专题02 基本不等式及其应用七重难点题型（高效培优专项训练）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 以题型为载体系统构建基本不等式应用体系，涵盖比较大小、证明、最值等核心考法，提炼“1的妙用”等实用技巧，形成从基础到综合的逻辑链条，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比较大小|3题|利用基本不等式性质直接判断|从概念理解到性质应用，奠定基础| |证明不等关系|4题|作差法、综合法结合不等式变形|强化逻辑推理，深化概念理解| |求和积最值|3题|“一正二定三相等”原则直接应用|掌握基本不等式核心应用| |“1”的妙用|5题|常数代换法构造定值条件|技巧性变形，提升应用灵活性| |条件等式求最值|4题|消元法、配方法转化目标式|综合条件处理，培养转化能力| |平均值不等式综合|5题|多变量协调、错误分析与纠正|从单一到综合，发展批判性思维| |绝对值三角不等式|9题|几何意义与代数解法结合|拓展不等式应用领域，完善知识体系|

专题02 基本不等式及其应用 题型一 由基本不等式比较大小 题型二 由基本不等式证明不等关系 题型三 基本不等式求和的最小值与积的最大值 题型四 基本不等式“1”的妙用求最值 题型五 条件等式求最值 题型六 平均值不等式综合解答 题型七 绝对值三角不等式 题型一：由基本不等式比较大小 1．（24-25高一上·上海·阶段检测）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 2．（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 3．某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 【答案】C 【详解】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为， C选项中，两次提价后的水价为， D选项中，两次提价后的水价为， 因为，则，则， 所以，，则， 即， 由基本不等式可得， 所以，. 故选：C. 题型二：由基本不等式证明不等关系 4．（25-26高一上·上海·期中）已知，都是正实数，证明：. 【答案】 因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【详解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 6．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）若实数满足，则称比接近． (1)若比5接近1，求的取值范围； (2)判断下列命题“若，则比接近”的真假，并说明理由； (3)证明：对于任意两个不相等的正数，必有比接近． 【详解】（1）因为比5接近1，故， 故，所以. （2）若，则，故， 所以或， 若，则且，故， 所以， 故，所以， 也就是“比接近”. 若，则且，故， 所以， 故，所以， 也就是“比接近”. 综上所述，命题“若，则比接近”是真命题； （3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证比接近， 即证：， 即证：， 即证：， 因为，因为， 故，故， 所以成立， 故比接近. 7．（25-26高一上·上海·期中）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 【答案】(1)证明：由题意可知要证明， 只需证明， 左边， 右边， 所以左边右边，当且仅当，即时等号成立； （2）3维柯西分式型不等式为：若均为正实数，则，当且仅当时等号成立； 由3维柯西分式型不等式可知， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. (3)证明：由柯西分式不等式可知， 当且仅当时，即时取等号； 由可得， 即， 可得， 当且仅当时，即时取等号. 令， 则等价于，， 即证，即证， 因为恒成立，且时取等号，故原命题得证. 题型三：基本不等式求和的最小值与积的最大值 8．（25-26高一上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【详解】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 9．（25-26高一上·上海·期末）某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨 【答案】 【详解】由一年共购买吨，每次购买吨，则一年共购买次， 由运费为万元/次，则一年运费共万元， 所以一年的总费用， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 10．（25-26高一上·陕西汉中·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为，宽为. (1)若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； 【详解】（1）由题意：，，. 因为，当且仅当即时取等号. 所以当m，m时，所用篱笆总长最小. （2）由题意：，，. 所以，当且仅当即时取等号. 所以当m，m时，篱笆所围的育苗区面积最大. 题型四：基本不等式“1”的妙用求最值 11．（25-26高一上·上海·期中）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】因，，两边同时乘以，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 12．（25-26高一上·上海·期中）已知，且满足，则的最小值为_______． 【答案】8 【详解】由可得， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：8. 13．（25-26高一上·上海·期中）已知均为正数，，则的最小值是_____． 【答案】4 【详解】由，展开得，即， 两边同时除以（为正数，），得. 则，当且仅当时取等号. 即当时，的最小值是. 故答案为： 14．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，若，则的最小值为______ 【答案】 【详解】由函数， 因为，可得， 整理得，且，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：． 15．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知实数且． (1)试比较和的大小． (2)若，求的最小值． 【详解】（1） 又． ①当时，，即； ②当时，，即； ③当时，，即． （2）因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 题型五：基本不等式“1”的妙用求最值 16．（24-25高一上·上海·期末）已知实数满足，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】由可得，当且仅当时取得等号； ，当且仅当时取得等号； 故的最小值为. 故答案为：. 17．（25-26高一上·上海·阶段检测）设、．已知，则的最大值为_____． 【答案】4 【详解】因为、，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为4. 故答案为：4 18．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知两正实数､，满足，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】因为且， 由，可得， 则 . 令，则， 可得 ， ∵，则， 当且仅当时取等号. 故答案为：. 19．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，，且，则的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】因为，，则， 则， 设，则， 所以，，解得或， 又因为，则有或， 若，则必有，， 所以，，矛盾，故应舍去， 所以，， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，，整理可得， 因为，解得， 故，即， 所以，的取值范围是. 故答案为：. 题型六：平均值不等式综合解答 20．（25-26高一上·上海·期中）已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【详解】（1）正实数满足，，， 当且仅当且时取等号，解得， 的最小值为. （2），， ，当且仅当时等号成立， ， . （3），，解得， ， 根据均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，解得， ， ，， 最大值为，此时的值为. 21．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围； （2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”： ①题目：已知正实数，满足，求的最小值. 甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8. ②题目：已知正实数，满足，求的最大值. 乙的解法：由，当且仅当时取等号，此时， 则，所以的最大值为. 请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法. 【详解】（1）因为正实数，满足，则. ， 当且仅当即时取等号. 由恒成立，得，即，解得. （2）①甲的错误：两次使用均值不等式时，等号成立条件不同， 第一次需，第二次需，无法同时满足. 正确解法：由，， 当且仅当时取等号，故最小值为. ②乙的错误：误用均值不等式（应针对和使用，而非和）. 正确解法：由，， 当且仅当即，时取等号，故最大值为. 22．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知，. (1)若，求的最小值； (2)若，不等式（）恒成立，求实数的取值范围； (3)若且，求的最大值并指出取得最大值时的关系. 【详解】（1）由，，得， 当且仅当时取等号，所以的最小值是2. （2）由，， 得 ， 当且仅当，即时取等号，而， 因此，则，所以实数的取值范围为. （3）由，得，， 当且仅当时取得等号， 因此， 所以的最大值为，此时. 23．（25-26高一上·上海松江·期中）正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值，并指出等号成立的条件； (2)设的最小值为，且正数满足，求的最小值； (3)若实数满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时m的值. 【详解】（1）若正实数满足， ,当且仅当且,即时取等号， 所以的最小值，当且仅当时取等号. （2）函数，作出图象，    函数的最小值为1，则， ， 当且仅当且，即时，等号成立； 所以，所求最小值为. （3）若正实数满足,且， 由 因为，且仅当时取等号， 所以 ，所以. 代数式, 令,则, 所以, 当且仅当，即时取等号, 又因为，解得， 即，所以. 所以的最小值为，此时. 24．（25-26高一上·上海浦东新·期中）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 阅读材料一： 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：①整体观察：②整体设元；③整体代入：④整体求和等. 例如，，求证：. 证明：原式. 阅读材料二： 解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数，满足，求的最小值. 解：由，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立. 的最小值为. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 结合阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若正实数，满足，求的最小值. 【详解】（1）因为， 所以； （2）由正实数，满足， 所以 ， 由于，故，当且仅当，即，时等号成立， 因为有最小值，此时有最大值， 从而最小值，即有最小值，当且仅当，时取得． 25．仔细阅读以下材料：【已知a，，，求的最小值. 解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为. 另解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为.】参考上述解法，求解下列问题. (1)已知a、b、，，求的最小值； (2)已知，求的最小值； (3)已知a、，，求的最小值. 【详解】（1）由，， 则 ， 当且仅当时等号成立，故最小值为9； （2）由，则 ， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为18； （3）由，，则，即， 所以，显然， 所以， 当且仅当，即，则时等号成立， 所以最小值为. 题型七：绝对值三角不等式 26．（24-25高一下·上海金山·阶段检测）不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】，则不等式的解集为空集. 故答案为： 27．（25-26高一上·上海·期末）若的最小值是___________． 【答案】4 【详解】，当且仅当成立， 即，故的最小值为4． 故答案为：4. 28．（25-26高一下·上海·阶段检测）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为，当且仅当， 即时取等号， 所以， 又对任意，不等式恒成立，所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 29．（25-26高一上·上海金山·期中）设，方程的解集为________ 【答案】 【详解】因为， 当且仅当，解得或， 故方程的解集为. 故答案为：. 30．（25-26高一上·上海·期中）设，则方程的解集为__________. 【答案】 【详解】依题意，， 当且仅当，即时取等号， 所以方程的解集为. 故答案为： 31．（24-25高一上·上海·阶段检测）存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】存在,不等式成立，变形即成立， 由于，当且仅当时取等号， 因此有， 两边平方，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 32．（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是__________． 【答案】 【详解】因为， 又， 当且仅当时，等号成立， 解得， 所以方程的解集是， 故答案为：. 33．（24-25高一上·上海·期中）函数取到最小值时，实数x的取值范围是______． 【答案】 【详解】， ， ，当时，等号成立， ，当时，等号成立， 上面两个等号同时成立时，函数取得最小值12，联立，得， 所以当函数取得最小值时，实数的取值范围是. 故答案为： 34．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数 . (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）时，， 则，即， 当时，，解得，与取交集得， 当时，，解得，与取交集得， 当时，，解得，与取交集得， 综上，不等式的解集为； （2），即， 故， 当时，不等式显然成立， 当时，由绝对值三角不等式得， 当且仅当时，等号成立， 因此，平方得，解得，故， 综上，实数的取值范围是. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 基本不等式及其应用 题型一 由基本不等式比较大小 题型二 由基本不等式证明不等关系 题型三 基本不等式求和的最小值与积的最大值 题型四 基本不等式“1”的妙用求最值 题型五 条件等式求最值 题型六 平均值不等式综合解答 题型七 绝对值三角不等式 题型一：由基本不等式比较大小 1．（24-25高一上·上海·阶段检测）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 题型二：由基本不等式证明不等关系 4．（25-26高一上·上海·期中）已知，都是正实数，证明：. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 6．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）若实数满足，则称比接近． (1)若比5接近1，求的取值范围； (2)判断下列命题“若，则比接近”的真假，并说明理由； (3)证明：对于任意两个不相等的正数，必有比接近． 7．（25-26高一上·上海·期中）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 题型三：基本不等式求和的最小值与积的最大值 8．（25-26高一上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 9．（25-26高一上·上海·期末）某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨 10．（25-26高一上·陕西汉中·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为，宽为. (1)若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； 题型四：基本不等式“1”的妙用求最值 11．（25-26高一上·上海·期中）已知，且，则的最小值为___________． 12．（25-26高一上·上海·期中）已知，且满足，则的最小值为_______． 13．（25-26高一上·上海·期中）已知均为正数，，则的最小值是_____． 14．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，若，则的最小值为______ 15．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知实数且． (1)试比较和的大小． (2)若，求的最小值． 题型五：基本不等式“1”的妙用求最值 16．（24-25高一上·上海·期末）已知实数满足，则的最小值为__________． 17．（25-26高一上·上海·阶段检测）设、．已知，则的最大值为_____． 18．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知两正实数､，满足，则的最大值为__________. 19．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，，且，则的取值范围是_____________. 题型六：平均值不等式综合解答 20．（25-26高一上·上海·期中）已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 21．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围； （2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”： ①题目：已知正实数，满足，求的最小值. 甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8. ②题目：已知正实数，满足，求的最大值. 乙的解法：由，当且仅当时取等号，此时， 则，所以的最大值为. 请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法. 22．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知，. (1)若，求的最小值； (2)若，不等式（）恒成立，求实数的取值范围； (3)若且，求的最大值并指出取得最大值时的关系. 23．（25-26高一上·上海松江·期中）正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值，并指出等号成立的条件； (2)设的最小值为，且正数满足，求的最小值； (3)若实数满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时m的值. 24．（25-26高一上·上海浦东新·期中）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 阅读材料一： 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：①整体观察：②整体设元；③整体代入：④整体求和等. 例如，，求证：. 证明：原式. 阅读材料二： 解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数，满足，求的最小值. 解：由，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立. 的最小值为. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 结合阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若正实数，满足，求的最小值. 25．仔细阅读以下材料：【已知a，，，求的最小值. 解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为. 另解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为.】参考上述解法，求解下列问题. (1)已知a、b、，，求的最小值； (2)已知，求的最小值； (3)已知a、，，求的最小值. 题型七：绝对值三角不等式 26．（24-25高一下·上海金山·阶段检测）不等式的解集为__________. 27．（25-26高一上·上海·期末）若的最小值是___________． 28．（25-26高一下·上海·阶段检测）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 29．（25-26高一上·上海金山·期中）设，方程的解集为________ 30．（25-26高一上·上海·期中）设，则方程的解集为__________. 31．（24-25高一上·上海·阶段检测）存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. 32．（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是__________． 33．（24-25高一上·上海·期中）函数取到最小值时，实数x的取值范围是______． 34．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数 . (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $