13.2 与三角形有关的线段 知识点与限时作业2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学同步练，新授课使用，聚焦三角形的高线、中线和角平分线，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|单一概念辨析（如高、中线、角平分线定义及位置）|以选择、填空题为主，结合图形辨析（如折叠判断角平分线），强化几何直观| |能力提升练|多概念综合应用（如中线与面积关系、角平分线与角度计算）|包含解答题，需推理计算（如利用中线求三角形周长），发展推理能力| |培优拔尖练|跨知识整合（如重心性质、动态几何问题）|设计探究性问题（如分割面积最值），培养创新意识与应用能力|

八上13.2、与三角形有关的线段限时作业 （三角形的高线、中线和角平分线） 知识点：三角形的高线、中线和角平分线 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （3）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 趁热打铁 基础过关练 1．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是( ) A．59° B．60° C．56° D．22° 2．如图，在中，分别为的中点，且，则S阴影为( ) A．2 B．1 C． D． 3.下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（       ） A．① B．①④ C．②③ D．②④ 4.下列说法正确的是（ ） A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心 B．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分 C．三角形的中线、角平分线、高都是线段 D．三角形的三条高都在三角形内部 5.如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（       ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 6.在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ） A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11. 7．下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 8．如图在△ABC中,∠A=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，则∠D的度数为___. 能力提升练 1．已知∠AOB=3∠BOC,射线0D平分∠AOC,若∠BOD=30°,则∠BOC的度数为________. 2．下列叙述正确的是( ) ①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点；④三角形的三条角平分线交于一点． A．②④ B．①②④ C．③④ D．④ 3．如图，已知△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，BC边上中线AD＝6cm，△ABD周长为19cm，AB=__________ 4．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求： (1)AD的长； (2)△ABE的面积； (3)△ACE和△ABE的周长的差． 5．如图，已知在中，，AD是BC边上的高，AE是的平分线，求证：． 6.如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等． （1）求线段AE的长． （2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BCDE的值． 7.如图，在△ABC中，已知∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D． （1）求∠BDC的度数； （2）试比较DA+DB+DC与（AB+BC+AC）的大小，写出推理过程． 培优拔尖练 1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正确的个数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点为的重心，则的值是（ ）． A． B． C． D．无法确定 3．如图，△ABC中，点F在边AB上，点D为BC的中点，连接AD、CF相交于点E，若，，则（       ） A． B．6 C． D． 4．数轴上－6，－3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（　　 ） A．－1 B．0 C．1 D．3 5．如图，△ABC的面积是24，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（       ） A．9 B．9.5 C．10.5 D．10 6．一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是_____ ． 7．如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______． 8．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为________． 9．已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为______ 1 学科网（北京）股份有限公司 答案 基础过关练 1-7、ABACDBA 8：【答案】 能力提升练 1：【答案】15°或30°． 2、A 3:【答案】8 cm． 4:【答案】⑴4.8cm；⑵12cm²；⑶2cm. 【分析】 (1)利用直角三角形面积的两种求法求线段AD的长度即可；(2)先求△ABC的面积，再根据△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等，由此即可求得△ABE的面；(3)由AE是中线，可得BE=CE，根据△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)，化简可得△ACE的周长-△ABE的周长=AC-AB，即可求解． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高， ∴AB•AC=BC•AD， ∴AD= =4.8(cm)， 即AD的长度为4.8cm； (2)如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm， ∴S△ABC=AB•AC=×6×8=24(cm2)． 又∵AE是边BC的中线， ∴BE=EC， ∴BE•AD=EC•AD，即S△ABE=S△AEC， ∴S△ABE=S△ABC=12(cm2)． ∴△ABE的面积是12cm2． (3)∵AE为BC边上的中线， ∴BE=CE， ∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(cm)， 即△ACE和△ABE的周长的差是2cm． 5:【答案】证明见解析. 【详解】 试题分析：根据三角形内角和定理以及AD是BC边上的高，求得∠BAD=90°-∠B，再根据AE平分∠BAC，求得∠BAE=∠BAC=(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-∠C，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD即可求解． 试题解析：∵AD是BC边上的高， ∴∠BAD=90°-∠B． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-∠C． ∵∠DAE=∠BAE-∠BAD， ∴∠DAE=(90°-∠B-∠C)-(90°-∠B)=∠B-∠C=(∠B-∠C)． 6:【分析】（1）设AE＝xcm，根据三角形BDE与四边形ACDE的周长相等列方程，解方程即可； （2）找出图中所有的线段，再根据所有线段长度的和是53cm，求出2BC+DE，得到答案． 【解答】解：（1）∵三角形BDE与四边形ACDE的周长相等， ∴BD+DE+BE＝AC+AE+CD+DE， ∵BD＝DC， ∴BE＝AE+AC， 设AE＝x cm，则BE＝（10﹣x）cm， 由题意得，10﹣x＝x+6． 解得，x＝2， ∴AE＝2cm； （2）图中共有8条线段， 它们的和为：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC＝2AB+AC+2BC+DE， 由题意得，2AB+AC+2BC+DE＝53， ∴2BC+DE＝53﹣（2AB+AC）＝53﹣（2×10+6）＝27， ∴BCDE（cm）． 7：【分析】（1）先由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝110°，再由角平分线的定义求出∠CBD+∠BCD＝55°，然后由三角形内角和定理即可得出答案； （2）由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB，DB+DC＞BC，DA+DC＞AC，则2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC，∠ACD＝∠BCD∠ACB， ∴∠CBD+∠BCD（∠ABC+∠ACB）110°＝55°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣55°＝125°； （2）DA+DB+DC（AB+BC+AC），理由如下： 在△ABD中，由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB①， 同理：DB+DC＞BC②，DA+DC＞AC③， ①+②+③得：2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC， ∴DA+DB+DC（AB+BC+AC）． 培优拔尖练 1-5：CCDCA 6:【答案】或 7:【答案】或 8:【答案】4 9:【答案】0.5或1.5 1 学科网（北京）股份有限公司 $