第二单元 三角形的再认识-思维拓展【导图知识卡片+知识梳理+3个考点讲练+3个奥数拓展+真题难度分层演练 共38题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建三角形再认识的知识体系，涵盖内角和、三边关系、多边形内角和三大核心知识点，每个知识点以定义、规律、验证方法及应用分层呈现，用框架图梳理逻辑脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，考点讲练设典例与变式（如已知两边求第三边长度范围），奥数拓展融入剪绳问题等能力题，真题演练分基础与提升层，培养推理意识与几何直观。配套解题技巧与易错点提醒，助力不同层次学生提升，为教师提供精准教学支持。

null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第二单元 三角形的再认识『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+3个考点讲练+3个奥数拓展+真题难度分层演练 共38题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 2 知识点一 三角形内角和 2 知识点二 三角形三边关系 3 知识点三 多边形内角和 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 三角形的内角和 5 高频考点二 三角形的三边关系 5 高频考点三 多边形的内角和 6 难点突破 奥数拓展 7 高频考点一 三角形的内角和 7 高频考点二 三角形的三边关系 7 高频考点三 多边形的内角和 8 优选真题 实战演练 9 【基础通关】 9 【能力提升】 10 知识点一 三角形内角和 1. 三角形的内角和 （1）定义 三角形的三个角叫做内角，这三个内角的度数加起来的总和，叫做三角形的内角和。 （2）内角和规律 任意一个三角形的内角和都是 180°。 无论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内角和都等于180°。 （3）验证方法 测量法：用量角器分别量出三个内角的度数，再相加，看是否接近180°。 拼角法：把三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现它们正好组成一个平角（180°）。 折叠法：通过折叠三角形，使三个角拼成一条直线，验证其和为180°。 （4）举例说明 一个直角三角形，两个锐角分别是50°和40°，那么第三个角是90°，50° + 40° + 90° = 180°。 一个等边三角形，每个角都是60°，60° + 60° + 60° = 180°。 2. 应用内角和求未知角 （1）已知两个角，求第三个角 方法：用180°减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数。 公式：∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 （2）等腰三角形中的应用 等腰三角形有两个底角相等，已知顶角，可求底角：底角 = (180° - 顶角) ÷ 2 已知底角，可求顶角：顶角 = 180° - 底角 × 2 （3）直角三角形中的应用 直角三角形中，一个角是90°，另外两个锐角的和是90°。 所以：一个锐角 = 90° - 另一个锐角 知识点二 三角形三边关系 1.判断三条线段是否能围出三角形 （1）判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （2）判断方法：只需判断较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可。如果大于，则这三条线段能围成三角形；否则，不能围成三角形。 2.求第三边长度 已知三角形的两条边，设这两条边分别为a、b（a≥b），第三边为c，则根据三边关系可得a−b＜c＜a+b，第三边c的长度取值范围就在a−b与a+b之间（不包括端点值）。 3.求第三边最长（最短）长度剪绳问题 如果要求第三边的最长长度，那么第三边的长度应小于a+b，同时要考虑到实际问题中的取值要求，通常取小于a+b的最大整数。 4.剪绳问题 在解决这类问题时，要全面考虑各种剪法。根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。分别考虑剪开以后得三段线段长度是否符合三角形三边关系，从而判断是否能围成三角形。 知识点三 多边形内角和 1.多边形的定义与性质 多边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。例如，三角形、四边形、五边形等都是多边形。 多边形的性质： 边：组成多边形的线段叫做多边形的边。 顶点：相邻两边的交点叫做多边形的顶点。 内角：相邻两边的夹角叫做多边形的内角。 外角：多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做多边形的外角。 2.多边形内角和的计算公式 公式推导：由于多边形可以分解成若干个三角形，而每个三角形的内角和为180度，因此，一个有n个顶点的多边形可以分解成n-2个三角形。所以，多边形的内角和可以用如下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180 度。 实例讲解：例如，一个正六边形，它有6个顶点，可以分解成4个三角形，因此其内角和为 (6 - 2) × 180 度 = 720 度。 3.多边形内角和的计算方法 直接计算法：直接利用公式 (n - 2) × 180 度 计算多边形的内角和。 分割法：将多边形分割成若干个三角形，然后计算这些三角形的内角和之和。这种方法有助于理解多边形内角和公式的推导过程。 4.多边形内角和的应用 多边形内角和的知识点在实际生活中有广泛的应用，例如在设计多边形图案、计算多边形面积等方面都需要用到多边形内角和的知识。此外，多边形内角和的知识点还与几何学的其他领域密切相关，如相似多边形、全等多边形等。 高频考点一 三角形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级下·湖北黄石·期末）刘奶奶家有一块三角形的菜地，最大角是最小角的3倍，另外一个角是最小角的2倍，求这块三角形菜地每个角的度数？ 【变式训练1】（25-26四年级下·浙江金华·期中）如下图，已知AB＝BC，求∠1，∠2，∠3的度数。 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课前预习）在一个等腰三角形中，其中一个底角是顶角的4倍，这个三角形的底角和顶角分别是多少度？ 高频考点二 三角形的三边关系 【典例精讲】（25-26四年级下·山东青岛·期末）毛毛用三根小棒摆一个三角形，其中两根分别是8厘米和4厘米，第三根小棒最短是( )厘米，最长是( )厘米。（填整厘米数） 【变式训练1】（2026·湖南永州·小升初模拟）一个等腰三角形的周长是38厘米，其中一条边是12厘米，另两条边分别是多少厘米？ 【变式训练2】（25-26五年级上·福建龙岩·期中）从如图中任意取出3根小棒，能围成三角形和不能围成三角形的可能性相比，（    ）。 A．一样大 B．能围成三角形的可能性大 C．不能围成三角形的可能性大 D．无法比较 高频考点三 多边形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级下·内蒙古通辽·期末）连接四边形的一条对角线，四边形被分割成( )个三角形，因为三角形的内角和是( )，所以四边形的内角和是( )。 【变式训练1】（24-25四年级下·重庆万州·期末）如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )°。按角分，这个三角形是( )三角形，按边分是( )三角形。将两个这样的三角形拼成一个四边形，四边形的内角和是( )°。 【变式训练2】（24-25五年级上·山东滨州·期中）在求“四边形的内角和”时，我们可以多角度去思考，计算出其内角和。 按照以上研究思路，选择你喜欢的方法研究六边形的内角和，在图中画一画，并列式计算。 高频考点一 三角形的内角和 【典例精讲】在一个三角形中，如果∠1＝60°，∠2＝X°，那么∠3＝( )°。一个等腰直角三角形，它的斜边长是a厘米，这个三角形的面积是( )平方厘米。 【变式训练1】如图所示,在六边形 ABCDEF中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°,AB=1厘米,BC=CD=3厘米,DE=2厘米。求这个六边形 ABCDEF 的周长。 【变式训练2】一个等腰三角形的周长是56厘米，底边长24厘米，它的一条腰长( )厘米，如果这个三角形有一个内角为50°，那么它的最大的一个内角是( )°。 高频考点二 三角形的三边关系 【典例精讲】（25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一个直角三角形的两条直角边相差2厘米，已知斜边长10厘米，这个直角三角形的面积( )平方厘米。 （在直角三角形中，斜边长的平方等于两个直角边的平方和。） 【变式训练1】（24-25五年级上·四川·期末）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形。将它的最短边对折到斜边相重合，（如图）图中阴影部分面积是( )平方厘米。 【变式训练2】一根铁丝长18厘米，用这根铁丝围成一个等腰三角形，并使围成的三边长度都是整厘米数，你能围出多少个不同的三角形？ 高频考点三 多边形的内角和 【典例精讲】如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1440°，则这是( )边形，每个内角的度数是( )。 【变式训练1】（25-26四年级下·重庆渝中·期末）文文利用正五边形（每条边长度相等，每个内角度数相等）画出了正五角星（如图）。 (1)正五边形的内角和是多少？ (2)她还观察到正五边形相邻的两条边和一条对角线会组成一个等腰三角形，她一下就计算出了∠1的度数，请你利用她的发现也算一算。 【变式训练2】（24-25四年级下·浙江嘉兴·期末）如图1，∠1、∠2、∠3、∠4是四边形的四个内角。现将四边形的四条边分别延长，形成了∠5、∠6、∠7、∠8四个角，这四个角叫四边形的外角，如图2。 （1）图1中∠1、∠2、∠3、∠4四个内角的和是（    ）°。 （2）不测量，你能推理得出∠5、∠6、∠7、∠8这四个外角的和是几度吗？请写出你的思考过程。 【基础通关】 1．（25-26五年级下·山东泰安·期末）一个三角形两条边的长度分别是10厘米、6厘米，它的另一条边可能是（    ）厘米。 A．10厘米 B．4厘米 C．2厘米 D．16厘米 2．（25-26六年级下·安徽合肥·期末）用13厘米长的铁丝恰好能围成（    ）种不同的等腰三角形。（每条边都是整厘米数） A．3 B．2 C．1 3．（25-26四年级下·陕西宝鸡·期末）下列各组线段中能围成三角形的是（    ）。 A．2cm、3cm、5cm B．3cm、4cm、6cm C．1cm、2cm、4cm D．3cm、3cm、8cm 4．（25-26四年级下·甘肃定西·期末）一个三角形的两条边分别是12分米和15分米，它的第三条边比( )大，比( )小。 5．（25-26六年级下·湖南株洲·期末）三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，五边形的内角和是540度，八边形的内角和是( )度。 6．（25-26四年级下·山西大同·期末）选三根整厘米长的小棒摆三角形，如果先选的两根小棒长度分别是11厘米和17厘米，那么第三根最长可以选( )厘米长的小棒。 7．（25-26四年级下·河南信阳·期末）在长度为3厘米、6厘米、7厘米和8厘米的这几根小棒中，任选三根小棒都可以围成三角形。( )（判断对错） 8．（26-27五年级上·全国·开学考试）如果三角形的一个内角度数是另一个内角的3倍，那么这个三角形称为“梦想三角形”，较大的内角称为“梦想角”。已知一个“梦想三角形”的“梦想角”是120°，其余两个内角的度数分别是多少度？ 9．（25-26四年级下·福建泉州·期末）动脑理一理。 芳芳通过分割法把五边形分成5个三角形（如下图），她求出五边形的内角和是180°×5＝900°。 (1)你认为对吗？( )。（填“对”或“错”） (2)请你用画图或文字说明等方式，尽可能清楚地表示出你的想法。 10．（25-26四年级下·山东菏泽·期末）三角形的一条边长是10厘米，另外两条边长（整厘米数）的和是15厘米，这两条边长可以分别是多少厘米？你能把你想到的符合条件的一组一组地都写出来吗？试试看。 【能力提升】 1．（23-24五年级上·北京昌平·期末）芳芳要用三根小棒首尾相接摆出一个等腰三角形，应选取（    ）组小棒。 A．5cm、8cm、8cm B．4cm、4cm、10cm C．3cm、4cm、5cm D．2cm、2cm、4cm 2．将一个长方形框架拉成平行四边形，下面说法正确的是（    ）。 A．周长变长了 B．面积不变 C．内角和的度数变小了 D．高变短了 3．两根木条分别长10厘米和4厘米，最短可以再用一根（    ）厘米长的木条（取整厘米数），就可以围成一个三角形。 A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26四年级下·江苏扬州·期末）在探索多边形的内角和时，我们可以像如图这样，从同一个顶点出发，分成几个三角形再计算，那么计算七边形内角和的算式是______。 5．（25-26四年级下·广东江门·阶段检测）一个三角形三条边的长度都是整厘米数，其中两条边分别是15cm和30cm，第三条边最短是( )cm，最长是( )cm。 6．（24-25六年级下·江苏盐城·期末）一个等腰三角形的两条边长分别是4厘米、8厘米，它的周长可能是16厘米或20厘米。( )（判断对错） 7．（25-26四年级下·山东聊城·期末）王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 8．（25-26四年级下·广东深圳·期中）如果一个三角形的两条边的长度分别为8厘米和10厘米。 (1)请在符合第三条边的长度的选项前的方框里画“√”。 1厘米    11厘米    21厘米 (2)请再写出两个符合条件的第三条边的长度。 (3)请写出第三条边的长度的范围。 9．（24-25五年级上·北京通州·期末）同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。 （1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 （2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 10．（23-24四年级下·湖北荆州·期末）下图中∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第二单元 三角形的再认识『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+3个考点讲练+3个奥数拓展+真题难度分层演练 共38题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 2 知识点一 三角形内角和 2 知识点二 三角形三边关系 3 知识点三 多边形内角和 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 三角形的内角和 5 高频考点二 三角形的三边关系 6 高频考点三 多边形的内角和 7 难点突破 奥数拓展 10 高频考点一 三角形的内角和 10 高频考点二 三角形的三边关系 11 高频考点三 多边形的内角和 12 优选真题 实战演练 15 【基础通关】 15 【能力提升】 19 知识点一 三角形内角和 1. 三角形的内角和 （1）定义 三角形的三个角叫做内角，这三个内角的度数加起来的总和，叫做三角形的内角和。 （2）内角和规律 任意一个三角形的内角和都是 180°。 无论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内角和都等于180°。 （3）验证方法 测量法：用量角器分别量出三个内角的度数，再相加，看是否接近180°。 拼角法：把三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现它们正好组成一个平角（180°）。 折叠法：通过折叠三角形，使三个角拼成一条直线，验证其和为180°。 （4）举例说明 一个直角三角形，两个锐角分别是50°和40°，那么第三个角是90°，50° + 40° + 90° = 180°。 一个等边三角形，每个角都是60°，60° + 60° + 60° = 180°。 2. 应用内角和求未知角 （1）已知两个角，求第三个角 方法：用180°减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数。 公式：∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 （2）等腰三角形中的应用 等腰三角形有两个底角相等，已知顶角，可求底角：底角 = (180° - 顶角) ÷ 2 已知底角，可求顶角：顶角 = 180° - 底角 × 2 （3）直角三角形中的应用 直角三角形中，一个角是90°，另外两个锐角的和是90°。 所以：一个锐角 = 90° - 另一个锐角 知识点二 三角形三边关系 1.判断三条线段是否能围出三角形 （1）判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （2）判断方法：只需判断较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可。如果大于，则这三条线段能围成三角形；否则，不能围成三角形。 2.求第三边长度 已知三角形的两条边，设这两条边分别为a、b（a≥b），第三边为c，则根据三边关系可得a−b＜c＜a+b，第三边c的长度取值范围就在a−b与a+b之间（不包括端点值）。 3.求第三边最长（最短）长度剪绳问题 如果要求第三边的最长长度，那么第三边的长度应小于a+b，同时要考虑到实际问题中的取值要求，通常取小于a+b的最大整数。 4.剪绳问题 在解决这类问题时，要全面考虑各种剪法。根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。分别考虑剪开以后得三段线段长度是否符合三角形三边关系，从而判断是否能围成三角形。 知识点三 多边形内角和 1.多边形的定义与性质 多边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。例如，三角形、四边形、五边形等都是多边形。 多边形的性质： 边：组成多边形的线段叫做多边形的边。 顶点：相邻两边的交点叫做多边形的顶点。 内角：相邻两边的夹角叫做多边形的内角。 外角：多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做多边形的外角。 2.多边形内角和的计算公式 公式推导：由于多边形可以分解成若干个三角形，而每个三角形的内角和为180度，因此，一个有n个顶点的多边形可以分解成n-2个三角形。所以，多边形的内角和可以用如下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180 度。 实例讲解：例如，一个正六边形，它有6个顶点，可以分解成4个三角形，因此其内角和为 (6 - 2) × 180 度 = 720 度。 3.多边形内角和的计算方法 直接计算法：直接利用公式 (n - 2) × 180 度 计算多边形的内角和。 分割法：将多边形分割成若干个三角形，然后计算这些三角形的内角和之和。这种方法有助于理解多边形内角和公式的推导过程。 4.多边形内角和的应用 多边形内角和的知识点在实际生活中有广泛的应用，例如在设计多边形图案、计算多边形面积等方面都需要用到多边形内角和的知识。此外，多边形内角和的知识点还与几何学的其他领域密切相关，如相似多边形、全等多边形等。 高频考点一 三角形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级下·湖北黄石·期末）刘奶奶家有一块三角形的菜地，最大角是最小角的3倍，另外一个角是最小角的2倍，求这块三角形菜地每个角的度数？ 【答案】 、、 【思路引导】把最小角看作1份，则最大角是3份，另一个角是2份。已知三角形内角和是，用内角和除以总份数，求出1份的度数，即最小角的度数，再分别乘倍数，求出最大角和另一个角的度数。 【规范解答】总份数：1＋3＋2 ＝4＋2 ＝6（份） 最小角： 最大角： 另一个角： 答：这块三角形菜地每个角的度数分别是、、。 【变式训练1】（25-26四年级下·浙江金华·期中）如下图，已知AB＝BC，求∠1，∠2，∠3的度数。 【答案】∠1＝40°，∠2＝70°，∠3＝70° 【思路引导】观察图形可知，∠2与 110°的角组成一个平角，平角等于180°，用180°减去110°即可求出∠2。已知AB＝BC，说明三角形ABC是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的边所对的角相等，即∠2和∠3相等。根据三角形内角和是180°，用180°减去∠2和∠3的度数，即可求出∠1。 【规范解答】∠2＝180°−110°＝70° 因为AB＝BC，所以△ABC是等腰三角形，且∠3＝∠2。所以∠3＝70° ∠1＝180°−∠2−∠3＝180°−70°−70°＝110°−70°＝40° 答：∠1是40°，∠2是70°，∠3是70°。 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课前预习）在一个等腰三角形中，其中一个底角是顶角的4倍，这个三角形的底角和顶角分别是多少度？ 【答案】80°；20° 【思路引导】设顶角为1份，则2个底角分别为这样的4份，三角形的内角和一共是这样的9份，据此可以求出顶角的度数，那么底角＝顶角×4。 【规范解答】顶角：180°÷（4＋4＋1） ＝180°÷9 ＝20° 底角：20°×4＝80° 答：这个三角形的底角是80°，顶角是20°。 高频考点二 三角形的三边关系 【典例精讲】（25-26四年级下·山东青岛·期末）毛毛用三根小棒摆一个三角形，其中两根分别是8厘米和4厘米，第三根小棒最短是( )厘米，最长是( )厘米。（填整厘米数） 【答案】 5 11 【思路引导】根据三角形的特性，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两边长度，可确定第三边的取值范围，再结合“整厘米数”的条件，找出范围内的最小整数和最大整数即可。 【规范解答】已知两根小棒的长度分别是厘米和厘米。 根据三角形三边关系，第三根小棒的长度小于已知两边之和：（厘米） 第三根小棒的长度大于已知两边之差：（厘米） 所以第三根小棒的长度范围是大于厘米且小于厘米。 因为要求填整厘米数，大于的最小整数是，小于的最大整数是；所以，第三根小棒最短是厘米，最长是厘米。 【变式训练1】（2026·湖南永州·小升初模拟）一个等腰三角形的周长是38厘米，其中一条边是12厘米，另两条边分别是多少厘米？ 【答案】另两条边分别是13厘米、13厘米或者12厘米、14厘米 【思路引导】已知三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边。再考虑这条已知的边是腰还是底，如果是腰，那么求出底边后，根据三角形的三边关系判断是否存在这样的三角形；如果是底边，求出腰长后，同样的根据三角形的三边关系判断是否存在这样的三角形；据此解答。 【规范解答】①如果底边长12厘米 第三条边长是：（38－12）÷2＝13（厘米） 所以这个三角形三边长分别是12厘米、13厘米、13厘米 12＋13＝25＞13，13＋13＝26＞12，符合三角形的三边关系，能构成三角形； ②如果腰长12厘米，第三条边长是：38－12×2＝14（厘米） 所以这个三角形三边长分别是12厘米、12厘米、14厘米。 12＋12＝24＞14，12＋14＝26＞12，符合三角形的三边关系，能构成三角形； 答：另两条边分别是13厘米、13厘米或者12厘米、14厘米。 【变式训练2】（25-26五年级上·福建龙岩·期中）从如图中任意取出3根小棒，能围成三角形和不能围成三角形的可能性相比，（    ）。 A．一样大 B．能围成三角形的可能性大 C．不能围成三角形的可能性大 D．无法比较 【答案】A 【思路引导】先列举出从4根不同长度的小棒中任意取出3根小棒的所有不同取法，再根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；判断每种取法能否围成三角形，比较能围成三角形和不能围成三角形的取法数量，若数量相同，则可能性相等；若数量不同，数量多的，可能性就大。 【规范解答】任意取出3根小棒所有不同的取法有： ①3cm、4cm、7cm，因为3＋4＝7，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形； ②3cm、4cm、9cm，因为3＋4＜9，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形； ③3cm、7cm、9cm，因为3＋7＞9，符合三角形的三边关系，能围成三角形； ④4cm、7cm、9cm，因为4＋7＞9，符合三角形的三边关系，能围成三角形； 能围成三角形的有2种，不能围成三角形也有2种。 所以，能围成三角形和不能围成三角形的可能性相比，一样大。 故答案为：A 高频考点三 多边形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级下·内蒙古通辽·期末）连接四边形的一条对角线，四边形被分割成( )个三角形，因为三角形的内角和是( )，所以四边形的内角和是( )。 【答案】 2/两/二 180°/180度 360°/360度 【思路引导】对角线可以把四边形分割成2个三角形，利用三角形内角和等于180°的已知结论来推导四边形的内角和，所以四边形的内角和等于这两个三角形的内角和之和＝180°×2＝360°。 【规范解答】连接四边形的一条对角线，四边形被分割成2个三角形，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°。 【变式训练1】（24-25四年级下·重庆万州·期末）如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )°。按角分，这个三角形是( )三角形，按边分是( )三角形。将两个这样的三角形拼成一个四边形，四边形的内角和是( )°。 【答案】 67 锐角 等腰 360 【思路引导】①三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角，即可算出未知的角； ②三角形中三个角都是大于0°小于90°是锐角三角形；有角等于90°是直角三角形；有角大于90°小于180°是钝角三角形； ③按边分，三边相等是等边三角形；两腰相等是等腰三角形； ④一个三角形的内角和是180°，两个三角形拼成四边形，就是两个三角形的内角和相加。 【规范解答】①180°-67°-46°＝67°； ②三角形中三个角度数都小于90°，所以是锐角三角形； ③三角形中有两个角都是67°，所以有两条边相等，即为等腰三角形； ④一个三角形是180°，两个就是180°＋180°＝360°。 【变式训练2】（24-25五年级上·山东滨州·期中）在求“四边形的内角和”时，我们可以多角度去思考，计算出其内角和。 按照以上研究思路，选择你喜欢的方法研究六边形的内角和，在图中画一画，并列式计算。 【答案】（画法不唯一）；720° 【思路引导】方法一：从六边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点连线，把六边形分成4个三角形。因为一个三角形的内角和是180°，所以六边形的内角和为：180°×4＝720°。 方法二：从六边形的最下面的边向不相邻的顶点画虚线，将六边形分成5个三角形，因为三角形的内角和是180°，所以这5个三角形的内角和是180°×5＝900°，因为还多一个平角（180°），所以还需减180°，六边形的内角和是900°－180°＝720°。 方法三：从六边形的中点出发，向各顶点画虚线，此时六边形被分成了6个三角形，一个三角形的内角和是180°，180°×6＝1080°，因为这样分会多一个周角（360°），所以还需减360°，即六边形的内角和是1080°－360°＝720°。 【规范解答】方法一：从六边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点连线，把六边形分成4个三角形，如下图： 180°×4＝720° 方法二：从六边形的最下面的边向不相邻的顶点连线，将六边形分成5个三角形。 180°×5－180° ＝900°－180° ＝720° 方法三：从六边形的中点出发向各顶点连线，把六边形分成了6个三角形。 180°×6－360° ＝1080°－360° ＝720° 该六边形的内角和是720°。 高频考点一 三角形的内角和 【典例精讲】在一个三角形中，如果∠1＝60°，∠2＝X°，那么∠3＝( )°。一个等腰直角三角形，它的斜边长是a厘米，这个三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】 120－x a2÷4 【思路引导】根据三角形的内角和是180°可知，∠3＝180°－∠1－∠2；等腰直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入字母化简即可。 【规范解答】在一个三角形中，如果∠1＝60°，∠2＝X°，那么∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－ X°＝（120－x）°；等腰直角三角形，它的斜边长是a厘米，斜边上的高是a÷2，面积是a（a÷2）÷2＝ a2÷4。 【考点剖析】此题主要考查了用字母表示数，根据题意把字母当作数来解答即可。 【变式训练1】如图所示,在六边形 ABCDEF中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°,AB=1厘米,BC=CD=3厘米,DE=2厘米。求这个六边形 ABCDEF 的周长。 【答案】15厘米 【规范解答】将六边形补充成一个等边三角形。1+3+3+2+2+4=15(厘米) 【变式训练2】一个等腰三角形的周长是56厘米，底边长24厘米，它的一条腰长( )厘米，如果这个三角形有一个内角为50°，那么它的最大的一个内角是( )°。 【答案】 16 80 【思路引导】根据等腰三角形两腰相等的特征，已知等腰三角形的周长是56厘米，底边长24厘米，则用周长56厘米减去底边24厘米，得到两条腰的长度和，再除以2即得到一条腰的长度； 再根据等腰三角形两底角相等，三个内角和是180°的特征，其一个内角是50°，根据三条边的长度关系，可以确定50°的角应为底角，用180°减去两个底角，即得到顶角的度数，从而找到最大的一个内角。 【规范解答】（56－24）÷2 ＝32÷2 ＝16（厘米） 180°－50°×2 ＝180°－100° ＝80° 所以，这个等腰三角形的一条腰长16厘米；它的最大的一个内角是80°。 【考点剖析】本题主要考查等腰三角形的周长和内角和的应用。要熟悉等腰三角形的边和角的特征，正确判断已知边和已知角的位置。 高频考点二 三角形的三边关系 【典例精讲】（25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一个直角三角形的两条直角边相差2厘米，已知斜边长10厘米，这个直角三角形的面积( )平方厘米。 （在直角三角形中，斜边长的平方等于两个直角边的平方和。） 【答案】24 【思路引导】在三角形中，两边之和大于第三边，则可假设两条直角边的长，使得两条直角边相差2厘米，和大于10厘米；再根据“斜边长的平方等于两个直角边的平方和”验证是否为直角三角形，并根据直角三角形的面积＝直角边长×直角边长÷2即可求出这个直角三角形的面积。 【规范解答】当一条直角边长为5厘米，另一条直角边为（5＋2＝7）厘米： 10²＝100 5²＋7² ＝25＋49 ＝74 74≠100 这个三角形不为直角三角形； 当一条直角边长为6厘米，另一条直角边为（6＋2＝8）厘米： 6²＋8² ＝36＋64 ＝100 100＝100 这个三角形为直角三角形； 6×8÷2＝24（平方厘米） 即一个直角三角形的两条直角边相差2厘米，已知斜边长10厘米，这个直角三角形的面积24平方厘米。 【考点剖析】根据三角形三边的关系“两边之和大于第三边”即可假设两边的长度。 【变式训练1】（24-25五年级上·四川·期末）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形。将它的最短边对折到斜边相重合，（如图）图中阴影部分面积是( )平方厘米。 【答案】6 【思路引导】因为对折有重合，所以两个空白部分的三角形面积相等，则10厘米的边分成了6厘米和4厘米两部分，4厘米的线段是阴影部分的最长直角边，阴影部分三角形的角与大三角形的完全一样，阴影部分的最长直角边为4厘米，大三角形最长直角边为8厘米，大三角形直角边长是阴影直角边长的2倍，所以阴影部分的最短直角边为（6÷2）厘米，两条直角边分别为直角三角形的底和高，根据三角形的面积公式，代入数据即可求出阴影部分的面积。 【规范解答】阴影部分大直角边长：（厘米） 阴影部分小直角边长：（厘米） 阴影部分面积：（平方厘米） 图中阴影部分面积是6平方厘米。 【考点剖析】分析图形，明确大三角形直角边长是阴影直角边长的2倍是解答本题的关键。 【变式训练2】一根铁丝长18厘米，用这根铁丝围成一个等腰三角形，并使围成的三边长度都是整厘米数，你能围出多少个不同的三角形？ 【答案】4个 高频考点三 多边形的内角和 【典例精讲】如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1440°，则这是( )边形，每个内角的度数是( )。 【答案】 十 144º 【思路引导】设这个多边形是n边形，它的内角和可以表示成（n－2）×180°，就得到关于n的方程，求出边数n；然后根据多边形的外角和是1440°，多边形的每个内角都相等，这样就能求出多边形的一个内角。 【规范解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得： （n－2）×180°＝1440° 180°n－360°＝1440° 180°n＝1440°－360° n＝10 那么这个多边形的一个内角是1440°÷10＝144° 【考点剖析】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决。 【变式训练1】（25-26四年级下·重庆渝中·期末）文文利用正五边形（每条边长度相等，每个内角度数相等）画出了正五角星（如图）。 (1)正五边形的内角和是多少？ (2)她还观察到正五边形相邻的两条边和一条对角线会组成一个等腰三角形，她一下就计算出了∠1的度数，请你利用她的发现也算一算。 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据多边形内角和的计算方法，可以将五边形分割成三角形来求解。从五边形的一个顶点出发，连接不相邻的顶点，可以将五边形分割成3个三角形。因为三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和是3个180°。 （2）首先根据第（1）问的结果求出正五边形每个内角的度数。正五边形相邻的两条边和一条对角线会组成一个等腰三角形，利用这个等腰三角形的顶角（即正五边形的内角）求出底角的度数。观察图形可知，正五边形的一个内角被分成了三部分，∠1位于中间，两边分别是两个等腰三角形的底角，利用角的和差关系，即可求出∠1。 【规范解答】（1） 答：正五边形的内角和是。 （2）正五边形的每个内角度数： 等腰三角形的顶角等于正五边形的内角，即。 等腰三角形的底角度数： 的度数： ＝72°－36° ＝36° 答：的度数是。 【变式训练2】（24-25四年级下·浙江嘉兴·期末）如图1，∠1、∠2、∠3、∠4是四边形的四个内角。现将四边形的四条边分别延长，形成了∠5、∠6、∠7、∠8四个角，这四个角叫四边形的外角，如图2。 （1）图1中∠1、∠2、∠3、∠4四个内角的和是（    ）°。 （2）不测量，你能推理得出∠5、∠6、∠7、∠8这四个外角的和是几度吗？请写出你的思考过程。 【答案】（1）360 （2）360°； 因为∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∠3＋∠7＝180°，∠4＋∠8＝180°。 所以，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝180°×4＝720°。 又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，所以∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝720°－360°＝360° 【思路引导】 （1）如图，可以将四边形分成两个三角形。三角形的内角和是180°，用180°乘2就是四边形的内角和。 （2）∠1与∠5成一个平角，即∠1＋∠5＝180°，同理∠2＋∠6＝180°，∠3＋∠7＝180°，∠4＋∠8＝180°。由此可知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝180°×4＝720°，又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，所以用720°减去360°解答即可。 【规范解答】（1）180°×2＝360° 所以，图1中∠1、∠2、∠3、∠4四个内角的和是360° （2）因为∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∠3＋∠7＝180°，∠4＋∠8＝180°。 所以，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝180°×4＝720°。 又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，所以∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝720°－360°＝360° 答：这四个外角的和是360°。 【基础通关】 1．（25-26五年级下·山东泰安·期末）一个三角形两条边的长度分别是10厘米、6厘米，它的另一条边可能是（    ）厘米。 A．10厘米 B．4厘米 C．2厘米 D．16厘米 【答案】A 【思路引导】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先计算出已知两边的和与差，第三条边在和与差之间。 【规范解答】10＋6＝16（厘米） 10－6＝4（厘米） 第三条边比16厘米短，比4厘米长，对比选项可知：另一条边可能是10厘米。 2．（25-26六年级下·安徽合肥·期末）用13厘米长的铁丝恰好能围成（    ）种不同的等腰三角形。（每条边都是整厘米数） A．3 B．2 C．1 【答案】A 【思路引导】根据等腰三角形两腰相等的特征，结合三角形任意两边之和大于第三边的性质，且边长为整厘米数，列举所有符合周长为13厘米的情况即可。 【规范解答】等腰三角形的周长为13厘米，13厘米＝7厘米＋6厘米，每条边都是整厘米数，根据任意两边之和大于第三边可知，两腰之和一定大于等于7厘米小于13厘米，又因为两腰相等，两腰之和一定是双数。 当两腰之和等于8厘米时，腰长为8÷2＝4（厘米），底为13－8＝5（厘米） 当两腰之和等于10厘米时，腰长为10÷2＝5（厘米），底为13－10＝3（厘米） 当两腰之和等于12厘米时，腰长为12÷2＝6（厘米），底为13－12＝1（厘米） 所以，用13厘米长的铁丝恰好能围成3种不同的等腰三角形。 3．（25-26四年级下·陕西宝鸡·期末）下列各组线段中能围成三角形的是（    ）。 A．2cm、3cm、5cm B．3cm、4cm、6cm C．1cm、2cm、4cm D．3cm、3cm、8cm 【答案】B 【思路引导】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，根据三角形的三边关系，逐一分析解答。 【规范解答】A．2＋3＝5（cm），两边之和等于第三边，不能围成三角形； B．3＋4＝7（cm），4－3＝1（cm），1＜6＜7，能够围成三角形； C．1＋2＝3（cm），3＜4，两边之和小于第三边，不能围成三角形； D．3＋3＝6（cm），6＜8，两边之和小于第三边，不能围成三角形。 4．（25-26四年级下·甘肃定西·期末）一个三角形的两条边分别是12分米和15分米，它的第三条边比( )大，比( )小。 【答案】 3分米 27分米 【思路引导】根据三角形的特性：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条边的长度，可以通过计算这两条边的和与差，确定第三条边的取值范围。 【规范解答】15＋12＝27（分米） 15－12＝3（分米） 一个三角形的两条边分别是12分米和15分米，它的第三条边比3分米大，比27分米小。 5．（25-26六年级下·湖南株洲·期末）三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，五边形的内角和是540度，八边形的内角和是( )度。 【答案】 【思路引导】先从已知的三角形、四边形、五边形的内角和数据，推导多边形内角和与边数的关系，确定突破口是找到边数和对应内角和的通用公式。因为边形可以从一个顶点出发，连接不相邻的顶点，分割为个三角形，所以根据三角形内角和为，可得出多边形内角和公式为：，如果求八边形的内角和，那么将代入上述公式计算即可。 【规范解答】 6．（25-26四年级下·山西大同·期末）选三根整厘米长的小棒摆三角形，如果先选的两根小棒长度分别是11厘米和17厘米，那么第三根最长可以选( )厘米长的小棒。 【答案】27 【思路引导】三角形的三边关系：两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边。根据题意，两根小棒的和是11＋17＝28（厘米），所以第三根比28厘米小；两根小棒的差是17－11＝6（厘米）， 所以第三根比6厘米大。第三根最长不能超过28厘米。 【规范解答】11＋17＝28（厘米） 17－11＝6（厘米） 28＞第三根＞6 所以第三根最长是27厘米。 7．（25-26四年级下·河南信阳·期末）在长度为3厘米、6厘米、7厘米和8厘米的这几根小棒中，任选三根小棒都可以围成三角形。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据三角形任意两边之和大于第三边。要判断题干中“任选三根小棒都可以围成三角形”是否正确，需要运用列举法，将所有可能的三根小棒组合列出来，逐一验证是否满足“两边之和大于第三边”的条件。只要有一组不满足，说法即为错误；若所有组合均满足，说法即为正确。 【规范解答】从长度为厘米、厘米、厘米和厘米的根小棒中任选根，共有种选法，验证如下： 1.选厘米、厘米、厘米：（厘米），，能围成三角形； 2.选厘米、厘米、厘米：（厘米），，能围成三角形； 3.选厘米、厘米、厘米：（厘米），，能围成三角形； 4.选厘米、厘米、厘米：（厘米），，能围成三角形。 综上所述，所有组合均满足三角形三边关系，原题说法正确。 故答案为：√ 8．（26-27五年级上·全国·开学考试）如果三角形的一个内角度数是另一个内角的3倍，那么这个三角形称为“梦想三角形”，较大的内角称为“梦想角”。已知一个“梦想三角形”的“梦想角”是120°，其余两个内角的度数分别是多少度？ 【答案】40°和20° 【思路引导】先根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法，求出另一个内角；再根据三角形内角和等于180°，用180°分别减去120°和另一个内角的度数，求出第三个内角的度数。 【规范解答】120°÷3＝40° 180°－120°－40° ＝60°－40° ＝20° 答：其余两个内角的度数分别是40°和20°。 9．（25-26四年级下·福建泉州·期末）动脑理一理。 芳芳通过分割法把五边形分成5个三角形（如下图），她求出五边形的内角和是180°×5＝900°。 (1)你认为对吗？( )。（填“对”或“错”） (2)请你用画图或文字说明等方式，尽可能清楚地表示出你的想法。 【答案】(1)错 (2) ； 【思路引导】从五边形的一个顶点出发将其分割成三个三角形，借助三角形的内角和为计算多边形的内角和。 【规范解答】（1）芳芳将五边形从内部一点分割成个三角形，个三角形内角总和包含五边形内角和与中心一周的角，多出中心周角，要减去不属于五边形内角的周角。所以芳芳的说法错误。 （2）从五边形的一个顶点出发将其分割成三个三角形，如图： 五边形的内角和为 10．（25-26四年级下·山东菏泽·期末）三角形的一条边长是10厘米，另外两条边长（整厘米数）的和是15厘米，这两条边长可以分别是多少厘米？你能把你想到的符合条件的一组一组地都写出来吗？试试看。 【答案】3厘米和12厘米、4厘米和11厘米、5厘米和10厘米、6厘米和9厘米、7厘米和8厘米。 【思路引导】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。先列举出和是15的所有整数组合，再逐一验证每组数据与已知边10厘米是否满足“两边之和大于第三边”的条件。 【规范解答】15＝1＋14＝2＋13＝3＋12＝4＋11＝5＋10＝6＋9＝7＋8 ①另外两边为1厘米和14厘米时：1＋10＝11（厘米），11＜14，不能围成三角形。 ②另外两边为2厘米和13厘米时：2＋10＝12（厘米），12＜13，不能围成三角形。 ③另外两边为3厘米和12厘米时：3＋10＝13（厘米），13＞12，能围成三角形。 ④另外两边为4厘米和11厘米时：4＋10＝14（厘米），14＞11，能围成三角形。 ⑤另外两边为5厘米和10厘米时：5＋10＝15（厘米），15＞10，能围成三角形。 ⑥另外两边为6厘米和9厘米时：6＋9＝15（厘米），15＞10，能围成三角形。 ⑦另外两边为7厘米和8厘米时：7＋8＝15（厘米），15＞10，能围成三角形。 答：这两条边长可以分别是3厘米和12厘米、4厘米和11厘米、5厘米和10厘米、6厘米和9厘米、7厘米和8厘米。 【能力提升】 1．（23-24五年级上·北京昌平·期末）芳芳要用三根小棒首尾相接摆出一个等腰三角形，应选取（    ）组小棒。 A．5cm、8cm、8cm B．4cm、4cm、10cm C．3cm、4cm、5cm D．2cm、2cm、4cm 【答案】A 【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。如果两根较短小棒的长度和大于较长小棒的长度，就能摆出三角形。注意等腰三角形两条边是相等的。 【规范解答】A．5＋8＞8，能摆出等腰三角形； B．4＋4＜10，不能摆出三角形； C．3＋4＞5，能摆出三角形，但不是等腰三角形； D．2＋2＝4，不能摆出三角形。 故答案为：A 2．将一个长方形框架拉成平行四边形，下面说法正确的是（    ）。 A．周长变长了 B．面积不变 C．内角和的度数变小了 D．高变短了 【答案】D 【思路引导】根据周长、面积、多边形内角和以及平行四边形的高的知识逐条判断即可。 围成封闭图形的所有边的总长度就是它的周长。平行四边形的面积＝底×高。一个n边形，从一个顶点出发向与之不相邻的顶点作对角线，把这个n边形分成个三角形，每个三角形的内角和是，这个n边形的内角和是。在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高。 【规范解答】A．四条边长度没变；因此变形后的四边形四条边仍是原长方形的边；所以周长不变。 B．两条对边之间的距离变近，即高变小了，所以面积就变小了。 C．长方形和平行四边形都是四边形，四边形的内角和相同，都是（4－2）×180°＝2×180°＝360°。 D．两条对边之间的距离变近，即高变小了。 故答案为：D 3．两根木条分别长10厘米和4厘米，最短可以再用一根（    ）厘米长的木条（取整厘米数），就可以围成一个三角形。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边，求出已知两边的和与差，确定第三条边的取值范围，取最小整厘米数的值即可。 【规范解答】10＋4＝14（厘米） 10－4＝6（厘米） 第三根要大于6厘米小于14厘米，最短是7厘米。 两根木条分别长10厘米和4厘米，最短可以再用一根7厘米长的木条（取整厘米数），就可以围成一个三角形。 故答案为：C 4．（25-26四年级下·江苏扬州·期末）在探索多边形的内角和时，我们可以像如图这样，从同一个顶点出发，分成几个三角形再计算，那么计算七边形内角和的算式是______。 【答案】180°×（7－2）＝900° 【思路引导】三角形的内角和是180°，计算多边形的内角和时，可以将多边形分成几个三角形，然后用三角形的个数乘180°，即可求出这个多边形的内角和。 【规范解答】 如图，七边形可以分成5个三角形；7－2＝5，那么计算七边形内角和的算式是：180°×（7－2） ＝180°×5 ＝900° 5．（25-26四年级下·广东江门·阶段检测）一个三角形三条边的长度都是整厘米数，其中两条边分别是15cm和30cm，第三条边最短是( )cm，最长是( )cm。 【答案】 16 44 【思路引导】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求解。所以第三条边的取值范围为：两边之差第三条边两边之和。 【规范解答】3015＝15（cm） 15＋1＝16（cm） 30＋15＝45（cm） 451＝44（cm） 所以第三条边最短是16cm，最长是44cm。 6．（24-25六年级下·江苏盐城·期末）一个等腰三角形的两条边长分别是4厘米、8厘米，它的周长可能是16厘米或20厘米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据三角形任意两边之和大于第三边，解答此题即可。 【规范解答】当腰是4厘米时。 4＋4＝8（厘米） 8＝8 不能围成三角形。所以底边是4厘米。 8＋8＋4＝20（厘米） 三角形的周长是20厘米，不能是16厘米，原题说法错误。 故答案为：× 7．（25-26四年级下·山东聊城·期末）王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 【答案】最短米，最长米 【思路引导】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边的长度，通过计算两边之和、两边之差，就能确定第三条边的取值范围；题目要求取整米数，在取值范围内找出最小、最大整数即为答案。 【规范解答】根据三角形三边关系：第三边＞两边之差，第三边＜两边之和。 两边之和：（米） 两边之差：（米） 因此第三条边长度范围：3米＜第三边＜21米。 因为篱笆长度取整米数， 最短长度：（米） 最长长度：（米） 答：第三条边最短要用米长的篱笆，最长要用米长的篱笆才能围成三角形菜地。 8．（25-26四年级下·广东深圳·期中）如果一个三角形的两条边的长度分别为8厘米和10厘米。 (1)请在符合第三条边的长度的选项前的方框里画“√”。 1厘米    11厘米    21厘米 (2)请再写出两个符合条件的第三条边的长度。 (3)请写出第三条边的长度的范围。 【答案】(1)11厘米 (2)3厘米；5厘米（答案不唯一） (3)大于2厘米，小于18厘米 【思路引导】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边，利用已知的两条边和各选项的长度，求出最短的两边之和，如果它们的和大于第三边，则符合第三条边的长度，如果它们的和等于或小于第三边，则不符合。 （2）另外找出两个数，满足与8和10组成的三个数中，较小的两个数的和大于第三个数即可。如3＋8＝11，11＞10，第三条边可以是3厘米；又如5＋8＝13，13＞10，第三条边可以是5厘米。（答案不唯一） （3）假设第三条边最小，则第三条边与8厘米的和应大于10厘米，如果它们的和等于10厘米，则第三条边为10－8＝2（厘米），所以第三条边的长度应大于2厘米；再假设第三条边最大，则8厘米与10厘米的和应大于第三条边，如果它们的和等于第三条边，则第三条边为8＋10＝18（厘米），所以第三条边的长度应小于18厘米。据此解答。 【规范解答】（1）1＋8＝9（厘米），9＜10，不符合； 8＋10＝18（厘米），18＞11，符合； 8＋10＝18（厘米），18＜21，不符合； 所以，符合第三条边的长度的选项如下： 1厘米 11厘米 21厘米 （2）3＋8＞10，5＋8＞10 所以，第三条边的长度可以是3厘米、5厘米。（答案不唯一） （3）10－8＝2（厘米） 8＋10＝18（厘米） 所以，第三条边的长度的范围是：大于2厘米，小于18厘米。 9．（24-25五年级上·北京通州·期末）同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。 （1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 （2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 【答案】 （1）360度；180×3－180＝360（度） （2）；360度；360度 （3）任意多边形的外角和都是360°。 【思路引导】（1）三角形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，这样的平角一共有3个，平角度数180度，平角度数×3＝三个平角的度数和，三角形的内角和是180度，则三角形的外角和＝三个平角的度数和－三角形内角和。 （2）观察三角形外角与内角的关系，可以发现每个外角都与它所附的内角“成一直线”，即外角 ＋ 内角 ＝180°。由于三角形内角和是180°，那么当我们依次“转过”三角形的各个顶点时，三个外角一共就转了一整圈（360°）。因此，三角形的三个外角和是360°。 同上，画一画、四边形或五边形的每个外角，再将这些外角相加，你会发现四边形的四个外角和、五边形的五个外角和都一样是360°。 四边形可以分成2个三角形，四边形的内角和＝180度×（4－2），据此计算出四边形的内角和，四边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的4个平角，四边形的外角和＝四个平角度数的和－四边形的内角和。 五边形可以分成3个三角形，五边形的内角和＝180度×（5－2），据此计算出五边形的内角和，五边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的5个平角，五边形的外角和＝五个平角度数的和－五边形的内角和。 （3）根据以上计算出的三角形、四边形和五边形的外角和进行猜想即可。 【规范解答】（1）180×3－180 ＝540－180 ＝360（度） 答：三角形三个外角的和是360度。 （2）画图略。 180×4－180×（4－2） ＝720－180×2 ＝720－360 ＝360（度） 180×5－180×（5－2） ＝900－180×3 ＝900－540 ＝360（度） 答：四边形四个外角的和是360度，五边形五个外角的和是360度。 （3）三角形、四边形和五边形的外角和都是360°。 根据结论得到的猜想是：任意多边形的外角和都是360°。 【考点剖析】关键是掌握多边形内角和的计算方法，明确平角的度数。 10．（23-24四年级下·湖北荆州·期末）下图中∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是多少？ 【答案】360° 【思路引导】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180°，且五边形内角和为（52）×180°，也就是∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝540°，再用180°×5540°即可算出正确答案。 【规范解答】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝（52）×180° ＝3×180° ＝540° 那么∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10 ＝（180°∠1）＋（180°∠2）＋（180°∠3）＋（180°∠4）＋（180°∠5） ＝180°×5（∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5） ＝900°540° ＝360° 答：∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是360°。 【考点剖析】要计算这5个角的度数，必须认真观察，从中找出规律，经过观察发现∠1、∠6组成一个平角，同理，∠2、∠7等相邻的两个角也都是组成一个平角，其中∠1、∠2、∠3、∠4和∠5是一个五边形的内角，再经过转化后就可以计算出这些角度数的和。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 第二单元三角形的再认识『举一反三知识讲练』 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+3个考点讲练+3个奥数拓展+真题难度分层演练共38题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 录指引内容知晓 导图指引梳理脉络... 2 知识梳理温故知新· 2 知识点一三角形内角和...· .2 知识点二三角形三边关系… 知识点三多边形内角和 考点讲练真题汇总..· 5 高频考点一三角形的内角和...… 高频考点二三角形的三边关系.… ..5 高频考点三多边形的内角和...... 难点突破奥数拓展…7 第1页共12页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点一三角形的内角和·· .7 高频考点二三角形的三边关系... 7 高频考点三多边形的内角和 …8 优选真题实战演练.… 【基础通关】 9 【能力提升】 。,,,,,，，,,,,,，10 导图指引梳理脉络 一、探索三角形内角和 二、三角形的三边关系 三、三角形的内角和与分类 四、探泰内角和的奥秘 1,认识：三角彩内角和一定比任何一个内角都大 1规律：三角形任意两边之和大于第三边， 1.三角形内角和：三角形内角和等于180 1生活中的图形中有许多三角形 2.测量与记录 2拔角的大小分类： 三角形的形 每个内角的重数三个内角的 想角三角影《)(1()10 判断三线能否围成三角无 锐角三角形 直角三角彩 纯角三角形 直角生角g1t1（5 180 a年b>g 三个内角角。有一个直角90)。有一个角>0 180 a+c>b b+c a 【例更】到断并分类。 2.订计封：测量，剪拼三角形，验证内角和是80， 【酬】判断下面三组线段能香国成三角形 (1)三个内角分别是40,7070心 ,探需方法（拼或第一剪） 3.结论：三角形内角和等干180 (1)2cm 3md cm (2)一个内角是90，另两个内角分别是30和60 (2)3cm.4cm 8cm 【例题】下列三角形的内角和是多少度？ (3)一个内角是120.另两个内角分别是3灯和30 3)5 cm,6 cm,10 cm 答：都是180°。 答：(1)(2)不能(3)不 答：(1》说角三角形(2)直角三角形(3)转角三角 结论：三角形的内角和等于18 第二单元 五、三角形与三角形的关系 三角形的再认识 1用一条线段把一个等三角形分成两个三角 八、解决问题 单元复习思维导图 这两个三形一定是等三角形 1.问题：一个直角三角形中，一个锐角是32，另一个锐角 △ 是多少度？ 答：180-90-32°=58 2。如黑三角形的两条边的长度关系无法列新第三条过 间题： 个三角形的两条边长分别是6cm和8cm 的长置 综合巩固题（含答案） 个等边三角形的周长是24m,它的边长是多少 c>la-bl B.三角形任意两边之和小于第三边 :24+3=8(cm c a b C,直角三角形中有一个角是90 D,健角三角形中P有两个钝角 2用三根小棒国成一个三角形，长度分别是3cm.4cm。6cm4 例题】等题三角形的题长6cm,底边长8m 这个三角形是(A)三角形。 落70090 这个三角影圆长是多少雁来？ A,角 B.直角 C,纯角 D.不能确定 答20cm 六、三角形的高 香图成三角 从三角形的一个顶点向对边画垂钱，顶点和垂足之间的 (1)1cm.2cm.3cm(×) 九、巩固与应用 3)5cm,6cm,10cm(） 线段叫作三角形的高。 1求∠B的度数 2求∠B的度数 3求∠C的度数 器个等二角的底角是它的顶角是多少度7 一个直角三角形的一个院角是35”，另一个税角是多少度7 纯角三角形和直角三角形有3条高 答1180-90-35°=55 高的禹法：用三角尺的直角边作垂线 整理与复习 115 例西出下面三角形的高， 我的问题 小的三角分 不的三角形在生适中有什么更多机由 若1∠8=60 著：∠B=40 答1∠C=72 学习小站士：多动手操作，多观察思考，善干发规规使，数学就在我们身边 知识梳理温故知新 知识点一三角形内角和 1.三角形的内角和 (1)定义 三角形的三个角叫做内角，这三个内角的度数加起来的总和，叫做三角形的内角和。 第2页共12页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 (2)内角和规律 任意一个三角形的内角和都是180°。 无论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内角和都等于180°。 (3)验证方法 测量法：用量角器分别量出三个内角的度数，再相加，看是否接近180°。 拼角法：把三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现它们正好组成一个平角（180°)。 折叠法：通过折叠三角形，使三个角拼成一条直线，验证其和为180°。 (4)举例说明 一个直角三角形，两个锐角分别是50°和40°，那么第三个角是90°，50°+40°+90°=180°。 一个等边三角形，每个角都是60°，60°+60°+60°=180°。 2.应用内角和求未知角 (1)已知两个角，求第三个角 方法：用180°减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数。 公式：∠3=180°-∠1-∠2 (2)等腰三角形中的应用 等腰三角形有两个底角相等，已知顶角，可求底角：底角=(180°-顶角)÷2 已知底角，可求顶角：顶角=180°-底角×2 (3)直角三角形中的应用 直角三角形中，一个角是90°，另外两个锐角的和是90°。 所以：一个锐角=90°-另一个锐角 知识点二三角形三边关系 1.判断三条线段是否能围出三角形 (1)判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 (2)判断方法：只需判断较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可。如果大于，则这三 条线段能围成三角形；否则，不能围成三角形。 2.求第三边长度 已知三角形的两条边，设这两条边分别为a、b(a≥b),第三边为c,则根据三边关系可得a-b<c< a+b,第三边c的长度取值范围就在ab与a+b之间（不包括端点值）。 3.求第三边最长（最短）长度剪绳问题 如果要求第三边的最长长度，那么第三边的长度应小于+b,同时要考虑到实际问题中的取值要求，通 第3页共12页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 常取小于a+b的最大整数。 4.剪绳问题 在解决这类问题时，要全面考虑各种剪法。根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边。分别考虑剪开以后得三段线段长度是否符合三角形三边关系，从而判断是否能 围成三角形。 知识点三多边形内角和 1.多边形的定义与性质 多边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。 例如，三角形、四边形、五边形等都是多边形。 多边形的性质： 边：组成多边形的线段叫做多边形的边。 顶点：相邻两边的交点叫做多边形的顶点。 内角：相邻两边的夹角叫做多边形的内角。 外角：多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做多边形的外角。 2.多边形内角和的计算公式 公式推导：由于多边形可以分解成若干个三角形，而每个三角形的内角和为180度，因此，一个有 个顶点的多边形可以分解成-2个三角形。所以，多边形的内角和可以用如下公式计算：内角和=(n -2)×180度。 实例讲解：例如，一个正六边形，它有6个顶点，可以分解成4个三角形，因此其内角和为(6-2)× 180度=720度。 3.多边形内角和的计算方法 直接计算法：直接利用公式(n-2)×180度计算多边形的内角和。 分割法：将多边形分割成若干个三角形，然后计算这些三角形的内角和之和。这种方法有助于理解多 边形内角和公式的推导过程。 4.多边形内角和的应用 多边形内角和的知识点在实际生活中有广泛的应用，例如在设计多边形图案、计算多边形面积等方面 都需要用到多边形内角和的知识。此外，多边形内角和的知识点还与几何学的其他领域密切相关，如 相似多边形、全等多边形等。 第4页共12页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 考点讲练真题汇总 高频考点一三角形的内角和 【典例精讲】(25-26四年级下·湖北黄石·期末)刘奶奶家有一块三角形的菜地，最大角是最小角的3 倍，另外一个角是最小角的2倍，求这块三角形菜地每个角的度数？ 【变式训练1】(25-26四年级下·浙江金华·期中)如下图，已知AB=BC,求∠1，∠2，∠3的度数。 110°AA 2 B<I 3 【变式训练2】(25-26四年级下·全国·课前预习)在一个等腰三角形中，其中一个底角是顶角的4倍， 这个三角形的底角和顶角分别是多少度？ 高频考点二三角形的三边关系 【典例精讲】(25-26四年级下·山东青岛·期末)毛毛用三根小棒摆一个三角形，其中两根分别是8厘 米和4厘米，第三根小棒最短是( )厘米，最长是( )厘米。（填整厘米数） 【变式训练1】(2026·湖南永州·小升初模拟)一个等腰三角形的周长是38厘米，其中一条边是12厘 米，另两条边分别是多少厘米？ 第5页共12页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练2】(25-26五年级上·福建龙岩·期中)从如图中任意取出3根小棒，能围成三角形和不能围 成三角形的可能性相比，( )。 3cm 7cm 4cm 9C A.一样大 B.能围成三角形的可能性大 C.不能围成三角形的可能性大 D.无法比较 高频考点三多边形的内角和 【典例精讲】(25-26四年级下·内蒙古通辽·期末)连接四边形的一条对角线，四边形被分割成( 个三角形，因为三角形的内角和是( ),所以四边形的内角和是( )。 【变式训练1】(24-25四年级下·重庆万州·期末)如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是 )。。按角分，这个三角形是( )三角形，按边分是( )三角形。将两个这样的三 角形拼成一个四边形，四边形的内角和是( )°0 6> ≤469 【变式训练2】(24-25五年级上·山东滨州·期中)在求“四边形的内角和”时，我们可以多角度去思考， 计算出其内角和。 我把这个四边形 我把这个四边形分 我把这个四边形分 分成2个三角形。 成3个三角形，可 成4个三角形，可 是多了一个平角。 是多了一个周角。 四边形的内角和： 四边形的内角和： 四边形的内角和： 180°+180°=3609 180°×3=540° 180°×4=720° 540°-180°=360° 720°-360°=3609 方法1 方法2 方法3 按照以上研究思路，选择你喜欢的方法研究六边形的内角和，在图中画一画，并列式计算。 第6页共12页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 难点突破奥数拓展 高频考点一三角形的内角和 【典例精讲】在一个三角形中，如果∠1=60°，∠2=X°，那么∠3=( )°。一个等腰直角三角 形，它的斜边长是a厘米，这个三角形的面积是( )平方厘米。 【变式训练1】如图所示，在六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，AB=1厘米，BC=CD=3厘 米，DE=2厘米。求这个六边形ABCDEF的周长。 【变式训练2】一个等腰三角形的周长是56厘米，底边长24厘米，它的一条腰长( )厘米，如果 这个三角形有一个内角为50°，那么它的最大的一个内角是( )°。 高频考点二三角形的三边关系 【典例精讲】(25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末)一个直角三角形的两条直角边相差2厘米，已知 斜边长10厘米，这个直角三角形的面积( )平方厘米。 (在直角三角形中，斜边长的平方等于两个直角边的平方和。) 【变式训练1】(24-25五年级上·四川·期末)三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形。 将它的最短边对折到斜边相重合，（如图）图中阴影部分面积是( )平方厘米。 【变式训练2】一根铁丝长18厘米，用这根铁丝围成一个等腰三角形，并使围成的三边长度都是整厘米数， 你能围出多少个不同的三角形？ 第7页共12页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点三多边形的内角和 【典例精讲】如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1440°，则这是( )边形，每个内角的 度数是( )。 【变式训练1】(25-26四年级下·重庆渝中·期末)文文利用正五边形（每条边长度相等，每个内角度数 相等)画出了正五角星（如图）。 (1)正五边形的内角和是多少？ (2)她还观察到正五边形相邻的两条边和一条对角线会组成一个等腰三角形，她一下就计算出了∠1的度数， 请你利用她的发现也算一算。 【变式训练2】(24-25四年级下·浙江嘉兴·期末)如图1，∠1、∠2、∠3、∠4是四边形的四个内角。 现将四边形的四条边分别延长，形成了∠5、∠6、∠7、∠8四个角，这四个角叫四边形的外角，如图2。 8 4 62 3 6 07 图1 图2 (1)图1中∠1、∠2、∠3、∠4四个内角的和是( )。。 (2)不测量，你能推理得出∠5、∠6、∠7、∠8这四个外角的和是几度吗？请写出你的思考过程。 第8页共12页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26五年级下·山东泰安·期末)一个三角形两条边的长度分别是10厘米、6厘米，它的另一条边 可能是( )厘米。 A.10厘米 B.4厘米 C.2厘米 D.16厘米 2.(25-26六年级下·安徽合肥·期末)用13厘米长的铁丝恰好能围成( )种不同的等腰三角形。 (每条边都是整厘米数) A.3 B.2 C.1 3.(25-26四年级下·陕西宝鸡·期末)下列各组线段中能围成三角形的是( A.2cm、3cm、5cm B.3cm、4cm、6cm C.1cm、2cm、4cm D.3cm、3cm、8cm 4.(25-26四年级下·甘肃定西·期末)一个三角形的两条边分别是12分米和15分米，它的第三条边比 ()大，比( )小。 5.(25-26六年级下·湖南株洲·期末)三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，五边形的 内角和是540度，八边形的内角和是( )度。 6.(25-26四年级下·山西大同·期末)选三根整厘米长的小棒摆三角形，如果先选的两根小棒长度分别 是11厘米和17厘米，那么第三根最长可以选( )厘米长的小棒。 7.(25-26四年级下·河南信阳·期末)在长度为3厘米、6厘米、7厘米和8厘米的这几根小棒中，任选 三根小棒都可以围成三角形。( )(判断对错) 8.(26-27五年级上·全国·开学考试)如果三角形的一个内角度数是另一个内角的3倍，那么这个三角 形称为“梦想三角形”，较大的内角称为“梦想角”。已知一个“梦想三角形”的“梦想角”是120°，其 余两个内角的度数分别是多少度？ 第9页共12页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 9.(25-26四年级下·福建泉州·期末)动脑理一理。 芳芳通过分割法把五边形分成5个三角形（如下图），她求出五边形的内角和是180°×5=900°。 (1)你认为对吗？( )。(填“对”或“错”) (2)请你用画图或文字说明等方式，尽可能清楚地表示出你的想法。 10.(25-26四年级下·山东菏泽·期末)三角形的一条边长是10厘米，另外两条边长（整厘米数）的和 是15厘米，这两条边长可以分别是多少厘米？你能把你想到的符合条件的一组一组地都写出来吗？试试看。 【能力提升】 1.(23-24五年级上·北京昌平·期末)芳芳要用三根小棒首尾相接摆出一个等腰三角形，应选取( 组小棒。 A.5cm、8cm、8cm B.4cm、4cm、10cm C.3cm、4cm、5cm D.2cm、2cm、4cm 2.将一个长方形框架拉成平行四边形，下面说法正确的是( ）。 A.周长变长了B.面积不变 C.内角和的度数变小了D.高变短了 3.两根木条分别长10厘米和4厘米，最短可以再用一根( )厘米长的木条（取整厘米数），就 可以围成一个三角形。 A.5 B.6 C.7 D.8 4.(25-26四年级下·江苏扬州·期末)在探索多边形的内角和时，我们可以像如图这样，从同一个顶点 出发，分成几个三角形再计算，那么计算七边形内角和的算式是 第10页共12页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 180°×(4-2)=360° 180°×(5-2)=540° 5.(25-26四年级下·广东江门·阶段检测)一个三角形三条边的长度都是整厘米数，其中两条边分别是 15cm和30cm,第三条边最短是( )cm,最长是( ）cm。 6.(24-25六年级下·江苏盐城·期末)一个等腰三角形的两条边长分别是4厘米、8厘米，它的周长可 能是16厘米或20厘米。( ）(判断对错) 7.(25-26四年级下·山东聊城·期末)王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12 米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 8.(25-26四年级下·广东深圳·期中)如果一个三角形的两条边的长度分别为8厘米和10厘米。 (1)请在符合第三条边的长度的选项前的方框里画“√”。 厘米 11 厘米 21厘米 (2)请再写出两个符合条件的第三条边的长度。 (3)请写出第三条边的长度的范围。 9.(24-25五年级上·北京通州·期末)同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线 组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四 边形的四个外角。 6 (1)我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算 第11页共12页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 (2)画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ (3)根据上面的发现，你有什么猜想？ 10.(23-24四年级下·湖北荆州·期末)下图中∠6十∠7+∠8十∠9+∠10的度数是多少？ ≤Q6 10 5 2 94 87 第12页共12页null