、十位、百位数字为未知数； 2. 数值表示：两位数=10×十位+个位，三位数=100×百位+10×十位+个位； 3. 数字对调、增减数值按新老数列等式。 1. 已知三位数3□2正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】三个连续自然数的和等于中间自然数的3倍，因此这个三位数是3的倍数，根据3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此判断即可． 【详解】设□里的数字为，该三位数各位数字之和为，需要是3的倍数， ∵ 当时，，8不是3的倍数，A不符合； 当时，，9是3的倍数，B符合； 当时，，不是3的倍数，C不符合； 当时，，不是3的倍数，D不符合． 2．（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则________． 3 2 【答案】 【分析】根据各行各列及对角线上三个数之和相等，列出关于，的二元一次方程组，求解方程组即可得到的值． 【详解】解：根据题意，得， 整理得，解得， 则． 3．有五个连续的整数，设其中最小的数为n． (1)请写出这五个数的和． (2)这五个数各是什么数时，它们的和等于300？ 【答案】(1) (2)58，59，60，61，62 【分析】本题考查整式加减及解方程． （1）表示出这五个连续整数，再求和即可； （2）根据题意得出方程，解方程求最小数n，即可求解． 【详解】（1）解：设其中最小的数为n，则五个连续整数为， ∴它们的和为． （2）解：根据题意可得， ， ， ∴五个数为58，59，60，61，62． 4．如图，将这40个数按照下表进行排列，现用一个字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)求出框中4个数的和（用含的代数式表示）； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 【答案】(1) (2)框中4个数的和可能是124，最小的数为25． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，以及数字规律的探索，解决本题关键是表示出字框中其他的3个数． （1）根据框中最小的数为，则其他3个数字表示为，，，根据加法列代数式即可； （2）假设和为124，根据（1）中得到的和的代数式列出一元一次方程，解方程判断即可． 【详解】（1）解：设框中最小的数为． 则其他3个数字为，，， ∴框中4个数的和为； （2）解：假设框中4个数的和可能是124， ∴， 解得， ∴最小的数为25． 故框中4个数的和可能是124，最小的数为25． 5．（2026·宁夏吴忠·二模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数是“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”． (1)判断四位数5324是不是“递减数”； (2)若一个“递减数”为，求这个“递减数”． 【答案】(1) 5324不是“递减数” (2) 这个“递减数”为4312 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴5324不是“递减数”； （2）解：∵为递减数， ∴， 解得， ∴这个“递减数”是4312． 题型八：电费、水费问题 📝方法技巧 1. 分段计费：不超基础量按原价，超出部分按高价； 2. 总费用=基础费用+超出部分费用； 3. 先判断用量是否超标，再分段列式。 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．根据题意得到小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”，然后列出方程求解即可． 【详解】解：（元） （元） （元） ， 小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”这种情况． 设小亮家去年实际用水量为，根据题意可知： 解得 答：小亮家去年的实际用水量是． 2．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 3．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 题型九：古代问题 📝方法技巧 1. 翻译古文：抓关键词“共、余、不足、倍、分”； 2. 盈亏问题：总量不变列等式； 3. 设人数、物件数为x，以总数相等建立方程。 1．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别用含的式子表示两种乘车方案下的总人数，即可列出方程． 【详解】解：∵设共有辆车，总人数保持不变，且每人乘一车，剩余辆空车， ∴实际使用辆车， ∴总人数可表示为， ∵每人乘一车，剩余人步行， ∴总人数可表示为， ∴． 2．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可． 【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为， 铜的单价为每斤文，锡的单价为每斤文， 购买铜的花费为文，购买锡的花费为文， 贯文，总花费为贯，则总花费为文， 根据“总花费购买铜的花费购买锡的花费”可列方程：． 3．（2026·陕西咸阳·三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题，现对该问题改编如下：某人买了一批椽，每株椽的价格是135文，每株椽的运费是3文，椽的总价和总运费一共是6210文，设买椽的数量为株，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【详解】解：设买椽的数量为株， ∴． 4．（25-26六年级上·上海金山·期末）《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 【答案】大和尚有25人，小和尚有75人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据一百个和尚分一百个馒头，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据题意，可列方程： ， 整理得：， 解得： 小和尚的人数是（人）， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 题型十：几何问题 📝方法技巧 1. 周长、面积、体积公式为核心等量； 2. 长宽增减、拼接问题按变化前后关系列方程。 1．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长为，则这个正方形纸板的边长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设长方体的高为，则盒子的宽为，根据“正方形的边长相等”列方程求出长方体的高，再求出正方形的边长． 【详解】解：设长方体的高为，则盒子的宽为， 根据题意得，， 解得：， ∴这个正方形纸板的边长为． 2．一个长方形的宽为厘米，长比宽的倍少厘米，长方形的周长为厘米，则可列方程为______． 【答案】 【分析】由一个长方形的宽为厘米，长比宽的倍少厘米，则长为厘米，然后通过长方形周长公式即可求解． 【详解】解：由一个长方形的宽为厘米，长比宽的倍少厘米， 所以长为厘米， 所以列方程为． 3．如图所示，将底面半径为的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为，，的长方体铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．（取3.14，精确到）． 【答案】圆柱的高为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据圆柱的体积长方体的体积，列方程，即可求解． 【详解】解：设圆柱形水桶的高为，由题意，得 ， 解得． 答：圆柱的高为． 4．（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 【答案】(1)， (2)的值为7时，可以制作9个盒子 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用， （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面个，底面个； （2）解：根据题意得， 解得 ∴ 答：的值为7时，可以制作9个盒子． 5．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）某体育馆在一个长方形的空地上修建两个扇形游泳池（阴影部分），如图所示，两个游泳池之间的空地上铺上五彩石．（单位：米） (1)请用含a，b的代数式表示铺五彩石的空地的面积；（结果保留π） (2)为了便于施工，用高为2米长为116米的围挡把该施工地段围成一个无盖的长方体，如果该长方体的长比宽多8米，那么此时长方体的长、宽各为多少米？ 【答案】(1)米 (2)长为33米，宽为25米 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，根据题意找到数量关系是解题关键． （1）根据图象，五彩石的面积为长方形空地的面积减去两个四分之一圆的面积，作差法求解即可； （2）根据题意，长方体底面长方形的周长为米，根据长与宽之间的数量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得，铺五彩石的空地的面积是米； （2）解：设此长方体的宽为x米，则此长方体的长为米， 根据题意得：， 解得， ∴（米）． 答：此长方体的长为33米，宽为25米． 题型十一：动点问题 📝方法技巧 1. 动点表示：初始位置±速度×时间（左减右加）； 2. 距离公式：两点坐标差的绝对值； 3. 相遇、相距、中点问题均转化为距离等量列方程。 1．小丽在纸上画了一条数轴后．折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，由数轴上两点之间的距离得，即可求解；能熟练利用数轴上两点之间的距离求解是解题的关键． 【详解】解：设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为8， ， 到表示的点的距离为4， 点表示的数为， 故选：B． 2．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为5，点E，F分别从点A，B出发，同时分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度逆时针移动．当点E，F首次重合时，运动时间________秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．根据点E，F首次重合时，点F运动的路程与点E运动路程之差为15，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 3．如图，数轴上点表示的为是数轴上一点，点在点左边且点与点的距离，动点、分别从点、两点同时向左移动，点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． (1)求出数轴上点表示的数___________； (2)求经过几秒点追上点？ (3)经过几秒，、两点的距离为6个单位长度，并求出此时点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)经过秒以后，点追上点 (3)经过4秒，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是；经过10秒，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用． （1）根据数轴上表示数的方法和求解即可； （2）设经过秒以后，点追上点，根据题意列出方程求解即可； （3）设经过秒以后，两点的距离为6个单位长度，根据题意分两种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的为，点在点左边且点与点的距离， 数轴上点表示的数是， 故答案为：； （2）解：设经过秒以后，点追上点， 则， 解得， ∴经过秒以后，点追上点； （3）解：经过秒以后，两点的距离为6个单位长度，依题意有： ①相遇前两点的距离为6个单位长度，则， 解得， 点表示的数是； ②相遇后两点的距离为6个单位长度，， 解得， 点表示的数是； 经过4秒，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是；经过10秒，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是． 4．（25-26七年级下·吉林·期中）如图，在直角中，，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时，的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时，的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意表示出，，，根据列方程计算即可； （2）表示出，，根据面积的关系列方程计算即可； （3）分三种情况：当，，时，列方程求解即可； 【详解】（1）点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动， ，， ， ， ， ， ； （2）当在线段上时，，则， 的面积等于面积的， ， ， 解得：； （3）由题意可知，在线段上运动的时间为秒，在线段上运动时间为秒， 当时，在线段上运动，，， 则，， ， ， ； 当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， ； 当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， ，不符合题意，舍去； 或． 5．阅读理解：若A、B、C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离 2倍，我们就称点C 是的好点．例如，如图 1，点A 表示的数为，点B 表示的数为 2．表示 1 的点C 到点A 的距离是 2，到点B 的距离是 1，那么点 C 是的好点； 又如，表示 0 的点D 到点A 的距离是 1，到点B 的距离是 2，那么点 D 就不是的好点． 知识运用： (1)如图1，点D是 的好点； (2)如图 2，M、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为，点N 所表示的数为 4．则数 所表示的点是的好点； (3)已知A、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为，点 B 所表示的数为 40．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以 2 个单位每秒的速度向左运动，到达点 A 停止．当 t 为何值时， P、A 和B 中恰有一个点为其余两点的好点？ 【答案】(1)或 (2)2或10 (3)当秒或20秒或15秒 【分析】（1）由数轴可得，，再由好点的定义求解即可； （2）设点是的好点，由好点的定义可得，设表示的数为，再分两种情况列方程求解即可； （3）根据好点的定义，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点，分4种情况讨论，进而可确定t的值． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴， ∴点D是或的好点； （2）解：设点是的好点， ， 设表示的数为， 当在、之间时， ， ∴ ∴点表示的数为2， 当在右边时， ， ， ∴点H表示的数为10， 综上：点H表示的数为10或2； （3）解：当P 是好点时， 即， ； 当P 是好点时， 即， ， ； 当是好点时， 即， ∴ ， 当A是好点时， 即， ， ； 综上所述，当秒或20秒或15秒时，P、A和中恰有一个点为其余两点的好点． 题型十二：其他问题 📝方法技巧 先找不变量、总量，再列方程。 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，若山上的温度为，设山上距离地面的垂直高度为，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据温度变化的等量关系列一元一次方程，思路是：山上温度等于地面温度减去升高千米下降的总温度，据此列出方程即可． 【详解】解：∵山上距离地面的垂直高度为，每升高千米温度下降， ∴温度一共下降， ∵地面温度为，山上温度为， ∴根据等量关系可列方程：． 2．（2026·辽宁铁岭·三模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是___________． 【答案】 【分析】设动力臂是，根据杠杆原理“阻力阻力臂动力动力臂”列出一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设动力臂是， 由题意得：， 解得， 所以动力臂是． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期末）某校七年级学生乘车去参加社会实践活动，若每辆客车乘50人，还有12人不能上车；若每辆客车乘55人，则最后一辆空了8个座位，求该校租了多少辆客车？七年级学生多少人？ 请列方程解决这个问题． 【答案】该校租了4辆客车，七年级学生有212人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设有x辆客车，根据去郊游的人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，再解方程即可求解． 【详解】解：设有x辆客车， 根据题意得：． 解得， （人） 答：该校租了4辆客车，七年级学生有212人． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“★”代表一个有理数． 根据该程序，解答下列问题： (1)若输入的数是，★表示的数为，求输出的结果； (2)若输入的数是，且输出结果为，求★表示的数； (3)若输入的数是，★表示的数为，当输出结果为时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查流程图与有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确理解题意是关键． （1）按照流程图进行计算即可； （2）设★表示的数为，根据题意列出方程并求解即可； （3）根据流程图写出等式并化简即可． 【详解】（1）解：根据流程图可得，计算过程为， ∴输出的结果为； （2）解：设★表示的数为， 根据题意，可列方程：， 化简，得， 解得， ∴★表示的数为； （3）解：根据流程图可得， 化简，得， ∴． 5．（25-26七年级上·北京海淀·期末）学校开展“健康小达人”主题活动，活动分为“耐力挑战”和“技巧闯关”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个获奖条件时仅颁发最高奖） 卓越奖 参加两个项目的得分之和不低于100分，且至少一个项目的得分达到60分． 优秀奖 参加两个项目的得分之和不低于100分． 参与奖 完成全部两个项目的活动． 在参加活动时，在正式计分之前可以先体验一次．小明在体验时，“耐力挑战”得分与“技巧闯关”得分比为；在正式计分时，“耐力挑战”得分比体验时提高了10分，“技巧闯关”得分比体验时增加了，最后共得104分．请利用所学的一元一次方程知识，为小明颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】卓越奖 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． 设体验时“耐力挑战”得分为分，则“技巧闯关”得分为分，用含x的式子表示出正式计分时的分数，根据题中等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：颁发卓越奖，理由如下： 设体验时“耐力挑战”得分为分，则“技巧闯关”得分为分， 正式计分时，“耐力挑战”得分为（）分，“技巧闯关”得分为分， 根据题意得，， 解得， ，， 即“耐力挑战”得分为60分，“技巧闯关”得分为44分，总分为104分， 故颁发卓越奖． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $