精品解析：湖南湘潭市第一中学2025-2026学年高一上学期入学考试数学试卷

湘潭市一中2025级高一入学考试 数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 ★祝各位取得满意成绩★ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 计算：（ ） A. B. C. D. 3. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱体 4. 将因式分解，所得结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，则的面积为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 今年，夕夕一家5个人的年龄分别为（单位：周岁）：6，32，34，55，58与4年前相比，下列说法正确的是（　　） A. 平均数变大，方差变大 B. 平均数变大，方差不变 C. 平均数变小，方差变小 D. 平均数变小，方差不变 7. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 9. 已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知在平面直角坐标系中，点是坐标原点，是直角三角形，，，点在反比例函数上，若点在反比例函数上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，与均是等边三角形，若，则的度数是__________. 12. 如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是____． 13. 对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为__________． 14. 分解因式：___________. 15. 已知点是关于x的反比例函数图象上的一点，其中a，b满足，则k的取值范围为______． 16. 如图，已知，角的一边与相切于点，另一边交于两点，于，的半径为，则__________，__________. 三、解答题：本题共7小题，共78分． 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中. 18. 棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏.喜欢思考的小敏设计了如图所示的3×3的小方格棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一个方格内最多放入一枚棋子.棋盘内现已有四枚棋子，在剩余的1、2、3、4、5方格内继续随机放入棋子，如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”. （1）若小敏随机放入1枚棋子，求出现“三连珠”的概率； （2）若小敏随机放入2枚棋子，请用画树状图或列表法. （ⅰ）求新放入的两枚棋子恰好与原右下角的棋子均相邻的概率； （ⅱ）求新放入两枚棋子后，余下未放棋子方格的编号之和能被3整除的概率. 19. 某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度.如图所示，点A，B，C在同一平面内，操控者站在坡度、坡面长的斜坡底部点C处操控无人机，坡顶点B处的无人机以0.4m/s的速度沿仰角的方向爬升，30s时到达空中点A处. （1）求此时无人机离地面的高度； （2）在距离点C4.2m的点M处站着一个人，他正抬头仰望无人机，此时无人机是否在此人正上方？请说明理由.（结果精确到0.1m，参考数据：） 20. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是x轴正半轴上的一点，且，求点C的坐标． 21. 2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动漫游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表． 游园线路 人数 国风古韵观赏线 44 世界公园打卡线 x 亲子互动漫游线 48 园艺小清新线 y 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的员工共有__________人，表中x的值为__________； （2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数； （3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数． 22. 在矩形ABCD中，. （1）如图（1），P、Q分别是AB、AD边的中点，以AP、AQ为邻边作矩形APEQ．连接CE．则CE的长为________；（直接填空） （2）在（1）的条件下，如图（2），让矩形APEQ绕着点A逆时针旋转至点E恰好落在AD上，连接CE、DQ，求出CE和DQ的长，并求的值． （3）在（1）的条件下，如图（3），当矩形APEQ绕着点A逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 23. 如图①，已知抛物线与轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点. （1）求抛物线的表达式； （2）设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点，过点作直线，分别交抛物线和于点、、均不与点重合），设点的横坐标为，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘潭市一中2025级高一入学考试 数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 ★祝各位取得满意成绩★ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相反数的定义可得结果. 【详解】3的相反数是. 故选：A. 2. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由积的乘方法则进行计算. 【详解】. 故选：C. 3. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱体 【答案】A 【解析】 【分析】结合三视图的特征求解即可. 【详解】由主视图和左视图可知该几何体为柱体，再由俯视图可知该柱体为三棱柱． 故选：A. 4. 将因式分解，所得结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式即可得到答案. 【详解】. 故选：D 5. 如图，在矩形中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，则的面积为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标，利用矩形性质和线段比例关系表示出的长，通过面积割补法求解. 【详解】设，其中. 因为点在双曲线上，所以，即. 在矩形中，轴，轴， 所以，，. 因为，所以. 因为轴，轴轴，所以轴. 所以点到直线的距离等于点到点的距离，即.    . 因为在轴上，且在原点左侧，在原点右侧， 所以. 所以    .  6. 今年，夕夕一家5个人的年龄分别为（单位：周岁）：6，32，34，55，58与4年前相比，下列说法正确的是（　　） A. 平均数变大，方差变大 B. 平均数变大，方差不变 C. 平均数变小，方差变小 D. 平均数变小，方差不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差计算公式分别计算即可. 【详解】4年前一家五口的岁数分别为2，28，30，51，54， 平均数为， 方差为； 今年一家五口的岁数分别为6，32，34，55，58 平均数为， 方差为； 则平均数变大，方差不变. 故选：B. 7. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐一判断选项，即可得出结果. 【详解】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 选项A，是中心对称图形，故A正确； 选项B，不是中心对称图形，故B错误； 选项C，不是中心对称图形，故C错误； 选项D，不是中心对称图形，故D错误. 故选：A. 8. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论、，结合判别式列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然有实根，符合； 当，则只需，可得且， 综上，. 故选：B 9. 已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设描述的规律总结分析，求第2003个三角形周长. 【详解】由题设，第个三角形的周长是第个三角形的周长的一半，且第1个三角形周长为1， 所以第2003个三角形周长为. 故选：C 10. 如图，已知在平面直角坐标系中，点是坐标原点，是直角三角形，，，点在反比例函数上，若点在反比例函数上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，且两直线垂直，因而将两点坐标设为，，和分别为两直线的倾斜角，且由于垂直，.进而将两点代入两反比例函数，利用三角函数的恒等变换求. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. 因为，所以. 因为，设，，其中. 因为点在反比例函数的图像上，所以，即. 因倾斜角，且，因此. 而倾斜角，且，因此，故. 因为点在反比例函数的图像上，所以，即. 两式相除得，. 由诱导公式得，，. 因此，故. 故选： 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，与均是等边三角形，若，则的度数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据边角边关系证明△ACE≌△BCD，再根据三角形全等的性质得到∠AEC=∠BDC=60°+∠BDE，最后根据三角形的内角和定理，角间的关系可得∠DBE的度数. 【详解】解：如图 ，    ∵在等边△ABC和等边△DCE中， ∠ACB=∠DCE=∠ABC=∠ECD=60°                        又在△ACE与△BCD中，                       ∠ACB=∠ECD⇒∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，                   即∠ACE=∠DCB，而AC=BC， EC=DC                      ∴ △ACE≌△BCD                     则  ∠AEC=∠BDC=60°+∠BDE                ∴ ∠AEB=360°-∠AEC-∠CED-∠BED                   则 360°-∠AEC-∠CED-∠BED=145°，                      360°-(60°+∠BDE)-60°-∠BED=145°，                     360°-120°-(∠BDE +∠BED)=145°，                     360°-120°-(180°-∠DBE)=145°，                    解得，∠DBE=85°即为所求． 故答案为： 85° 12. 如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，，即可根据为的直径时，最大，的值最大求解. 【详解】连接，，， 设， ，是的直径， ， ，，，， ，， ， ， 当为的直径时，最大，的值最大， ， 的最大值， 故答案为：6． 13. 对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法，求得，结合题意得到，即可求解. 【详解】由方程一元二次方程，可得， 因为其中一个一元一次方程是，所以，解得. 故答案为：. 14. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据十字相乘法和提公因式法因式分解即可. 【详解】 . 故答案为：. 15. 已知点是关于x的反比例函数图象上的一点，其中a，b满足，则k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，进一步可得，且，利用二次函数求出值域得解. 【详解】由题，可得，， 又，，化简得，即， 则，且， . 故答案为：. 16. 如图，已知，角的一边与相切于点，另一边交于两点，于，的半径为，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件，利用垂径定理，即可求出，作交于，连接，作于点，利用几何关系求出，即可求解. 【详解】因为的半径为，， 所以. 如图，作交于，连接，作于点， 则，所以为等腰直角三角形， 因为为切线，所以，得到，所以， 由，知，得到， 所以，得到， 故答案为：，. 三、解答题：本题共7小题，共78分． 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中. 【答案】（1）2，（2），1 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可； （2）先进行乘法运算，再去括号化简，最后代入求值. 【详解】（1）原式 （2）, 将代入上式可得. 18. 棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏.喜欢思考的小敏设计了如图所示的3×3的小方格棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一个方格内最多放入一枚棋子.棋盘内现已有四枚棋子，在剩余的1、2、3、4、5方格内继续随机放入棋子，如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”. （1）若小敏随机放入1枚棋子，求出现“三连珠”的概率； （2）若小敏随机放入2枚棋子，请用画树状图或列表法. （ⅰ）求新放入的两枚棋子恰好与原右下角的棋子均相邻的概率； （ⅱ）求新放入两枚棋子后，余下未放棋子方格的编号之和能被3整除的概率. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）图中共有5个空格，其中标号为1，2，5，内下棋子，可以出现“三连珠”即可得到概率； （2）（ⅰ）根据题意画出树状图，与右下角的棋子均相邻的有，再求概率； （ⅱ）根据题意余下三个位置编号之和为3的倍数有，接着求概率即可. 【小问1详解】 共有5个空格，在标号为1，2，5，内下棋子，可以出现“三连珠”； ∴小敏随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是 【小问2详解】 画树状图如图： 由图可知，共有20个等可能的结果， （ⅰ）放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的有共2个结果， ∴放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的概率为， （ⅱ）先讨论位置编号之和，恰为3的倍数，能被3整除， 则余下三个位置编号之和为3的倍数，当且仅当放入两枚棋子的位置编号和为3的倍数， 有，共8个结果， ∴放入的两枚棋子后，余下方格的编号之和能被3整除的概率为. 19. 某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度.如图所示，点A，B，C在同一平面内，操控者站在坡度、坡面长的斜坡底部点C处操控无人机，坡顶点B处的无人机以0.4m/s的速度沿仰角的方向爬升，30s时到达空中点A处. （1）求此时无人机离地面的高度； （2）在距离点C4.2m的点M处站着一个人，他正抬头仰望无人机，此时无人机是否在此人正上方？请说明理由.（结果精确到0.1m，参考数据：） 【答案】（1）10.6m （2）在此人正上方，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点B作于点D，过点A作于点E，AE交FB的延长线于点G，在中，求相关边长即可； （2）根据题意可得，因此无人机在此人正上方， 【小问1详解】 如图，过点B作于点D，过点A作于点E，AE交FB的延长线于点G. ∵，∴，∴，∴ 由题意知，. 在中，，∴， ∴. 故此时无人机离地面的高度是10.6m. 【小问2详解】 在此人正上方，理由如下： 在中，， ∴. 由（1）知，在中，， ∴， ∵，故此时无人机在此人正上方. 20. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是x轴正半轴上的一点，且，求点C的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由的坐标求得反比例函数解析式，进而得出点的坐标，再由的坐标求解一次函数解析式； （2）设点，根据勾股定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 所以反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得， 所以点， 将点的坐标代入一次函数表达式得：，解得， 则一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 设点， 由点的坐标得，， ， ∴，即， 解得：或（舍去），即点． 21. 2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动漫游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表． 游园线路 人数 国风古韵观赏线 44 世界公园打卡线 x 亲子互动漫游线 48 园艺小清新线 y 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的员工共有__________人，表中x的值为__________； （2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数； （3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数． 【答案】（1）160，40 （2） （3）385人 【解析】 【分析】（1）借助图表结合频数与总数的关系计算即可得； （2）借助扇形统计图的性质计算即可得； （3）借助部分即可估计总体. 【小问1详解】 本次调查的员工共有（人）， 表中x的值为; 故答案为：160，40； 【小问2详解】 ， 所以在扇形统计图中，“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 （人）， 所以估计选择“园艺小清新线”的员工人数为385人． 22. 在矩形ABCD中，. （1）如图（1），P、Q分别是AB、AD边的中点，以AP、AQ为邻边作矩形APEQ．连接CE．则CE的长为________；（直接填空） （2）在（1）的条件下，如图（2），让矩形APEQ绕着点A逆时针旋转至点E恰好落在AD上，连接CE、DQ，求出CE和DQ的长，并求的值． （3）在（1）的条件下，如图（3），当矩形APEQ绕着点A逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 【答案】（1）5； （2）、、； （3）不变，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）延长交于，在中求出直角边，再应用勾股定理求斜边即可； （2）过作于，根据已知求得，结合求出CE和DQ的长，即可得比例； （3）连接，根据旋转知，再由相似比得，即可得结论. 【小问1详解】 如图，延长交于，则四边形是矩形， 在中， 所以； 【小问2详解】 如图，过作于，在矩形中， 所以， 在中， 由，则， 所以，则， 所以，则， 所以； 【小问3详解】 不变，理由如下： 连接，根据旋转知， 由勾股定理可得，则， 所以，故，显然没有变化. 23. 如图①，已知抛物线与轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点. （1）求抛物线的表达式； （2）设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点，过点作直线，分别交抛物线和于点、、均不与点重合），设点的横坐标为，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）4 （3）为定值 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与轴的交点坐标求表达式； （2）设，求出直线的表达式为，与抛物线联立，得到，即可求解； （3）联立、得点坐标，求出直线的表达式，联立的表达式得，即，可得为定值． 【小问1详解】 抛物线与轴交于两点、， 则有； 抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，有过、， 则； 【小问2详解】 设点、点，设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，解得：， 则； 【小问3详解】 由（1）知，， 联立、得：，解得：， 则点，又， 则直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 整理得：， 则，即，即， 即为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $