13.2 与三角形有关的线段（分层作业练知识）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 分层清晰，覆盖构成三角形的条件、中线等8个知识点，从基础巩固到综合应用再到思维拓展，适配新授课差异化教学需求，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组 巩固过关|单一知识点（如构成三角形的条件、第三边取值范围等）|基础题型为主，含选择、填空、解答，直接对应知识点，如判断能否组成三角形、根据中线求长度| |B组 能力进阶|跨知识点综合应用（如结合折叠、平移、实际情境）|情境化题目，如茶园步道设计、折纸判断线段类型，需运用推理意识解决问题| |C组 思维拔高|拓展探究（新定义、重心性质、动态问题）|创新题型，如“倍长三角形”定义辨析、重心几何性质探究，发展创新意识与数学表达能力|

分层作业 13.2 与三角形有关的线段 目 录 A组 巩固过关 知识点01 构成三角形的条件 知识点02 确定第三边的取值范围 知识点03 三角形三边关系的应用 知识点04 三角形的稳定性及应用 知识点05 根据三角形中线求长度 知识点06 根据三角形中线求面积 知识点07 重心 知识点08 三角形的角平分线与高 B组 能力进阶 C组 思维拔高 A组 巩固过关 知识点01 构成三角形的条件 1．下列各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．2、3、5 B．3、3、6 C．2、5、8 D．4、5、6 【答案】D 【详解】解：A选项，较短两边为2和3，，不满足三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B选项，较短两边为3和3，，不满足三边关系，不能组成三角形，不符合题意； C选项，较短两边为2和5，，不满足三边关系，不能组成三角形，不符合题意； D选项，较短两边为4和5，，满足三边关系，能组成三角形，符合题意． 2．等腰三角形两边长分别是5cm、10cm，则这个等腰三角形的第三边长为__________． 【答案】 /厘米 【分析】分两种情况讨论，分别以为腰长和为腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合条件的情况，即可得到第三边的长度． 【详解】 该三角形为等腰三角形，两边长分别为和， 分两种情况讨论： 情况一：若为腰长，则第三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，因此舍去； 情况二：若为腰长，则第三边长为， ，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 综上，这个等腰三角形的第三边长为． 3．有四根细木棒，长度分别为，，，，哪三根木棒可以摆成一个三角形？有几种可能的情况？实际摆一摆，验证你的结论． 【答案】共有3种符合要求的情况，分别为：、、；、、；、、， 从四根细木棒中随机抽出三根木棒，有四种可能： 证明：①、、；∵，∴可以摆成一个三角形； ②、、，∵，∴不能摆成一个三角形； ③、、，∵，∴可以摆成一个三角形； ④、、，∵，∴可以摆成一个三角形； 【分析】根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：略 知识点02 确定第三边的取值范围 4．若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴可得 ，即 ， 解得：． 5．若一个三角形的两边长分别是4和9，则第三条边长x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：此三角形的两边长分别为和， 第三边长的取值范围是， 即． 6．在中，，那么边的最大长度应小于多少？最小长度应满足什么条件呢？ 【答案】边的最大长度应小于，最小长度应大于 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形第三边的长度一定大于已知两边的差，小于已知两边的和，利用该性质计算即可得到结果． 【详解】解：已知在中，，． 根据三角形三边关系，可得 ． ∴ ． 即边的最大长度应小于，最小长度应大于． 知识点03 三角形三边关系的应用 7．已知三角形的两边长分别为和，则第三边长的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形两边长分别为和， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 8．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系得到第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的条件确定第三边的长度． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 可得 ， 即 ， ∵ 为奇数， ∴ ． 9．一个三角形的两边，． (1)当各边均为整数时，可以组成 个不同的三角形． (2)若此三角形是等腰三角形，求其周长． 【答案】(1) (2)周长为或 【分析】（1）根据三角形的三边关系，得出第三边的取值范围，再结合整数得到第三边的可能取值，即可得解； （2）根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：一个三角形的两边，， 第三边的取值范围为，即， 各边均为整数， 第三边的可能取值为2、3、4、5、6， 可以组成5个不同的三角形． （2）解：当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； 当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； 综上可知，等腰三角形的周长为或． 知识点04 三角形的稳定性及应用 10．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 11．如图，在松动的板凳上斜钉两根木条即可加固，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：由图可知，斜钉两根木条后，木条与板凳腿构成了三角形，而三角形具有稳定性， 斜钉两根木条即可加固，所以其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 12．举两个三角形的稳定性在实际生活中应用的例子． 【答案】自行车的三角形车架；三角形空调支架（答案不唯一） 【分析】根据三角形的稳定性及学生的实际生活进行举例即可． 【详解】解：自行车的三角形车架； 三角形空调支架（答案不唯一） 知识点05 根据三角形中线求长度 13．如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 14．如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 15．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】17 【分析】首先由三角形中线的定义得到，然后求出，然后求解即可． 【详解】解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长为20， ∴，即， ∴， ∴的周长． 知识点06 根据三角形中线求面积 16．已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴． 17．如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 【答案】4 【分析】因为是的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据求出．因为是边上的高线，所以三角形面积公式为，将已知的和的长度代入公式，即可求解的长度． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是边上的高线， ∴， 将、代入， 得， 解得． 18．如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线．根据三角形中线的性质可得，，再由，即可求解． 【详解】解：∵是中线，，， ∴，， ∵是高， ∴，即， ∴． 知识点07 重心 19．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定三边中线的交点即可得出答案． 【详解】解：由图可知边、边上的中线交于点G， 即正好与的重心位置重合的白棋是G． 20．如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 21．画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【答案】如下图O是的重心． 【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键． 根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明． 【详解】解：理由如下： ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴． 知识点08 三角形的角平分线与高 22．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 23．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 24．如图，在中，已知是高，是角平分线，．求和的大小． 【答案】； 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线定义，直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 由是高可得的度数，再结合角平分线的定义可得的度数． 【详解】解：在中， ． 又， ． 是的平分线，， ． ． B组 能力进阶 1．(25-26八·辽宁沈阳沈河区·期末)三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 2．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 3．(25-26八·广东清远·期末)英德某茶园规划三角形观光步道，其中两条步道的长度分别是和，则第三条步道的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中的长度是否符合范围即可． 【详解】解：设第三条步道的长度为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两条边长度为和， ∴， ∴， 故第三条步道的长度不可能是． 4．如图，四边形的面积是，各边的中点分别为，，，，与相交于点，图中阴影部分的总面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接， ， ， ， 根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ∵各边中点分别为，，，， ∴，，，， ∴， ， ， ， ∴ ， ∵， ∴． 5．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分腰长为、腰长为两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 分两种情况讨论： ①当腰长为时，三边长为，，， ， 不能构成三角形； ②当腰长为时，三边长为，，， ， 能构成三角形，周长为． 6．(25-26八·陕西咸阳秦都区·期末)一个三角形的三边长分别为3，9，x，若x为偶数，则x的值为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据为偶数确定符合要求的的值． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴， ∴， ∵为偶数， ∴的值为或． 7．如图，在三角形中，，三角形的面积为16，则点到直线的距离为________． 【答案】 8 【分析】根据三角形面积公式，面积等于底与高乘积的一半，已知面积和底边长，可求出边上的高． 【详解】 解：设点到直线的距离为， ∵， ∴， 解得，故点到直线的距离为8． 8．如果等腰三角形的三边长均为整数且它的周长为，那么它的三边为_________． 【答案】，，或，， 【分析】设等腰三角形的腰长为，可得底边长为，根据边长为正和三角形三边关系列出不等式组，求出的取值范围，结合三边长为整数得到的取值，即可得到三角形的三边长． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，则底边长为， 根据题意可得不等式组， 解得， ∵等腰三角形的三边长均为整数， ∴或， 当时，底边长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 当时，底边长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 综上所述，它的三边为，，或，，． 9．已知三角形的三边长分别为1，，4，则化简的结果为_____． 【答案】 【详解】解：∵三角形的三边长分别为1，，4， ∴，即， ∴， ∴． 10．如图，已知，则的面积是___________． 【答案】12 【分析】求出底边长度及边上的高，边上的高为C到x轴的距离，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】， ∵， ∴C到x轴的距离为， ∴． 11．(25-26八·山西临汾尧都区·期末)如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 12．如图，已知的三边长分别为，将沿方向平移至的位置，与交于点． (1)若，则的度数为_____； (2)直接写出化简结果：_____； (3)若分别是的中点，，连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质即可解答； （2）利用三角形三边关系即可解答； （3）根据平移可得四边形的面积等于梯形的面积． 【详解】（1）解：根据平移可得， ； （2）解：根据三角形三边关系可得，， ， ； （3）解：根据平移可得，，， ，即， 分别是的中点， ， ． C组 思维拔高 1．(25-26八·内蒙古包头青山区·期末)如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】若，阴影部分面积为，根据三角形的面积公式可得的长，再根据线段的和差关系可得的长，然后根据平移的性质可得，据此求得的长． 【详解】解：，阴影部分面积为， ， ， ． 2．(25-26八·山东日照莒县·期末)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 【答案】D 【分析】先根据三边关系确定第三边的取值范围，再分情况讨论符合“倍长”定义的边长，舍去不能构成三角形的情况即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 若第三条边是已知边的2倍： 当，满足，符合题意； 当，，不满足三边关系，舍去； 若已知边中有一条是第三条边的2倍： 当，得，不满足，不能构成三角形，舍去； 当，得，满足，符合题意； 综上，第三条边的长为或． 3．如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 4．某种花卉供不应求，王伯伯打算将原有的一块种植地△ABC进行改造，改造方案如下:分别延长的至点，使得分别为的中点，依次连接点得，已知的面积为，改造甲区域成本为元，扩建乙区域成本为元，则改造总费用为____元． 【答案】 【分析】连接，，，根据分别为的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：连接，，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）． 5．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【分析】利用三角形面积公式计算，即可判断①正确；根据的值不确定，即可判断②错误；根据同角的余角相等即可判断③正确；由垂线段最短，并结合三角形面积公式计算即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，， ∴，故①正确，符合题意； ∵P为上一动点， ∴的值不确定， ∴不一定与相等，故②错误，不符合题意； 当时，， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 由垂线段最短得，当时，的值最小，此时， ∴， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的序号是①③④． 6．若三个正整数，，恰好能够构成一个三角形的三条边，则称这三个正整数，，构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”． (1)下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是（    ） A．       B．2，5，8        C．3，3，6        D．2，3，4 (2)已知，，构成“和雅三数组”，且满足，试求构成“和雅三角形”的周长； (3)已知关于的不等式组的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，试求的取值范围． 【答案】(1)D (2)22 (3) 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）用z表示，，根据三角形三边关系构造不等式组，求得解集，结合定义，求得正整数解即可； （3）根据定义，不等式组的整数解，三角形三边关系求解即可． 【详解】（1）解：A．中，三个数都不是正整数，不符合要求；   B．2，5，8中，三个数都是正整数，但是，构不成三角形，不符合要求； C．3，3，6中，三个数都是正整数，但是，构不成三角形，不符合要求；       D．2，3，4中，三个数都是正整数，且，构成三角形，符合要求； （2）解： 得，， 得，，即， ∴， 解得 ∵，，构成“和雅三角形”， ∴， ∴， 解得， 又，为正整数， ∴正整数， ∴， ∴， ∴“和雅三角形”的周长为22； （3）解： 由①解得， 由②解得，， ∴， ∵所有整数解中存在“和雅三数组”， ∴不等式组的整数解中必包含5，6，7 ∴， ∴ ∵它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，又， ∴不等式组的最大整数解必小于11， ∴ ∴ ∴的取值范围为． 7．(25-26八·山东潍坊奎文区·期末)如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)； 证明：∵是的中线， ∴是的中线， ∴, 同理可得：,, 设，， ∴, ∵ ∴ ∴ 同理可知，， ∴ ∴,, ∴ (3)30 【分析】（1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等； （2）根据中线可知，根据面积转化即可求得，进而可判断相等； （3）连接，延长交于点，根据面积公式可知，，即可求解，进而可求解面积． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵和的高相等， 则两个三角形的面积相等； （2）略 （3）连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵， ∴, 同理可知, ∵，， ∴,, ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 13.2 与三角形有关的线段 目 录 A组 巩固过关 知识点01 构成三角形的条件 知识点02 确定第三边的取值范围 知识点03 三角形三边关系的应用 知识点04 三角形的稳定性及应用 知识点05 根据三角形中线求长度 知识点06 根据三角形中线求面积 知识点07 重心 知识点08 三角形的角平分线与高 B组 能力进阶 C组 思维拔高 A组 巩固过关 知识点01 构成三角形的条件 1．下列各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．2、3、5 B．3、3、6 C．2、5、8 D．4、5、6 2．等腰三角形两边长分别是5cm、10cm，则这个等腰三角形的第三边长为__________． 3．有四根细木棒，长度分别为，，，，哪三根木棒可以摆成一个三角形？有几种可能的情况？实际摆一摆，验证你的结论． 知识点02 确定第三边的取值范围 4．若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．若一个三角形的两边长分别是4和9，则第三条边长x的取值范围是_________． 6．在中，，那么边的最大长度应小于多少？最小长度应满足什么条件呢？ 知识点03 三角形三边关系的应用 7．已知三角形的两边长分别为和，则第三边长的取值可以是（     ） A． B． C． D． 8．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 9．一个三角形的两边，． (1)当各边均为整数时，可以组成 个不同的三角形． (2)若此三角形是等腰三角形，求其周长． 知识点04 三角形的稳定性及应用 10．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 11．如图，在松动的板凳上斜钉两根木条即可加固，其中蕴含的数学原理是________． 12．举两个三角形的稳定性在实际生活中应用的例子． 知识点05 根据三角形中线求长度 13．如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 14．如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 15．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 知识点06 根据三角形中线求面积 16．已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 17．如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 18．如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 知识点07 重心 19．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 20．如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 21．画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 知识点08 三角形的角平分线与高 22．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 23．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 24．如图，在中，已知是高，是角平分线，．求和的大小． B组 能力进阶 1．(25-26八·辽宁沈阳沈河区·期末)三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 2．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 3．(25-26八·广东清远·期末)英德某茶园规划三角形观光步道，其中两条步道的长度分别是和，则第三条步道的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 4．如图，四边形的面积是，各边的中点分别为，，，，与相交于点，图中阴影部分的总面积是（     ） A． B． C． D． 5．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 6．(25-26八·陕西咸阳秦都区·期末)一个三角形的三边长分别为3，9，x，若x为偶数，则x的值为________．（写出一个即可） 7．如图，在三角形中，，三角形的面积为16，则点到直线的距离为________． 8．如果等腰三角形的三边长均为整数且它的周长为，那么它的三边为_________． 9．已知三角形的三边长分别为1，，4，则化简的结果为_____． 10．如图，已知，则的面积是___________． 11．(25-26八·山西临汾尧都区·期末)如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 12．如图，已知的三边长分别为，将沿方向平移至的位置，与交于点． (1)若，则的度数为_____； (2)直接写出化简结果：_____； (3)若分别是的中点，，连接，求四边形的面积． C组 思维拔高 1．(25-26八·内蒙古包头青山区·期末)如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．(25-26八·山东日照莒县·期末)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 3．如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 4．某种花卉供不应求，王伯伯打算将原有的一块种植地△ABC进行改造，改造方案如下:分别延长的至点，使得分别为的中点，依次连接点得，已知的面积为，改造甲区域成本为元，扩建乙区域成本为元，则改造总费用为____元． 5．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 6．若三个正整数，，恰好能够构成一个三角形的三条边，则称这三个正整数，，构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”． (1)下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是（    ） A．       B．2，5，8        C．3，3，6        D．2，3，4 (2)已知，，构成“和雅三数组”，且满足，试求构成“和雅三角形”的周长； (3)已知关于的不等式组的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，试求的取值范围． 7．(25-26八·山东潍坊奎文区·期末)如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $