专题13 平均数与方差 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题13 平均数与方差 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.集中趋势分析：算术平均数、加权平均数（描述数据平均水平） 2.离散程度分析：方差、标准差（描述数据波动与稳定性） ✅本节课围绕数据统计的两大维度展开，平均数用于分析数据集中趋势，评判整体平均水平；方差与标准差用于分析数据离散程度，评判数据波动与稳定性。 ✺学习目标 1.理解算术平均数、加权平均数、方差的基本定义，熟记课内核心公式。 2.掌握两类平均数、方差的基础计算方法，能独立完成简单运算。 3.理解权、方差的统计意义，能根据方差大小判断数据稳定性。 4.初步掌握数据平移、缩放后平均数与方差的变化规律。 5.能区分平均数与方差的用途，简单解决生活中的统计基础问题。 ✺题型归纳 题型1.求众数 题型2.利用众数求未知数据的值 题型3.运用众数做决策 题型4.求一组数据的平均数 题型5.已知平均数求未知数据的值 题型6.利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型7.利用平均数做决策 题型8.求加权平均数 题型9.利用加权平均数求未知数据的值 题型10.运用加权平均数做决策 题型11.用计算器求平均数 题型12.求方差 题型13.利用方差求未知数据的值 题型14.根据方差判断稳定性 题型15.运用方差做决策 题型16.标准差 题型17.用计算器求方差 题型18.求离差平方和 题型19.离差平方和的应用 题型20.用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 题型21.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、算术平均数 1.定义：一般地，n个数据的总和除以数据的个数，所得结果即为这组数据的算术平均数，简称平均数，记作 2.计算公式： 3.统计意义：刻画数据的集中趋势，反映一组数据的整体平均水平。： 4.基本特点：容易受极大值、极小值等极端值影响，存在异常数据时，平均数不能真实反映数据水平。 知识点二：加权平均数 1.定义：在实际问题中，一组数据里的各个数据的重要程度往往不同。计算平均数时，我们常常给每个数据一个“权”，用来反映数据的相对重要程度。一般地，若n个数,…的权分别是,…,则根据数据与对应权值计算得到的平均数，叫做这组数据的加权平均数。 2.权的常见形式：数据出现次数、百分比、比例、评分权重。 3.公式表示： 4.主要特点：权重越大的数据，对平均数影响越大。算术平均数是所有数据权重相等时的特殊情况。 知识点三、方差 1.定义：一组数据中，每个数据与平均数差值的平方的平均数，叫做方差，记作s2，用于刻画数据波动大小（离散程度）。 2.计算公式： 预习计算口诀：先求平均、再求差值、差值平方、再求平均。 3. 统计意义 方差越大：数据波动越大，稳定性越差；方差越小：数据波动越小，稳定性越好；数据全部相同时，方差为0，无波动。 4.标准差 5.数据变化规律 设原数据平均数为，方差为s2： 数据同加、同减一个常数：平均数改变，方差不变； 数据扩大k倍：平均数扩大k倍，方差扩大k2倍。 知识点四：平均数与方差对比 统计量 研究方向 核心作用 特点 平均数 集中趋势 反映数据平均水平 易受极端值影响，不体现波动 方差 离散程度 反映数据波动与稳定性 只看波动，方差不易受极端值影响 知识点五、易错点提醒 1.有权重的场景不能直接求算术平均数，必须用加权公式计算。 2.方差计算最后必须除以数据个数n，是最基础易错点。 3.方差一定是非负数，算出负数即为计算错误。 4.数据平移不改变方差，仅缩放会改变方差，切勿记混规律。 5.平均数相同的两组数据，稳定性不一定相同，需对比方差。 ✺题型精讲 题型1.求众数 1．某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了12名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（     ） A．97分 B．90分 C．88分 D．87分 2．有一组数据：3，6，7，7，9，13，16，则这组数据的众数是________． 3．某学校开展“落实大阅读，创建书香校园”活动，该校团委会为了解学生每周阅读的时间，随机调查了50名同学，并绘制了如图所示的统计图，则这些同学阅读时间的众数是_______小时． 题型2.利用众数求未知数据的值 1．已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 2．若一组数据的众数是，则的值为______． 3．一组数据：0，1，﹣3，6，a，其唯一众数为1，求a的值． 题型3.运用众数做决策 1．一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对学生的鞋号进行了抽样调查．经销商最感兴趣的是这组数据中的（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 2．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示．从众数的角度给这家鞋店提供建议，多进___________的鞋子．（选择一个尺码） 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 3．学校准备购买一批演出服，供学生活动时借用．七年级（1）班的同学随机调查了全校40名同学适合的演出服尺码，结果发现：穿S号的有5人，穿M号的有16人，穿L号的有10人，穿号的有5人，穿号的有4人．根据调查结果，你认为七年级（1）班的同学会为学校购买服装提出什么建议？ 题型4.求一组数据的平均数 1．每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 2．小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．则小王这一周的平均睡眠时间是__________小时． 3．今年某校为落实区教育局“互联网·享受教育”课堂生态重构实施方案，积极探索“互联网享受学堂”教学模式，决定七年级教学实行“电子学案导学，微课自主学习”．张亮同学都认真完成每天电子导学案中的检测题来评价自己自主学习的情况，下表是张亮同学一周内五天检测题成绩（以80分为标准，高出部分用“+”表示，低于的部分用“-”表示） 星期 一 二 三 四 五 分数变化 问： (1)本周内张亮同学周几的检测题成绩最高，最高分是多少？ (2)计算这5次检测题平均成绩． 题型5.已知平均数求未知数据的值 1．已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（     ）分钟． A．50，50 B．45，60 C．50，60 D．55，60 2．如果数据、、、、的平均数是，那么的值是________． 3．某班学习小组有12人，一次数学测验只有10人参加，平均分是81.5分．后来，缺考的李明和张红进行了补考，李明补考成绩比原10人平均分少1.5分，而张红的补考成绩却比12人的平均分多12.5分，张红考了多少分？ 题型6.利用已知的平均数求相关数据的平均数 1．有40个数，小明同学第一次统计这些数的平均成绩为82分，在复查时发现漏记了其中的一个数86，那么这40个数的实际平均数为（     ） A．85.2 B．84.15 C．83.6 D．82.1 2．一组数据，，…，的平均数为10，则数据，，…，的平均数为______． 3．（平均数）从1到n共n个连续自然数中，擦去其中的某一个数后，余下的数字的平均值为，求擦去的数，并说明理由． 题型7.利用平均数做决策 1．“水城春茶”以其汤色绿亮、栗香持久而闻名．下表记录了不同水温下茶多酚的溶出速率，为了保持茶汤的鲜爽口感，需将溶出速率控制在，那么应选择（     ）的水温进行冲泡． 水温 25 60 80 95 茶多酚溶出速率 A．25 B．60 C．80 D．95 2．今年某果园随机从甲、乙两个品种的苹果树中各选了5棵，每棵产量（单位：千克）如表所示： 1 2 3 4 5 甲 23 19 21 22 27 乙 18 26 20 23 28 明年准备从这两个品种中选出一种产量较高的苹果树进行种植，则应选的品种是__________． 3．总厂要评估各个分厂的生产效率，并据此来评定职工奖金．下表给出了甲、乙两个分厂的产量情况： 甲分厂 乙分厂 产量（只） 工人数（人） 产量（只） 工人数（人） 新车间 700000 140 600000 100 老车间 120000 60 210000 100 (1)你认为哪个分厂的生产效率更高？为什么？ (2)甲分厂的负责人说：“我分厂工人数与乙分厂相同，总产量比乙分厂高，应该率先提高我分厂工人的奖金．”你同意他的说法吗？为什么？ 题型8.求加权平均数 1．某校规定学生的学期数学成绩由平时、期中、期末三部分组成，权重分别为．小明平时、期中、期末成绩依次为90分、85分、92分，则他的学期数学成绩为（     ） A．89分 B．89.5分 C．90分 D．90.5分 2．锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为、、，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 3．某校舞蹈比赛的总成绩由三部分组成：舞蹈基本功、舞蹈表演、舞蹈即兴，这三项成绩依次按的比例计入总成绩，小数在舞蹈比赛中，舞蹈基本功得分是96分、舞蹈表演得分是92分、舞蹈即兴得分是90分，求小数在舞蹈比赛中的总成绩． 题型9.利用加权平均数求未知数据的值 1．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示，已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（　　） 环数 7 8 9 人数 2 ？ 3 A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 2．一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 3．某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 乙 (1)如果学校认为这三项素质测试成绩同等重要，谁会被录取； (2)如果学校根据实际需要，将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按的比例确定最终成绩，部分看不清楚，最后甲被录取，通过计算说明被覆盖的部分最小值． 题型10.运用加权平均数做决策 1．一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均为百分制，然后按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的两名选手的单项成绩如下表所示，则两人的综合成绩（     ） 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 80 90 90 乙 85 85 90 A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法比较 2．某校八年级学生的数学学期成绩由平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩组成．甲、乙两名同学的各项成绩（百分制）和各项成绩占比如下表所示，那么从甲、乙两人的学期成绩看，__________的学期成绩更高（填“甲”或“乙”）． 成绩项目 平时成绩 期中考试成绩 期末考试成绩 在学期成绩中的占比 甲的成绩 90 85 90 乙的成绩 88 90 85 3．某校举办了创意编程挑战赛，只有甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛对创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10分），甲、乙两位同学的各项得分如下： 同学 创意设计/分 代码实现/分 答辩展示/分 甲 8 8 9 乙 8 9 8 如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算个人最终决赛成绩，请通过计算说明哪位同学会获得第一名． 题型11.用计算器求平均数 1．利用我们数学课本上的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：      则输出结果应为（    ） A．55 B．54.5 C．54 D．53 2．用计算器求平均数时，打开计算器先按方向键选中_________图标，再按_________进入统计应用，再按_________启动“单变量统计”计算功能，每次按完数据后，再按键_________，表示已将这个数据输入计算器． 3．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下 ，则显示的结果为______． 题型12.求方差 1．若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 2．有一组数据如下：、、、、，它们的平均数是，那么这组数据的方差是______． 3．利用你收集到的男女同学的身高和体重的数据，在男同学的身高和体重以及女同学的身高和体重这四组数据中挑选一组，用简单随机抽样方法选取含有25名、40名、65名同学的三个样本，计算这三个样本的平均数和方差，再与总体的平均数和方差作对比，看看大一些的样本的平均数和方差是否往往与总体的比较接近． 题型13.利用方差求未知数据的值 1．已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．一组数据方差，则这组数据平均数为______． 3．一家玻璃厂制造了一批温度计、为了检测温度计的示数是否准确、选择其中的5个放在同一个房间内测量室温．10分钟后取出，统计温度计的示数得到如下统计表： 编号 1 2 3 4 5 温度 20 22 17 18 23 (1)计算温度计示数的平均值； (2)车间规定：同一批次的温度计的方差不得超过4、请你判断这批温度计是否达标． 题型14.根据方差判断稳定性 1．在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（     ） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 2．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： ， ， ， ，则小麦长势比较整齐的试验田是___________________ ． 3．为响应“健康中国2030”行动，某校开展了为期五周的“每日步数达标打卡”积分活动．已知甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同，相关数据如下： 甲同学五次打卡积分统计表（单位：分） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 积分 33 35 34 36 乙同学五次打卡积分的方差计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是__________； (2)根据甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数和方差，判断谁的打卡表现更稳定，并说明理由； (3)如果甲同学再打卡一次，第六次积分为35分，与前五次相比，甲同学六次打卡积分的方差将__________（填“变大、变小”或“不变”）． 题型15.运用方差做决策 1．赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 2．现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，你认为选取________队参加决赛比较合适． 3．为了了解甲、乙两名同学近期数学学习的稳定性，老师调取了他们最近次数学单元测验的成绩（单位：分），具体数据如下表所示： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是________分，乙的平均成绩是________分； (2)分别计算甲、乙两名同学次测验成绩的方差； (3)如果只能推荐一名同学去参加市级数学竞赛，你认为应该推荐哪位同学？请结合前两问的计算结果说明理由． 题型16.标准差 1．老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 2．某学校要从甲、乙两支女生礼仪队中，选拔一支身高相对整齐的队伍，代表学校承接迎宾任务，对两队女生身高情况（m）的统计分析如表所示，在其它各项指标都相同的情况下，你认为________队（填甲或乙）会被录取，理由是________． 平均数 标准差 中位数 甲队 1.72 0.038 1.73 乙队 1.69 0.025 1.70 3．一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示： 甲 乙 丙 丁 戊 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 70 英语 88 82 94 85 76 85 (1)求这五位同学在这次考试中英语成绩的标准差． (2)为了比较不同学科成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式为：标准分（个人学科成绩学科平均分）学科成绩的标准差．从标准分看，标准分高的学科成绩更好，则甲同学在这次考试中，数学与英语哪个学科的成绩更好？ 题型17.用计算器求方差 1．用计算器计算方差时，要首先进入统计计算状态，需要按键（    ） A． B． C． D． 2．用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入_____状态； ②依次输入各数据； ③按求_____的功能键，即可得出结果． 3．给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． (1)请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； (2)用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 题型18.求离差平方和 1．一组包含5个从小到大排列的数据，将这组数据分成两组，四种分法的组内离差平方和如下表所示，其中分法三划分出的两组数据的离差平方和分别为26和12.5，根据组内离差平方和最小的原则，应该选用的分法是（     ） 分组方法 分法一 分法二 分法三 分法四 组内离差平方和 86.75 62.5 x 74 A．分法一 B．分法二 C．分法三 D．分法四 2．小亮根据组内离差平方和最小原则，将一组数据分成了和两组，则这两组数据的组内离差平方和为_____________． 3．某水果店现有5个精品水蜜桃，其质量（单位：g）从小到大分别为240，250，260，280，300，水果店打算将这5个水蜜桃按质量分为两组包装成水果礼盒，一组2个，另一组3个．按照组内离差平方和最小的原则初步筛选了两种分组方式如下表，则哪种方式更好？ 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组，乙组 400 方式二 A组，B组 m 题型19.离差平方和的应用 1．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度，将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 18.75 2 第一组2人，第二组3人 6.67 3 第一组3人，第二组2人 14.67 4 第一组4人，第二组1人 22.75 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组．已知一组不全相等的数据共5个数，对这组数据进行分组，设两组的离差平方和分别为和，且满足，请你写出一组符合题意的数据____________． 3．有6个水蜜桃测出了他们的值（糖度值，值越大越甜）如下：16、17、18、18、18、19；以下是计算各种情况的组内离差平方和表（精确到）： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 (1)将表格补充完整 (2)如果要将这组水蜜桃分为“优品”和“精品”，应该如何分，为什么？ 题型20.用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 1．某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 2．某中学九年级有名学生参加体育中考测试．随机抽取名学生的成绩进行统计，得到平均分为分，方差为．则估计该校九年级全体学生体育测试成绩的总分约为______分． 3．在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数据进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)这50名学生捐款的众数为________元； (2)求这50名学生平均每人捐款多少元； (3)如果捐款的学生有300人，估计这次的捐款总数． ✺巩固测试 一、单选题 1．班主任统计了上周双休日该班名同学在家课外阅读的时间如下（单位：时）：，，，，，，，，这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 2．若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第二学期 4 次数学测试的平均成绩恰好都是85 分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是（     ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 3．如图，下列结论中，不正确的是（    ） A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大 C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大 4．已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 5．现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 二、填空题 6．若一组数据10，，10，10，8的平均数和众数相等，则的值为__________． 7．一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数后平均数不变，则_________；这组新的数据的方差为_________． 8．某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 9．若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 10．为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 三、解答题 11．某校要举行科技创新比赛，参赛选手均需完成创意设计、动手实践、答辩展示三项考核，且依次按，，的占比计入最终成绩．已知决赛中甲的上述三项成绩（百分制）依次是85分，80分，93分，乙的上述三项成绩（百分制）依次是80分，90分，85分．最终成绩较高者获得冠军，则甲、乙两人谁会获得冠军？ 12．泉州闽超联赛赛前体能测试，对、两名本土前锋进行1分钟折返冲刺跑动距离测试（单位：米），相同场地与热身条件下，每人测试5次，数据统计如下表： 前锋 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 众数 95 90 95 85 100 95 90 90 95 95 93 (1)表格中___________，___________，___________； (2)求球员1分钟跑动距离的方差； (3)已知B球员该项数据方差为6，结合平均数、方差，判断哪位球员的冲刺发挥更稳定，说明理由． 13．某车间有甲、乙两个生产组，甲组工人的月平均工资为6530元，工资的标准差为1275元，乙组工人的月工资资料如下： (1)计算乙组工人的月平均工资和工资的标准差（计算结果保留整数）； (2)计算说明甲、乙两个生产组哪个组的月平均工资更具有代表性（计算结果%前保留1位小数）． 14．某校为探索美术创作能力培养模式，在九年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对九年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）． 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 10 3 二班人数 1 7 13 5 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 8 7.925 1.219 二班 8 8 (1)表中的值为______，的值为______； (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是______班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，九年级一班的美术教学也增设了“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动，学期结束后再次对一班的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数），并对评分数据进行整理与分析，若已知全班同学评分的最低分为7分，最高分为10分，中位数为8.5分，众数为9分，若要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有______人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 平均数与方差 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.集中趋势分析：算术平均数、加权平均数（描述数据平均水平） 2.离散程度分析：方差、标准差（描述数据波动与稳定性） ✅本节课围绕数据统计的两大维度展开，平均数用于分析数据集中趋势，评判整体平均水平；方差与标准差用于分析数据离散程度，评判数据波动与稳定性。 ✺学习目标 1.理解算术平均数、加权平均数、方差的基本定义，熟记课内核心公式。 2.掌握两类平均数、方差的基础计算方法，能独立完成简单运算。 3.理解权、方差的统计意义，能根据方差大小判断数据稳定性。 4.初步掌握数据平移、缩放后平均数与方差的变化规律。 5.能区分平均数与方差的用途，简单解决生活中的统计基础问题。 ✺题型归纳 题型1.求众数 题型2.利用众数求未知数据的值 题型3.运用众数做决策 题型4.求一组数据的平均数 题型5.已知平均数求未知数据的值 题型6.利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型7.利用平均数做决策 题型8.求加权平均数 题型9.利用加权平均数求未知数据的值 题型10.运用加权平均数做决策 题型11.用计算器求平均数 题型12.求方差 题型13.利用方差求未知数据的值 题型14.根据方差判断稳定性 题型15.运用方差做决策 题型16.标准差 题型17.用计算器求方差 题型18.求离差平方和 题型19.离差平方和的应用 题型20.用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 题型21.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、算术平均数 1.定义：一般地，n个数据的总和除以数据的个数，所得结果即为这组数据的算术平均数，简称平均数，记作 2.计算公式： 3.统计意义：刻画数据的集中趋势，反映一组数据的整体平均水平。： 4.基本特点：容易受极大值、极小值等极端值影响，存在异常数据时，平均数不能真实反映数据水平。 知识点二：加权平均数 1.定义：在实际问题中，一组数据里的各个数据的重要程度往往不同。计算平均数时，我们常常给每个数据一个“权”，用来反映数据的相对重要程度。一般地，若n个数,…的权分别是,…,则根据数据与对应权值计算得到的平均数，叫做这组数据的加权平均数。 2.权的常见形式：数据出现次数、百分比、比例、评分权重。 3.公式表示： 4.主要特点：权重越大的数据，对平均数影响越大。算术平均数是所有数据权重相等时的特殊情况。 知识点三、方差 1.定义：一组数据中，每个数据与平均数差值的平方的平均数，叫做方差，记作s2，用于刻画数据波动大小（离散程度）。 2.计算公式： 预习计算口诀：先求平均、再求差值、差值平方、再求平均。 3. 统计意义 方差越大：数据波动越大，稳定性越差；方差越小：数据波动越小，稳定性越好；数据全部相同时，方差为0，无波动。 4.标准差 5.数据变化规律 设原数据平均数为，方差为s2： 数据同加、同减一个常数：平均数改变，方差不变； 数据扩大k倍：平均数扩大k倍，方差扩大k2倍。 知识点四：平均数与方差对比 统计量 研究方向 核心作用 特点 平均数 集中趋势 反映数据平均水平 易受极端值影响，不体现波动 方差 离散程度 反映数据波动与稳定性 只看波动，方差不易受极端值影响 知识点五、易错点提醒 1.有权重的场景不能直接求算术平均数，必须用加权公式计算。 2.方差计算最后必须除以数据个数n，是最基础易错点。 3.方差一定是非负数，算出负数即为计算错误。 4.数据平移不改变方差，仅缩放会改变方差，切勿记混规律。 5.平均数相同的两组数据，稳定性不一定相同，需对比方差。 ✺题型精讲 题型1.求众数 1．某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了12名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（     ） A．97分 B．90分 C．88分 D．87分 【答案】C 【分析】先统计原数据各分数的出现次数，确定原众数，再判断去掉各选项分数后众数是否改变． 【详解】解：原个数据中各分数的出现次数为：分出现次，分出现次，分出现次，分出现次，分出现次，分出现次， ∴原数据的众数为分和分， ∵分不在原数据中， ∴小蓝的分数不可能是分，故A选项不符合题意； ∵去掉分或分后，分和分的出现次数仍均为次，众数不变，故B、D选项不符合题意， ∵去掉个分后，分出现次，分仍出现次，众数变为分，发生改变，故C选项符合题意． 2．有一组数据：3，6，7，7，9，13，16，则这组数据的众数是________． 【答案】7 【分析】统计每个数在这组数据中出现的次数，找出出现次数最多的数即可得到众数． 【详解】解：分别统计每个数的出现次数， 出现次， 出现次， 出现次， 出现次， 出现次， 出现次， 出现的次数最多，因此这组数据的众数是． 3．某学校开展“落实大阅读，创建书香校园”活动，该校团委会为了解学生每周阅读的时间，随机调查了50名同学，并绘制了如图所示的统计图，则这些同学阅读时间的众数是_______小时． 【答案】8 【分析】根据图形即可求解． 【详解】解：由条形统计图可知8小时有20名同学，人数最多，则众数为：8． 题型2.利用众数求未知数据的值 1．已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查众数的概念和数据的排列顺序，注意唯一众数的条件，理解题意是解题的关键． 数据从大到小排列，为正整数且；再根据众数是且唯一，排除的情况，得到． 【详解】解：∵数据从大到小排列为5，4，4，3，，且为正整数， ∴，即可能为1，2，3. ∵唯一的众数是，且出现两次， ∴若，则出现两次，众数为和，不唯一； 若，则其他数均出现一次，是唯一众数． ∴． 故选：D． 2．若一组数据的众数是，则的值为______． 【答案】 【详解】解：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数， 在数据中，每个数据均只出现次， ∵这组数据的众数是， ∴根据众数的定义可确定的值为． 3．一组数据：0，1，﹣3，6，a，其唯一众数为1，求a的值． 【答案】a=1． 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，依此即可求出a． 【详解】解：∵数据0，1，﹣3，6，a的一众数为1，即1出现的次数最多； ∴a=1． 【点睛】本题考查了众数，掌握众数的概念是解答此题的关键． 题型3.运用众数做决策 1．一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对学生的鞋号进行了抽样调查．经销商最感兴趣的是这组数据中的（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【详解】解：经销商需知晓销量最高的鞋号以安排进货，对应这组数据中出现次数最多的数，即众数， ∴经销商最感兴趣的是这组数据中的众数． 2．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示．从众数的角度给这家鞋店提供建议，多进___________的鞋子．（选择一个尺码） 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 【答案】23.5 【分析】一般来讲，鞋店比较关心哪种尺码的鞋销售量最大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数，一段时间内卖出的30双女鞋的尺码组成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数，进而可以估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多． 【详解】解：由表可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，即的鞋销售量最大．因此可以建议鞋店多进的鞋． 故答案为23.5． 3．学校准备购买一批演出服，供学生活动时借用．七年级（1）班的同学随机调查了全校40名同学适合的演出服尺码，结果发现：穿S号的有5人，穿M号的有16人，穿L号的有10人，穿号的有5人，穿号的有4人．根据调查结果，你认为七年级（1）班的同学会为学校购买服装提出什么建议？ 【答案】多购M号的演出服，少购进号的演出服（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题主要考查了众数的应用，对应码数人数最多的应该多买，最少的应该少买，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，穿M号的人数最多，穿号的人数最少，因此应该多购M号的，少购进号的演出服． 题型4.求一组数据的平均数 1．每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【详解】解：． 2．小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．则小王这一周的平均睡眠时间是__________小时． 【答案】 【分析】先计算出小王一周总的睡眠时间，再除以一周的总天数，即可得到这一周的平均睡眠时间． 【详解】解：平均睡眠时间 ． 3．今年某校为落实区教育局“互联网·享受教育”课堂生态重构实施方案，积极探索“互联网享受学堂”教学模式，决定七年级教学实行“电子学案导学，微课自主学习”．张亮同学都认真完成每天电子导学案中的检测题来评价自己自主学习的情况，下表是张亮同学一周内五天检测题成绩（以80分为标准，高出部分用“+”表示，低于的部分用“-”表示） 星期 一 二 三 四 五 分数变化 问： (1)本周内张亮同学周几的检测题成绩最高，最高分是多少？ (2)计算这5次检测题平均成绩． 【答案】(1)周四最高，最高分95分 (2)分 【分析】（1）直接比较各数大小即可； （2）根据平均数的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴周四最高，最高分（分）； （2）解：这5次检测题平均成绩为：（分）， 答：这5次检测题平均成绩为分． 题型5.已知平均数求未知数据的值 1．已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（     ）分钟． A．50，50 B．45，60 C．50，60 D．55，60 【答案】C 【分析】根据平均数的定义，先求出7天需要的总运动时间，再减去前5天的总运动时间，得到周六周日的总运动时间，对比选项得到结果． 【详解】解：∵7天平均运动时间为40分钟， ∴7天总运动时间为分钟， ∵周一到周五的总运动时间为分钟， ∴周六和周日的总运动时间为分钟， 对比各选项，只有C选项中，符合题意． 2．如果数据、、、、的平均数是，那么的值是________． 【答案】7 【详解】解：由题意得：， 解得：． 3．某班学习小组有12人，一次数学测验只有10人参加，平均分是81.5分．后来，缺考的李明和张红进行了补考，李明补考成绩比原10人平均分少1.5分，而张红的补考成绩却比12人的平均分多12.5分，张红考了多少分？ 【答案】95分 【分析】10人的总分数为，李明的成绩为，张红考了多少分列式为：，最后计算即可． 【详解】 答：张红考了95分． 【点睛】本题考查了平均数及四则混合运算，正确列出四则混合运算式子是解题的关键． 题型6.利用已知的平均数求相关数据的平均数 1．有40个数，小明同学第一次统计这些数的平均成绩为82分，在复查时发现漏记了其中的一个数86，那么这40个数的实际平均数为（     ） A．85.2 B．84.15 C．83.6 D．82.1 【答案】B 【分析】根据小明计算的平均数和漏记的数求出这40个数的实际总和，再除以40即可得到答案． 【详解】解：， , ∴这40个数的实际平均数为． 2．一组数据，，…，的平均数为10，则数据，，…，的平均数为______． 【答案】 【分析】根据平均数的定义，先由原数据的平均数得到原数据的总和，再计算新数据的平均数即可. 【详解】解：数据，，，的平均数为， ， ∴， 则新数据，，，的平均数为： . 3．（平均数）从1到n共n个连续自然数中，擦去其中的某一个数后，余下的数字的平均值为，求擦去的数，并说明理由． 【答案】18，理由见详解 【分析】本题考查了平均数的综合运用．n个连续自然数中擦去其中的某一个数后，余下的个数字的平均值为，所以是47的倍数，确定n的取值范围，计算求解． 【详解】解：这n个连续自然数，和为，平均值为，是正整数， 擦去一个数后平均值为， ∴应该是47的倍数， 去掉一个数后，剩下数的平均值与原来个数的平均值应该很接近 当时，和为，平均值为，差距太大，不合题意， 当时，和为，平均值为，最接近，符合题意， 当时，和为，平均值为，差距太大，不合题意， 所以可确定原有（个）数． ． 擦去后的和为． 因此擦去了． 题型7.利用平均数做决策 1．“水城春茶”以其汤色绿亮、栗香持久而闻名．下表记录了不同水温下茶多酚的溶出速率，为了保持茶汤的鲜爽口感，需将溶出速率控制在，那么应选择（     ）的水温进行冲泡． 水温 25 60 80 95 茶多酚溶出速率 A．25 B．60 C．80 D．95 【答案】C 【分析】本题只需判断目标溶出速率 落在哪个溶出速率区间，再找到对应水温即可得到答案． 【详解】逐一对比各水温对应的溶出速率区间： 水温对应区间为 ，不在该区间， 水温对应区间为 ，不在该区间， 水温对应区间为 ， ， 在该区间； 水温；对应区间为 ，不在该区间； ∴应选择的水温进行冲泡． 2．今年某果园随机从甲、乙两个品种的苹果树中各选了5棵，每棵产量（单位：千克）如表所示： 1 2 3 4 5 甲 23 19 21 22 27 乙 18 26 20 23 28 明年准备从这两个品种中选出一种产量较高的苹果树进行种植，则应选的品种是__________． 【答案】乙 【分析】分别两个品种的苹果树的产量的平均数，再比较，即可求解． 【详解】解：甲品种的苹果树的产量的平均数为 千克； 乙品种的苹果树的产量的平均数为 千克； ∵23＞22.4， ∴乙品种的苹果树的产量的平均数高于甲品种的苹果树的产量的平均数， ∴乙苹果树的产量较高． 故答案为：乙 【点睛】本题主要考查了求平均数，熟练掌握平均数等于数据的总和除以数量是解题的关键． 3．总厂要评估各个分厂的生产效率，并据此来评定职工奖金．下表给出了甲、乙两个分厂的产量情况： 甲分厂 乙分厂 产量（只） 工人数（人） 产量（只） 工人数（人） 新车间 700000 140 600000 100 老车间 120000 60 210000 100 (1)你认为哪个分厂的生产效率更高？为什么？ (2)甲分厂的负责人说：“我分厂工人数与乙分厂相同，总产量比乙分厂高，应该率先提高我分厂工人的奖金．”你同意他的说法吗？为什么？ 【答案】(1) 解：乙分厂生产效率更高， 甲分厂新车间人均产量为（只/人）， 甲分厂老车间人均产量为（只/人）， 乙分厂新车间人均产量为（只/人）， 乙分厂老车间人均产量为（只/人）， 对比可知，乙分厂新车间、老车间的人均产量都高于甲分厂对应车间的人均产量， 故乙分厂生产效率更高； (2) 解：不同意甲分厂负责人的说法， 甲分厂的总产量为（只）， 乙分厂的总产量为（只）， 甲分厂总产量虽然高，但甲分厂新车间工人数140人，老车间仅60人，新车间工人占比更大，新车间本身产量水平更高，拉高了整体总产量， 而乙分厂新、老车间工人数均为100人， 通过（1）中计算的人均产量可知，乙分厂新、老车间的人均产量都高于甲分厂， 说明乙分厂工人的生产效率更高， 故不能仅通过总产量判断，应该优先提高乙分厂工人的奖金. 【分析】（1）分别计算两分厂新、老车间工人的人均产量，然后判断即可； （2）结合（1）两个分厂的生产效率即可判断. 【详解】（1）略 （2） 略 题型8.求加权平均数 1．某校规定学生的学期数学成绩由平时、期中、期末三部分组成，权重分别为．小明平时、期中、期末成绩依次为90分、85分、92分，则他的学期数学成绩为（     ） A．89分 B．89.5分 C．90分 D．90.5分 【答案】B 【详解】解：， 小明的学期数学成绩为（分）． 2．锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为、、，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算方法，分别求出三个套餐的加权得分，比较大小即可得到结果． 【详解】解：分别计算三个套餐的加权平均数： 套餐A的得分：（分）； 套餐B的得分：（分）； 套餐C的得分：（分）； ∵， ∴加权平均数最高的是B． 3．某校舞蹈比赛的总成绩由三部分组成：舞蹈基本功、舞蹈表演、舞蹈即兴，这三项成绩依次按的比例计入总成绩，小数在舞蹈比赛中，舞蹈基本功得分是96分、舞蹈表演得分是92分、舞蹈即兴得分是90分，求小数在舞蹈比赛中的总成绩． 【答案】 小数在舞蹈比赛中的总成绩是分 【分析】根据三项成绩的权重比例，通过加权计算即可求得总成绩． 【详解】解： ∵ 舞蹈基本功、舞蹈表演、舞蹈即兴成绩依次按的比例计入总成绩， ∴ 总权重为， ∴ 总成绩为（分）， 答：小数在舞蹈比赛中的总成绩是分． 题型9.利用加权平均数求未知数据的值 1．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示，已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（　　） 环数 7 8 9 人数 2 ？ 3 A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数、解一元一次方程，设成绩为8环的人数是x人，根据加权平均数公式列方程求解即可． 【详解】解：设成绩为8环的人数是x人， 根据题意，得， 解得， ∴成绩为8环的人数是5人， 故选：B． 2．一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 3．某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 乙 (1)如果学校认为这三项素质测试成绩同等重要，谁会被录取； (2)如果学校根据实际需要，将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按的比例确定最终成绩，部分看不清楚，最后甲被录取，通过计算说明被覆盖的部分最小值． 【答案】(1)乙将被录取； (2)最小值为． 【分析】（）求出甲、乙的算术平均数即可判断求解； （）利用加权平均数得到关于的不等式，解不等式即可求解； 本题考查了算术平均数和加权平均数，掌握算术平均数和加权平均数的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为分， 乙的平均成绩为分， ∵， ∴乙将被录取； （2）解：设被覆盖的部分为，则， 解得， ∴的最小值为． 题型10.运用加权平均数做决策 1．一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均为百分制，然后按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的两名选手的单项成绩如下表所示，则两人的综合成绩（     ） 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 80 90 90 乙 85 85 90 A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法比较 【答案】B 【分析】根据给定权重分别计算两名选手的综合成绩，比较大小即可得到结果． 【详解】解：甲的综合成绩： 乙的综合成绩： ∵ ∴乙的综合成绩更高． 2．某校八年级学生的数学学期成绩由平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩组成．甲、乙两名同学的各项成绩（百分制）和各项成绩占比如下表所示，那么从甲、乙两人的学期成绩看，__________的学期成绩更高（填“甲”或“乙”）． 成绩项目 平时成绩 期中考试成绩 期末考试成绩 在学期成绩中的占比 甲的成绩 90 85 90 乙的成绩 88 90 85 【答案】甲 【分析】根据加权平均数的计算方法求出甲、乙两人的学期成绩，再比较两人成绩的大小即可得到结果． 【详解】解：甲的学期成绩为， 乙的学期成绩为， 因为，所以甲的学期成绩更高． 3．某校举办了创意编程挑战赛，只有甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛对创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10分），甲、乙两位同学的各项得分如下： 同学 创意设计/分 代码实现/分 答辩展示/分 甲 8 8 9 乙 8 9 8 如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算个人最终决赛成绩，请通过计算说明哪位同学会获得第一名． 【答案】解：甲同学的最终决赛成绩为（分）， 乙同学的最终决赛成绩为（分）． ， 甲同学会获得第一名． 【分析】用对应项目的得分乘以其对应权重得到各项目加权得分，求和后再除以权重总和得到两人的综合成绩，比较综合成绩即可得到结论． 【详解】略 题型11.用计算器求平均数 1．利用我们数学课本上的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：      则输出结果应为（    ） A．55 B．54.5 C．54 D．53 【答案】A 【分析】根据按键顺序可知是求9个数的平均数，据此列式计算解答即可． 【详解】解：根据按键顺序得， ＝55 故选：A． 【点睛】本题考查了利用计算器求平均数．掌握用计算器计算平均数的方法步骤是解题的关键． 2．用计算器求平均数时，打开计算器先按方向键选中_________图标，再按_________进入统计应用，再按_________启动“单变量统计”计算功能，每次按完数据后，再按键_________，表示已将这个数据输入计算器． 【答案】 “统计” 【分析】本题考查利用计算器求平均数的操作步骤，需依据初中阶段所学的计算器统计功能操作流程进行作答． 【详解】 解：打开计算器后，先通过方向键选中“统计”图标，再按“”键进入统计应用，接着按“”键启动“单变量统计”计算功能，每次输入完数据后，按“”键确认该数据已输入计算器． 3．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下 ，则显示的结果为______． 【答案】2 【分析】本题考查了计算器的应用，涉及到平均数，解题的关键是掌握计算器的基本功能键． 根据计算器上的按键功能，理解是求该组数据的平均数． 【详解】解：根据计算器上的按键功能，求该组数据的平均数为， 故答案为：2． 题型12.求方差 1．若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【答案】A 【详解】解：设原数据的平均数为． ∵原数据方差为3， ∴． 新数据的平均数为， 新数据的方差为 ． 2．有一组数据如下：、、、、，它们的平均数是，那么这组数据的方差是______． 【答案】 【详解】解：根据题意得，． 3．利用你收集到的男女同学的身高和体重的数据，在男同学的身高和体重以及女同学的身高和体重这四组数据中挑选一组，用简单随机抽样方法选取含有25名、40名、65名同学的三个样本，计算这三个样本的平均数和方差，再与总体的平均数和方差作对比，看看大一些的样本的平均数和方差是否往往与总体的比较接近． 【答案】解：样本①：25名女同学的体重（单位：）： 42、49、51、50、48、54、43、52、53、55、46、41、58、50、44、55、53、42、60、46、58、43、51、42、51； 样本②：40名女同学的体重（单位：）： 42、45、49、51、50、46、52、54、43、49、56、51、47、50、52、45、48、53、55、46、41、58、50、44、52、47、53、51、48、52、57、45、50、46、53、56、47、51、44、51； 样本③：65名女同学的体重（单位：）： 42、45、44、49、51、50、46、53、48、43、49、56、51、47、50、52、45、48、53、55、46、55、57、58、50、44、52、49、55、47、53、51、48、56、42、60、39、52、57、45、51、59、48、54、50、46、53、55、49、58、43、52、56、47、51、50、44、59、42、48、50、52、49、51、52； 总体：70名女同学的体重（单位：）： 42、45、47、44、49、51、50、46、53、48、52、54、43、49、56、51、47、50、52、45、48、53、55、46、55、57、41、54、58、50、44、52、49、55、47、53、51、48、56、42、60、39、52、57、45、51、59、48、54、50、46、53、55、49、58、43、52、56、47、51、54、50、44、59、42、48、50、52、49、51； 样本①：，， 样本②：，， 样本③：，， 总体：，， 综上所述，大一些的样本的平均数和方差往往与总体的平均数和方差更接近． 【分析】牢记平均数和方差公式是解题的关键， 平均数公式：， 方差公式： ． 【详解】略 题型13.利用方差求未知数据的值 1．已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用方差公式中分子各数据与的差的平方项的系数为对应数据的频数求解即可． 【详解】解：方差公式中，分子各数据与的差的平方项的系数为对应数据的频数， 样本容量等于所有频数之和， 又本题中各平方项的系数分别为，，3， ． 2．一组数据方差，则这组数据平均数为______． 【答案】 【分析】根据方差的定义公式，对比题目给出的方差表达式，确定公式中平均数的对应值即可得到结果． 【详解】解：对于个数据，设其平均数为，方差的定义公式为． 将题目给出的方差表达式与方差公式对比，可得这组数据的平均数． 3．一家玻璃厂制造了一批温度计、为了检测温度计的示数是否准确、选择其中的5个放在同一个房间内测量室温．10分钟后取出，统计温度计的示数得到如下统计表： 编号 1 2 3 4 5 温度 20 22 17 18 23 (1)计算温度计示数的平均值； (2)车间规定：同一批次的温度计的方差不得超过4、请你判断这批温度计是否达标． 【答案】(1) (2)不达标 【分析】（1）计算出平均值即可； （2）计算出方差，利用方差即可求得结果． 【详解】（1）解：平均数； （2）解：这组数的方差为， 这批温度计不合格． 【点睛】本题主要考查平均数以及方差，掌握平均数以及方差的计算方法是解题的关键． 题型14.根据方差判断稳定性 1．在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（     ） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 【答案】B 【分析】比较甲、乙两人成绩的方差大小，判断成绩的稳定性． 【详解】解：∵甲、乙两位同学的平均分相同，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，， ∴乙的成绩比甲的成绩稳定． 2．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： ， ， ， ，则小麦长势比较整齐的试验田是___________________ ． 【答案】甲 【分析】甲乙两块试验田麦苗平均高度相同，方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐，比较甲乙的方差大小即可得出结论. 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐， ∴甲试验田小麦长势比较整齐. 3．为响应“健康中国2030”行动，某校开展了为期五周的“每日步数达标打卡”积分活动．已知甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同，相关数据如下： 甲同学五次打卡积分统计表（单位：分） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 积分 33 35 34 36 乙同学五次打卡积分的方差计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是__________； (2)根据甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数和方差，判断谁的打卡表现更稳定，并说明理由； (3)如果甲同学再打卡一次，第六次积分为35分，与前五次相比，甲同学六次打卡积分的方差将__________（填“变大、变小”或“不变”）． 【答案】(1)37 (2)  ，         因为，， 所以， 因为甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同， 所以乙的打卡表现更稳定； (3)变小 【分析】（1）根据乙同学五次打卡积分的方差公式，可以得出乙同学五次打卡积分的平均数，再由甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同，可得甲同学五次打卡积分的平均数，求出a的值； （2）由于甲乙两人平均成绩相同，所以成绩的方差越小的成绩越稳定，算出甲成绩的方差与乙比较即可； （3）求出甲同学六次打卡积分的方差，即可． 【详解】（1）解：∵乙同学五次打卡积分的平均数为35，甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同， ∴甲同学五次打卡积分的平均数为35， ∴； （2）略 （3）解：甲同学六次打卡积分的平均数为， 所以甲同学六次打卡积分的方差为 ， 因为， 所以与前五次相比，甲同学六次打卡积分的方差将变小． 题型15.运用方差做决策 1．赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 【答案】D 【分析】从平均质量和方差两个维度依次筛选即可； 【详解】解：先比较平均质量，四个果篮平均质量：，丙和丁的平均质量最大， 满足“单果质量大”的要求，排除甲、乙， 再比较丙和丁的方差：，丁的方差更小，说明丁果篮的雪花梨大小更均匀， 因此应选丁果篮． 2．现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，你认为选取________队参加决赛比较合适． 【答案】甲 【分析】方差越小，数据波动越小，身高越整齐，本题各队人数和平均身高均相同，只需比较方差大小即可得到结论． 【详解】解：∵，且四个队人数、平均身高都相同， ∴甲队的方差最小，身高最整齐，选取甲队参加决赛更合适． 3．为了了解甲、乙两名同学近期数学学习的稳定性，老师调取了他们最近次数学单元测验的成绩（单位：分），具体数据如下表所示： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是________分，乙的平均成绩是________分； (2)分别计算甲、乙两名同学次测验成绩的方差； (3)如果只能推荐一名同学去参加市级数学竞赛，你认为应该推荐哪位同学？请结合前两问的计算结果说明理由． 【答案】(1) ， (2) 甲的方差为，乙的方差为 (3) 推荐甲同学，理由：因为甲、乙两名同学的平均成绩相同（都是90分），但甲的方差（2）远远小于乙的方差（50）．方差越小，数据的波动越小，说明甲同学的数学成绩更加稳定，发挥更可靠，所以推荐甲同学． 【分析】（1）根据甲、乙五次成绩代入算术平均数公式求和后除以数据个数，计算即可； （2）先利用（1）中求出的平均成绩，代入方差公式，用每组数据减去平均数的平方求平均值，分别算出甲、乙方差即可； （3）先对比两人平均成绩，再结合方差大小判断数据稳定性，最后结合竞赛需求给出推荐结论． 【详解】（1）甲的平均成绩是分， 乙的平均成绩是分； （2）， ． （3） 略． 题型16.标准差 1．老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查标准差的定义，熟练掌握标准差的定义是解题的关键． 成绩稳定性由方差大小决定，方差小则更稳定，根据标准差的定义，求出方差的算术平方根即可． 【详解】解：小明的成绩比较稳定，则小明的方差较小，为7， 因此小明成绩的标准差为， 故选：C． 2．某学校要从甲、乙两支女生礼仪队中，选拔一支身高相对整齐的队伍，代表学校承接迎宾任务，对两队女生身高情况（m）的统计分析如表所示，在其它各项指标都相同的情况下，你认为________队（填甲或乙）会被录取，理由是________． 平均数 标准差 中位数 甲队 1.72 0.038 1.73 乙队 1.69 0.025 1.70 【答案】 乙 乙队的标准差较小，身高比较整齐 【分析】本题考查了标准差的意义，选拔身高整齐的队伍应比较标准差，标准差小的队伍更整齐． 【详解】解：从表中数据可知，甲队标准差为0.038，乙队标准差为0.025，乙队标准差小于甲队，而标准差越小数据的波动越小， 因此乙队身高更整齐， 故乙队会被录取． 故答案为：乙；乙队的标准差较小，身高比较整齐． 3．一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示： 甲 乙 丙 丁 戊 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 70 英语 88 82 94 85 76 85 (1)求这五位同学在这次考试中英语成绩的标准差． (2)为了比较不同学科成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式为：标准分（个人学科成绩学科平均分）学科成绩的标准差．从标准分看，标准分高的学科成绩更好，则甲同学在这次考试中，数学与英语哪个学科的成绩更好？ 【答案】(1) (2)甲同学在这次考试中，数学成绩更好，理由见详解 【分析】本题考查标准差的计算和用标准分做决策． （1）根据标准差是方差的算术平方根计算标准差即可； （2）根据标准分的计算公式计算数学和英语的标准分，然后比较即可． 【详解】（1）解：英语成绩的标准差为： （2）甲同学数学成绩的标准分为； 英语成绩的标准分为． 因为， 所以甲同学在这次考试中，数学成绩更好． 题型17.用计算器求方差 1．用计算器计算方差时，要首先进入统计计算状态，需要按键（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作． 【详解】解：用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入MODE 2状态； ②依次输入各数据； ③按求的功能键，即可得出结果． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了计算器求方差，正确掌握计算器的基本使用方法是解题关键． 2．用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入_____状态； ②依次输入各数据； ③按求_____的功能键，即可得出结果． 【答案】 【分析】由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作． 【详解】解：用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入状态； ②依次输入各数据； ③按求的功能键，即可得出结果． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了计算器求方差，正确掌握计算器的基本使用方法是解题关键． 3．给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． (1)请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； (2)用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 【答案】(1)平均数是4、方差大约是5； (2)平均数4，方差，与估计值进行比较，估计基本准确． 【分析】（1）先把这组数据的7个数字加起来求和，再除以7即可求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解即可； （2）利用计算器并结合平均数、方差公式计算即可． 【详解】（1）解：估计这组数据的平均数是4、方差大约是5； （2）解：平均数：（， 方差：， 与估计值进行比较，估计基本准确． 【点睛】本题考查了平均数和方差公式，解题时牢记公式是关键，此题比较简单，只要牢记公式即可正确求解． 题型18.求离差平方和 1．一组包含5个从小到大排列的数据，将这组数据分成两组，四种分法的组内离差平方和如下表所示，其中分法三划分出的两组数据的离差平方和分别为26和12.5，根据组内离差平方和最小的原则，应该选用的分法是（     ） 分组方法 分法一 分法二 分法三 分法四 组内离差平方和 86.75 62.5 x 74 A．分法一 B．分法二 C．分法三 D．分法四 【答案】C 【分析】先计算分法三的组内离差平方和，再比较四种分法的组内离差平方和大小，选取最小的对应分法． 【详解】解：分法三的组内离差平方和为， ∵ ， ∴ 分法三的组内离差平方和最小． 2．小亮根据组内离差平方和最小原则，将一组数据分成了和两组，则这两组数据的组内离差平方和为_____________． 【答案】2 【分析】计算每组数据的均值，再求每组数据与均值的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加即可． 【详解】解：第一组数据的均值为， 离差平方和为； 第二组数据的均值为， 离差平方和为； ∴这两组数据的组内离差平方和为． 3．某水果店现有5个精品水蜜桃，其质量（单位：g）从小到大分别为240，250，260，280，300，水果店打算将这5个水蜜桃按质量分为两组包装成水果礼盒，一组2个，另一组3个．按照组内离差平方和最小的原则初步筛选了两种分组方式如下表，则哪种方式更好？ 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组，乙组 400 方式二 A组，B组 m 【答案】方式一更好 【分析】求方式二的组内离差平方和，与方式一的组内离差平方和比较后即可得到结论． 【详解】解：方式二中，A组的平均数为， 组的离差平方和为； B组的平均数为， 组的离差平方和为； 方式二的组内离差平方和， ， 方式一更好． 题型19.离差平方和的应用 1．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度，将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 18.75 2 第一组2人，第二组3人 6.67 3 第一组3人，第二组2人 14.67 4 第一组4人，第二组1人 22.75 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，要使同一组内跳绳成绩尽量接近，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，因此只需比较4种分组的组内离差平方和，找出最小值对应的分组序号即可． 【详解】解：∵， ∴序号2对应的组内离差平方和最小，为最优分组． 2．利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组．已知一组不全相等的数据共5个数，对这组数据进行分组，设两组的离差平方和分别为和，且满足，请你写出一组符合题意的数据____________． 【答案】1，1，2，2，2（答案不唯一） 【分析】根据平方的非负性，可得两个分组数据的离差平方和都为，即每组内数据相等，原数据共个且不全相等，只需构造两组分别相等、整体不相等的五个数即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，，即，. 离差平方和为，说明每组内所有数据都相等． 将个数据分为两组，可分为个一组和个一组，由题意可知原数据不全相等，因此两组数据不相等． 写出一组符合题意的数据为（答案不唯一）． 3．有6个水蜜桃测出了他们的值（糖度值，值越大越甜）如下：16、17、18、18、18、19；以下是计算各种情况的组内离差平方和表（精确到）： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 (1)将表格补充完整 (2)如果要将这组水蜜桃分为“优品”和“精品”，应该如何分，为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)优品：16、17；精品：18、18、18、19；理由见解析 【分析】（1）根据组内离差平方和的计算公式，计算即可； （2）小题核心是比较表格中5种分组方案的组内离差平方和的大小，要想将水蜜桃分为优品和精品两种，需要两个分组中值尽可能接近，使得分组合理，所以选出组内离差平方和最小即可． 【详解】（1）解：第1组数据为16、17，则平均数为， 第2组数据为：18、18、18、19，则平均数为， ∴组内离差平方和为：； 第1组数据为16、17、18，则平均数为， 第2组数据为：18、18、19，则平均数为， ∴组内离差平方和为：； 填报如下： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 （2）解：因为前2个一组，后4个一组时的组内离差平方和为最小，所以分组如下： 优品：16、17 精品：18、18、18、19． 题型20.用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 1．某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用样本估计总体，涉及统计表、加权平均数的计算等知识，先根据统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值，进而估算出这500名同学的家庭一个月节约用水的总量，熟练掌握加权平均数的计算公式及用样本估计总体的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值为， 这名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是， 故选：C． 2．某中学九年级有名学生参加体育中考测试．随机抽取名学生的成绩进行统计，得到平均分为分，方差为．则估计该校九年级全体学生体育测试成绩的总分约为______分． 【答案】 【分析】根据“样本估计总体的思想”可得该校九年级全体学生体育测试的平均成绩约等于样本平均成绩，再根据“总分＝平均成绩×总人数”可得答案． 【详解】解：∵（分）， ∴估计该校九年级全体学生体育测试成绩的总分约为分． 3．在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数据进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)这50名学生捐款的众数为________元； (2)求这50名学生平均每人捐款多少元； (3)如果捐款的学生有300人，估计这次的捐款总数． 【答案】(1)15 (2) (3)估计这次捐款有元． 【分析】本题考查了众数，平均数，样本估计总体； （1）根据众数和定义求解； （2）根据平均数的定义结合统计图，进行计算即可求解． （3）利用样本估计总体，用样本平均数乘以即可． 【详解】（1）解：这50名同学捐款的众数为15元， 故答案为：． （2）解：这50名学生平均每人捐款 (元)， （3）解： 答：估计这次捐款有元． ✺巩固测试 一、单选题 1．班主任统计了上周双休日该班名同学在家课外阅读的时间如下（单位：时）：，，，，，，，，这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据众数的定义可得答案． 【详解】解：统计各数据出现次数：出现次，出现次，出现次，出现次，出现次． 出现次数最多的是，即众数为． 2．若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第二学期 4 次数学测试的平均成绩恰好都是85 分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是（     ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 【答案】B 【分析】平均成绩相同时，方差越小成绩越稳定，比较四者方差即可． 【详解】解：四人平均成绩均为85分， 又，，，， ， 成绩最稳定的同学是丙． 3．如图，下列结论中，不正确的是（    ） A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大 C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大 【答案】D 【分析】观察折线统计图，比较两组数据的波动程度．波动越大，方差和标准差越大，稳定性越差；波动越小，方差和标准差越小，稳定性越好． 【详解】解：由图象可知，组数据的波动幅度明显大于组数据的波动幅度， 方差和标准差是衡量数据波动大小的量，波动越大，方差和标准差越大， 组数据的方差和标准差较大，组数据的方差和标准差较小， 数据波动越小越稳定， 组数据比较稳定， 结论A、B、C正确，D错误． 4．已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【答案】C 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为， 由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵， ∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． 5．现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据组内离差平方和的定义，计算各选项两组的离差平方和之和，总和最小的分组即为正确选项. 【详解】解：A.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； B.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； C.的平均数为，离差平方和为；的离差平方和为，总离差平方和为； D.的离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小. 二、填空题 6．若一组数据10，，10，10，8的平均数和众数相等，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据众数的定义确定这组数据的众数，再利用平均数的计算公式，结合平均数与众数相等列方程求解． 【详解】解：这组数据中，已经出现次，出现次，无论取何值，都是这组数据中出现次数最多的数， 因此这组数据的众数为 由题意得，这组数据的平均数与众数相等， 因此可得 整理得 ， 解得 ． 7．一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数后平均数不变，则_________；这组新的数据的方差为_________． 【答案】 【分析】先根据平均数的定义计算原数据的平均数，由加入数后平均数不变可得的值，再根据方差的定义计算新数据的方差即可． 【详解】解：∵一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数后平均数不变， ∴， 解得； 这组新的数据的方差为． 8．某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，设小安数学得分为分，根据加权平均数的计算公式可得，解之即可求解，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：设小安数学得分为分， 则， 解得， ∴小安数学得分是分， 故答案为：． 9．若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】6 【分析】已知每个数据与平均数的差，根据离差平方和的定义直接计算即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为，由题意可得，，． 离差平方和是所有数据离差的平方之和， 这组数据的离差平方和为：． 10．为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 【答案】3750 【分析】先计算抽取样本的平均月用水量，再乘以社区总户数，即可得到该社区每月总用水量的估计值． 【详解】解：抽取的8户居民的总月用水量为 （立方米）， 样本平均每户月用水量为（立方米）， 估计该社区300户居民每月总用水量为（立方米）． 三、解答题 11．某校要举行科技创新比赛，参赛选手均需完成创意设计、动手实践、答辩展示三项考核，且依次按，，的占比计入最终成绩．已知决赛中甲的上述三项成绩（百分制）依次是85分，80分，93分，乙的上述三项成绩（百分制）依次是80分，90分，85分．最终成绩较高者获得冠军，则甲、乙两人谁会获得冠军？ 【答案】乙获得冠军 【分析】根据三项成绩的占比，分别计算甲、乙的最终加权平均成绩，比较两人成绩大小，即可得出结论． 【详解】解：甲的最终成绩：（分）； 乙的最终成绩：（分）； ， 乙的最终成绩更高， 答：乙会获得冠军． 12．泉州闽超联赛赛前体能测试，对、两名本土前锋进行1分钟折返冲刺跑动距离测试（单位：米），相同场地与热身条件下，每人测试5次，数据统计如下表： 前锋 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 众数 95 90 95 85 100 95 90 90 95 95 93 (1)表格中___________，___________，___________； (2)求球员1分钟跑动距离的方差； (3)已知B球员该项数据方差为6，结合平均数、方差，判断哪位球员的冲刺发挥更稳定，说明理由． 【答案】(1)，， (2)26 (3)因为，，，， 所以，， 所以B球员的冲刺发挥更稳定． 【分析】（1）根据平均数、众数和方差的定义进行解答即可； （2）根据方差的定义进行解答即可； （3）结合平均数、方差进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵的平均数为93， ∴， 解得． ∴B的数据中出现次数最多的是，共出现3次，故众数； （2）解：球员1分钟跑动距离的方差； （3）略 13．某车间有甲、乙两个生产组，甲组工人的月平均工资为6530元，工资的标准差为1275元，乙组工人的月工资资料如下： (1)计算乙组工人的月平均工资和工资的标准差（计算结果保留整数）； (2)计算说明甲、乙两个生产组哪个组的月平均工资更具有代表性（计算结果%前保留1位小数）． 【答案】(1)6300元，1190元 (2)乙生产组的月平均工资更具有代表性，见解析 【分析】（1）根据加权平均数和标准差的定义列式计算即可； （2）根据标准差的意义求解即可． 【详解】（1）解：（1）乙组工人的月平均工资为：元； 工资的标准差为：元． （2）乙生产组的月平均工资更具有代表性， 因为乙生产组工资的标准差小于甲生产组，数据更加集中，受极端数据的影响小． 【点睛】本题主要考查加权平均数和标准差．标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 14．某校为探索美术创作能力培养模式，在九年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对九年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）． 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 10 3 二班人数 1 7 13 5 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 8 7.925 1.219 二班 8 8 (1)表中的值为______，的值为______； (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是______班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，九年级一班的美术教学也增设了“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动，学期结束后再次对一班的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数），并对评分数据进行整理与分析，若已知全班同学评分的最低分为7分，最高分为10分，中位数为8.5分，众数为9分，若要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有______人． 【答案】(1)8；8.35 (2)二 (3)19 【分析】（1）根据众数和平均数的定义解答即可； （2）比较方差大小即可； （3）根据中位数、众数和平均数的定义列式解答即可． 【详解】（1）解：一班和二班各40名学生， 一班得分为8分的人数为； 二班得分为8分的人数为； 一班得分为8分的人数为12，是出现次数最多的， ； 二班的平均分（分）； （2）解：二班的方差为：， 一班成绩的方差大于二班成绩的方差， 二班的成绩比较整齐． （3）解：由题意知一班总人数为40， 中位数为8.5分，众数为9分， 将所有同学的成绩按从大到小（或从小到大）的顺序排列后， 第20，21名同学的成绩只能为8分和9分， 评分前7分和8分的总人数为20，评分为9分和10分的总人数为20， 又众数为9，若要使平均数尽可能大，则评分10分的学生人数应尽可能多， 评分为9分的人数为11，评分为10分的人数为9，则评分为7分和8分的人数均为10， 要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有19人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $