期中测试（测试范围：第1章—第3章）-2026-2027学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

**基本信息** 立足九年级上册前3章，以投壶游戏、排球发球等生活情境为载体，融合二次函数、圆、概率等核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，考查抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|抛物线对称轴、必然事件判断|结合生肖问题考查概率（推理意识）| |填空|6/18|圆的圆周角、二次函数最值|矩形花园面积优化（应用意识）| |解答题|8/72|旋转作图、排球发球轨迹、商场利润|新定义“内半点”问题（创新意识）|

2026—2027学年九上期中测试 考试范围：第1—3章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．下列事件是必然事件的是（     ） A．水中捞月 B．13人中至少有两个人生肖相同 C．任意三条线段可以组成一个三角形 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 3．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 5．某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． 6．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 7．已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 9．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 10．如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．如图，已知点，，在上，若，则 ______ 度． 12．在一个不透明的口袋中，装有黑色、白色的小球共个，小球除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是_________个． 13．二次函数的最小值为__________． 14．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 16．如图，在中，，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点，，垂足为，，垂足为，则__________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 18．（8分）如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 19．（8分）某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 240 600 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.6 (1)完成上述表格：__________；__________； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是__________（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 20．（8分）如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 21．（8分）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． (1)若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； (2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值 ． 22．（10分）某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： (1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； (2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 23．（10分）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 24．（12分）定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点P，若在外存在点，使得，则称点P为的“内半点”． (1)当的半径为4时， ①在点，，中，是的“内半点”的是 ； ②已知一次函数，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”，求k的取值范围； (2)已知点，的半径为6，若线段上存在的“内半点”，直接写出m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九上期中测试 考试范围：第1—3章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B D A A D A B C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分） 【答案】(1)如图，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求，点的坐标为． 【详解】（1）略（4分） （2）略（8分） 18．（8分） 【答案】(1) 解：如图所示： (2) 【分析】（1）根据题意作图，即可； （2）根据垂径定理可得，进而根据勾股定理，求得，再求得的长，即可求解． 【详解】（1）略（4分） （2）∵， ∴， ∵半径， ∴在中，， ∴．（8分） 19．（8分） 【答案】(1)295，0.6 (2)0.6 (3)144度 【分析】（1）根据频率频数总数求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 【详解】（1）解：，（2分） （2）解：估计当很大时，频率将会接近0.6， 即假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6，（5分） （3）， 答：在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是．（8分） 20．（8分） 【答案】(1) (2)球能越过球网 【分析】（1）把点代入关系式，求出a的值，即可求出y与x的关系式； （2）把代入解析式求得y的值，若则球能越过球网，反之则不能，把代入解析式求得y的值，若则会出界，反之则不会． 【详解】（1）解：把点代入关系式得：， 解得：， 则y与x的关系式为：；（4分） （2）∵当时，， ∴球能越过球网．（8分） 21．（8分） 【答案】(1)列表如下： 3 2 共有6种等可能的结果，其中小明获胜的结果有：，，共2种，小刚获胜的结果有：，，，共3种， ∴小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． 答：小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． (2)（答案不唯一） 【分析】对于（1），因为m值确定，所以先通过列表法或树状图列出所有a、b的等可能组合，再分别统计满足的组合数，根据古典概型概率公式计算对应概率． 对于（2），因为要使两人获胜概率相同，所以需满足的组合数等于的组合数，分析a的两个取值分别与乙口袋三个数的大小关系，建立关于m的大小关系条件，选取符合要求的整数m． 【详解】（1）略（4分） （2）（2）列表如下： m 3 2 共有6种等可能的结果． 要使小明和小刚获胜的概率相同，则m的值应该满足， ∴整数m的值为，0，1中的任意一个．（8分） 22．（10分） 【答案】(1) 函数关系式为，最大利润为元 (2) 定价为元时，新产品每月可获得最大销售利润，最大利润为元 【分析】（1）根据总利润=单件利润×数量，即可解答，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）分两种情形①当销售量每月不小于150件，政府部门给予每件3元的补贴，则利润=（定价-成本价+补贴）×销售量，从而列出关系式；运用二次函数性质求出结果．②当销售量每月小于150件，求出W的最大值，比较两种情形的最大值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意，得：， ， ∴当时，有最大值为2250， 即与之间的函数关系式，最大利润为元；（5分） （2）解：①当销售量每月不小于150件时，即， 解得：， 由题意，得： ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元； ②销售量每月小于150件时，， 解得， 由题意 ， ∵， ∴时，w的最大值为1960， ∵， ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元．（10分） 23．（10分） 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为，（3分） （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时．（6分） （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或．（10分） 24．（12分） 【答案】(1)①；②； (2)m的取值范围为或 【分析】先明确“内半点”的判定条件：若点是的内半点，则首先在内，其次满足（为半径），即的范围是． （1）①计算每个点到圆心的距离，判断是否落在区间内，符合的即为内半点； ②先确定一次函数过定点，再结合“内半点”的范围，得到直线上第二象限的点到的距离需满足，据此找到边界临界情况：一是直线上的点到的最小距离，二是直线与轴交点的纵坐标满足限制，联立求解的范围． （2）由，得到，因为的半径为6，设点P为的“内半点”，所以．当点M在x轴的负半轴时，，令，令；当点M在x轴的正半轴时，，令，令．分情况讨论． 【详解】（1）解：①设点P为的“内半点”， ∵的半径为4， ∴， ∵，，， ∴， ∴是的“内半点”的有：． 故答案为：；（3分） ②∵一次函数， ∴令，则，令，则， ∴一次函数与x轴交于点，与y轴交于点， 当时，一次函数在第二象限的图象为从A向左上方延伸的射线，不可能所有点都是的“内半点”，不合题意； 当时，一次函数在第二象限的图象为线段，如图， 过点O作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”， ∴， ∴， ∴． ∴k的取值范围为．（6分） （2）解：∵， ∴， ∵的半径为6，设点P为的“内半点”， ∴， ①当点M在x轴的负半轴时，，令，如图， ∵， ∴， ∴， 令，过点C作轴于点D，如图， 则， ∴， ∴， ∵若线段上存在的“内半点”， ∴．（9分） ②当点M在x轴的正半轴时，，令，过点C作轴于点D，如图， 则， ∴， ∴， ∴； 令，如图， ∵， ∴， ∴， ∵若线段上存在的“内半点”， ∴． 综上，若线段上存在的“内半点”，m的取值范围为或．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年九上期中测试 考试范围：第1—3章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．下列事件是必然事件的是（     ） A．水中捞月 B．13人中至少有两个人生肖相同 C．任意三条线段可以组成一个三角形 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 3．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 5．某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． 6．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 7．已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 9．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 10．如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．如图，已知点，，在上，若，则 ______ 度． 12．在一个不透明的口袋中，装有黑色、白色的小球共个，小球除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是_________个． 13．二次函数的最小值为__________． 14．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 16．如图，在中，，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点，，垂足为，，垂足为，则__________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 18．（8分）如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 19．（8分）某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 240 600 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.6 (1)完成上述表格：__________；__________； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是__________（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 20．（8分）如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 21．（8分）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． (1)若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； (2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值 ． 22．（10分）某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： (1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； (2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 23．（10分）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 24．（12分）定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点P，若在外存在点，使得，则称点P为的“内半点”． (1)当的半径为4时， ①在点，，中，是的“内半点”的是 ； ②已知一次函数，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”，求k的取值范围； (2)已知点，的半径为6，若线段上存在的“内半点”，直接写出m的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九上期中测试 考试范围：第1—3章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】抛物线顶点式的形式为，其对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 2．下列事件是必然事件的是（     ） A．水中捞月 B．13人中至少有两个人生肖相同 C．任意三条线段可以组成一个三角形 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】B 【分析】根据必然事件一定会发生、不可能事件一定不会发生、随机事件可能发生也可能不发生对A、B、C、D各选项的事件进行判断即可得答案. 【详解】解：A.水中捞月是不可能事件，故A错误. B.生肖共有12个，13人中至少有两个人生肖相同，是必然事件，故B正确. C.任意三条线段不一定能组成三角形，三条线段必须满足三角形三边关系才能组成三角形，C选项的事件是随机事件，不是必然事件，故C错误. D.抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能正面朝下，故正面朝上是随机事件，D选项错误. 3．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形旋转的性质即可求得答案． 【详解】解：根据图形旋转的性质可知， ． 4．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，平移得到的抛物线的解析式为． 5．某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近，取试验次数足够大时的稳定频率即可得到概率的估计值． 【详解】∵由表格数据可得，随着投掷次数逐渐增大，投中频率逐渐稳定在常数附近， ∴投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为． 6．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 7．已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点B和点C的坐标可求出对称轴为直线，则可推出，根据二次函数的图象与x轴没有交点，可得，进而推出，则离对称轴越远，函数值越小，求出A，C，D三点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数的图象与x轴没有交点， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数的图象过点，，， 且， ∴． 8．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和垂径定理，证明，从而推出这两个三角形的面积相等，即可知道三角形的面积即是扇形的面积，利用平行线的性质和圆周角定理推出，即可知道度数，最后利用扇形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：， ， ， ，， ， ． 阴影部分的面积为． ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 9．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 【答案】B 【分析】本题先根据表格中的对应值，得到二次函数的对称轴，与x轴的交点坐标，判断开口方向，再结合二次函数的图像性质确定时自变量的取值范围． 【详解】解：由表格数据可知，和时值相等，均为， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数与轴的交点为和， 顶点纵坐标，且抛物线与x轴有两个交点， 抛物线开口向上， 根据开口向上的二次函数图像性质，可得当时，自变量的取值范围是或． 10．如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】设以为直径的半圆的圆心为点O，连接，可求出，则，进而可证明；作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接，可证明，证明，得到，则，根据，可得当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 【详解】解：如图所示，设以为直径的半圆的圆心为点O，连接， ∵是弧的中点，是半圆的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 如图所示，作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．如图，已知点，，在上，若，则 ______ 度． 【答案】 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 12．在一个不透明的口袋中，装有黑色、白色的小球共个，小球除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是_________个． 【答案】 【分析】根据大量重复试验中频率可估计概率，用总小球数乘以摸到白球的频率即可估计白球个数． 【详解】解： 小球总个数为，摸到白色小球的频率稳定在， 口袋中白球的个数估计为， 可估计口袋中白球的个数是个． 13．二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 14．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       16．如图，在中，，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点，，垂足为，，垂足为，则__________． 【答案】 【分析】过点作边的垂线，利用的直角三角形和勾股定理求出的长，根据旋转性质判定为等边三角形，利用面积法将转化为的高即可求 【详解】解：过点作于点， 在中，， ∴， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得 ， 由旋转的性质可知， ， 是等边三角形 ， 连接，作， ， ， ， ， 在等边中， ， 由勾股定理得， ． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求，点的坐标为． 【详解】（1）略（4分） （2）略（8分） 18．（8分）如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 【答案】(1) 解：如图所示： (2) 【分析】（1）根据题意作图，即可； （2）根据垂径定理可得，进而根据勾股定理，求得，再求得的长，即可求解． 【详解】（1）略（4分） （2）∵， ∴， ∵半径， ∴在中，， ∴．（8分） 19．（8分）某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 240 600 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.6 (1)完成上述表格：__________；__________； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是__________（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【答案】(1)295，0.6 (2)0.6 (3)144度 【分析】（1）根据频率频数总数求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 【详解】（1）解：，（2分） （2）解：估计当很大时，频率将会接近0.6， 即假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6，（5分） （3）， 答：在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是．（8分） 20．（8分）如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 【答案】(1) (2)球能越过球网 【分析】（1）把点代入关系式，求出a的值，即可求出y与x的关系式； （2）把代入解析式求得y的值，若则球能越过球网，反之则不能，把代入解析式求得y的值，若则会出界，反之则不会． 【详解】（1）解：把点代入关系式得：， 解得：， 则y与x的关系式为：；（4分） （2）∵当时，， ∴球能越过球网．（8分） 21．（8分）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． (1)若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； (2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值 ． 【答案】(1)列表如下： 3 2 共有6种等可能的结果，其中小明获胜的结果有：，，共2种，小刚获胜的结果有：，，，共3种， ∴小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． 答：小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． (2)（答案不唯一） 【分析】对于（1），因为m值确定，所以先通过列表法或树状图列出所有a、b的等可能组合，再分别统计满足的组合数，根据古典概型概率公式计算对应概率． 对于（2），因为要使两人获胜概率相同，所以需满足的组合数等于的组合数，分析a的两个取值分别与乙口袋三个数的大小关系，建立关于m的大小关系条件，选取符合要求的整数m． 【详解】（1）略（4分） （2）（2）列表如下： m 3 2 共有6种等可能的结果． 要使小明和小刚获胜的概率相同，则m的值应该满足， ∴整数m的值为，0，1中的任意一个．（8分） 22．（10分）某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： (1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； (2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 【答案】(1) 函数关系式为，最大利润为元 (2) 定价为元时，新产品每月可获得最大销售利润，最大利润为元 【分析】（1）根据总利润=单件利润×数量，即可解答，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）分两种情形①当销售量每月不小于150件，政府部门给予每件3元的补贴，则利润=（定价-成本价+补贴）×销售量，从而列出关系式；运用二次函数性质求出结果．②当销售量每月小于150件，求出W的最大值，比较两种情形的最大值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意，得：， ， ∴当时，有最大值为2250， 即与之间的函数关系式，最大利润为元；（5分） （2）解：①当销售量每月不小于150件时，即， 解得：， 由题意，得： ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元； ②销售量每月小于150件时，， 解得， 由题意 ， ∵， ∴时，w的最大值为1960， ∵， ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元．（10分） 23．（10分）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为，（3分） （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时．（6分） （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或．（10分） 24．（12分）定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点P，若在外存在点，使得，则称点P为的“内半点”． (1)当的半径为4时， ①在点，，中，是的“内半点”的是 ； ②已知一次函数，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”，求k的取值范围； (2)已知点，的半径为6，若线段上存在的“内半点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)m的取值范围为或 【分析】先明确“内半点”的判定条件：若点是的内半点，则首先在内，其次满足（为半径），即的范围是． （1）①计算每个点到圆心的距离，判断是否落在区间内，符合的即为内半点； ②先确定一次函数过定点，再结合“内半点”的范围，得到直线上第二象限的点到的距离需满足，据此找到边界临界情况：一是直线上的点到的最小距离，二是直线与轴交点的纵坐标满足限制，联立求解的范围． （2）由，得到，因为的半径为6，设点P为的“内半点”，所以．当点M在x轴的负半轴时，，令，令；当点M在x轴的正半轴时，，令，令．分情况讨论． 【详解】（1）解：①设点P为的“内半点”， ∵的半径为4， ∴， ∵，，， ∴， ∴是的“内半点”的有：． 故答案为：；（3分） ②∵一次函数， ∴令，则，令，则， ∴一次函数与x轴交于点，与y轴交于点， 当时，一次函数在第二象限的图象为从A向左上方延伸的射线，不可能所有点都是的“内半点”，不合题意； 当时，一次函数在第二象限的图象为线段，如图， 过点O作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”， ∴， ∴， ∴． ∴k的取值范围为．（6分） （2）解：∵， ∴， ∵的半径为6，设点P为的“内半点”， ∴， ①当点M在x轴的负半轴时，，令，如图， ∵， ∴， ∴， 令，过点C作轴于点D，如图， 则， ∴， ∴， ∵若线段上存在的“内半点”， ∴．（9分） ②当点M在x轴的正半轴时，，令，过点C作轴于点D，如图， 则， ∴， ∴， ∴； 令，如图， ∵， ∴， ∴， ∵若线段上存在的“内半点”， ∴． 综上，若线段上存在的“内半点”，m的取值范围为或．（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $