精品解析：湖南株洲市第一中学2025-2026学年新高一上学期入学质量检测数学试卷

株洲市一中2025级新高一入学质量检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试题卷共8页，共30道题，时间为120分钟，满分150分． 一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】根据相反数的定义，的相反数为3. 2. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A中，，不符合题意. 选项B中，，符合题意. 选项C中，与不是同类项，不能合并，无法得到，不符合题意. 选项D中，，不符合题意. ∴ 计算结果等于的是选项B. 3. 下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对A，主视图与侧视图是相同的长方形，俯视图是正方形，三个视图不完全相同； 对B，主视图与侧视图是相同的三角形，俯视图是带圆心的圆，三个视图不完全相同； 对C，主视图与侧视图是相同的矩形，俯视图是圆，三个视图不完全相同； 对D，主视图、侧视图与俯视图是完全相同的圆. 4. 任意掷一枚均匀的小正方体色子，朝上的点数是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子可能出现的结果有个， 其中朝上的点数是偶数有种情况， 故出现朝上的点数是偶数的概率. 5. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限； B. 图象与坐标轴有公共点； C. 图象所在的每一个象限内，随的增大而减小； D. 图象经过点，则. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据反比例函数的图象和性质判断可得. 【详解】因为反比例函数，当时，反比例函数图象位于第一、三象限，当时反比例函数图象位于第二、四象限. 选项A：因为，所以反比例函数图象位于第一、三象限，并非第二、四象限，A错误. 选项B：反比例函数中，图象无限接近坐标轴但永远不会和坐标轴有公共点，B错误. 选项C：当时，在图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，符合反比例函数性质，C正确. 选项D：若点在函数图象上，代入得，整理为， 解得或，并非只有，D错误. 6. 如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，矩形的对角线不一定平分内角，只有当矩形是正方形时，对角线才平分一组对角，故A不正确； 对于B，矩形的对边相等，但邻边不一定相等，只有当矩形是正方形时，邻边才相等（即），故B不正确； 对于C，根据矩形的性质知，矩形的对角线相等，即，故C一定正确； 对于D，矩形的对角线互相平分且相等，但不一定互相垂直.只有当矩形是正方形时，对角线才互相垂直，故D不正确. 7. 将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质求解即可. 【详解】已知该三角板是含角的等腰直角三角板，其锐角为，因此. 8. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中，分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，，则内部的格点个数是（ ） A. 266 B. 270 C. 271 D. 285 【答案】C 【解析】 【分析】先求解的面积，再分别计算三条边上的格点总数得到边界格点，最后代入皮克定理求解内部格点个数. 【详解】∵ 点，，， ∴ 的面积. 首先计算各边格点数量： 边两端点为和，横坐标均为0，纵坐标可取0到30的整数，共31个格点； 边两端点为和，在一次函数的图像上，横坐标可取0到20的整数， 若纵、横坐标均为整数，则需为偶数，可取0，2，4，，20，共11个值，对应11个格点； 边两端点为和，在一次函数的图像上，横坐标可取0到20的整数， 若为整数，则也为整数，可取0,1,2,,20，共21个值，对应21个格点. ∵ 三个顶点、、均被重复计算1次， ∴ 总边界格点. 代入皮克定理， ∴ ，解得. 9. 如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度与注水时间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向水槽匀速注水，即单位时间内注入水的体积一定， 因为底部存在一个较大的圆柱，上面存在一个较小圆柱， 所以底部横截面积最小，水面上升速度最快，然后减慢，没过两个圆柱后再次减慢。 体现在函数关系上就是分为三段直线，倾斜程度依次变小. 10. 如图，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造全等几何图形求出距离，得到坐标. 【详解】 由旋转性质，， 过作轴于，过对应点作轴于. 则. 因为，所以， 得，，即. 11. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于B，因为抛物线与轴的交点位于轴上方，所以，故B错误， 对于A，由题意得可化为， 当时，，则，解得，故A错误， 对于C，当时，可得，故C正确， 对于D，由题意得， 则，，可得，故D错误. 12. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中，分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点分别作，垂足为，由题意结合勾股定理求解即可. 【详解】连接，由题意可知，，，， 过点分别作，垂足为，设点的纵坐标是， 则，， 所以， ， 则，即， 所以，则， 由， 则，即点的纵坐标是. 13. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠可知，利用角度关系推导可知是等腰三角形，进而即可得解. 【详解】因为正方形中，为对角线，所以， 由折叠可知，所以，， 所以是等腰直角三角形， 因为，设，可得，解得， 因为平分，即, 所以，， ， 所以，是等腰三角形， 所以. 14. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长至点，使，连接，连接并延长交于点，连接，即可证明，进而可求得，再利用圆周角定理得到，再运用含角的直角三角形性质即可求解. 【详解】延长至点，使，连接，连接并延长交于点，连接， 因为四边形内接于，所以，所以， 因为，所以，，所以是的直径，， 所以是等腰直角三角形，所以，，因为，所以， 所以，，，所以， 因为 ，所以，所以是等腰直角三角形，， 所以，因为是直径，所以，因为， 所以，，所以，所以. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 15. 计算：_________________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据数的乘方计算即可. 【详解】因为任何非零实数的0次方均为1，故. 故答案为：2 16. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数约为与下列哪项最接近_______.（结果精确到，参考数据，，）. 【答案】 【解析】 【分析】根据得,根据平行线性质可知，通过可求出在尺上的读数. 【详解】 依题知，为等腰直角三角形，则，， 则， 在，，即， 点在尺上的读数约为. 故答案为： 17. 《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是_________尺． 【答案】，， 【解析】 【分析】设竿长尺，根据题意得到高、宽、对角线的表达式，结合勾股定理即可求解. 【详解】设竿长尺，根据题意，高，宽，对角线， 由于高、宽和对角线的长满足勾股定理，即， 所以，解得（舍去）和， 因此门高、宽和对角线的长分别是，，. 18. 若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 由，得， 要使不等式组的解集为，则. 19. 如图，点和在反比例函数（）的图象上，其中．过点作轴于点，则的面积为___________；若的面积为，则___________． 【答案】 ①. ## ②. 2 【解析】 【分析】先代入点坐标求得的值，再过作轴的垂线，利用直角三角形进行割补，将转化为梯形面积即可求解. 【详解】将点代入到得， 由题意得，在中，， 所以， 过点作轴于点，则， 由图象得， 其中，因此， 所以， 令，因为，则，则有，整理得， 解得，即. 20. 铁的密度为，铁块的质量（单位：）与它的体积（单位：）之间的函数关系式为．当时，___________g． 【答案】 【解析】 【分析】利用铁块的质量与体积之间的函数关系式即可求解. 【详解】已知函数关系式为，当时，. 21. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是___________m．（参考数据：） 【答案】51 【解析】 【分析】通过俯角构建直角三角形，利用正切函数求解水平距离和高度差. 【详解】如图所示， 由题意可得，，，，所以四边形是矩形， 所以，设，因为，所以， 在中，，所以，所以， 所以，所以黄鹤楼的高度约为. 22. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若（），则用含的式子表示的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，根据题意得到，利用相似比得到大、小正方形边长的关系式即可求解. 【详解】已知（），则，所以， 如图所示，作于点， 因为，所以，由此可得，所以， 由于是小正方形的对角线，所以， 在直角中，，由可得， 由于，所以， 又因为，所以， 因此小正方形的边长， 大正方形的边长的平方， 所以，， 即. 23. 抛物线（，，是常数，）经过，，三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是___________（填写序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据条件，结合图象，可得及韦达定理，计算即可判断①；利用抛物线的对称性可知点必在顶点左侧，从而判断②；利用求得抛物线对称轴的范围，结合对称性即可判断③；利用条件结合根的判别式推得，利用韦达定理计算即可判断④. 【详解】因抛物线经过点和，且，， 则该抛物线的开口向下，， 由抛物线经过点，，，可得， 且为方程的两根，故（*）. 对于①，由（*）得，故①错误； 对于②，因抛物线经过点，，且， 由对称性可知点必在顶点左侧，则，且抛物线开口向下， 故顶点纵坐标，又，则，故②正确； 对于③，当时，由抛物线经过点，，且， 可得抛物线的对称轴，则点在对称轴右侧，且与对称轴距离小于点到对称轴的距离， 由对称性可知，故③正确； 对于④，因抛物线经过点，则， 又方程有两个相等的实数根，则， 即，由（*）得，因，又，则可得，故④正确. 24. 如图，在中，，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是___________． 【答案】7或9 【解析】 【分析】由题意可知这样的点存在两个，作图，通过等腰三角形的性质和等面积转换法求得点到的距离，通过勾股定理求得三角形边上的高的垂足到的距离，以及垂足到所求两点的距离，即可求得结果. 【详解】由题意可知，这样的点有两个， 如图，为了方便，我们令在线段上靠近点的点为，过点作于， 过点作于点. 则，， 所以，即， 所以， 又因为，所以， ， 所以，所以. 即为7或9. 三、解答题：本题共6小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果；值为 【解析】 【分析】通过因式分解约分将原式化简为，再代入即可求解. 【详解】， 当时，原式的值为． 经验证，，故化简有效. 26. 如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，平分，直接写出的形状． 【答案】（1）证明：，， ，，，． （2）等边三角形 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，由（1），， 平分，，， ，，是等边三角形. 27. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅读的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的___________，___________，文学类书籍对应扇形圆心角等于_______度； （2）若该校有名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1），， （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）先由爱好E类的人数及所占比例可得样本总人数，进而可得的值及所求圆心角度数； （2）直接用样本的频率估计总体的频率，进而可得所求人数； （3）直接根据树状图计算可得. 【小问1详解】 因为爱好E：其他类的人数为，所占的比例为，因此参与调查的总人数为：（人）， 所以，得，， 文学类书籍对应扇形圆心角. 因此，，文学类书籍对应扇形圆心角为. 【小问2详解】 因为样本中最喜欢阅读政史类书籍的学生所占比例为， 因此估计该校中最喜欢阅读政史类书籍的学生所占比例为， 所以该校中最喜欢阅读政史类书籍的学生数为（人）. 因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为人. 【小问3详解】 画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有种， 因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：. 28. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． （1）求，，的值； （2）若是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入可得的值；将代入可得的值；再将点坐标代入反比例函数的解析式，可得的值. （2）数形结合，可得点的纵坐标的取值范围，再根据反比例函数的解析式求点的横坐标的取值范围． 【小问1详解】 把点代入得：，解得， 直线解析式为，把点代入得，解得， 再将点代入得：，解得. 【小问2详解】 ∴反比例函数解析式为， 的面积小于的面积，，即， 因点是的图象在第一象限部分上的点，故，解得. 29. 如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． （1）求证：．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明） （2）求证：． （3）若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据提示证出三角形全等，得到对应角相等，再用“外角定理”给两个角各拼得到目标角相等，等角对等边即可解决问题； （2）目标式可转化为比例式相等，进而想到去证明三角形相似，这里发现是本小问的一个难点； （3）有了（1）（2）小问的铺垫，分别求出分子和分母即可解决问题，分子用第（1）问，分母用第（2）问. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，， ， ， 设，则，， ， ， ， 由（1）得， ， . 【点睛】关键点点睛：第（1）问为第（3）问铺垫出，使分子可求；第（2）问为第（3）问铺垫出，使分母可求，这为我们以后解决“难题”指明了方向，就是将“大问题”切割成若干“小问题”，层层递进，各个击破. 30. 抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交轴于点．若平分线段，求点的坐标； （3）如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式． 【答案】（1），，； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）是抛物线与轴的交点，是抛物线与轴的交点，直接计算求交点即可解决问题； （2）点在抛物线上，可直接设出其“一元坐标”（只含一个未知数），结合可写出直线的解析式，进而写出点的坐标，因为平分，所以的中点在直线上，通过的坐标写出其中点的坐标，代入的解析式即可解决问题； （3）通过对称性写出点的坐标，设出直线的解析式（只含一个待定系数），通过直线和都与抛物线相交可分别联立写出2组韦达定理，结合辅助线构造两个相似三角形即可解决问题. 【小问1详解】 抛物线， 当时，，所以， 当时，，解得， 在的右边，，， 所以点，，的坐标为，，； 【小问2详解】 设直线的解析式为（）， 将，代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为（）， 将，代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 因为，所以可设直线的解析式为， 因为在第三象限的抛物线上，所以可设，（）， 代入的解析式得， ，， 设的中点为，则， 平分线段， 在直线上，代入的解析式得， 解得，（舍去）， 当时，，； 【小问3详解】 如图所示，过点作轴，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，，， ，，即， 点与原点关于点对称，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 可得，即， 联立直线与抛物线解析式， 可得，即， 设，，， 则由韦达定理可得，，，， 因为， 所以， ， ， ， ， 将代入得，，， 直线解析式为． 【点睛】对于本题第（3）问，由于点的坐标可轻松求出，所以求直线的解析式关键在于求出其解析式中的，这是一道经典的直线与抛物线相交的问题，往往需要联立写韦达定理，这是解决此类问题的“必备操作”，需要熟练掌握；本题最精彩的地方在于构造相似三角形巧妙联动之前的韦达定理，没有这一笔，之前的“必备操作”韦达定理就成了“无水之鱼、无木之禽”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市一中2025级新高一入学质量检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试题卷共8页，共30道题，时间为120分钟，满分150分． 一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 任意掷一枚均匀的小正方体色子，朝上的点数是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限； B. 图象与坐标轴有公共点； C. 图象所在的每一个象限内，随的增大而减小； D. 图象经过点，则. 6. 如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 7. 将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 8. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中，分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，，则内部的格点个数是（ ） A. 266 B. 270 C. 271 D. 285 9. 如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度与注水时间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中，分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 14. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 15. 计算：_________________. 16. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数约为与下列哪项最接近_______.（结果精确到，参考数据，，）. 17. 《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是_________尺． 18. 若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为_______． 19. 如图，点和在反比例函数（）的图象上，其中．过点作轴于点，则的面积为___________；若的面积为，则___________． 20. 铁的密度为，铁块的质量（单位：）与它的体积（单位：）之间的函数关系式为．当时，___________g． 21. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是___________m．（参考数据：） 22. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若（），则用含的式子表示的值是___________． 23. 抛物线（，，是常数，）经过，，三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是___________（填写序号）． 24. 如图，在中，，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是___________． 三、解答题：本题共6小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25. 先化简，再求值：，其中． 26. 如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，平分，直接写出的形状． 27. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅读的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的___________，___________，文学类书籍对应扇形圆心角等于_______度； （2）若该校有名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 28. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． （1）求，，的值； （2）若是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点的横坐标的取值范围． 29. 如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． （1）求证：．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明） （2）求证：． （3）若，直接写出的值（用含的式子表示）． 30. 抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交轴于点．若平分线段，求点的坐标； （3）如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $