第十五章 轴对称 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年上学期人教版八年级数学第十五章（轴对称）检测卷，涵盖轴对称图形、等腰/等边三角形、坐标对称等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、对称轴条数、坐标对称|结合图标情境（题1），辨析轴对称与中心对称（题3），体现数学眼光观察现实世界| |填空题|5/15|等腰三角形外角、逆命题、垂直平分线性质|融入最短路径（题14）、动点直角三角形（题15），发展空间观念| |解答题|8/75|等腰三角形证明、坐标对称作图、等边三角形动态问题|设计分层探究（题23三问），从基础证明到角度不变性分析，培养推理能力与创新意识，贴合中考命题趋势|

2026-2027学年上学期人教版八年级数学第十五章检测卷（原卷+详解） 姓名    班级    分数       1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）. 1.如图，四个图标中是轴对称图形的是. A. B. C. D. 2.如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有. A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 3.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是. A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 4.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是. A. B. C. D. 5.若点与点关于轴对称，则的值是. A. B. C. D. 6.如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是. A. B. C. D. 7.如图，在中，，，，，则的长为. A. B. C. D. 8.下列三角形：有两个角等于的三角形；有一个角等于的等腰三角形；三个角都相等的三角形；三边都相等的三角形．其中等边三角形是. A. B. C. D. 9.如图，在等边三角形中，是边上任意一点，过点作于点，交于点，则的度数为. A. B. C. D. 10.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是. A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）. 11.已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为       ． 12.命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为              ． 13.如图，中，，，是边上的垂直平分线，的周长为，则的面积是       ． 14.如图，中，，，，于点，垂直平分，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为          ． 15.如图，是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为，则当        时，为直角三角形． 三、解答题：本题共8小题，共75分. 16.本小题分如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，求证：． 17.本小题分如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． 求证：是等腰三角形； 若的周长是，，求的长． 18.本小题分如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． 在图中画出关于轴对称的图形； 若点与点关于一条直线成轴对称，请在图中画出这条对称轴； 在轴上找一点，使最小，则点的坐标为          ． 19.本小题分如图，在中，是的中点，于，于，． 求证：平分； 连接，求证：垂直平分． 20.本小题分如图，已知，，和相交于点． 求证：≌； 判断的形状，并说明理由． 21.本小题分阅读：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等，简称为“等边对等角”． 例如，在中，如果，依据“等边对等角”可得． 请运用上述知识，解决问题： 已知：如图，中，于，是三角形的角平分线，交于． 若，求的度数． 若，试判断的形状，并写出证明过程． 22.本小题分如图，是等边三角形，是中线，延长至，使． 求证：； 过点作垂直，垂足为，若，求的周长． 23.本小题分如图，点、分别是等边边、上的动点端点除外，点、点以相同的速度，同时从点、点出发． 如图，连接、求证：； 如图，当点、分别在、边上运动时，、相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； 如图，当点、在、的延长线上运动时，直线、相交于，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选． 根据轴对称图形的概念解答． 本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.【答案】  【解析】解：如图， 因为该图形是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形， 所以此图形的对称轴有条． 故选． 根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数． 本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 3.【答案】  【解析】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】 解： A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确． 故选． 4.【答案】  【解析】 此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横、纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于轴对称点的性质进而得出答案． 【解答】 解：点关于轴对称的点是：． 故选A． 5.【答案】  【解析】 本题主要考查关于、轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出、的值，代入计算可得． 【解答】 解：点与点关于轴对称， 、， 解得：、， 所以， 故选． 6.【答案】  【解析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大． 首先利用等腰三角形的性质证得，然后根据题意得，即是等腰三角形，根据等腰三角形的性质证得，易证得，即可求解． 【解答】 解：， ， 以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点， ， ， ， ． 故选． 7.【答案】  【解析】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选． 根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键． 8.【答案】  本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 直接根据等边三角形的判定方法进行判断． 【解答】 解：有两个角等于的三角形是等边三角形； 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 三边都相等的三角形是等边三角形； 其中等边三角形是， 故选． 9.【答案】  【解析】解：是正三角形， ， ，， ， ， ， 故选B． 10.【答案】  【解析】 此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 【解答】有两种情况； 如图： 当是锐角三角形时，于，  则  因为，  所以； 如图： 当是钝角三角形时，于， 则． 因为，  所以，  所以，  综合得：等腰三角形的顶角是或   故选B． 11.【答案】或  【解析】解：等腰三角形的一个外角为， 与此外角相邻的内角为， 当为顶角时，其他两角都为、， 当为底角时，其他两角为、， 所以等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论． 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理． 12.【答案】如果，互为相反数，那么  【解析】 本题考查的是互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键． 根据互逆命题的定义写出逆命题即可． 【解答】 解：命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为： 如果，互为相反数，那么； 故答案为：如果，互为相反数，那么． 13.【答案】  【解析】 本题考查了三角形的面积和线段垂直平分线的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得出，求出，求出的长，代入三角形面积公式求出即可． 【解答】 解：是边上的垂直平分线， ． 的周长为， ， ， ． ， ． ， 的面积是 故答案为． 14.【答案】  【解析】解：，，，于点， ， ， 垂直平分， 点，关于直线对称， 与的交点即为点， 如图，连接，此时， ，的长度即为的最小值， 即的最小值为， 故答案为． 根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点，关于对称，于是得到的长度的最小值，即可得到结论． 本题考查了轴对称最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 15.【答案】或  【解析】 本题考查了等边三角形的性质的运用，角的直角三角形的性质的运用，利用分类讨论是解题的关键． 先分别表示出，的值，当和分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论． 【解答】 解：是等边三角形， ，， 当时，， ． ，， ， 解得； 当时，， ， ， 解得； 即当或秒时，是直角三角形． 故答案为或． 16.【答案】解：平分， ， ，， ， ， ， ， ．  【解析】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义和余角的性质证得，然后证明即可得到结论． 17.【答案】证明：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 解：的周长是， ， ， ， ， ， ， ，  【解析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用线段的垂直平分线性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形外角的性质可得，最后根据等角对等边即可解答； 根据已知和的结论易得，从而可得． 本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 18.【答案】【小题】 解：如图，即为所求． 【小题】 点与点关于直线成轴对称． 如图，直线即为所求． 【小题】 【解析】 根据轴对称的性质作图即可．  根据轴对称的性质可知，点与点关于直线成轴对称，直接画图即可．  连接，交轴于点，连接，此时最小，则点即为所求，即可得出答案． 如图，连接，交轴于点，连接， 此时最小， 则点的坐标为． 故答案为：． 19. 【答案】解：是的中点， ， 又，，， ≌， ， 点在的角平分线上， 平分； ≌， ， ， ， ， ， ， 垂直平分．  20. 20.【答案】证明：在与中， ≌； 是等腰三角形， 理由如下： ≌， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形．  【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键． 由“”可证≌； 由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可求，可得，即可得结论． 21.【答案】解：， ， ，平分， ， ， ； ， ， ，， ，， ， 是直角三角形．  【解析】根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出即可解决问题；  根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22.【答案】解：证明：如图， 是等边三角形，是中线 等边三角形三线合一       又 等角对等边  如图，，由知， 垂直平分 的周长．  【解析】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键． 根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． 由的长可求出，进而可求出的长，则的周长即可求出． 23.【答案】解：证明：如图，是等边三角形， ，， 又点、运动速度相同，同时从点、点出发， ， 在与中， ； 点、在、边上运动的过程中，不变． 理由：， ， 是的外角， ， ， ； 如图，点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变， 理由：同理可得，， ， 是的外角， ， ， 即点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为．  【解析】点拨 根据等边三角形的性质，利用证明即可； 先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到； 先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到． 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $