精品解析：2024年山东省济南市高新区中考一模数学试卷

2024年高新区学考第一次模拟测试 九年级数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分，考试时间为120分钟，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 4. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转后得到的图案（ ） A. B. C. D. 6. 解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则直线与直线的交点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 9. 如图，在中，，，，依据尺规作图的痕迹，则的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 10. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 计算：=___． 12. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼________条． 13. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为______． 14. 如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为 _______． 15. 甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多_____________． 16. 如图，在矩形中，，E为上一点，连接，将沿折叠，点A落在处，连接，若F、G分别为、的中点，则的最小值为 __． 三、解答题：（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 求不等式组的非负整数解． 19. 如图，点E，F分别在平行四边形的边上，且． 求证：． 20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．（参考数据：） （1）求点A位于最高点时到地面的距离； （2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度． 21. 某校初三年级一共有1200名学生，某一次体育测试后，彭老师为了了解本校初三学生体考成绩的大致情况，随机抽取了男、女各40名考生的体考成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息： 数据分为A，B，C，D四个等级分别是：A：，B：，C：，D：. 40名男生成绩的条形统计图以及40名女生成绩的扇形统计图如图： 40名男生和40名女生成绩的平均数，中位数，众数如下： 性别 平均数 中位数 众数 男生 48 a 47 女生 48 男生成绩在B组的考生的分数为45，45，46，46，46.5，46.5，47，47，47，47，47，47，48，48，48.5； 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，女生成绩为B等对应的扇形的圆心角为________，并补全条形统计图； （2）根据以上数据，你认为在此次测试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由； （3）请估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数. 22. 如图，C是圆O被直径分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接． （1）若，求的度数 （2）在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）． 23. 学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下表： 甲种足球 购买费用：2000元 单价：x元/个 数量：____________个 乙种足球 购买费用：1400元 单价：元/个 数量：__________个 （1）在上表中用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量； （2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价； （3）为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量． 24. 【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________． 【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考： 设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可． （2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质： ①下表列出了与的几组对应值，其中________． … 1 2 3 4 … … 4 4 … ②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是________ A．当时，随的增大而增大． B．该函数的图象可能与坐标轴相交． C．该函数图象关于直线对称． D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间． 25. 问题发现： （1）如图1，已知正方形和正方形，直接写出与之间的数量关系：___________． 拓展探究： （2）将正方形绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 类比迁移： （3）如图3，已知菱形和菱形，将菱形绕点A顺时针旋转，连接，请在备用图中画出草图，判定与之间的数量关系是否随着的变化而变化，并说明理由． 26. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点的横坐标为，过点作轴于点，与交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，判断点是否落在抛物线上，并说明理由； （3）求的最大值； （4）如果是等腰三角形，直接写出点的横坐标的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高新区学考第一次模拟测试 九年级数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分，考试时间为120分钟，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式和平方差公式，根据相关运算法则逐项计算即可得出答案． 【详解】解：A，，计算错误，不合题意； B，，计算错误，不合题意； C，，计算错误，不合题意； D，，计算正确，符合题意； 故选D． 5. 如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转后得到的图案（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 6. 解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程两边乘以即可得到结果． 【详解】方程两边同时乘以去分母得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母时要注意不要漏乘常数项，注意相反数的转化． 7. 若，则直线与直线的交点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查两直线交点问题，联立两直线解析式表示出交点坐标，根据，判断交点坐标的象限，即可解题． 【详解】解：由题知，， 有，整理得， 解得， 将代入中，有， ， ， ，， 直线与直线的交点在第二象限． 故选：B． 8. 某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知， 绿球与黑球的个数应相等，也为2x个， 列方程可得x+2x+2x=10， 解得x=2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 如图，在中，，，，依据尺规作图的痕迹，则的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图痕迹可得EF为AB的中垂线，结合判断出△ABE为等边三角形，从而结合边长求出在BC边上的高为，再根据比例关系求得BC的长度，最终计算面积即可． 【详解】设尺规作图所得直线与AB交于F点，根据题意可得EF为AB的中垂线， ∴AE=BE， 又∵， ∴△ABE为等边三角形，边长AB=CD=4， ∴BF=2，BE=4，， ∴在BC边上的高为， 又∵，BE=4， ∴EC=2，BC=2+4=6， ∴=×6=， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，中垂线的识别与性质，以及等边三角形的判定与性质，准确根据作图痕迹总结出等边三角形是解题关键． 10. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中的，得到，对称轴，得到，判定①正确；根据抛物线的对称性，判定②、③都正确；根据①中的数据和时，，得到，得到，判定④不正确． 本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握表格信息，待定系数法求解析式，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，是解决问题的关键． 【详解】∵由表格可知，当和时的函数值相等，都为， ∴，抛物线的对称轴是直线， ∴，，a、b异号， ∴， 故①正确； 根据抛物线的对称性可知，当和时的函数值相等， ∴， 故②正确； ∵根据抛物线的对称性可知，当和时的函数值相等，都为t， ∴和3是关于的方程的两个根； 故③正确； 由①知，，， ∴二次函数为， ∵当时，对应的函数值， ∴， ∴， 故④不正确． ∴正确的结论有①、②、③，共3个． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 计算：=___． 【答案】x2＋x－6 【解析】 【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：＝x2－2x＋3x－6＝ x2＋x－6 故答案为x2＋x－6. 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼________条． 【答案】1000 【解析】 【详解】鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【解答】解：设鱼塘中有鱼x条， 根据题意得， 解得， 经检验为原方程的解， 所以估计鱼塘中有鱼1000条． 故答案为：1000． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，熟记大量反复试验下频率稳定值即为概率是解题的关键． 13. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，设另一个根为，则由根与系数的关系得到，解得，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程有一个根为2， 设另一个根为， ，解得， 故答案为：． 14. 如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形平移求线段长度的方法是解题的关键． 根据图形移动可求出阴影部分的长和宽，根据几何图形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长，宽， 阴影部分的面积， 故答案为． 15. 甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据甲组单独工作时30天的时间一共挖掘90米，求出甲每天挖掘的长度，进而求出甲组挖掘的总长度，再求出乙组挖掘的总长度即可得到答案． 【详解】解：由题意得，甲组单独每天可挖掘， ∴甲组一共挖掘了， ∴乙组一共挖掘了， ∴甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，E为上一点，连接，将沿折叠，点A落在处，连接，若F、G分别为、的中点，则的最小值为 __． 【答案】1 【解析】 【分析】连接，由F、G分别为、的中点可得，在中有，由勾股定理可得，由折叠性质和矩形性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵F、G分别为、的中点， ∴， 当的最小时，即最小， ∵四边形矩形，， ∴， ∴， ∵沿折叠， ∴， 在中有， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是利用三角形中位线将所求的转化为． 三、解答题：（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，算术平方根运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键；根据零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，绝对值计算求解即可； 【详解】解：原式 18. 求不等式组的非负整数解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，然后在解集中找到非负整数． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式组的解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的非负整数解是． 19. 如图，点E，F分别在平行四边形的边上，且． 求证：． 【答案】证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，进而结论得证． 【详解】略 20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．（参考数据：） （1）求点A位于最高点时到地面的距离； （2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过O作于O，过A作于G，在中，利用正弦函数求解即可； （2）过O作于O，过B作于C，过作于D，在和中，分别利用三角函数求出和的长即可． 【小问1详解】 解：过O作于O，过A作于G， ∵米，， ∴米，米， ∵， ∴， 在中，（米）， 即点A位于最高点时到地面的距离为（米）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：过O作于O，过B作于C，过作于D， ∵， ∴， ∵点A从最高点逆时针旋转到达最低点A1 ∴， ∵（米）， 在中，（米） 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键． 21. 某校初三年级一共有1200名学生，某一次体育测试后，彭老师为了了解本校初三学生体考成绩的大致情况，随机抽取了男、女各40名考生的体考成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息： 数据分为A，B，C，D四个等级分别是：A：，B：，C：，D：. 40名男生成绩的条形统计图以及40名女生成绩的扇形统计图如图： 40名男生和40名女生成绩的平均数，中位数，众数如下： 性别 平均数 中位数 众数 男生 48 a 47 女生 48 男生成绩在B组的考生的分数为45，45，46，46，46.5，46.5，47，47，47，47，47，47，48，48，48.5； 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，女生成绩为B等对应的扇形的圆心角为________，并补全条形统计图； （2）根据以上数据，你认为在此次测试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由； （3）请估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数. 【答案】（1） （2）女生的成绩较好 （3）成绩为A等级的考生人数为480人 【解析】 【分析】本题考查了中位数的意义和求法，条形统计图和扇形统计图的意义和制作方法，掌握各个统计量的意义是解决问题的前提，理清扇形统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）计算出男生A类的人数，即可补全条形图，计算出男生体考成绩从大到小排列后处在第20、21位两个数的平均数，即为男生的成绩的中位数，确定a的值；根据扇形统计图计算出女生B类所占的百分比，可得圆心角； （2）从平均数、众数上的分析得出结论． （3）求出A等占总人数的百分比，再估计总体中人数即可． 【小问1详解】 男生A组有（人）， 男生成绩处在第20、21位的两个数的平均数为， ， 补全条形统计图如图： 故答案为：； 【小问2详解】 女生的成绩较好，理由：女生的平均数、众数都比男生好； 【小问3详解】 男生40人A等有16人，女生40人A等有（人）， ∴A等占总人数的， ∴估计总体中A等有（人）， 答：估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数为480人． 22. 如图，C是圆O被直径分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接． （1）若，求的度数 （2）在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）． 【答案】（1）的度数是； （2）阴影部分的面积是． 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质，直角三角形性质等知识． （1）由是半圆O的直径，是半圆O的切线，可得，即得，可得，从而，可得的度数； （2），可得，，即得，再利用阴影部分的面积等于半圆减去即可解题． 【小问1详解】 解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵是半圆O的切线， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的度数是； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积是-2=2π-2， 答：阴影部分的面积是． 23. 学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下表： 甲种足球 购买费用：2000元 单价：x元/个 数量：____________个 乙种足球 购买费用：1400元 单价：元/个 数量：__________个 （1）在上表中用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量； （2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价； （3）为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量． 【答案】（1） （2）甲种足球在此商场的销售单价为50元/个，乙种足球在此商场的销售单价为70元/个 （3）25个 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）理解题意，根据数量总费用单价列代数式即可； (2)根据题意列分式方程，然后解方程即可； (3)根据题意列一元一次不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 由题意得，购买甲、乙两种足球的数量分别为， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种足球在此商场的销售单价为50元/个，乙种足球在此商场的销售单价为70元/个； 【小问3详解】 设购买乙种足球m个，则购买家甲足球个， 根据题意得：， 解得， 的最大值为25， 答：这所学校最多可购买25个乙种足球． 24. 【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________． 【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考： 设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可． （2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质： ①下表列出了与的几组对应值，其中________． … 1 2 3 4 … … 4 4 … ②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是________ A．当时，随的增大而增大． B．该函数的图象可能与坐标轴相交． C．该函数图象关于直线对称． D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间． 【答案】（1）； （2）①； ②描点、连线，图象如图所示， ③D 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理以及面积法求得各边长和斜边上的高，设正方形的边长为，根据，利用“相似三角形对应的高的比等于相似比”列式计算即可求解； （2）①将代入计算即可求解； ②描点、连线，即可画出图象； ③结合表格观察函数图象即可判断． 【详解】解：（1）作交于点N，交于点M， 设正方形的边长为，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 此时正方形的边长是， 故答案为：； 解：（2）①当时，， 故答案为：； ②略 ③由图可知： A、当时，随的增大，先减小后增大，原说法错误； B、a不能为零，可知与y轴无交点，a为正数可知，,与横轴无交点，即该函数的图象不可能与坐标轴相交，原说法错误； C、该函数图象没有对称轴，原说法错误； D、当，函数值先减少后增加，故当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间，说法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，函数的图象和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 25. 问题发现： （1）如图1，已知正方形和正方形，直接写出与之间的数量关系：___________． 拓展探究： （2）将正方形绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 类比迁移： （3）如图3，已知菱形和菱形，将菱形绕点A顺时针旋转，连接，请在备用图中画出草图，判定与之间的数量关系是否随着的变化而变化，并说明理由． 【答案】（1）； （2）， 连接，如图： 四边形、四边形是正方形， ， ，，， ， ， ， ； （3）画出图形如下，随着的变化，与之间的数量关系不变化，理由如下： 把绕着点D逆时针旋转得到，连接，作于N，如图： 由旋转可得， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 随着的变化，与之间的数量关系不变． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，三角函数证明即可； （2）根据正方形的性质，三角函数证明出，进而可得结论； （3）把绕着点D逆时针旋转得到，连接，作于N，由菱形的性质和等腰三角形的性质可得，再由含的直角三角形的性质和三角函数可得，再证明四边形是平行四边形，即可推出，进而可得结论； 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识解决问题； 26. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点的横坐标为，过点作轴于点，与交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，判断点是否落在抛物线上，并说明理由； （3）求的最大值； （4）如果是等腰三角形，直接写出点的横坐标的值． 【答案】（1） （2） 不在抛物线上；理由如下： 过点作轴，， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，当时，， ∴不在抛物线上； （3）当时，取最大值，最大值为 （4），， 【解析】 【分析】（1）两点式设出解析式，将点代入求出解析式即可； （2）根据旋转的性质，求出的坐标，进行判断即可； （3）设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，将转化为二次函数求最值即可； （4）分，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点， ∴设抛物线的解析式为， 把，代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴设直线：，将代入，得：， ∴； 设点坐标为，则点坐标为，点坐标为． ∴，． ∴． 当时，取最大值，最大值为． 【小问4详解】 ∵，，， ∴，，， 当是等腰三角形时，分三种情况， ①时，则：， 解得：（舍），（舍），； ②时，则：， 解得：（舍），； ③时，则：， 解得：（舍），（舍），； 综上：，，． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，二次函数的综合应用．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $