专题6.1 几何图形 培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦几何图形核心知识点，系统梳理平面与立体图形的基本概念，点线面体的组成关系及欧拉公式，正方体展开图的11种类型及识别口诀，通过18个题型构建从基础识别到综合计算的学习支架。 以几何直观和空间观念为特色，结合“知识点+题型+探究”模式，如正方体相对面判断培养推理能力，礼品盒制作等探究活动发展创新意识。课中助力教师举一反三教学，课后检测与复盘笔记帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

简一数理 初中专题讲义 专题6.1 几何图形（举一反三讲义） （新教材人教版） 3 3 4 4 6 9 11 13 14 16 19 22 24 26 28 31 32 36 38 40 42 43 48 62 知识点一：基本概念 几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形. 立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形. 平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形. 知识点二：几何图形的组成 几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形. 2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线. 3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面. 4）体：几何体也简称体. 组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体. 【扩展】 名称 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 存在关系 三棱锥 4 4 6 V+F-E=2 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 1.同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的. 2.在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个,图1所示的图形 不是正方体的展开图. 正方体的展开图中不会有“田”字形、“凹”字形的形状,图2、图3所示的 图形不是正方体的展开图. 知识点三：正方体的展开图 一个正方体的展开图共有11种： 1-4-1 2-3-1 2-2-2与3-3 口诀 1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意， 2）“三个二”成阶梯， 3）“二个三”“日”相连，异层必有“日”. 4） “一线超过四”“凹” “田”“L型”弃之. 6种 3种 2种 【题型1 常见的几何体】 【例1】如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】分别数出每一层小正方体的个数，相加即可． 【详解】解：从下至上，第一层共有9个小正方体，第二层有4个小正方体， ∴一共有个小正方体． 【变式1-1】把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】D 【分析】展开图中有两个相同的三角形，是几何体的底面；三个长方形，连接在三角形的边上，是侧面；据此分析判断几何体的形状即可． 【详解】解：根据展开图，可知该几何体有两个平行的三角形面，且侧面是三个长方形，所以这个几何体是三棱柱． 【变式1-2】下面几何体中，是圆柱的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．根据圆柱体的特征判断即可． 【详解】解：A、有两个大小相同的圆形底面，且互相平行，侧面是曲面，符合圆柱的特征，故此选项符合题意； B、只有一个圆形底面，顶点是一个点，是圆锥，故此选项不符合题意； C、底面是三角形，侧面是三角形是三棱锥，故此选项不符合题意； D、是一个完全由曲面构成的球体，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的侧棱性质，解题的关键是明确八棱柱有8条侧棱且侧棱长度相等． 根据八棱柱侧棱的数量和性质，用所有侧棱长的和除以侧棱的条数，即可求出每条侧棱的长． 【详解】解：∵八棱柱有8条侧棱，且每条侧棱的长度相等， ∴每条侧棱的长为． 故选：C． 【题型2 组合几何体的构成】 【例2】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 【变式2-1】如图所示，图中正六边形有（    ）个． A．15 B．13 C．11 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形，具备一定的空间想象能力是解题关键．结合图形，分别画出所有可能的正六边形，由此即可得． 【详解】解：①如图，这样的图形有6个． ②如图，这样的图形有3个． ③如图，这样的图形有1个． ④如图，这样的六边形有1个． 则一共有（个）， 故选：C． 【变式2-2】下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念选择即可． 【详解】解：A．棱柱有两个完全相同且相互平行的面，故选项正确，符合题意； B．棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，故选项正确，符合题意； C．圆柱的侧面是曲面，侧面展开图是长方形，故选项不正确，不符合题意；． D．正方体是四棱柱，棱柱都是多面体，正方体有六个面，所以是六面体，故选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念，解题的关键是熟悉相关概念． 【变式2-3】如图所示的是一个粮仓的外形图，其可以近似看作是由两个常见几何体组合而成，这两个几何体是（　　） A．长方体和圆锥 B．圆柱和圆锥 C．圆柱和长方体 D．球和圆柱 【答案】B 【分析】此题主要考查了认识几何体，关键是认识常见的几何体，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．根据常见的几何体的形状，观察粮仓外形图，分别分析其上下部分对应的常见几何体可得答案． 【详解】解：观察图片可知，粮仓的上半部分是一个有尖顶，侧面为曲面且从底面逐渐收缩到顶点的形状，这符合圆锥的特征，所以粮仓上半部分是圆锥； 粮仓的下半部分是一个上下底面为等大的圆形，侧面展开是一个长方形(曲面)的形状，这符合圆柱的特征，所以粮仓下半部分是圆柱； ∴一座粮仓，它可以看作是由圆锥和圆柱几何体组成的； 故选：B． 【题型3 立体图形的分类】 【例3】下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，正确理解立体图形的定义是解题关键； 根据立体图形的定义即可求解； 【详解】解：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； 可以看到第二个图形和第四个图形是立体图形； 故选：B 【变式3-1】物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 【变式3-2】下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据柱体，锥体的定义及组成作答． 【详解】解：①柱体包括圆柱、棱柱；∴柱体的两个底面一样大；故此选项正确， ②圆柱、圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以为任意多边形，错误； ④长方体符合柱体的条件，一定是柱体，正确； ⑤棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面应是长方形，故错误； 共有3个正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题，解题的关键是掌握相应的概念，应注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形． 【变式3-3】在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是(　　) A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤ 【答案】D 【详解】解：①球体只有一个曲面，故球体不是多面体； ②柱体，圆柱有三个面，故柱体不一定是多面体； ③锥体，圆锥有两个面，故锥体不一定是多面体； ④棱柱至少有两个底面，三个侧面，故棱柱是多面体； ⑤棱锥至少有一个底面，三个侧面，故棱锥是多面体． 故选D． 【题型4 几何体中的点、棱、面】 【例4】如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【答案】B 【分析】先根据棱锥的特点可知九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱，然后分析四个选项中棱柱的棱的条数得出答案． 【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱， 因为五棱柱有条棱，所以A不正确； 因为六棱柱有条棱，所以B正确； 因为八棱柱有条棱，所以C不正确； 因为九棱柱有条棱，所以D不正确． 【变式4-1】一个直棱柱共有15条棱，则这个棱柱的面数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题主要考查了棱柱的构成，准确分析计算是解题的关键． 直棱柱的棱数公式为（为底面边数），由给定棱数可求出，再根据面数公式计算面数． 【详解】设直棱柱的底面边数为， 直棱柱的棱总数为， ， ， 又直棱柱的面数由两个底面和个侧面组成， 总面数为； 故这个棱柱的面数为7个． 故选． 【变式4-2】把14个棱长是的正方体放在地面上，堆成如图所示的组合体，然后将露出的表面部分涂成红色（底面不涂）．那么红色部分的面积是（   ） A．33 B．38 C．42 【答案】A 【分析】此题考查的知识点是几何体的表面积，关键是在计算表面积时减去不露的或重叠的面积． 此题可根据表面积的计算分层计算得出红色部分的面积再相加． 【详解】解：根据题意得： 第一层露出的表面积为：； 第二层露出的表面积为：； 第三层露出的表面积为：． 所以红色部分的面积为：． 故选：A． 【变式4-3】一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形，由不带红色的小正方体的个数等于7 ，说明这个长方体是的长方体，那么三面涂色的顶点处，两面带红色的小正方体都在这个长方体的棱上，正确理解立体图形的特点是解题的关键． 【详解】解：因为7是质数， 所以不带红色的小正方体只能是排成一排， 所以这个长方体由即个小正方体组成， 把它看成3层，第一层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 第二层两面带红色的小正方体个数为：4个， 第三层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 所以两面带红色的小正方体个数为：（个）， 故选D． 【题型5 从不同方向看几何体】 【例5】一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是，搭这样一个立体图形至少需要（     ）个小正方体． A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据从上面看到的形状得出最下面一层最少要有6个，根据从右面看到的形状可以得出第二层最少要有2个，从而得出总个数最少需要8个． 【详解】解：（个）， 即搭这样一个立体图形至少需要8个小正方体． 【变式5-1】桌上放着两个长方体，是从前面看到的形状，则是从（     ）面看到的形状． A．左 B．右 C．上 D．后 【答案】A 【分析】根据立体图形可知两个长方体左右摆放，左矮右高，结合图的形状特征进行判断即可. 【详解】解：由前两个图形可知，该几何体由两个左右并排的长方体组成，且左矮右高， 若从左面看，能看到左边矮长方体的侧面，且右边高长方体高出部分可见，组合起来为一个矩形中间有一条横线，A选项符合题意； 若从右面看，视线被右边高长方体遮挡，只能看到一个矩形，B选项不符合题意； 若从上面看，应看到左右两个矩形，C选项不符合题意； 若从后面看，应看到右边高、左边矮的图形，D选项不符合题意． 【变式5-2】下面摆放的几何体中，有一个几何体从正面与从上面看到的形状图不一样，这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、从正面与从上面看到的都是正方形，不符合题意； B、从正面与从上面看到的都是长方形，不符合题意； C、从正面看到的是三角形，从上面看到的是带圆心的圆形，符合题意； D、从正面与从上面看到的都是圆形，不符合题意； 故选：C． 【变式5-3】如图为某个几何体从左面看到的形状，则该几何体不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：选项A，B，C从左面看到的形状都是：， 而选项D从左面看到的形状为． 【题型6 几何体展开图的认识】 【例6】是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将一个无上底面的纸杯沿侧面展开，它的侧面展开图是： 【变式6-1】如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，一个正方形的底面，四个三角形的侧面， 因此该几何体是四棱锥， 故选：D． 【变式6-2】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、图形经过折叠可以围成一个棱柱，符合题意； B、底面图形的边数与侧面的个数不一致，不能围成棱柱，不符合题意； C、两个底面图形不一致，不能围成棱柱，不符合题意； D、两个底面都在同一侧，不能围成棱柱，不符合题意． 【变式6-3】在一次“我是小小秩序员”设计活动中，希希同学设计了一个圆柱形的路障柱，它的表面展开图可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的侧面展开图是长方形，两个底面是圆，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】解： A选项，由一个长方形和两个圆组成，符合圆柱展开图的特征，故A符合题意； B选项，由四个三角形组成，是三棱锥的展开图，故B不符合题意； C选项，由一个扇形和一个圆组成，是圆锥的展开图，故C不符合题意； D选项，由三个长方形和两个三角形组成，是三棱柱的展开图，故D不符合题意． 【题型7 由展开图计算几何体的表面积】 【例7】如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形的侧面展开图及其表面积，先根据展开图确定三棱柱底面三角形形状，再分别求侧面和底面面积，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， 该直三棱柱底面三角形的三边长分别为、、． ， 该直三棱柱的底面三角形为直角三角形， 这个直三棱柱的表面积为: ， ． 故选． 【变式7-1】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 【变式7-2】将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 【变式7-3】如图，将一个无上、下底面的纸杯沿竖直虚线剪开并展开，得到的侧面展开图一个圆柱的侧面沿高展开后是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的表面积是（    ）平方厘米 A．157 B．985.96 C．1142.96 【答案】C 【分析】一个圆柱的侧面展开后是一个边长为31.4厘米的正方形，说明这个的圆柱的底面周长和高都是31.4厘米，根据圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，把数据代入公式解答即可． 【详解】解： （平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是1142.96平方厘米． 故选：C． 【点睛】此题主要考查的是圆柱表面积公式的灵活运用，理解掌握圆柱侧面展开图的特征是解题的关键． 【题型8 由展开图计算几何体的体积】 【例8】小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 【变式8-1】如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键；设底面正方形的边长为，根据图示中的相关数据列出方程，求出，再根据长方体的体积求解即可． 【详解】解：设底面正方形的边长为， 由图可得， 解得， 则， ∴长方体的体积为， 故选：D． 【变式8-2】某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图分别求出每种纸盒的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为：， ∵乙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， ∴乙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵丙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， 丙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵， ∴从小到大排列顺序为乙甲丙， 故选：B． 【变式8-3】如图，抽纸盒在外国叫，是一种主要盛放卫生纸、纸巾等的盒子，适用于各种场合．抽纸盒是纸盒的包装结构、包装形态与包装艺术的结合，既实用又美观．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系并列出方程．设长方体的高为，然后表示出其宽为，利用宽是高的2倍列出方程求得小长方体的高后计算其体积即可． 【详解】解：设长方体的高为，则其宽为， 根据题意得：， 解得：， 故长方体的宽为，高为；长为， 则长方体的体积为． 故选：A． 【题型9 正方体几种展开图的识别】 【例9】下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：一、二、三、四图能折叠成正方体，共4个． 【变式9-1】如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点，即可求解． 【详解】解：由原正方体的特征可知，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，所在的平面不可能是对面， A、折叠后，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，故选项符合题意； B、折叠后，含有4，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； C、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； D、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意． 【变式9-2】下列四个图形都是由相同的小正方形组成的，其中沿小正方形的边能折叠成正方体的是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】利用正方体表面展开图的特点逐项判断即可． 【详解】解：图②：中间四个小正方形组成了田字形结构，折叠后会有面重叠，不能折成正方体，因此排除含有②的A、C选项． 图①：属于正方体展开图的3-3型（两行各3个正方形，错开排列符合规则），可以折叠成正方体． 图③：折叠后会出现面重叠，不符合正方体展开图的结构，不能折成正方体． 图④：属于正方体展开图的2-2-2型（每层2个正方形，阶梯错开排列，符合规则），可以折叠成正方体． 因此能沿小正方形边折叠成正方体的是①④． 【变式9-3】图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的模型逐个判断即可． 【详解】解：对于（1），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（2），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（3），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（4），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（5），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（6），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（7），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（8），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 综上，是正方体展开图的一共有5个． 【题型10 正方体相对两面上的字】 【例10】“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．复 B．兴 C．有 D．我 【答案】D 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，异行字形，进行判断即可． 【详解】解：由展开图可得，“国”字所在面相对的面上的汉字是“兴”； “复”字所在面相对的面上的汉字是“有”； “强”字所在面相对的面上的汉字是“我”． 【变式10-1】南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确正方体平面展开图中相对面的判定规则：同行或同列中，间隔一个面的两个面为相对面．逐个分析每个选项的展开图，定位“有”字的位置，根据相对面判定规则找到其对应的对面文字．对比每个选项中“有”的对面是否为“竟”，筛选出符合要求的选项． 【详解】选项A：该展开图中，“有”的对面是“成”，不符合要求． 选项B：该展开图中，“有”的对面是“竟”，符合要求． 选项C：该展开图中，“有”的对面是“事”，不符合要求． 选项D：该展开图不能构成正方体，不符合要求． 【变式10-2】图为正方体展开图，折叠成正方体后相对两个面上的数字之积为1，则为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的展开图中，相对面的特征，判断出a与b的所在面相对，c的所在面的相对面为，再根据题目条件：正方体相对两个面上的数字之积为1，求解即可． 【详解】解：由正方体展开图的相对面的特征，可知a与b的所在面相对，c的所在面的相对面为， ∴，， ∴， ∴． 【变式10-3】如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（     ） A．14 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】先依据正方体展开图的特征确定互为相对的面，再结合“相对面上的数或代数式互为相反数”这一性质建立方程，通过解方程求出、的具体值，最后代入代数式计算出结果． 【详解】解：由正方体展开图的相对面规律，与相对，与相对，与相对． ∴，． 解得，； ∴． 【题型11 含图案的正方体的展开图】 【例11】如图，正方体纸盒的三个侧面分别印有文字“铜”、“陵”、“市”，现在沿着它的棱剪开，展开成一个平面图形，这个正方体的平面展开图可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：把四个选项的展开图折叠，能复原的是． 【变式11-1】把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． 【变式11-2】如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 【变式11-3】图（1）表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图（2）是这个正方体的表面展开图，则在图（2）中面“”是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，先观察正方体标有点数的面与标有点数和的面相邻，则可排除面①和面③；再根据标有点数的面中黑点的排列规律确定出标有点数中黑点的排列规律即可得到答案． 【详解】解：观察图可知，①与是相对面，③与是相对面，②与④是相对面，根据点数、、的面的对应关系，当标有的面中两个黑点竖着排列时，标有的面中黑点呈左下到右上的方向排列时，故面②符合题意，面④不符合题意． 故选：B． 【题型12 求展开图两点折叠后的距离】 【例12】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【变式12-1】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【变式12-2】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 【变式12-3】如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据展开图得到该正方体一个面的对角线长度为，再将展开图折叠为正方体可得A、B两点间的距离． 【详解】解：如图1，∵， ∴该正方体一个面的对角线长度为， 如图2，将展开图折叠为正方体后，A、B两点间的距离为该正方体一个面的对角线长度， 即A、B两点间的距离为4． 【题型13 补一个面使图形围成正方体】 【例13】在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 【变式13-1】下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 【变式13-2】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 【变式13-3】黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【答案】4 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 【题型14 平面图形形状的认识】 【例14】下图中A、B都是中点，阴影部分的面积是平行四边形面积的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形和平行四边形面积的计算方法，如图所示，设平行四边形的底和高分别为a和h，又因A、B都是中点，则，又在中，，边上的高为，所以，再据阴影部分的面积据此即可求解. 【详解】解：如图， 设平行四边形的底和高分别为a和h， 所以，平行四边形的面积为， 又因A、B都是中点，则， 又在中，，边上的高为， 所以， 阴影部分的面积为： ， ； 所以，阴影部分的面积是平行四边形面积的， 故选：C. 【变式14-1】一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形的一个角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形， 则所钉成的长方形的面积是（  ） A．7或15 B．16或15 C．7或15或16 D．无数个答案 【答案】C 【分析】分情况讨论分别去掉A、B、C三处的钉子时，组成长方形的长和宽各是多少，再根据长方形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：当去掉A处的钉子时：这时长方形的长为4，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：； 当去掉B处的钉子时：这时长方形的长为7，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：； 当去掉C处的钉子时：这时长方形的长为5，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面图形的认识与计算，利用分类讨论的思想是解题的关键． 【变式14-2】如图是一个浅湖的平面图，图中所有曲线都表示湖与岸边的分界线，如果P点在岸上，那么A点和B点分别在（    ） A．点A在水中，点B在水中 B．点A在水中，点B在岸上 C．点A在岸上，点B在水中 D．点A在岸上，点B在岸上 【答案】A 【分析】本题可据数的奇偶性进行分析，如图从点到点的空白处标上数字可发现，奇数都处于岸上，偶数都处于水中，点为6，是偶数，所以点处于水中，同理点B处于水中． 【详解】解：如图，由于点P处于岸上且为1，所以奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6，是偶数，所以A点处于水中．同理点B处于水中． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的分析判断能力，通过数的奇偶性判断位置，能读懂题，分析题目是解题的关键． 【变式14-3】如图，将长方形平均分成三个小长方形，再将三个小长方形分别平均分成2份、3份和4份，阴影部分面积是长方形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方形ABCD所分的图形的方法，分别求出每个小的长方形的面积占长方形ABCD的面积的份数，相加即可得到阴影部分的面积与长方形ABCD的关系. 【详解】解：如图，阴影部分①的面积占长方形面积的， 阴影部分②的面积占长方形面积的， 阴影部分③面积占长方形面积的， 所以所有阴影部分面积是长方形面积的， 故选：. 【点睛】此题考查平面图形，平面图形的面积，有理数的加法法则，解题的关键是分别求出阴影部分中每部分的面积与长方形ABCD的关系. 【题型15 用七巧板拼图形】 【例15】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可． 【详解】解：如图， 根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成， ∴阴影部分的面积为． 【变式15-1】将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的运算 ，根据图形得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图， ， ∴， 故选：C． 【变式15-2】下列拼图中，是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】七巧板的结构∶五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形∶一个正方形∶一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答． 【详解】解∶A中图形个数不对，有8个图形，故不是由原图这副七巧板拼成的； B中没有一对大的全等三角形，故不是由原图这副七巧板拼成的； C中的图形和原图一样，故是由原图这副七巧板拼成的； D中小等腰直角三角形的斜边应该与平行四边形的长边叠合，故不是由原图这副七巧板拼成的． 【变式15-3】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【答案】B 【分析】该题考查了七巧板，根据图1和图2分析即可解答． 【详解】解：根据图1可得：①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 根据图2可知空白部分为长方形，则④、⑥、⑦、①四部分可以组成长方形， 故图1中没用上的那一块七巧板是⑤， 故选：B． 【题型16 点、线、面、体之间的关系】 【例16】下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱、点动成线、圆锥等知识．对知识的熟练掌握是解题的关键．根据棱柱、点动成线、圆锥等知识分别进行判断即可． 【详解】解：A、五棱柱有10个顶点，A正确，故不符合要求； B、棱柱侧面的形状是平行四边形，不可能是一个三角形，B错误，故符合要求； C、“天空划过一道流星”能说明“点动成线”， C正确，故不符合要求； D、圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的，D正确，故不符合要求； 故选：B． 【变式16-1】下列说法正确的有（    ） ①五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面； ②点动成线，线动成面，面动成体； ③圆锥的侧面展开图是一个圆； ④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查简单的几何图形具有的特点，根据立体图形的特征，点、线、面、体，圆锥的特征和截一个几何体的方法判断即可． 【详解】解：①五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面，所以①错误，不符合题意． ②点动成线，线动成面，面动成体，所以②正确，符合题意． ③圆锥的侧面展开图是一个扇形，所以③错误，不符合题意． ④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，所以④正确，符合题意． 综上所述，说法正确的有2个， 故选：B． 【变式16-2】夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理． 【详解】∵把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理， ∴选A． 【点睛】本题考查了点动成线的原理，正确理解题意是解题的关键． 【变式16-3】几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（   ） A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意； B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意； C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意； D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力． 【题型17 平面图形旋转后所得的立体图】 【例17】将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：原图形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是． 【变式17-1】将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各平面图形根据面动成体得出对应的几何体，再判断即可． 【详解】解：将图A绕虚线转一周，可以得到类似于球的几何体，不符合题意； 将图B绕虚线转一周，可以得到类似于圆柱的几何体，不符合题意； 将图C绕虚线转一周，可以得到类似于圆台的几何体，符合题意； 将图D绕虚线转一周，可以得到类似于圆锥的几何体，不符合题意． 【变式17-2】将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面动成体的原理，分析各选项中的平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形，与题干给出的立体图形进行对比即可得出答案； 【详解】解：观察题干图形可知，该立体图形是一个圆柱和圆锥相叠， A：旋转后得不到圆柱圆锥的组合，不符合； B：图形上半部分是一边在轴上的矩形，旋转后得到圆柱；下半部分是直角边在轴上的直角三角形，旋转后得到同底的圆锥，正好得到题目中的立体，符合要求； C：完整矩形旋转后只得到一个圆柱，不符合； D：旋转后得到两个同底的圆锥，不符合． 【变式17-3】下面的立体图形中，不能由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可知，球体，圆锥体和圆柱体都是旋转体，可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到，正方体是多面体，不能由平面图形绕某条直线旋转一周得到； 故只有B选项符合题意. 【题型18 截一个几何体】 【例18】下列几何体中，截面可能是三角形的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，分别根据选项判断得出即可． 【详解】解：圆柱的截面跟圆、四边形有关，截面不可能是三角形；过圆锥的顶点和下底圆心的面得到的截面是三角形，过正方体的三个面得到的截面是三角形，过长方体的三个面得到的截面是三角形， 所以，截面可能是三角形的有3个． 【变式18-1】如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱的特征，其表面全部由平面多边形组成，用平面去截该几何体，截面边界只能是线段，不可能出现曲线，据此判断即可． 【详解】 该几何体是三棱柱，其表面由个平面围成， 用一个平面去截该几何体，截面与各个面的交线均为线段， 截面形状只能是多边形（如三角形、四边形等），不可能是圆， 选项A、C、D均为多边形，选项B为圆， 截面形状不可能是B． 【变式18-2】用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截的正方体，可以得到三角形，正方形，矩形， ∴截面形状不可能是圆 ． 【变式18-3】．如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】考查了截一个几何体； 截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，六棱柱有八个面，用平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形． 【详解】解：用一个平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形， 所以边数最多的截面形状是八边形． 故选：C． 【探究式学习】 1．【项目式学习】项目主题：礼品盒的探究． 项目内容：学会用数学的眼光看世界，学习小组开展了一次礼品盒的探究之旅． 探究一：图1的三个几何体是常见的礼品盒模型． （1）请分别写出每种礼品盒对应的几何体名称：①正三棱柱；②____________；③____________； 探究二：打开礼品盒顶盖后，看到里面分别装着圆柱形礼品，如图2分别是三个礼品盒拿走顶盖后从上面看到的形状图． （2）学习小组绘制了图2-1中礼品盒的表面展开图，其中能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是_______．（请把正确的序号填在横线上） 探究三：经测量发现，每个圆柱形礼品高，底面圆的半径． （3）现对图2-2和图2-3中礼品盒（有盖）的表面进行贴膜塑封，求两个礼品盒贴膜塑封的总面积．（结果保留，礼品盒高等于圆柱形礼品高，礼品盒的厚度和贴膜接缝处忽略不计．） 【答案】（1）②长方体；③圆柱；（2）①②④；（3） 【分析】本题主要考查了几何体和求几何体的面积，注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱． （1）根据图形求解即可； （2）根据正三棱柱的展开图分析即可； （3）先求出长方体的长、宽、高，圆柱体的底面半径和高，再求面积，即可求解． 【详解】解：（1）每种礼品盒对应的几何体名称：②长方体；③圆柱； （2）能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是①②④； （3）长方体的长为，宽为，高为， 长方体礼盒的面积为， 圆柱体的底面半径为，高为， 圆柱体礼盒的面积为， 两个礼品盒贴膜塑封的总面积． 2．【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 【答案】(1)11 (2) (3)解：不能，假设同一平面内拼4个等边三角形，代入（2）得到的规律得需要磁力棒：根， ∵ ， ∴同一平面内，6根磁力棒不能组成4个等边三角形； (4)用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形 【分析】（1）观察图形中三角形个数和磁力棒根数的对应关系，找到每增加1个三角形时磁力棒的增量规律，因为1个三角形对应3根，之后每多1个三角形多2根，所以可推导个三角形时的磁力棒根数表达式，代入即可得到对应根数； （2）根据观察图形的增量规律总结个三角形时的磁力棒根数表达式即可； （3）先根据第2问得到的平面下个三角形需要的磁力棒数量公式，代入得到所需磁力棒数量，再和6比较判断即可； （4）因为正四面体的棱和等边三角形面的数量是固定的，所以直接统计棱数即磁力棒根数，统计面数即等边三角形个数即可． 【详解】（1）解：观察图形可得： 1个等边三角形需要根磁力棒， 2个等边三角形需要根磁力棒， 3个等边三角形需要根磁力棒， ∴5个等边三角形需要根磁力棒； （2）解：根据上述规律，个等边三角形需要的磁力棒根数为 ； （3）略； （4）解：三棱锥的各面都是等边三角形，共有6条棱，4个面，每个面都是等边三角形， ∴一共用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形． 3．综合与探究： 问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____； (2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积． (3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】根据正方体的折叠，可得折成一个无盖的正方体纸盒需要有个面，根据平面图形中小正方形的个数和位置进行判断即可； 根据正方体的表面展开图的特征，当正方形纸板四个角都剪去一个边长为小正方形时，得到的纸盒的底面边长为； 根据剪去的小正方形的位置和边长，求出折叠好的长方体纸盒的长、宽、高，再根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：A图中个小正方形的位置呈“田”字格形式，不能折叠成正方体，故A选项不能围成无盖正方体； B图中只有个小正方形，无盖正方体纸盒需要个小正方形，故B选项不能围成无盖正方体； C图中有个小正方形，折叠后恰好是一个无盖正方体纸盒，故C选项能围成无盖正方体； D图中有个小正方形，可以折叠成一个有盖的正方体纸盒，故D选项不能围成无盖正方体； 故选：C． （2）解：正方形纸板四个角都剪掉一个边长为的小正方形，得到的纸盒的底面边长为， 当时，纸盒的高为，底面是边长为的正方形， 则纸盒的体积为：； （3）解：由图可知，折好的长方体纸盒的长为，宽为，高为， 折好的长方体纸盒的体积为， 当、时， 【点睛】本题考查正方体的表面展开图，长方体的体积，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． 【课后检测】 1．在下面的几何图形中再添1个，从左面观察不可能看到（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出从左面看到没有添加小正方体的图形，再添加小正方体逐一判断即可． 【详解】解：从左面看到没有添加小正方体得到的图形为： ， 添1个小正方体后不可能看到： ． 2．如图，裁掉写有我、爱、河、南中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（     ） A．我 B．爱 C．河 D．南 【答案】A 【详解】解：由正方体的展开图可知，裁掉一个正方形“我”后不能折叠成正方体． 3．如图是正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与点重合的点为（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点重合的点是. 4．某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体展开图可得答案． 【详解】解：根据几何体表面的展开图有2个面，一个圆是底面，一个曲面是侧面，可知该几何体是圆锥，所以D符合题意． 5．嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据分析，4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置，结合，求解即可； 【详解】解：根据题意，得4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置， 因为， 所以朝下一面的数字为3； 6．“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”出自王维《田园乐》组诗，反映其山水田园诗风及隐逸情趣．将“柳、绿、更、带、朝、烟”六个字书写在某个正方体的表面展开图上，将该正方体复原后，与“柳”字所在面相对的面上的字是（   ） A．更 B．带 C．朝 D．烟 【答案】A 【分析】根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可． 【详解】解：根据题意，与“柳”字所在面相对的面上的字是“更”； 7．如图，一个几何体由一些大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（   ） A．从前面看到的形状图的面积最小 B．从左面看到的形状图的面积最小 C．从上面看到的形状图的面积最小 D．这个几何体的表面积为30 【答案】B 【分析】先确定从前面、左面、上面看到的图形的面积即可判断A、B、C选项；再求出几何体的表面积即可判断D选项． 【详解】 解：从前面看到的视图为，面积为6；从左面看到的视图为，面积为4． 从上面看到的视图为，面积为5，则从左面看到的形状图的面积最小，即选项A、C不符合题意，B选项符合题意． D该几何体的表面积为：，即选项D不符合题意． 8．如图，是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相对面上的多项式的和相等，列出关于A的算式进行计算即可． 【详解】解：根据相对面上的多项式的和相等可得： ． 9．下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成如图所示的陶罐的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“面动成体”进行判断即可． 【详解】 解：将平面图形绕着虚线旋转一周可以得到的几何体为． 10．如图是一个几何体的展开图，这个几何体是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：这个几何体是： ． 11．下列图形能折叠成四棱锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四棱锥展开图为一个四边形，四个三角形即可． 【详解】 解：A、能折叠成四棱柱，不符合题意； B、能折叠成三棱锥，不符合题意； C、不能形成立体图形，不符合题意； D、能折叠成四棱锥，符合题意． 12．如图是一个正方体的平面展开图，如果将它折成一个正方体．相对面上的数相等，则的值为______________ 【答案】 【分析】根据相对面上的数相等得到，进而可知的值． 【详解】解：∵相对面上的数相等， ∴， ∴． 13．若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和相等，则的值为___________． 【答案】 12 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数之和相等，列出方程求出a、b、c的值，从而得到的值． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，可知a与b相对，c与相对，3与2相对， ∵相对面上两个数之和相等， ∴， ∴，， ∴． 14．仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从前面和左面看到的形状如图①所示，从上面看如图②所示，那么这堆纸箱的个数是________． 【答案】或 【分析】先根据从上面看确定底层纸箱的数量，因为从上面看每个正方形对应底层一个位置的纸箱，所以可先得出底层纸箱总数，再结合从前面看和从左面看判断各位置上的层数，从前面看反映每列的最大层数，从左面看反映每行的最大层数，由此分析每个位置可能的层数取值．分别计算所有可能的层数组合对应的总纸箱数． 【详解】解：首先根据从上面看（图②）可得：这堆纸箱底层共有3个纸箱， 结合从前面看和左面看到的形状如图①，可得这堆纸箱排列如图 因此总个数为： 或 ，两种情况都满足从前面、从上面和左面看到的形状要求． 15．下图是一个正方体的展开图，在相应的正方形内填上一个适当的数，使得正方体相对的面上的两数互为相反数，则__________． 【答案】 【分析】先找出正方体相对的面，再根据相反数的定义求出，即可求出代数式的值． 【详解】∵由题可知，与、与、与是相对面， 又∵正方体相对的面上的两数互为相反数， ∴，，， ∴． 16．一个几何体由几个相同的小正方体搭成，从上面和从前面看这个几何体得到的平面图形如图所示，从上面看到的平面图形中，小正方形中的字母表示在该位置的小正方体的个数． (1)填空：___________，___________，___________． (2)这个几何体最少由___________个小正方体搭成，最多由___________个小正方体搭成． (3)当，时，请画出从左面看这个几何体得到的平面图形． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （2）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （3）根据从左面看到的形状图画出图形． 【详解】（1）解：从图可得，，； （2）解：结合从上面看到的图和正面看到的图，画出立体几何图形 ∴几何体最少由个小立方块搭成， ∴最多由个小立方块搭成． （3）略． 【点睛】本题考查从不同方向看几何体，解题的关键是理解从不同方向看几何体得出的图形． 17．如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】(1) (2)如图， 【分析】（1）分层数出几何体每层小立方块数量，相加得到总个数． （2）分别从正面、上面、左面观察几何体，确定每一行每一列正方形的分布，画出对应形状图． 【详解】（1）解：由图可得底层：4个，第二层：1个； 故构成这个几何体的小立方块的个数为：（个）； （2）略 18．某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【答案】(1)①，④ (2)标注尺寸如图． (3) 【分析】（1）根据长方体的展开特点即可作出判断； （2）找到对应边，标注上尺寸即可； （3）根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可； 【详解】（1）解：①，④ （2）解：略 （3）解：； ； 19．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式． 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 (2)你发现顶点饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 【答案】(1)完成表格如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 长方体 8 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 ； (2) (3)． 【分析】（1）根据表格中多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）归纳可得答案； （2）设这个多面体的面数为，则顶点数为：，再根据列方程，解方程可得答案； （3）先求解多面体的棱的总数，再根据求解多面体的面数，从而可得的值． 【详解】（1）解：略 （2）解：设这个多面体的面数为，则顶点数为： 即这个多面体的面数为； （3）解： 简单多面体的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，有24个顶点，每个顶点处都有3条棱． 共有条棱， 设总面数为：， ， ， 即． 20．综合与实践：在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 (1)如图1，将一张边长为30的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为________（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为________（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． (2)兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成2个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系________=________ ②求长方体纸盒的容积． (3)兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？________（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． (4)请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)否，因为或，所以该方案不可行 (4)设计图形如图所示： 纸盒的容积为 【分析】（1）①该纸盒的底面边长等于正方形纸片的边长减去两个小正方形的边长；②根据长方体的容积公式求解即可； （2）①根据图形的折叠与剪拼即可求解；②根据题意以及图形的折叠与剪拼求出长方体的长、宽、高，即可求解； （3）结合图形即可判定； （4）根据（2）的制作方法画出图形，再根据长方体的容积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：①根据图形可知：该纸盒底面的边长为； ②由图及题意可知：该纸盒的容积为； （2）解：①由图可知：另一组关键的等量关系为； ②∵长方形纸片无剩余，在长方形中，，， ∴由①可知：长方体的长为，宽为，高为， ∴长方体纸盒的容积为； （3）略 （4）解：图略， 由图可知：，设，则有， 解得：， ∴； 答：纸盒的容积为． 【复盘笔记】 第 2 页 共 60 页 第 1 页 共 60 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题6.1 几何图形（举一反三讲义） （新教材人教版） 2 3 3 4 5 6 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 25 31 知识点一：基本概念 几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形. 立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形. 平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形. 知识点二：几何图形的组成 几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形. 2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线. 3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面. 4）体：几何体也简称体. 组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体. 【扩展】 名称 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 存在关系 三棱锥 4 4 6 V+F-E=2 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 1.同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的. 2.在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个,图1所示的图形 不是正方体的展开图. 正方体的展开图中不会有“田”字形、“凹”字形的形状,图2、图3所示的 图形不是正方体的展开图. 知识点三：正方体的展开图 一个正方体的展开图共有11种： 1-4-1 2-3-1 2-2-2与3-3 口诀 1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意， 2）“三个二”成阶梯， 3）“二个三”“日”相连，异层必有“日”. 4） “一线超过四”“凹” “田”“L型”弃之. 6种 3种 2种 【题型1 常见的几何体】 【例1】如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【变式1-1】把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【变式1-2】下面几何体中，是圆柱的为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【题型2 组合几何体的构成】 【例2】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【变式2-1】如图所示，图中正六边形有（    ）个． A．15 B．13 C．11 D．10 【变式2-2】下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【变式2-3】如图所示的是一个粮仓的外形图，其可以近似看作是由两个常见几何体组合而成，这两个几何体是（　　） A．长方体和圆锥 B．圆柱和圆锥 C．圆柱和长方体 D．球和圆柱 【题型3 立体图形的分类】 【例3】下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3-2】下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-3】在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是(　　) A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤ 【题型4 几何体中的点、棱、面】 【例4】如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【变式4-1】一个直棱柱共有15条棱，则这个棱柱的面数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式4-2】把14个棱长是的正方体放在地面上，堆成如图所示的组合体，然后将露出的表面部分涂成红色（底面不涂）．那么红色部分的面积是（   ） A．33 B．38 C．42 【变式4-3】一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 【题型5 从不同方向看几何体】 【例5】一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是，搭这样一个立体图形至少需要（     ）个小正方体． A．10 B．8 C．7 D．6 【变式5-1】桌上放着两个长方体，是从前面看到的形状，则是从（     ）面看到的形状． A．左 B．右 C．上 D．后 【变式5-2】下面摆放的几何体中，有一个几何体从正面与从上面看到的形状图不一样，这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图为某个几何体从左面看到的形状，则该几何体不可能为（    ） A． B． C． D． 【题型6 几何体展开图的认识】 【例6】是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】在一次“我是小小秩序员”设计活动中，希希同学设计了一个圆柱形的路障柱，它的表面展开图可能是（     ） A． B． C． D． 【题型7 由展开图计算几何体的表面积】 【例7】如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，将一个无上、下底面的纸杯沿竖直虚线剪开并展开，得到的侧面展开图一个圆柱的侧面沿高展开后是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的表面积是（    ）平方厘米 A．157 B．985.96 C．1142.96 【题型8 由展开图计算几何体的体积】 【例8】小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【变式8-1】如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 【变式8-3】如图，抽纸盒在外国叫，是一种主要盛放卫生纸、纸巾等的盒子，适用于各种场合．抽纸盒是纸盒的包装结构、包装形态与包装艺术的结合，既实用又美观．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【题型9 正方体几种展开图的识别】 【例9】下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】下列四个图形都是由相同的小正方形组成的，其中沿小正方形的边能折叠成正方体的是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【变式9-3】图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型10 正方体相对两面上的字】 【例10】“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．复 B．兴 C．有 D．我 【变式10-1】南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】图为正方体展开图，折叠成正方体后相对两个面上的数字之积为1，则为（     ） A． B．3 C． D． 【变式10-3】如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（     ） A．14 B．8 C． D． 【题型11 含图案的正方体的展开图】 【例11】如图，正方体纸盒的三个侧面分别印有文字“铜”、“陵”、“市”，现在沿着它的棱剪开，展开成一个平面图形，这个正方体的平面展开图可以是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】图（1）表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图（2）是这个正方体的表面展开图，则在图（2）中面“”是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型12 求展开图两点折叠后的距离】 【例12】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式12-1】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式12-2】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式12-3】如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【题型13 补一个面使图形围成正方体】 【例13】在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式13-1】下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式13-3】黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【题型14 平面图形形状的认识】 【例14】下图中A、B都是中点，阴影部分的面积是平行四边形面积的（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形的一个角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形， 则所钉成的长方形的面积是（  ） A．7或15 B．16或15 C．7或15或16 D．无数个答案 【变式14-2】如图是一个浅湖的平面图，图中所有曲线都表示湖与岸边的分界线，如果P点在岸上，那么A点和B点分别在（    ） A．点A在水中，点B在水中 B．点A在水中，点B在岸上 C．点A在岸上，点B在水中 D．点A在岸上，点B在岸上 【变式14-3】如图，将长方形平均分成三个小长方形，再将三个小长方形分别平均分成2份、3份和4份，阴影部分面积是长方形面积的（    ） A． B． C． D． 【题型15 用七巧板拼图形】 【例15】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式15-1】将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】下列拼图中，是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【题型16 点、线、面、体之间的关系】 【例16】下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 【变式16-1】下列说法正确的有（    ） ①五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面； ②点动成线，线动成面，面动成体； ③圆锥的侧面展开图是一个圆； ④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式16-2】夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【变式16-3】几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（   ） A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 【题型17 平面图形旋转后所得的立体图】 【例17】将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 【变式17-1】将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【变式17-2】将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式17-3】下面的立体图形中，不能由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【题型18 截一个几何体】 【例18】下列几何体中，截面可能是三角形的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式18-1】如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式18-2】用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 【变式18-3】．如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【探究式学习】 1．【项目式学习】项目主题：礼品盒的探究． 项目内容：学会用数学的眼光看世界，学习小组开展了一次礼品盒的探究之旅． 探究一：图1的三个几何体是常见的礼品盒模型． （1）请分别写出每种礼品盒对应的几何体名称：①正三棱柱；②____________；③____________； 探究二：打开礼品盒顶盖后，看到里面分别装着圆柱形礼品，如图2分别是三个礼品盒拿走顶盖后从上面看到的形状图． （2）学习小组绘制了图2-1中礼品盒的表面展开图，其中能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是_______．（请把正确的序号填在横线上） 探究三：经测量发现，每个圆柱形礼品高，底面圆的半径． （3）现对图2-2和图2-3中礼品盒（有盖）的表面进行贴膜塑封，求两个礼品盒贴膜塑封的总面积．（结果保留，礼品盒高等于圆柱形礼品高，礼品盒的厚度和贴膜接缝处忽略不计．） 2．【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 3．综合与探究： 问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____； (2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积． (3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______． 【课后检测】 1．在下面的几何图形中再添1个，从左面观察不可能看到（     ） A． B． C． D． 2．如图，裁掉写有我、爱、河、南中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（     ） A．我 B．爱 C．河 D．南 3．如图是正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与点重合的点为（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 5．嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”出自王维《田园乐》组诗，反映其山水田园诗风及隐逸情趣．将“柳、绿、更、带、朝、烟”六个字书写在某个正方体的表面展开图上，将该正方体复原后，与“柳”字所在面相对的面上的字是（   ） A．更 B．带 C．朝 D．烟 7．如图，一个几何体由一些大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（   ） A．从前面看到的形状图的面积最小 B．从左面看到的形状图的面积最小 C．从上面看到的形状图的面积最小 D．这个几何体的表面积为30 8．如图，是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 9．下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成如图所示的陶罐的是（   ） A． B． C． D． 10．如图是一个几何体的展开图，这个几何体是（  ） A． B． C． D． 11．下列图形能折叠成四棱锥的是（    ） A． B． C． D． 12．如图是一个正方体的平面展开图，如果将它折成一个正方体．相对面上的数相等，则的值为______________ 13．若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和相等，则的值为___________． 14．仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从前面和左面看到的形状如图①所示，从上面看如图②所示，那么这堆纸箱的个数是________． 15．下图是一个正方体的展开图，在相应的正方形内填上一个适当的数，使得正方体相对的面上的两数互为相反数，则__________． 16．一个几何体由几个相同的小正方体搭成，从上面和从前面看这个几何体得到的平面图形如图所示，从上面看到的平面图形中，小正方形中的字母表示在该位置的小正方体的个数． (1)填空：___________，___________，___________． (2)这个几何体最少由___________个小正方体搭成，最多由___________个小正方体搭成． (3)当，时，请画出从左面看这个几何体得到的平面图形． 17．如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 18．某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 19．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式． 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 (2)你发现顶点饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 20．综合与实践：在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 (1)如图1，将一张边长为30的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为________（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为________（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． (2)兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成2个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系________=________ ②求长方体纸盒的容积． (3)兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？________（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． (4)请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 【复盘笔记】 第 2 页 共 60 页 第 1 页 共 60 页 学科网（北京）股份有限公司 $