第3章 勾股定理 易错精练卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级上册勾股定理单元易错精练卷，以文化传承、实际应用及创新探究为特色，适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|勾股定理历史、勾股数、逆定理|第1题结合《周髀算经》渗透文化传承，第9题辨析逆定理应用强化推理意识| |填空题|6题|中线性质、折叠问题、新定义“有趣三角形”|第16题以“有趣三角形”定义考查创新应用，体现抽象能力| |解答题|5题|动态问题、实际应用、综合探究|第17题动点等腰三角形分类讨论，第21题三问递进式探究，契合真题情境化与探究性趋势|

第3章勾股定理易错精练卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（   ） A．B． C． D． 2．在下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13 3．如图，在中，于点D，且，则的长为（   ） A．30 B．24 C．18 D．32 4．在中，两直角边分别是，，则第三边等于（   ） A． B． C． D． 5．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送 (即：水平距离)时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，长方形中，，，把这个长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，是折痕，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C．5 D．10 8．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（   ） A．3 B． C．5 D． 9．下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 10．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，，，点D是的中点，则的长为________． 12．如图，若正方形A，C的面积分别为16和9，则正方形B的面积是________． 13．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要______________元． 14．文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖__________． 15．如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为______． 16．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知中，，一条直角边为4，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于______． 三、解答题 17．如图，中，，动点从点出发以的速度沿射线运动，运动时间为秒． (1)判断的形状并说明理由； (2)当点运动到平分线上时，求的值； (3)当______时，是等腰三角形． 18．如图是小晨在公园里跑步的路线图，从点A到点D有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正西方处，点D在点C的正北方处． (1)求证：； (2)请你通过计算比较这两条路线中哪条路线更长？（参考数据：） 19．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，且，作交于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 20．如图，在中，，过点A作于点F，延长至点D，使，过点D作的垂线，垂足为点B． (1)求证：； (2)若E为的中点，， ①求的长； ②连接，求的长． 21．（1）问题：如图，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_______，位置关系是_______． （2）探索：如图，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3章勾股定理易错精练卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D B C B D B A 1．C 【分析】根据传统文化知识，记录在《周髀算经》中，解答即可． 本题考查了勾股定理的发展史，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得记录在《周髀算经》中， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据勾股数是三个正整数，且满足两较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、含，不是正整数，不符合定义，故该选项错误； B、，，，不符合定义，故该选项错误； C、，，，不符合定义，故该选项错误； D、，，相等且均为正整数，符合定义，故该选项正确； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理并正确运算是解题关键． 先将，转化为，利用勾股定理求出，再用勾股定理求出即可． 【详解】解：由，得， 在中，，即， 解得， 在中，， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，已知两直角边，利用勾股定理求斜边． 【详解】解：∵在中，两直角边分别为，， ∴第三边（斜边）为． 故选D． 5．B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，求解即可． 【详解】解：，， ， 设秋千的绳索长为，则， 在中，，， ∴， 解得：， 即绳索的长度是． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵将此长方形折叠，使点B与点D重合， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．B 【分析】此题考查了勾股定理的应用．过点B作，交DA的延长线于点E，则．由勾股定理，得，则．由得到．即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点E，则． 在中，由勾股定理，得． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 故选：B 8．D 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故选：D． 9．B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 10．A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， ， 所以 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 11． 【分析】此题考查了勾股定理，首先在中，利用勾股定理求出的长度，然后根据点D是的中点，求出的长度；最后在中，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴ ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出正方形B的面积即可． 【详解】解：如图： 这些四边形都是正方形 、、 、 因此，正方形B的面积是7， 故答案为：7． 13． 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米 因此，购买这种地毯至少需要的费用为元， 故答案为：． 14．13 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由题意得，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 即要挖到该文物至少要挖， 故答案为：． 15．1或7 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及折叠的性质． 先通过等腰三角形三线合一求出相关线段的长度，再根据折叠的性质得到，，．由于当为直角三角形，且，因此只能，分点在上方或者下方来讨论即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点． ，， ， ， 由折叠可得，，． 当为直角三角形时，只能， ∴， 当点在上方时： ，， ， ， ， ； 当点在下方时： ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为1或7， 故答案为：1或7．　 16．4或 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是理解“有趣三角形”，“有趣中线”的定义，以及勾股定理． 由题意可得，可令，设，根据“有趣三角形”的定义，可以分三种情况，“有趣中线”分别是边、、的中线，利用“有趣中线”的定义或勾股定理，分别求解即可． 【详解】解：已知中，，一条直角边为4， 可令，设， 当“有趣中线”是边的中线时，如下图： 由“有趣中线”定义，可得； 当“有趣中线”是边的中线时，如下图： 由“有趣中线”定义，可得， 由是中线可得，， 在中，由勾股定理可得，，即， 解得（负值舍去）， 即， 当“有趣中线”是边的中线时，由直角三角形的性质可得，斜边是其边中线的2倍，不符合题意， 故答案为：或． 17．(1) 解：是直角三角形，理由如下： ， ，， ， 是直角三角形，且； (2)； (3)或或 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，验证三角形三边是否满足，若满足则为直角三角形． （2）过点作于，利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）得到，再结合全等三角形的性质及判定得，最后在中，由勾股定理列方程求解 （3）分三种情况讨论等腰三角形： ①，直接得； ②，设，则，在中用勾股定理列方程，代入求解； ③，利用等腰三角形的性质求出，得到 【详解】（1）略 （2）解：过点作于， 平分，，， ，， ∴（）， ∴， ， ， ， ， 在中，由勾股定理： ，即， ； （3）解：情况1：当时， ， ， 情况2：如图，当时， 设，则， 在中，， ， ； 情况：如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或或 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、角平分线的性质、等腰三角形的分类讨论，熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用、角平分线的性质，以及对等腰三角形进行分类讨论是解题的关键． 18．(1) 证明：在中，，，， ，， ， ， ； (2)路线更长 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判定即可； （2）根据勾股定理可求的长度，比较和即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， 由勾股定理，得， ， ． ， 路线更长． 19．(1) (2) 【分析】（）由线段垂直平分线的性质得，即得，，进而得到，得到，再根据三角形外角性质解答即可求解； （）利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)①的长为；②的长为 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、余角及补角的性质、勾股定理等知识点，根据面积等式列方程求线段长度等是解题的关键． （1）由于点F，于点B得，则；再根据同角的余角相等证明，再结合，可以根据“”即可证明结论； （2）①先求出，再根据勾股定理求出的长，再根据列方程求出的长；②如图2，作交的延长线于点G，则，证明则，根据勾股定理求出的长，可得的长，再求出的长和的长，再根据勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：如图1，∵于点F，于点B， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：①如图2，∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． ②如图2，作交的延长线于点G，则， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 21．（1），（2），理由见解析（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质． （1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，； （2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴，； 故答案为：，； （2），证明如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $