专题04 基本不等式及其应用（单元测试）-【课后优辅导】2024-2025学年高一数学上学期讲义（沪教版2020）

专题04 基本不等式及其应用 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.把答案填在答题卡中的横线上. 1．（2010·湖北·一模）当时，的最小值为 ． 2．（22-23高一上·湖北武汉·期中）若实数，，且，则的最小值为 ． 3．（2023·山西大同·模拟预测）已知，，，，则的最小值为 ． 4．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为 ． 5．（23-24高一下·河北·期末）已知，且，则的最小值为 ． 6．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 7．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 8．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 9．（23-24高三下·江西·阶段练习）设，，若，则的最小值为 . 10．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）若，，且，则的最小值为 . 11．（2016高二·全国·竞赛）设，则的最小值为 . 12．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 二、单选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（23-24高一上·广东深圳·期中）的最小值为（    ） A． B． C． D．10 14．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 15．（2024·河南信阳·模拟预测），则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 16．（20-21高三下·湖南·阶段练习）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知． (1)若与均为正数，求的最大值； (2)若与均为负数，求的最小值． 18．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 19．（23-24高一上·江苏·阶段练习）（1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 20．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）设a，b，c，d为实数，求证：； （2）已知，求证：． 21．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 基本不等式及其应用 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.把答案填在答题卡中的横线上. 1．（2010·湖北·一模）当时，的最小值为 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 2．（22-23高一上·湖北武汉·期中）若实数，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由已知变形可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为实数，，且，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故答案为：. 3．（2023·山西大同·模拟预测）已知，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质证明不等式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由已知可得，结合基本不等式求的最小值，再求的最小值. 【详解】因为，， 所以，又，， 所以，当且仅当时取等号． 所以，当且仅当时取等号． 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题可得，化简利用基本不等式即可得出结论． 【详解】正数，满足， ， 当且仅当即时取等号． 故答案为：． 5．（23-24高一下·河北·期末）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为且，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以最小值为. 故答案为：． 6．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可. 【详解】由于，因此， 则， 当且仅当时取等号． 故答案为：. 7．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由题意恒成立，即，然后由基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意恒成立，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先变形：，再根据基本不等式求最值. 【详解】因为， 所以 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 9．（23-24高三下·江西·阶段练习）设，，若，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】运用基本不等式求出的范围，再对的分子运用基本不等式，放缩为，再根据等号成立条件，运用不等式的传递性求解即可. 【详解】由，，，得，所以， 当且仅当时取等号， ， 当且仅当时取等号， 所以，两个不等式等号成立条件相同， 所以，当且仅当时，取得最小值. 故答案为：. 10．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）若，，且，则的最小值为 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】通分后利用已知化简，然后再变形为，利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】因为， 所以 ， 由于，所以，且， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2 11．（2016高二·全国·竞赛）设，则的最小值为 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】变形得，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，则，即， 则 ， 当且仅当时取等号，此时， 故答案为：. 12．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【详解】因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 二、单选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（23-24高一上·广东深圳·期中）的最小值为（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． 故选：A. 14．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式求乘积的最大值，再检验最小值的情况即可得解. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 故有最大值，故C正确，BD错误； 令，解得或， 又，所以取不到函数值0，故A错误. 故选：C. 15．（2024·河南信阳·模拟预测），则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由已知可得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】，则，且, 整理得到， 所以，当且仅当，即时取等号. 即的最小值为. 故选：C. 16．（20-21高三下·湖南·阶段练习）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】不等式、由基本不等式证明不等关系 【分析】通过图形，并因为，，所以，，从而可以通过勾股定理求得，又因为，从而可以得到答案. 【详解】等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，， ， 而，所以，故选项B正确. 故选：B 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知． (1)若与均为正数，求的最大值； (2)若与均为负数，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据基本不等式和为定值求解乘积的最值即可； （2）利用基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【详解】（1）因为与均为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以的最大值为． （2）因为与均为负数，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 18．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】（1）根据不等式的性质通过乘积及和的运算得出式子范围即可； （2）通过基本不等式1的活用得出最小值即可转化恒成立问题求参. 【详解】（1）因为，所以． 又，所以，即． （2）由， 则． 当且仅当即时取到最小值16． 若恒成立，则． 19．（23-24高一上·江苏·阶段练习）（1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）（2） 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由已知结合基本不等式求出的最小值即可得的最大值. （2）先用配凑法将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以即最大值为. （2）因为， 所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最大值是． 20．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）设a，b，c，d为实数，求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）利用作差法化简证明即可； （2）利用基本不等式结合配方法证明即可. 【详解】（1）因为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以； （2）因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 因为， 综上． 21．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$