2026-2027学年人教版数学九年级上册期中评估测试卷

**基本信息** 本卷以期中评估为目标，通过养殖园围栏、头盔销售、停车棚抛物线等真实情境，融合一元二次方程、二次函数与反比例函数知识，考查运算能力、模型意识及几何直观，体现用数学眼光观察现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|二次函数顶点、反比例函数性质|结合2026长沙期中真题，梯度设计基础概念与综合应用| |填空题|4/12|方程根的应用、二次函数最值|如第14题以点坐标求代数式最小值，考查数学思维| |解答题|8/72|方程解法、函数综合、实际应用|第21题头盔销售增长率与利润问题，第23题材料温度变化函数模型，突出数学语言表达现实问题能力|

期中评估测试卷 (总分:120分　时间:120分钟) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若一元二次方程2x-7=3x2化成一般形式后二次项系数是3,则一次项系数是 (　　) A.-2　　　　B.2　　　　C.-7　　　　D.7 2.若函数y=是反比例函数,则m的值是 (　　) A.±1　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.1 3.(2026长沙期中)抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标是 (　　) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(2,1) D.(-2,-1) 4.若m,n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根,则m2+4m+n的值是 (　　) A.4　　　　　B.5　　　　　C.6　　　　　D.12 5.抛物线y=2x2经过平移得到抛物线y=2(x-1)2+3,平移方法是 (　　) A.向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度 B.向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度 C.向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度 D.向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度 6.如果点(-2,y1),(-1,y2),(2,y3)在反比例函数y=(k>0)的图象上,那么y1,y2,y3的大小关系为 (　　) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 7.已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、第二、第四象限,则实数a的取值范围为 (　　) A.1≤a<　　　　B.0<a<　　　　C.0<a<　　　　D.1≤a< 8.(2026重庆沙坪坝区月考)已知反比例函数y=(a≠0)的图象如图所示,则函数y=ax2-a的图象大致为 (　　) A　　　　B　　　　　C　　　　　D 9.已知关于x的一元二次方程mx2-(2m-1)x+m-2=0有实数根,则m的取值范围是 (　　) A.m<- B.m≤且m≠0 C.m>- D.m≥-且m≠0 10.如图,在平面直角坐标系中,AB⊥x轴于点B,∠AOB=60°,反比例函数y=(x>0)的图象经过OA的中点,并与AB交于点C,若OA=4,则BC的长为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1 11.如图,某数学小组发现某生态公园有一座假山的局部(阴影部分)从前面看呈现抛物线形状,以点O为原点建立平面直角坐标系(坐标系上1个单位长度表示1 m),假山轮廓所在的抛物线对应的函数解析式为y1=-x2+x+4.8(x≥0),其中OB垂直于水平地面OC,在点B处安装一喷水口,若向上喷出的水柱恰好为抛物线y2=ax2+bx+c(x≥0),落水点恰好为点C.下列说法不一定正确的是 (　　) A.假山上的点B到水平地面的距离为4.8 m B.水平方向上OC的长度为16 m C.-32<<0 D.抛物线y2=ax2+bx+c与y1=-x2+x+4.8的对称轴相同 12.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-2,0),B(6,0),与y轴交于点C,小红同学得出了以下结论:①b2-4ac>0;②4a+b=0;③当y>0时,-2<x<6;④(a+c)2<b2;⑤3a+c>0.其中正确的个数为 (　　) A.4　 　　　　B.3　　　　C.2　　　　　D.1 二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分) 13.(2026天水期中)已知m是方程x2-2x-3=0的一个根,则代数式m2-2m的值为 　　　　.  14.点(a,b)在二次函数y=x2+x+2的图象上,则a+b的最小值为　　　　.  15.如图,直线l⊥x轴于点P,且与反比例函数y1=(x>0)及y2=(x>0)的图象分别交于A,B两点,连接OA,OB.已知△OAB的面积为4,则k1-k2的值为 　　　　.  16.如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).若点C的横坐标的最小值为-3,则点D的横坐标的最大值为　　　　.  三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(8分)用适当的方法解下列方程: (1)x2-2x-8=0. (2)2x2+7x+1=0. 18.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根是2,另一个根是正数,而且也是方程(x+4)2-52=3x的根,求m,n的值. 19.(8分)(2025乐山中考)如图,一次函数y=x-1的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(m,1),B(-1,n). (1)求m,n的值和反比例函数的解析式. (2)若在x轴上存在点P(a,0),使得△ABP的面积为6,求a的值. 20.(8分)如图1,张爷爷用30 m长的隔离网在一段15 m长的院墙边围成矩形养殖园,已知矩形养殖园的边CD靠院墙,AD和BC与院墙垂直,设BC的长为x m. (1)AB的长为　　　　m.(用含x的式子表示)  (2)如图2,张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽,需要在中间多加上两道隔离网.已知两道隔离网与院墙垂直,请问此时养殖园的面积能否达到100 m2?若能,求出AB的长;若不能,请说明理由. 　　 图1　　　　　　　　图2 21.(8分)(2026酒泉期中)公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量,该品牌头盔10月份销售500个,12月份销售720个,10月份到12月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率. (2)若该品牌头盔的进价为30元/个,商家经过调查统计,当售价为40元/个时,月销售量为500个,若在此基础上售价每上涨2元/个,则月销售量将减少20个,为使月销售利润达到8 000元,且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔每个售价应定为多少元? 22.(9分)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02(x-7.5)2+k的图象,其中OA=1.6 m. (1)求k的值. (2)棚顶外沿B距支柱AO的水平距离为7 m. ①若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4.2 m,高DE=1.88 m的矩形,该厢式货车　　　　完全停到车棚内.(填“能”或“不能”)  ②若将雨看作一条直线,其与地面的夹角为60°,请通过计算说明雨是否会淋到车厢底部.(车厢底部距地面0.8 m,参考数据:≈1.7) 　　　 图1　　　　　　　　　图2 23.(11分)某种糖质工艺品制作材料从加热升温到自然降温的过程中,温度y(单位:℃)与时间x(单位:min)的函数图象如图所示,其中加热升温阶段为一条线段,且该材料从30 ℃加热到60 ℃需要10 min;自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分. (1)求材料加热到90 ℃需要的时间. (2)求材料自然降温时,y关于x的函数解析式. (3)已知该工艺品操作时温度需保持在60~90 ℃(包括60 ℃,90 ℃),为节约能源,工厂设计了两种方案(见表格).仅从工作时间和加热成本考虑,设一天工作8 h(包括加热升温阶段时间),请通过计算说明哪一种方案更节约成本. 方案 恒温60 ℃工作 间歇加热工作 过程 ①从30 ℃加热到60 ℃; ②保持60 ℃进行加工 ①从30 ℃加热到90 ℃; ②自然降温到60 ℃; ③再次加热到90 ℃. 循环②③两个阶段 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元;恒温阶段每分钟需花费60元(注:自然降温阶段不产生成本) 24.(12分)如图,二次函数的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点B,顶点C的坐标为(-2,-1). (1)求二次函数的解析式. (2)判断△ABC的形状,并说明理由. (3)在直线AB上方的抛物线上是否存在一点P,使S△PAB=2S△ABC?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 　　 　　　　　　　备用图 【详解答案】 1.A　2.A　3.A 4.C　解析:∵m,n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根,∴m+n=-3,m2+3m-9=0,∴m2+3m=9,∴m2+4m+n=m2+3m+m+n=9+(m+n)=9-3=6.故选C. 5.D　解析:∵抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0),而平移后抛物线y=2(x-1)2+3的顶点坐标为(1,3),∴平移方法为向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度.故选D. 6.C　解析:因为反比例函数的解析式为y=(k>0),所以反比例函数的图象位于第一、第三象限,且在每个象限内,y随x的增大而减小.因为-2<-1<0<2,所以y3>0>y1>y2,即y3>y1>y2.故选C. 7.A　解析:∵函数图象经过第一、第二、第四象限,∴a>0,->0,a-1≥0,Δ=(2a-3)2-4a(a-1)>0,解得1≤a<,∴a的取值范围为1≤a<.故选A. 8.A　解析:∵反比例函数y=(a≠0)的图象位于第一、第三象限,∴a>0,∴函数y=ax2-a的图象开口向上,对称轴为y轴,与y轴交于负半轴.故选A. 9.D　解析:因为关于x的一元二次方程mx2-(2m-1)x+m-2=0有实数根,所以Δ=[-(2m-1)]2-4m(m-2)≥0且m≠0,解得m≥-且m≠0.故选D. 10.B　解析:∵AB⊥x轴,∠AOB=60°,∴∠ABO=90°,∠OAB=30°,∴OB=OA=2,∴AB===2,∴A(2,2).∵反比例函数y=(x>0)的图象经过OA的中点,∴反比例函数y=(x>0)的图象经过点(1,),∴k=xy=1×=,∴反比例函数的解析式为y=,将x=2代入y=,得y=,∴BC=.故选B. 11.D　解析:当x=0时,y1=4.8,故假山上的点B到水平地面的距离为4.8 m;当y1=0时,x=16或x=-4(舍去),故水平方向上OC的长度为16 m,故选项A,B正确,不符合题意;由题意得0<-<16,解得-32<<0,故选项C正确,不符合题意;由题图可知,喷出的水柱呈现的抛物线y2=ax2+bx+c与y1=-x2+x+4.8的对称轴不一定相同,故选项D不正确,符合题意.故选D. 12.C　解析:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-2,0),B(6,0),∴抛物线对应的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4ac>0,故①正确;对称轴为x=-==2,整理得4a+b=0,故②正确;由图象可知,当y>0时,x<-2或x>6,故③错误;由图象可知,当x=-1时,y=a-b+c<0,当x=1时,y=a+b+c<0,∴(a+b+c)(a-b+c)>0,∴(a+c)2-b2>0,∴(a+c)2>b2,故④错误;∵4a+b=0,∴b=-4a,∴当x=-1时,y=a-b+c=5a+c<0,∴3a+c<-2a,∵a>0,∴3a+c<0,故⑤错误.综上,正确的有①②,共2个.故选C. 13.3 14.1　解析:∵点(a,b)在二次函数y=x2+x+2的图象上,∴b=a2+a+2,∴a+b=a2+2a+2=(a+1)2+1≥1.∴当a=-1时,a+b有最小值,最小值为1. 15.8　解析:根据反比例函数k的几何意义可知,△AOP的面积为k1,△BOP的面积为k2,∴△AOB的面积为k1-k2,∴k1-k2=4,∴k1-k2=8. 16.8　解析:∵抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,∴当抛物线的顶点为A(1,4)时,点C的横坐标最小,最小值为-3.此时抛物线的对称轴为x=1,∴点D的横坐标为5,CD=8,点C到对称轴的距离为4.当抛物线的顶点为B(4,4)时,抛物线的对称轴为x=4,∵CD=8,点C到对称轴的距离为4,∴点C(0,0),D(8,0),此时点D的横坐标最大,最大值为8. 17.解:(1)x2-2x-8=0, 则x2-2x+1=8+1, 即(x-1)2=9, ∴x-1=±3, ∴x1=4,x2=-2. (2)2x2+7x+1=0, ∵a=2,b=7,c=1, ∴Δ=b2-4ac=72-4×2×1=41>0, ∴x==, 即x1=,x2=. 18.解:把x=2代入x2+mx+n=0,得 4+2m+n=0.① 解方程(x+4)2-52=3x,得 x1=4,x2=-9, 所以x2+mx+n=0的另一个根是4. 把x=4代入x2+mx+n=0,得 16+4m+n=0.② 联立①②,解得m=-6,n=8. 19.解:(1)∵点A(m,1),B(-1,n)在一次函数y=x-1的图象上, ∴1=m-1,n=-1-1=-2, ∴m=2,n=-2, ∴A(2,1),B(-1,-2). 把A(2,1)代入y=,得1=, 解得k=2, ∴反比例函数的解析式为y=. (2)如图,设直线y=x-1与x轴交于点C,则C(1,0),PC=|1-a|, ∴S△ABP=S△PAC+S△PBC=×1×|1-a|+×2×|1-a|=6, 解得a=-3或a=5. 20.解:(1)(30-2x) (2)养殖园的面积不能达到100 m2.理由如下: ∵隔离网的总长为30 m,BC=x m, ∴AB=(30-4x) m. 根据题意,得(30-4x)x=100, 整理,得2x2-15x+50=0. ∵Δ=(-15)2-4×2×50=-175<0, ∴该方程无实数根, ∴养殖园的面积不能达到100 m2. 21.解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x, 根据题意,得500(1+x)2=720, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去). 答:该品牌头盔销售量的月增长率为20%. (2)设该品牌头盔每个售价定为y元,则该品牌头盔每个的销售利润为(y-30)元,月销售量为500-20×=(900-10y)个, 根据题意,得(y-30)(900-10y)=8 000, 整理,得y2-120y+3 500=0, 解得y1=50,y2=70. ∵要尽可能让顾客得到实惠, ∴y=50. 答:该品牌头盔每个售价应定为50元. 22.解:(1)∵OA=1.6 m, ∴A(0,1.6). 将A(0,1.6)代入y=-0.02(x-7.5)2+k,得1.6=-0.02×(0-7.5)2+k, 解得k=2.725. (2)①能 解析:∵CD=4.2 m,棚顶外沿B距支柱AO的水平距离为7 m, ∴7-4.2=2.8(m). 在y=-0.02(x-7.5)2+2.725中,当x=2.8时,y=-0.02×(2.8-7.5)2+2.725=2.283 2. ∵2.283 2>1.88, ∴该厢式货车能完全停到车棚内. ②如图,过点B作BM⊥x轴于点M.设点G为车厢底部最外侧的点,过点G作GH⊥BM于点H. ∴∠BHG=90°,∠BGH=60°. 当x=7时,y=-0.02×(7-7.5)2+2.725=2.72, 则BH=BM-HM=2.72-0.8=1.92(m). ∵∠BHG=90°,∠BGH=60°, ∴∠GBH=30°. 设GH=x m,则BG=2x m, ∴BH==x m=1.92 m, 解得x≈1.1, ∴点C的横坐标为7-1.1-4.2=1.7. 当x=1.7时,y=-0.02×(1.7-7.5)2+2.725=2.052 2>1.88, ∴雨不会淋到车厢底部. 23.解:(1)由题意,设材料加热升温时,y关于x的函数解析式为y=kx+b. 把(0,30),(10,60)代入,得 解得 ∴y关于x的函数解析式为y=3x+30, 令y=3x+30=90, 解得x=20, ∴材料加热到90 ℃需要的时间为20 min. (2)由题意,设所求函数解析式为y=(x≥20), 把(20,90)代入,得90=, 解得m=1 800. ∴材料自然降温时,y关于x的函数解析式为y=(x≥20). (3)恒温60 ℃工作:由题意可知,加热时间为10 min,恒温阶段时间为8×60-10=470(min),　 ∴加热成本为10×100+470×60=29 200(元). 间歇加热工作:对于y=, 令y=60,则x=30. ∴第一次加热到60 ℃需要10 min,后续60 ℃加热到90 ℃,自然降温到60 ℃一轮需要20 min,一天8 h中,加热时间为10+23×10+10=250(min). ∴加热成本为250×100=25 000(元). ∵25 000<29 200, ∴间歇加热工作更节约成本. 24.解:(1)∵二次函数图象的顶点为C(-2,-1). ∴设二次函数的解析式为y=a(x+2)2-1. ∵二次函数的图象与x轴交于点A(-3,0), ∴0=a(-3+2)2-1. 解得a=1, ∴二次函数的解析式为y=(x+2)2-1. (2)△ABC是直角三角形.理由如下: 当x=0时,y=(0+2)2-1=3, ∴点B(0,3). 如图1,过点C作CD⊥y轴于点D,过点A作AE⊥CD交DC的延长线于点E. 图1 ∴点D(0,-1),E(-3,-1). ∵点A(-3,0),C(-2,-1), ∴AB2=OB2+OA2=32+32=18,AC2=AE2+CE2=12+12=2,BC2=CD2+BD2=22+42=20, ∴AB2+AC2=20=BC2, ∴△ABC是直角三角形. (3)存在. ∵y=(x+2)2-1=x2+4x+3, ∴设点P的坐标为(m,m2+4m+3). 如图2,过点P作PH⊥AB,垂足为H,过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q. 图2 设直线AB对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0), 将点A(-3.0),B(0,3)代入,得 解得 ∴直线AB对应的函数解析式为y=x+3, ∴点Q的坐标为(m,m+3). ∵S△PAB=2S△ABC, ∴AB·PH=2×AB·AC, ∴PH=2AC=2. ∵在Rt△AOB中,OA=OB, ∴∠ABO=∠BAO=45°. ∵PQ∥y轴, ∴∠PQH=∠ABO=45°. ∴QH=PH=2. 在Rt△PQH中, 根据勾股定理,得PQ==4, ∴PQ=m2+4m+3-(m+3)=m2+3m=4, 解得m1=1,m2=-4. 当m=1时,m2+4m+3=8,∴点P(1,8). 当m=-4时,m2+4m+3=3, ∴点P(-4,3). ∴所有符合条件的点P的坐标是(1,8),(-4,3). 学科网（北京）股份有限公司 $