专题23 解直角三角形及其应用（3年汇编）（全国通用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦解直角三角形及其应用，精选2024-2026年江苏、广东等多地中考真题，覆盖8大核心考点，基础与实际应用结合紧密。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|2-4分|含正弦、余弦、正切值计算，特殊角三角函数，解直角三角形|网格、圆、四边形等几何背景，侧重定义理解与基础运算| |解答题|6-9分|仰角俯角（如无人机测塔高）、方位角（航海问题）、坡度坡比（斜坡设计）|情境真实，结合科技（无人机）、文化（赵爽弦图），需构造直角三角形建模|

专题23解直角三角形及其应用 考点分类 三年考情（20242026） 命题规律 考点01求一个角的正弦值 2026江苏南京卷、2026浙江杭州卷2025山东济南卷、2025湖北武汉卷2024福建福州卷 以选择题、填空题考查为主，分值23分。常在直角三角形或者网格背景下，利用对边比斜边求正弦值；重点考查三角函数定义识别，整体难度偏低，常作为基础小题出现。 考点02求一个角的余弦值 2026广东广州卷、2026四川成都卷2025安徽合肥卷、2025湖南长沙卷2024河北石家庄卷 多为选择、填空题，分值23分。依托直角三角形，利用邻边比斜边进行计算；网格题型高频，注意区分邻边与对边，侧重定义理解，难度简单。 考点03求一个角的正切值 2026河南郑州卷、2026陕西西安卷2025江西南昌卷、2025云南昆明卷2024黑龙江哈尔滨卷 选择、填空高频考题，分值24分。利用对边比邻边求解，网格题出现频率高；常与勾股定理结合先求边长，再计算三角函数值，属于本模块基础中档考点。 考点04特殊三角函数的计算题 2026山东青岛卷、2026广西南宁卷2025江苏苏州卷、2025贵州贵阳卷2024辽宁沈阳卷 选择、填空、解答第一小问均会出现，分值34分。以30°、45°、60°三角函数值为核心，常结合实数混合运算；重点考查特殊角函数值记忆，运算为主，难度偏低。 考点05解直角三角形的相关计算 2026宁夏银川卷、2026甘肃兰州卷2025内蒙古呼和浩特卷、2025海南海口卷2024山西太原卷 选择、填空、解答小问，分值35分。已知边、角条件求解直角三角形其余边与角；常结合勾股定理、两锐角互余综合计算，是实际应用题的理论基础，中档难度。 考点06实际应用之仰角俯角问题 2026上海卷、2026吉林长春卷2025新疆乌鲁木齐卷、2025天津卷2024青海西宁卷 大多以解答题形式考查，部分地区为填空题，分值68分。命题采用情境化设计，测量建筑物高度、观测物体等素材频繁出现；把仰角、俯角转化为直角三角形内角，侧重数学建模，属于高频中档大题。 考点07实际应用之方位角问题 2026湖北宜昌卷、2026广东深圳卷2025四川绵阳卷、2025辽宁大连卷2024河南洛阳卷 解答题为主，分值69分。航海、巡逻航行等情境较多，需要把方位角转化为直角三角形内角，常需要作垂线构造直角三角形；部分题目涉及双直角三角形，综合性较强。 考点08实际应用之坡度坡比问题 2026江苏无锡卷、2026湖南长沙卷2025山东济南卷、2025海南海口卷2024辽宁沈阳卷 解答题高频，分值68分。以斜坡、堤坝、山路为命题素材，理解坡度、坡比的含义，将坡度转化为锐角正切值；常搭配双直角三角形模型，计算线段长度，设问梯度清晰。 考点01 求一个角的正弦值 1．（2025·广西·中考真题）（选择题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选：B 2．（2025·广东深圳·中考真题）（选择题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选：D 3．（2025·四川广元·中考真题）（选择题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 4．（2025·江苏常州·中考真题）（选择题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2025·云南·中考真题）（选择题）如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键． 直接由正弦的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， 故选：D． 6．（2024·江苏扬州·中考真题）（填空题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____． 【答案】 【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果． 【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B， ∴点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹． 考点02 求一个角的余弦值 1．（2026·山东德州·中考真题）（选择题）如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，用等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， 在中， ． 2．（2024·四川眉山·中考真题）（选择题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，可求得，，从而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：A． 3．（2024·四川雅安·中考真题）（填空题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可． 【详解】解：∵折叠， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 4．（2024·上海·中考真题）（填空题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________． 【答案】或/或 【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 【详解】解：当在之间时，作下图， 根据，不妨设， 由翻折的性质知：， 沿直线翻折至所在直线， ， 。 ， 过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图， 根据，不妨设， 同理知：， 过作的垂线交于， ， ， 故答案为：或． 考点03 求一个角的正切值 1．（2026·陕西·中考真题）（选择题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 2．（2026·福建·中考真题）（选择题）如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点D．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质得出，再由直角三角形斜边中线的性质确定，利用圆周角定理得出，得出，再由正切函数即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵ 是 的切线， ∴， ∵， ∴点D为的中点， ∴， ∵ 是 的直径， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）（选择题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 4．（2025·青海西宁·中考真题）（选择题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 5．（2025·广东·中考真题）（选择题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 6．（2024·山东淄博·中考真题）（选择题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．（2024·四川达州·中考真题）（选择题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上， 依题意，， ∴ ∴ 又， ∴ ∴ 故选：B． 8．（2026·上海·中考真题）（填空题）在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 9．（2025·江苏无锡·中考真题）（填空题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 10．（2025·山东威海·中考真题）（填空题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025·江苏苏州·中考真题）（填空题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 考点04 特殊三角函数的计算题 1．（2026·北京·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 2．（2026·广东·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．（2026·四川广元·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、特殊角的三角函数值并化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（2026·湖南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】分别计算出算式中每一项的结果，再进行加法运算即可得到最终答案． 【详解】解： ． 6．（2026·云南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】分别计算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质，再进行加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 7．（2026·四川凉山·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】原式先分别计算乘方、特殊角三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再合并同类项得到最终结果． 【详解】解： ． 8．（2026·四川达州·中考真题）计算． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，用到特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、算术平方根、绝对值的相关知识，分别计算各项后再合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 9．（2026·四川泸州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先利用特殊锐角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质分别化简每一项，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 10．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 考点05 解直角三角形的相关计算 1．（2025·江苏南通·中考真题）（选择题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 2．（2026·云南·中考真题）（选择题）在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正切定义求出直角边的长度，再利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解： 中，，，， ， 由勾股定理得， 故选：C． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）（选择题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2026·浙江·中考真题）（填空题）如图，，，、分别是、的中点，、分别为、上任意点，当关于对称的线段垂直时，___________． 【答案】 【分析】作出相应辅助线，利用三角形中位线定理得到与、的关系，再利用对称轴的性质得到角度关系，从而求出． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点，连接，， 由和关于对称可得，、、三点共线． ， ，为等腰三角形， 为的中点，， ，， 在中，， 、分别是、的中点， ∴为的中位线， ，， ， 线段垂直， ， 根据轴对称可得， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 5．（2026·广西·中考真题）（填空题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据可求得，进而可求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：在正方形中，， ，， ，即， ， ， 中，． 6．（2026·四川成都·中考真题）（填空题）如图，在中，，为的一条中线，为上一点，．若，则_____． 【答案】 【分析】设，则，勾股定理求得，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得，根据，得出，求得，进而求得的长． 【详解】解：∵为的一条中线， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴ 过点作于点， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ 7．（2025·山东淄博·中考真题）（填空题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质；过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，即可得到为平行四边形，进而得到，然后根据正切的定义得到，，利用勾股定理求出，然后根据求出的长解答即可． 【详解】解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H， 则，， ∵是矩形， ∴，，，， ∴为平行四边形， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·江苏常州·中考真题）（填空题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 9．（2025·广东广州·中考真题）（填空题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点，    ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 10．（2025·甘肃兰州·中考真题）（填空题）如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 【答案】4 【分析】根据菱形的性质，得，又结合，，得出是等边三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的长． 【详解】解：连接，， ，， 垂直平分， ， 菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键． 考点06 实际应用之仰角俯角问题 1．（2026·湖北武汉·中考真题）（填空题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）（填空题）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是_________m．（取） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点左于点，由题意得，，，，先解，再解，最后由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·辽宁·中考真题）（填空题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________（结果精确到．参考数据：，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 4．（2026·四川巴中·中考真题）（解答题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 5．（2026·四川甘孜·中考真题）（解答题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 【答案】744米 【分析】由已知条件在和中可求出长度，相加即可解决问题． 【详解】解：在中，（米）， 在中，（米）， 由题意可知，四边形为矩形， ∴米， ∴（米） 答：山高为744米． 6．（2026·四川宜宾·中考真题）（解答题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． (1)求的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】分别解，，求出，进而根据解答即可求解； 设的圆心为，连接，根据题意可得，设的半径为米，则米，在中根据勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：如图，设的圆心为，连接， ∵圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米， ∴米， ∵点是的中点， ∴米，， 设的半径为米，则米， 在中，， ∴， 解得， 答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为米． 7．（2026·四川内江·中考真题）（解答题）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】设，解直角三角形得到，根据建立方程求出x的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴； 在中，， ∴； 在中，， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， 答：孔子雕像的高度为． 8．（2026·天津·中考真题）（解答题）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑 的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， ， ， 在同一平面内，，， 的延长线与水平线相交于点．从地面 处沿步道（看作斜坡）前行，至平台，；在平台 处测得纪念碑顶部的仰角为，斜坡的倾斜角（）为；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 【答案】引滦入津工程纪念碑的高度约为． 【分析】分别在中，得出，在中，得出，再根据，列式求出，过点C作，垂足为H，在中，利用，求出，再利用四边形是矩形，结合，即可求解． 【详解】解：根据题意，有， 在中，，， 得， 在中，，， 得， ∵， ∴， ∴， 如图，过点C作，垂足为H， 在中，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即引滦入津工程纪念碑的高度约为． 9．（2026·四川眉山·中考真题）（解答题）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥的长度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，） 【答案】桥的长度约为米 【分析】过点作于点M，过点B作于点，则米，，然后分别解，求出，再由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点M，过点B作于点，则米，， 由题意得， 在中，，即 ∴（米）， 在中，，即 ∴（米） ∵米， ∴（米） 答：桥的长度约为米． 10．（2026·甘肃天水·中考真题）（解答题）如图，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图，设观测点到塔的水平距离为（点，，在同一条直线上），，在点分别测得塔顶的仰角、塔底的仰角，查阅资料可知塔的高度米．根据以上信息，请你求出观测点到塔的水平距离．（结果精确到米） 参考数据：，，，，，． 【答案】观测点到塔的水平距离约是米 【分析】设米，在中，由正切定义得；在中，．根据塔高米列方程，求解即可． 【详解】解：设米， 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 答：观测点到塔的水平距离约是米． 考点07 实际应用之方位角问题 1．（2026·新疆·中考真题）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 【答案】海里/时 【分析】根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出，，，的长度，最后根据勾股定理即可求出长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度． 【详解】解：过点的正北方向作于点，交于点，过点作于点，设的正北方向上一点，如图所示， ，， ． ，， 海里，海里， 在中，，， 海里，海里． ，， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 海里， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 在中，海里． 海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同， 小时， 海里， 海里/时． 乙船的航行速度大约是海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在于利用方向构建直角三角形． 2．（2026·安徽·中考真题）湖中有两个小岛，分别用点，表示，在的北偏东方向上．为了测量，间的距离，综合实践小组在观测点处测得在的正北方向，沿着北偏东方向行走至另一观测点，测得在的正西方向，在的北偏西方向上，平面示意图如图所示．已知，间的距离为，求，间的距离（精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】，间的距离约为 【分析】由题意可得，结合三角形的内角和定理可得，解可得的长，解可得的长． 【详解】解：由题意可得，，，， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ，间的距离约为． 3．（2026·四川泸州·中考真题）如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍． (1)求该轮船的航行速度； (2)求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】(1)该轮船的航行速度为 (2)点，间的距离为. 【分析】（1）易得为顶角为120度的等腰三角形，为直角三角形，作，三线合一结合勾股定理求出的长，勾股定理求出的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可； （2）作于点，设，则，分别解和，即可. 【详解】（1）解：由题意，得 ∴， ∵上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处， ∴ 作于点， 则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 故该轮船的航行速度为； 答：该轮船的航行速度为； （2）解：作于点， ∵点到的距离是到的距离的2倍， ∴设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 故点，间的距离为. 4．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设 ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 6．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数即可求解； （2）在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 答：岛与港口之间的距离为； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 8．（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长； （2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，由题意得，，解得到千米，千米，则千米，设千米，则千米，千米，解得到千米，千米，则千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：的长度约为千米； （2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∴千米， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， 千米， ∴千米， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（此时大于的长，舍去）， ∴千米， 答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 9．（2024·江苏南京·中考真题）如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．） 【答案】港口到航线的距离约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题．设交航线于点，过点作于点，过点作于点，由锐角三角函数定义求出、的长，设，再由锐角三角函数定义求出，则，然后由锐角三角函数定义列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设交航线于点，过点作于点，过点作于点， 则， 由题意知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 答：港口到航线的距离约为． 10．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 考点08 实际应用之坡度坡比问题 1．（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 【答案】一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 【分析】根据正弦函数的定义计算，求出，与比较，结合题意即可得出结论． 【详解】略 3．（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由题意得，米，，，然后根据求解即可； （2）作于点Q，则四边形是矩形，根据斜面的坡度，求出米即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，米，，， ∵， ∴（米）； （2）解：如图，作于点Q，则四边形是矩形， ∴，米， ∵斜面的坡度， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴米． 4．（2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 【答案】米 【分析】通过构造直角三角形，分别求出、，利用分段垂直高度累加法，由即可求解． 【详解】解：过点作于，过点作于，交于点． 由题意可得：， ∴， ∴四边形为矩形，故， 在中，米，， （米） ∴米． 在中，米，， （米） 小山高度（米）． 答：这座小山的高度米． 5．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 【答案】(1)10米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 7．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)电线塔的高度． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题23解直角三角形及其应用 3年考情·探规律 考点分类 三年考情（2024-2026) 命题规律 2026江苏南京卷、2026浙江 以选择题、填空题考查为主，分值23分。常在直角 考点01求一个 杭州卷2025山东济南卷、 三角形或者网格背景下，利用对边比斜边求正弦值： 角的正弦值 2025湖北武汉卷2024福建福 重点考查三角函数定义识别，整体难度偏低，常作为 州卷 基础小题出现。 2026广东广州卷、2026四川 多为选择、填空题，分值2-3分。依托直角三角形， 考点02求一个 成都卷2025安徽合肥卷、 利用邻边比斜边进行计算；网格题型高频，注意区分 角的余弦值 2025湖南长沙卷2024河北石 邻边与对边，侧重定义理解，难度简单。 家庄卷 2026河南郑州卷、2026陕西 选择、填空高频考题，分值2-4分。利用对边比邻边 考点03求一个 西安卷2025江西南昌卷、 2025云南昆明卷2024黑龙江 求解，网格题出现频率高：常与勾股定理结合先求边 角的正切值 长，再计算三角函数值，属于本模块基础中档考点。 哈尔滨卷 2026山东青岛卷、2026广西 选择、填空、解答第一小问均会出现，分值3-4分。 考点04特殊三 南宁卷2025江苏苏州卷、 以30°、45°、60°三角函数值为核心，常结合实数混 角函数的计算 2025贵州贵阳卷2024辽宁沈 合运算；重点考查特殊角函数值记忆，运算为主，难 题 阳卷 度偏低。 2026宁夏银川卷、2026甘肃 选择、填空、解答小问，分值3-5分。已知边、角条 考点05解直角 兰州卷2025内蒙古呼和浩特 件求解直角三角形其余边与角；常结合勾股定理、两 三角形的相关 卷、2025海南海口卷2024山 锐角互余综合计算，是实际应用题的理论基础，中档 计算 西太原卷 难度。 考点06实际应 大多以解答题形式考查，部分地区为填空题，分值6 2026上海卷、2026吉林长春 用之仰角俯角 8分。命题采用情境化设计，测量建筑物高度、观测 卷2025新疆乌鲁木齐卷、 问题 物体等素材频繁出现；把仰角、俯角转化为直角三角 1/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点分类 三年考情(2024-2026) 命题规律 2025天津卷2024青海西宁卷 形内角，侧重数学建模，属于高频中档大题。 2026湖北宜昌卷、2026广东 解答题为主，分值6-9分。航海、巡逻航行等情境较 考点07实际应 深圳卷2025四川绵阳卷、 多，需要把方位角转化为直角三角形内角，常需要作 用之方位角问 2025辽宁大连卷2024河南洛 垂线构造直角三角形；部分题目涉及双直角三角形， 题 阳卷 综合性较强。 2026江苏无锡卷、2026湖南 解答题高频，分值6-8分。以斜坡、是坝、山路为命 考点08实际应 长沙卷2025山东济南卷、 题素材，理解坡度、坡比的含义，将坡度转化为锐角 用之坡度坡比 2025海南海口卷2024辽宁沈 正切值；常搭配双直角三角形模型，计算线段长度， 问题 阳卷 设问梯度清晰。 3年真题·精准练 考点01求一个角的正弦值 1.(2025广西中考真题)（选择题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7,AC=3,则sinB= () 7 B. 3 A.10 7 c. D. 7 2.(2025广东深圳·中考真题)（选择题）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为 30米，则sinA的值为() A B A.22 3 B.3 D 3.(2025四川广元中考真题)（选择题）如图，CD是⊙O的弦，过圆心O作OA⊥CD于点H,交 ⊙O于点A,OH:HA=3:2,点M是CBD上异于C,D的一点，连接CM,DM,则sin∠CMD的值是 () 2/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B. 4-5 c.3 D.3 4 4.(2025江苏常州中考真题) (选择题)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,则 sinB的值是() A B n 5.(2025云南中考真题)（选择题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13,BC=5,则 sinA=() c D.13 6. (2024江苏扬州中考真题)（填空题）如图，己知两条平行线l1、2,点A是l1上的定点，AB⊥12于 点B,点C、D分别是l1、2上的动点，且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H, 则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为 H B 3/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02求一个角的余弦值 1.(2026山东德州中考真题)（选择题）如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,则C0sB的值为 () B B c D 2.(2024四川眉山中考真题)（选择题）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E在DC上，把 △ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cOs∠CEF的值为() E B A. 87 B. 7 4 3 C.3 4 D. 4 3.(2024四川雅安.中考真题)（填空题）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E 处，BE与AD交于点F,若AB=6,BC=8,则COs∠ABF的值是. E 4.(2024上海·中考真题)（填空题）在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至 AB所在直线，对应点分别为C,D,若AC:AB:BC=1:3:7,则cos∠ABC= 国岛考点3求一个角的正切值 4/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(2026陕西·中考真题)（选择题）如图，正方形ABCD和正方形CEFG,点E在BC的延长线上.若 CE=2BC,则tan∠AFC的值为() G A.2 B 5 C. 5 D.25 2.(2026福建中考真题)（选择题）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于 点D.若AD=CD,则tanA的值是() V2 C.2 2 B.1 D.2 3.(2025四川绵阳.中考真题)（选择题）如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD 的中点，连接EF并延长交AD于点G,连接BF,BG,AB=4CE=4,则tn∠FBG=() B 4. 5 B.} c.26 5 D.2 4.(2025青海西宁.中考真题)（选择题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正 方形ABCD和小正方形EFGH,连接BD交CH于点P.若BP=BC,则tan∠CBG的值是() 5/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H E G B A.V2-1 B.2-V2 C. 2 D.22 3 5.(2025广东·中考真题)（选择题）如图，在矩形ABCD中，E,F是BC边上的三等分点，连接DE, AF相交于点G,连接CG.若AB=8,BC=12,则tan∠GCF的值是() E 4.00 c310 10 10 D 6.(2024山东淄博中考真题)（选择题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB,点M,N分别在边 BC,AD上.连接MN,将四边形CMND沿MN翻折，点C,D分别落在点A,E处.则tan∠AMN的 值是() E A.2 B.2 c.3 D.V5 7.(2024四川达州中考真题)（选择题)如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均 为2，∠ABD=120°，其中点A,B,C都在格点上，则tan∠BCD的值为() 6/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.2/3 c D.3 8.(2026上海·中考真题)（填空题）在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=6,则tanB的值为 9.(2025江苏无锡·中考真题)（填空题）如图，AB与⊙O相切于点B,连接BO,过点O作BO的垂线 OC,交⊙O于点C,连接AC,交线段OB于点D.若AB=3,OC=2,则tanA的值为 B 10.(2025-山东威海中考真慰)（填空题）如图，点A在反比例函数y=4的图象上，点B在反比例函数 y=-2的图象上，连接0A,OB,AB.若A01BO,则an∠BAO= y 2 B y=- 4 y= 11.(2025江苏苏州.中考真题)（填空题）如图，∠MON=60°，以0为圆心，2为半径画弧，分别交 OM,ON于A,B两点，再分别以A,B为圆心，6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C, 作射线OC,连接AC,BC,则tan∠BCO= (结果保留根号) M 米C BI N 7/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04特殊三角函数的计算题 1.(2026北京中考真题)计算：-3-/18+m-5P+6sin45 2.(2026广东中考真题)计算：(-1°+-3-9-sin30°+ 3.(2026四川广元中考真题)计算：/9-2c0s30+1-3 4.（2026四川宜宾.中考真题)计算： ()e4-(RV2+1°+tan45o ②)1+1.-1 x+1x-1 X 5.(2026湖南中考真题)计算：2sin30+-3+2· 6（2026云南中考真题)计第：上2-2sin45+月+1-n-7 2026四训家中考宾题》计第：1+1-2sn45叶-2+1+ 8.(2026四川达州：中考真题)计算2sin30°-2026-π°+只4+-1 9（2026四州萨州中考真圈)计第：4sn30+314+(+92-引 10。（225江苏缸中考真》计第：2cos60-1-5+日 考点05解直角三角形的相关计算 1.(2025江苏南通.中考真题)（选择盟）在△ABC中，∠C=90°，amA=2AC=285,则BC的长 8/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为() A.1 B.2 c.5 D.5 2.(2026云南中考直题）（选择题）在R1△ABC中，∠C=90、若BC=2,anB-6 ,则AB= () 3 3 B. C.5 D. 3.(2024江苏无锡.中考真题)（选择题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则 sin∠EBC的值为() D 4. 7 B.5 V21 C.14 D. 5V7 5 14 4. (2026浙江·中考真题)（填空题）如图，∠BAC=∠ABC=30°，AB=4V6,D、E分别是AB、 AC的中点，Q、P分别为BC、DE上任意点，当BD关于QP对称的线段BD垂直BC时，QP= D D B B 5.(2026广西中考真题)（填空题）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE,BE.若 AB=4,an∠DAE=子：则BE 9/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B C 6.(2026四川成都中考真题)（填空题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD为△ABC的一条中 线，E为AC上一点，∠ADE=∠B.若AE=5,CE=2,则AB= B 7.(2025山东淄博.中考真题)（填空题）已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,P是边CD的中点，E是 边AD上的动点，线段EF分别与BC,AP相交于点F,Q.若∠FQP=45°，则EF的长为， D 45 B 8.2025江苏带州，中考真题)（填空题）如图，在△ABC中，anC=专D是边BC上一点，将 △ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F,若CF=5,EF=2,则AC=一 A 9.(2025广东广州.中考真题)（填空题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB,已 知c0s∠CAD号，AB=26,则店B到AD的距离为 10/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2025·甘肃兰州·中考真题)（填空题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC,垂足为E,交BD于点 F,BE=CE.若AB=43,则AF= 考点06实际应用之仰角俯角问题 1.(2026湖北武汉.中考真题)（填空题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市 地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔AB的高度.具体过程如下：如图2， 将无人机上升至距水平地面100m的C处，测得龟山电视塔顶端A的仰角为50.5°，底端B的俯角为45°， 则龟山电视塔的高度约是 m(结果取整数，参考数据：sin50.5°0.772，cos50.5°≈0.636， tan50.5°≈1.213). 5》9 :100m 地面 图1 图2 2.(2025湖北武汉，中考真题)（填空题）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A,B的距离，具体 过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°， 则A,B之间的距离是 m.(tan22°取0.4) 11/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22945° 水面B 3.(2025辽宁.中考真题)（填空题）如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C,在C处测 得∠ACB=51°，BC=6m,则树AB的高约为 m（结果精确到0.1m.参考数据： sin51°0.78，cos51°0.63，tan51°≈1.23). B 4.（2026四川巴中.中考真题)（解答题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联 皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行.一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地 面15m的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°（点M C、B、A在一条直线上).已知河堤斜坡NC的长为12m,坡比为1：3（计算结果保留整数）.（参考 数据：sin42.3°≈0.67，cos42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91，sin52.4°≈0.79，cos52.4°≈0.61， tan52.4°≈1.30) N 河堤 一河面 M CBA (1)求无人机距河面的高度PM; (2)求两艘皮划艇之间的距离AB, 5.(2026四川甘孜中考真题)（解答题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理 是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度.某数学兴趣小组测 量一座山的高度，在山脚A处测得山腰B处的仰角为53°，A,B间的距离为400米，在山腰B处测得山顶 C处的仰角为45°，B,C间的距离为600米.求山高CD.(参考数据：sin53°≈ 5,C0s53≈3 V2≈1.414.计算结果取整数.) 12/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 45o 53 A F D 6.(2026四川宜宾中考真题)（解答题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽.某校九年级学习小组带着 皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图1），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有5 根柱子，每两根柱子之间的距离为4米（如图2），组长站在最中间柱子EC正下方，背对车站向正前方走 了20米到达F点，转身测得D、E两点的仰角分别是50.3°和58°（不计测角仪的高度）（如图3）. E 图1 图2 图3 (I)求DE的长： (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径. (结果保留整数.参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin50.3°≈0.77， cos50.3°≈0.64，tan50.3°≈1.20.) 7.(2026四川内江中考真题)（解答题）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲），某数学 实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度.如图乙，测量人员在雕像前的C处，测得雕像顶 端A的仰角为45°，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点D处，测得雕像顶端A的仰角为60°，雕像 底端B与观测点D、C在同一条水平直线上，且AB⊥BC,求孔子雕像的高度AB.(结果保留根号) 6045 B D 甲 ) 8.(2026天津.中考真题)（解答题）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB的高 度（如图①）· 13/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B,C,D,E在同一平面内，AB⊥BC, BC‖DE,AB的延长线与水平线DE相交于点O.从地面C处沿步道CD(看作斜坡)前行，至平台 DE,CD=22m;在平台D处测得纪念碑顶部A的仰角∠ODA为42°，斜坡CD的倾斜角（∠ODC) 为12°；在平台E处测得纪念碑顶部A的仰角∠OEA为35°，DE=9m.根据该学习小组测得的数据， 求引滦入津工程纪念碑AB的高度（结果取整数），参考数据：tan35°≈0.7，tan42°≈0.9， sin12°≈0.2. B D E 图① 图② 9.(2026四川眉山·中考真题)（解答题）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷.如 图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥AB 为确定跨湖桥AB的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处 的俯角为60°；从点C处沿AB方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为42°，求桥AB 的长度（结果精确到1米）.（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，V3≈1.73） <609 42D 阅览室A -- B 篮球场 10.(2026甘肃天水.中考真题)（解答题）如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高 测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者 巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算.某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处 观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法 直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点 A到塔CD的水平距离为AB(点B,C,D在同一条直线上)，CD⊥AB,在点A分别测得塔顶C的仰角 ∠CAB=16.73°、塔底D的仰角∠DAB=14.01°，查阅资料可知塔的高度CD=17米.根据以上信息， 请你求出观测点A到塔CD的水平距离AB.(结果精确到1米) 参考数据：sin14.01°≈0.24，cos14.01°≈0.97，tan14.01°≈0.25，sin16.73°≈0.29， 14/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c0s16.73°≈0.96，tan16.73°≈0.30. 有 B 图1 图2 考点07实际应用之方位角问题 1.(2026新疆.中考真题)如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送 货物.已知港口A位于港口B北偏西18.4°的方向上，港口C位于港口A北偏东53°的方向上， AB=10010海里，AC=500海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里时， 甲、乙两船可以同时到达港口C(结果保留根号).（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60， tan53≈1.33，sin18.40≈y70 10,cos18.4≈310 tan18.4°≈1 10 北 西东 南 53 18.4 2.(2026安徽中考真题)湖中有两个小岛，分别用点A,B表示，B在A的北偏东37°方向上.为了测量 A,B间的距离，综合实践小组在观测点C处测得A在C的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一观测 点D,测得A在D的正西方向，B在D的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示.己知C,D间的距离为 660m,求A,B间的距离（精确到0.1m).参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，sin53°≈0.80， cos53°≈0.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80. 15/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 东 B .9 53° 1 D 56 3.(2026四川泸州中考真题)如图，某海岸线上有一观测点A,在点A的正东方向上有两个观测点C, D,且A,C相距20nmil.某日上午8点，测得一艘轮船位于点A的北偏西30°方向上的B处，且与A相 距20 nmile,并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，且C,E 相距60 nmile,此时点D到E的距离是D到C的距离的2倍， E B (1)求该轮船的航行速度： (2)求点D,E间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）. 4.(2025江苏南京.中考真题)如图，码头B位于码头A的南偏东30°方向，A,B之间的距离为40km, 灯塔P在AB的中点处.轮船甲从A出发，沿正南方向航行，轮船乙从B出发，沿正东方向航行.当甲航行 到C处时，乙航行了相同的距离到达D处，此时，C,P,D三点恰好在一条直线上.求甲航行的距离AC (参考数据：V3N1.73) 30 →东 B D 5.(2025湖南长沙中考真题)如图，某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在道路a 上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D. 16/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南 偏西45°方向上.已知AB=800m, 北 6 →东 45 309 609 a B A: M (1)求∠ACB的度数： (2)求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号） 6.(2025山东烟台中考真题)【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业 情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 码头A在灯塔B北偏西14°方向 位置信 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 息 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请 警 注意防范 北 码头 东 烟台山灯塔 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离： (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A(参考数据：sn37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25). 17/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2025江苏连云港中考真题)如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向， AC=6km,一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DC=SBD. 2 北 B D 37 A (1)求岛A与港口B之间的距离： (2)求tanC, (参考数辐：5in37是co37学am37星 8.(2025·重庆·中考真题)为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况. 如图，A,B,C,D在同一平面内.A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的 B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方 向上，B位于C的北偏西30°方向上.（参考数据：V2≈1.41，V3≈1.73，V5≈2.24，V7≈2.65） 北 西个东 30o 南 309 D 1)求BD的长度（结果保留小数点后一位）： (2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2 倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时，两 无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 9.(2024江苏南京.中考真题)如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏东 21°方向，港口C位于港口B的北偏东76°方向.一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行.己知港口B到 航线的距离为2km,求港口C到航线的距离。（参考数据：an21≈，，an,37°心 4,tan76o≈4.) 18/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 21 37 10.（2024海南·中考真题)木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海 南岛东北部最重要的航标.某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航 行，如图所示 雷州 B 渔船 木兰灯塔 文昌 航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处。 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处， 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡 C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向. 请你根据以上信息解决下列问题： I)填空：∠PAB=°，∠APC=°，AB= 海里： (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明. (参考数据：只2≈1.41,31.73,6≈2.45) 考点08实际应用之坡度坡比问题 1.（2026贵州中考真题)项目课题：设计无障碍坡道 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于1：20.如图①是小红 19/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所在学校的无障碍坡道 坡度= 坡面的铅直高度 坡面的水平宽度 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度AC=4.8米，坡角∠BAC=14°.为检测该坡道是否符合国家标 准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计 D A 图① 图② 图③ 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度BC的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道CA方向能用的水平宽度只有20米.小红设计了一个“回转坡道”的 方案示意图：在F处安装支柱DF=0.8米，在E处留EC=2米的通道，入口为点E,经过两个坡道ED与 DB再到达点B,且EF=I6米.在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请 说明理由：如果不符合，请提出修改建议.（参考数据：tan14°0.25，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97 ) 2.(2026湖北·中考真题)近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广 泛.某台机器人能轻松爬上坡角不超过35°的斜坡.如图，坡角为∠A的斜坡AB长10m,铅直高度BC长 4.7m,∠C=90°.该机器人一定能爬上斜坡AB吗？请判断并说明理由. (参考数据：sin28°≈0.47，sin35°≈0.57) B ■ C 3.(2026四川凉山中考真题)如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN相距300米 的点A观测塔顶M的仰角为30°，斜面AN的坡度i=1:5,点A,B,C,M,N在同一平面内，AB是桥面， CN是水平线，AB‖CN,AB⊥MN.(计算结果均保留根号) A30 :5 C---- 水平线 20/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求索塔桥面以上部分MB的高度： (2)求索塔MN的高度. 4.(2026四川达州中考真题)在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九(6)班同学需要翻越 一座小山.他们由山脚A处出发，先沿坡角为42°的山坡行走300到达B处，再沿坡角为30°的山坡行走 200m到达山顶C处.估计这座小山的高度.（参考数据：sin42°≈0.67、cos42°0.74， tan42°≈0.90，结果保留整数) B 5.(2025·山东德州中考真题)暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山.他们从山底A处出发，先步行 200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处.已知山坡AB的坡角C(=16°，缆车的行驶路线BC与水平 面的夹角B=37°，这座山的高度CD=296m,A,B,C,D在同一平面内. ■ (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）： (2)求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）·（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96， tan16°≈0.29：sin37°≈0.60，cos37o≈0.80，tan37°≈0.75) 6.(2025四川资阳·中考真题)如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN,该平台上有一个竖 直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度 i=1:3,AB=10V10米，CD⊥BN.(点A,B,C,D在同一竖直平面内)· i=1:3 A30° M (I)求平台BN的高度； 21/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求建筑物的高度（即CD的长）. 7.(2024四川巴中.中考真题)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示，斜坡BE的坡 度i=1:3,BE=6m,在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角 为60°. B<145 人60° A E (I)求点B离水平地面的高度AB (2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）· 22/22可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题23解直角三角形及其应用 答案版 考点01求一个角的正弦值 1.B 2.D3.B 4.C5.D6. 1-3 考点02求一个角的余弦值 1.B 2.A3. 24 5 4号芳号 考点03求一个角的正切值 1.B 2.B3.B4.A5.B6.A7.B8. 2 9. 10. 5 2 1921. 考点04特殊三角函数的计算题 1解：原式=3-32+1+6x2 2 =V3+1. 2解：恩式=1+3-3+2 3.解：9-2c0s30+1-只3) =3-2×题+5-1） =3-V3+V3-1 =2, 4.(1)解：4-（只2+1）°+tan45° 1/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =2-1+1 =2; (2)解： 1+1.x-1 x+1 x-1x x-1 x+1.-1 x+1x-1x+1x-1/x =x-1+x+1.x-1 x+1x-1 x 2x.X-1 x+1x-1 x 、2 x+1 5,解：2sin30+-3+2 =2×1+3+4 2 =1+3+4 =8 6解原式=2-2×2+7+1-7 2 =2-V2+7+1-7 =1. 7解：-1+1-2n45-2*12 =1+1-2× 2 只V2+1+4 2 =1+1-V2-2+1+4 =1+9V2-1-9V2-1+4 =3. 8解：原式=2×}-1+2+1=1-1+2+1=3. 2/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.解：原式=4× 1+1+1-1 23 3 -2*号1- 3 =3. 10解：2os60-1-5+ =2×1-1+4, =1-1+4, 二4. 考点05解直角三角形的相关计算 1.C 2c3C422556733 7.25 8. 21 9.10 10.4 3 考点06实际应用之仰角俯角问题 1.2212.1803.7.4 4(1)解：由题意得：PN=15m,tam∠MCN= 3 2,PM⊥AM, .∠MCN=30°， .NC=12m, ∴.MN=NC·sin30°=6m, .PM=PN+MN=21m; 答：无人机距河面的高度PM的长为21m (2)解：由题意得：∠PBM=52.4°，∠PAM=42.3°， 由(1)可知：PM=21m, 在Rt△PMB中，BM=,PVM≈2L≈I6.2m, tan52.4°1.30 在Rt△PMA中，AM=,PM,。≈2L≈23.1m, tan42.3°0.91 .AB=AM-BM=6.9≈7m; 3/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 答：两艘皮划艇之间的距离AB的长为7m. 5.解：在Rt△ABF中，BF=AB·sin53°N400× 320米. 在Rt△BCE中，CB=sin45°=60×2≈600×0.707=424（米）， 2 由题意可知，四边形DEBF为矩形， .DE=BF=320米， ∴.CD=CE+ED=744(米) 答：山高CD为744米。 6.(1)解：如图3，在Rt△DFC中，tan∠DFC=tan50.3°=DCN1.20, FC ∴.DC≈20×1.20=24米， 在Rt△EFC中，tan∠EFC=tan58=ECN1.60, ∴.EC≈20×1.60=32米， .DE=EC-DC=32-24=8(米)， 答：DE的长为8米： (2)解：如图2，设MEN的圆心为O,连接NO,CO, E M B 0 ·圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为4米， :.MN=25-1×4=96米， ,点D是MN的中点， DN=)MN=48米，OD1MN, 4/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设⊙O的半径为r米，则OD=OE-DE=r-8米， 在Rt△ODN中，OD2+DN2=ON2, 六r-82+482=r2, 解得r=148, 答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为148米. 7.解：设AB=xm, ,AB⊥BC, .∠B=90°： 在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠ADB=60°， ..BD=AB tan∠ADB tan60°3 xm): 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°， ∴BC= AB tan∠ACBtan4.5o=Xm: CD=BC-BD=12m, 3 ∴，X- x=12, 3 解得x=18+63, ·AB=18+63m 答：孔子雕像的高度AB为18+63m 8解：根据题意，有∠AOE=90°， 在R△A0D中，an∠ODA=08,∠0DA=42, 得D0=A0 tan 42' 在R△A0E中，an∠0EA=28∠0EA=35, 得EO=AO tan35' EO-DO=DE=9m, 5/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AO _AO tan35°tan42o =9, A0=9Xtan35°xan42°≈9x0.7x09-28.351ml, tan42°-tan35° 0.9-0.7 如图，过点C作CH⊥DE,垂足为H, B E 在Rt△CDH中，sin∠CDH=C CD' ∠CDH=12°，CD=22, .CH=CD·sin∠CDH=22×sin12°≈22×0.2=4.4m, ,∠CBO=∠BOH=∠OHC=90°， ∴，四边形BCHO是矩形， ∴.BO=CH≈4.4m, .AB=A0-B0≈28.35-4.4≈24m, 即引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m, 9解：过点A作AM⊥CD于点M,过点B作BN⊥CD于点N,则AM=BN=90米，AB=MN, N 浙 色 609 42 阅览室A B 篮球场 由题意得，∠C=60°，∠D=42° 在Rt△AMC中，tan∠C=AM CM' 即tan60=90 CM ..CM 90=303(米)， 在Rt△BDN中，an∠N=BV DN,即tan42= 90 DN :DN≈90-100（米） 0.9 .CD=300米， 6/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=MN=CD-CM-DN=300-303-100=200-30PV3≈148（米） 答：桥AB的长度约为148米. 10.解：设AB=x米， ·在Rt△CAB中，tan∠CAB=CB AB ∴.CB=AB·tan16.73°≈0.30x. :在Rt△DAB中，tan∠DAB=DB AB .∴.DB=AB·tan14.01°≈0.25x. CB-DB=CD, .0.30x-0.25x=17, 解得x=340 答：观测点A到塔CD的水平距离AB约是340米.， 考点07实际应用之方位角问题 1.解：过点B的正北方向作BF L CF于点F,交AC于点E,过点A作AD⊥BF于点D,设A的正北方向 上一点G,如图所示， 北 西一 →东 南 F C G ∴.∠ADB=∠ADE=∠CFE=90°DF‖AG 532 D 18.4 B ∴.∠GAE=∠AED=∠CEF=53° :sin18.4≈10 10,c0s18.4≈3/10 10,AB=10010海里，AC=500海里， 0AG1007i0:c0s184°≈30-BD-8D ∴在Rt△ADB中，sin18,4≈y0-AD=AD 10AB100/10 ∴.AD=100海里，BD=300海里. .sin53°≈0.80，cos53°≈0.60， 7/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AEA把，则A=125海里， .在Rt△ADE中，sin53°≈0.80=AD=100 c0s53°≈0.60= ED ED AE125' 则ED=75海里. .'AC=500海里， .∴.EC=AC-AE=500-125=375海里， R△C sin53s0808器器则Cr-30房里， o530606无系州r=25旋是 ∴.FB=BD+DE+EF=300+75+225=600海里， :.在Rt△CFB中，BC=VCF+FB=3002+600=300G海里. .:AC=500海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同， t2=tw=500=50小时， 10 ,BC=300V5海里， V2=300 50 =6V5海里/时. .乙船的航行速度大约是6V5海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C. 2.解：由题意可得∠CAD=90°，∠BAD=90°-37°=53°，∠BDA=90°-53°=37°，CD=660m, ∴.∠ABD=180°-37°-53°=90°， 在Rt△CAD中，∠ACD=56°，sin56°≈0.83， ·sin∠ACD=AD=AD 0.83, CD660 .AD≈0.83×660=547.8m, 在Rt△ABD中，∠BDA=37°，sin37°≈0.60， sin∠BDA=A9≈0.60. AD ∴.AB≈0.60×AD=0.60×547.8=328.68m≈328.7m, .A,B间的距离约为328.7m. 3.(1)解：由题意，得AB=AC=20,CE=60,∠BAC=90°+30°=120°， ∴∠ABC=∠ACB=30, 8/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处， ∴.∠BCE=90°-∠ACB+30°=90° 作AF⊥BC于点F, 则BC=2BF, 在Rt△ABF中，BF=AB.cos30°=10PV3, .BC=203, 在Rt△ECB中，由勾股定理，得BE=VBC2+CE=403 故该轮船的航行速度为40R3÷12-8=103 nmile/h: 答：该轮船的航行速度为103 nmile./h: E 309 30 D (2)解：作DH⊥CE于点H, H D ,点D到E的距离是D到C的距离的2倍， 设CD=2x,则DE=4x, 在Rt△CDH中，∠DCH=180°-30°-90°=60°， ∴.CH=CD'cos60°=X,DH=CD.sin60°=3x, ∴.EH=CE-CH=60-x, 在Rt△EHD中，由勾股定理，得DE=EH+DH, 六4x=3x+60-x2 9/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得x=5V13-5或x=-513-5(舍去)： 六DE=4|513-5=20P/13-20 故点D'E间的距离为20/13-20 nmile 4解：如图，延长AC,DB交点为E,过点P作PF⊥AE于点F,过B作BH⊥BD交CD于点H. 北 30° →东 F H D 由题意得，∠E=90°，∠PFA=90°，∠HBD=90°， .A,B之间的距离为40km,P在AB的中点处， .∴.AP=PB=20km, .Rt△APF中，∠A=30°， PF=AP=10km,AF=R20-102=103(km .PF‖DE,P为AB中点， 品 ∴.F为AE的中点， E AE=2AF=2093km'BE=A B2-AE2=20km 设AC=BD=Xkm, .AC‖BH, ∴.∠A=∠PBH, 在△APC和△BHP中， ∠A=∠PBH AP=BP ∠APC=∠BPH 10/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△APC≌△BPH(ASA), ∴.AC=BH, ∴.BD=BH, ∴.∠HDB=∠BHD=45°， .∠ECD=90°-45°=45° ∴.∠ECD=∠HDB, .CE=ED, ∴.203-x=20+x, 解得x=10/3-10≈7.3， 答：甲航行的距离AC约为7.3km. 5.(1)解：如图，由题意可得∠CBE=60°，∠CAF=30°，∠BDM=45°，BM⊥DM, BE‖AF‖DM. .∴.∠BCM=∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°. .∠ACB=∠BCM-∠ACM=60°-30°=30°. 北 6 东 才D 45° 309 E60% F a B A:M (2)解：.∠CBE=60°， .∴.∠CBM=90°-∠CBE=90°-60°=30°. 由(1)得∠ACB=30. ∴.∠ABC=∠ACB=30°. 又.AB=800, ∴.AB=AC=800, 在RtA ACM中，sim∠ACM=AC，cos∠AGM=CM Ac AM=AC~sin∠ACM=800×sin30°=800×号=400， CM=AC·co5∠ACM=800×cDs30=800×3 =400V3. 11/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.BM=BA+AM=800+400=1200. .∠BDM=45°，BM⊥DM, ∴.DM=BM=1200. ∴.DC=DM-CM=1200-4003m. :景点c与景点D之间的距离为1200-4003m 6.(1)解：如图，过点B作BE⊥AC于点E, D C 北 ↑东 设BE=X, 依题意，∠EBC=53°，∠EBD=45°，CD=10× 1 =5, ∴.∠C=90°-∠EBC=37°，ED=X, ..EC=ED+DC=x+5, 在Rt△BCE中，EC=BE X4 X tanc tan37°0.753 号=x*5 解得：x=15, ∴.渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里； (2)解：在Rt△ABE中，∠ABE=14°，BE=15, .AE=BEtan14°≈15×0.25=3.75， .AC=AE+DE+DC=15+3.75+5=23.75, 23.75÷10=2.375小时=142.5分钟， 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达， ∴.不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A. 7.(1)解：如图，过点B作BM⊥AD,垂足为M, .AC⊥AD, .BM‖AC, 12/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△BDM一△CDA, .BM_BD CA CD DC=2BD.AC=6km. :B-2 65 新吕 12 在Rt△ABM中，由sin∠BAD=Sin37°=BM=5≈3， AB AB 5 得AB≈4. 答：岛A与港口B之间的距离为4km; 北 M B长 D (2)解：在Rt△ABM中，AM=AB×cos37°≈4×4=16 55 .△BDM一△CDA, .DM-BD_2 AD CD 5 ∴AD=号M-x=5 57-71 16 在Rt△ADC中，tanC=AD=Z=8 AC=6=21 8.(I)解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E,过点B作BF⊥CD于F, 13/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 西→东 南 30 30° D ∴.∠AED=∠BFC=90°， 由题意得，∠DAE=30°， 在Rt△ADE中，AE=AD·cos∠DAE=20·cos30°=103千米， DE=AD·sin∠DAE=20·sin30°=10千米， ,无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴.ABCD ∴.AE⊥AB,BF⊥AB, ∴.四边形AEFB是矩形， .EF=AB=10千米，BF=AE=103千米， .DF=DE+EF=20千米， 六BD=VDF2+BF2=202+103=10V7≈26.5千米， 答：BD的长度约为26.5千米： (2)解：如图所示，当甲无人机运动到M,乙无人机运动到N时，此时满足MN=20千米.过点M作 MT⊥CD于T, B 北 西→东 30 M 南 30° E N 由题意得，∠BCF=90°-30°=60°， 在Rt△FBC中，BC= BF 103 5n∠BCE simn60°=20千米 CF=- BF 103 tan人BCE tan60°10千米 14/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CD=DF+CF=30千米， 设BM=x千米，则DN=2x千米，CM=20-x千米， 布acMr中，cT=CMes∠MCT-l20-x-as60-10-xf米， Mr-CMn∠icT-20-xn0-1o5要千米 -cD-DN-cT-30-2x-10-方×20x刘f米， 在Rt△MNT中，由勾股定理得MN=MT+NT2, 202=1 ∴x=15-5V5或x=15+5/5(此时大于BC的长，舍去)， .BM=15-5V5≈3.8千米， 答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号， 9.解：如图，设BC交航线于点D,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F, 北 76° F- 21 则∠BDE=∠CDF=76°，BE=12km, 由题意知：∠BAE=37°，∠CAF=21°， ·tan∠BDE=BE DE :DE=,BE≈12 tan76°4 3km, tan∠BAE=BE AE' 15/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE= BE ≈12=16km tan 37 3 4 设CF=Xkm, ·"tan CDF=CE E =tan76°≈4， :DEcF 士xkm, 4 AF-AE+DE+D6+' ·tan∠CAF=CF AF=tan21≈8 1 Gf号A 即x≈ 1 21 19+x 4 解得：X≈8， 答：港口C到航线的距离约为8km 10.(1)解：如图所示，过点P作PD⊥AC于D, 由题意得，∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15°， .∠PAB=90°-∠APD=30°，∠APC=∠APD+∠CPD=75°： :一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8 时30分到达B, ∴.AB=10×0.5=5海里. 雷州 半岛 g小 6 D C 渔船 木兰灯塔 文昌 (2)解：设PD=X海里， 16/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△PDB中，BD=PD·tan∠DPB=x海里， 在Rt△APD中，AD= PD =3x海里，AP= PD sinA =2x海里， tana .AD=AB+BD. x+5=V3x, 5 解得=3-1 53+5 2 六AP=2x=53+5海里， .∠C=180°-∠A-∠APC=75°， .∠C=∠APC, 六AC=AP=53+5海里： 上午9时时，船距离A的距离为10×1=10海里， .53+5-10=5V3-5≈5×1.73-5=3.65<5， ∴.该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区. 考点08实际应用之坡度坡比问题 1.(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在Rt△ABC中，an∠BAC=BC AC' ..tan 14=BC ≈0.25， 4.8 解得BC≈1.2m, .2_1_51 而 .842020 ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求： (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点D作DG⊥BC于点G, B 1G A 图③ 17/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题意得，在Rt△EDF中，DF=0.8m,EF=16m, :tan∠g=DF=0.8_1 EF-16-20 坡道ED符合标准： .∠F=∠C=∠DGC=90°， ∴.四边形DFCG是矩形， ..CG=DF=0.8m,DG=CF=EF+CE=16+2=18m, BG=BC-CG=1.2-0.8=0.4m, ·在Rt△BDG中，tan∠BDG=BC=04=1<1 DG184520 坡道DB符合标准， 又，CF=18<20,满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准。 2.一定能，理由如下： 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠A= BC=4.7=0.47, AB 10 .sin28°≈0.47， .∠A≈28°， .28°<35°， ∴.该机器人一定能爬上斜坡AB. 3.(1)解：由题意得，AB=300米，∠ABM=∠ABN=90°，∠BAM=30°， 'tan∠BAM=MB AB .MB=an30°×300=100P3(米)： (2)解：如图，作AQ⊥CN于点Q,则四边形ABNQ是矩形， ∴.AQ=BN,NQ=AB=300米， M A30 C6水苹线 N ,斜面AN的坡度i=1:5, 18/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 器端号 ∴.AQ=60(米)， .BN=60米， MN=BM+BN=1003+60米. 4.解：过点B作BF⊥AD于F,过点C作CG⊥AD于G,交BE于点H. B A GD 由题意可得：AD‖BE, ∴CH⊥BE, ∴.四边形BFGH为矩形，故GH=BF, 在Rt△ABF中，AB=300米，∠BAF=42, BF=300×sin42°≈300×0.67=201（米） ∴.HG=201米， 在Rt△BCH中，BC=200米，∠CBE=30°， CG=200×sin30°=200×2100（米） 小山高度CG=CH+HG=100+201=301(米). 答：这座小山的高度301米 5.(1)解：如图，过点B作BE⊥AD于E, --F ■ E D 在Rt△ABE中，∠A=a=16°，AB=200m, 则BE=AB·sinA≈200×0.28=56n, 答：小明一家步行上升的垂直高度约为56m; 19/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：如图，过点B作BF⊥CD于F, 则四边形BEDF为矩形， .∴.DF=BE=56m, .CD=296m, ∴.CF=CD-DF=296-56=240m, 在Rt△CBF中，∠CBF=B=37°， CF 则BC= ≈240 sin∠CBF0.6 =400m, 答：缆车的行驶路线BC的长约为400m. 6.(1)解：过点B作BE⊥AM于点E,则∠AEB=90° i=1:3 A30° M E ,斜坡AB的坡度i= BE_1 AE 3' ,AE=3BE」 在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2, 即13BE2+BE2=1010 ∴.BE=10米， ∴.平台BN的高度是10米. (2)解：延长CD交AM于点F, 日 日 B60HDN i=13 A30 M E .CD⊥BN,BN‖AM 20/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CD⊥AM, ∴，四边形BDFE是矩形， .DF=BE=10米，BD=EF 设CD=x米，则CF=CD+DF=x+10(米)， ,在Rt△ACF中，∠CAF=30°， ..AF=_ CF =x+10=3x+101(米)， tan∠CAF tan30° ,在Rt△BCD中，∠CBD=60°， CD .BD= tan∠CBDtan60。=3x(米)， ·EF=BD=3 米， 由(1)有AE=3BE=3×10=30(米)， .AF=AE+EF, .9/3x+10=30+ 3 3七， 解得x=153-15, .CD=153-15(米)， 即建筑物的高度（即CD的长）为153-15米. 7.(1)解：，斜坡BE的坡度i=1:V3, AB_13 AE3-3, :tan∠BEA=AB_3 AE 3' ∴.∠BEA=30°， .BE=6m, AB-BE-3mb (2)解：作BF⊥CD于点F,则四边形ABFC是矩形，AB=CF=3m,BF=AC, 设DF=xm, 21/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B45 -F 人60° A E C 在Rt△DBF中， tan∠DBF=DE BF DF tan∠DBF=xm, ∴BF= 在Rt△ABE中，AE=√BE2-AB=-33 在Rt△DCE中，DC=DF+CP=X+3m,tan∠DEC=DC EC :EC=x+3=3 x+3, tan60° 3 ∴.BF=AE+EC, 33+3 x+3x, .x=6V3+6, .CD=6V3+6+3=x=6V3+9 答：电线塔cD的高度63+9m 22/22