精品解析：辽宁省大连市2023—2024学年下学期九年级数学练习 试卷

2023—2024学年度第二学期 九年级数学练习 2024.4 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 2024年元旦假期，全国文化和旅游市场平稳有序.经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游亿人次，同比增长，数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故选：A． 2. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成的，从左面观察该几何体，看到的形状图为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看物体，根据从左边看得到的图形即可得答案，解题的关键是正确理解从不同方向看简单几何体的平面图形． 【详解】解：由题意得，该几何体从左面看到的为： ， 故选：． 3. 如图图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：D． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、应为，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、应为，故本选项错误； D、，正确． 5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 6. 若一次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. y随x的增大而增大 D. 时， 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据图像中过两点，求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即可． 【详解】首先将代入一次函数解析式，得 ， 解得， 所以解析式为 ； A、,由求出的，可知此选项错误； B、，由求出的，可知此选项正确； C、因为k＜0，所以y随x的增大而减小，故此选项错误； D、将x=3代入， ，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图像的性质和求一次函数解析式，熟练掌握函数图像与函数解析式中系数 的关系是解题关键． 7. 我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，． A. 15 B. 65 C. 70 D. 115 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得， 则有，然后问题可求解． 【详解】解：当为70度时，，理由如下： ∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 8. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， 根据勾股定理，得：OB＝＝＝4， ∴BD＝2OB＝8， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键． 9. 明代的数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有两银子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤，得出等式即可． 【详解】解：设总共有x两银子，根据题意列方程得： 故选D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型． 10. 如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线，若点在直线上，且，则的长为（　　） A. B. C. 8 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质、勾股定理，由作图可得是的垂直平分线，再由已知条件求出，，再根据勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 12. 把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，得到点B的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的平移规律；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．让点的横坐标减5，纵坐标加4即可得到平移后点的坐标． 【详解】解：将点向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点，则点的坐标为，即， 故答案为：． 13. 如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=_． 【答案】 【解析】 【详解】画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，双方出现相同手势的有3种情况， ∴双方出现相同手势的概率P= 14. 考察函数的图象，当时，的取值范围是 _______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】作出和的函数图象，通过观察得出直线上方的反比例函数图象均符合题意，解出交点坐标，最终确定的取值范围，本题考查了画反比例函数的图象，一次函数与反比例函数的综合判断，解题的关键是：应用数形结合的方法，理解函数图象与自变量取值范围之间的关系． 【详解】解：画函数和的图象如下： 由图象可知，反比例函数上，第二象限内的一支符合题意，即， 第四象限内，与直线交点及交点上方的图象符合题意， 联立两函数解析式： 解得： 即， 故答案为：或． 15. 如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接、，当时，的长为___________． 【答案】5或 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，由旋转的性质可知，分两种情况讨论：①点在线段上；②点在的延长线上，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 点D为的中点， ，， 由旋转的性质可知，， ①点在线段上， ， ， 在中，； ②点在的延长线上， 在中，，， ， 综上可知，当时，的长为5或， 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算； （2）先算括号内，再进行除法运算． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 17. 3月12日，某校开展植树活动，准备购买桂花树和香樟树，已知购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元． （1）求香樟树和桂花树的单价； （2）现需一次性购买香樟树和桂花树共40棵，要求总费用不超过3300元，学校最多可以购买多少棵桂花树？ 【答案】（1）香樟树和桂花树单价分别为60元，90元 （2）最多可以购买桂花树30棵 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设香樟树和桂花树单价分别为元，y元，由购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元，再建立方程组解题即可； （2）设学校购买桂花树棵，则购买香樟树棵，由总费用不超过3300元，再建立不等式解题即可． 【小问1详解】 解：设香樟树和桂花树单价分别为元，y元 根据题意得，， 解方程得，， 答．香樟树和桂花树单价分别为60元，90元． 【小问2详解】 设学校购买桂花树棵，则购买香樟树棵， 根据题意得，， 解不等式得，， 答：最多可以购买桂花树30棵． 18. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．为了考查学生对冬奥知识的了解程度，某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动．为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整∶ 【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下∶ 甲∶40，60，60，70，60，80，40，90，100，60，60，100，80，60，70，60，60，90，60，60 乙∶70，90，40，60，80，75，90，100，75，50，80，70，70，70，70，60，80，50，70，80 【整理、描述数据】按如表分数段整理、描述这两组样本数据∶ 分数（分） 40≤x<60 60≤x<80 80≤x≤100 甲学校 2人 12人 6人 乙学校 3人 10人 7人 （说明∶成绩中优秀为80≤x≤100，良好为60≤x<80，合格为40≤x<60．） 【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如表所示∶ 学校 平均分 中位数 众数 甲学校 68 60 60 乙学校 71.5 70 a 【得出结论】 （1）【分析数据】中，乙学校的众数a=____ （2）小明同学说∶“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是_____校的学生；（填“甲”或“乙”） （3）根据抽样调查结果，请估计乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数； （4）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由． 【答案】（1）70 （2）甲 （3）140人 （4）乙校，理由：乙校平均分高于甲校 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义即可得出答案； （2）根据两个学校竞赛成绩的中位数进行判断即可； （3）根据乙学校成绩在80分以上的人数所占百分比，估计总体的优秀所占百分比，进而计算相应的人数； （4）比较两个学校的平均数、中位数的大小，进而得出结论； 【小问1详解】 乙学校竞赛得分出现次数最多的是70分，共出现6次，因此众数是70，即； 故答案是：70． 【小问2详解】 甲学校的中位数是60，乙学校的中位数是70， 由于小明的竞赛是70分，在学校排名属中游略偏上， ∴小明是甲学校的学生； 故答案是：甲． 【小问3详解】 （人）； 答：乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数有140人； 【小问4详解】 乙学校，理由如下：乙校平均分高于甲校． 【点睛】本题主要考查了中位数、平均数、众数以及样本估计总体，理解中位数、平均数、众数的意义是解决问题的前提． 19. 某单位准备购买一种水果，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该水果在两家超市的标价均为13元/千克．甲超市购买该水果的费用（元）与该水果的质量（千克）之间的关系如图所示；乙超市该水果在标价的基础上每千克直降3元． （1）求与之间的函数表达式； （2）现计划用290元购买该水果，选甲、乙哪家超市能购买该水果更多一些？ 【答案】（1） （2）在甲超市能购买更多一些 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）用待定系数法，分段求出函数解析式即可； （2）把分别代入解析式，解方程即可． 【小问1详解】 解：（1）当时，设与x之间的函数解析式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴； 当时，设与x之间的函数解析式为， 把和代入解析式得， 解得， ∴， 综上所述，与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：在甲商店购买：， 解得， ∴在甲商店290元可以购买30千克水果； 在乙商店购买：， 解得， ∴在乙商店290元可以购买29千克， ∵， ∴在甲商店购买更多一些． 20. 如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的处，操控者从处观测无人机的仰角为，无人机测得教学楼顶端点处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和教学楼之间的距离为，点，，，都在同一平面上． （1）求此时无人机与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）． （2）求教学楼的高度（结果保留根号）（参考数据：，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，确定目标线段与直角三角形各边之间的和差关系是解题关键. （1）根据求出即可求解； （2）延长交于点，根据求出即可求解； 【小问1详解】 解： 处离地面，操控者从处观测无人机的仰角为， ，，， 又， 【小问2详解】 解：延长交于点， 则，， ， ． 21. 已知：如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵切于点D， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则有，然后证明即可得； （2）连接，则有，通过证明 ，可得 ，再根据 ，进一步可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接． ∵为的直径， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，而， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识解题是关键． 22. （1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在中，，，直线l经过点C，，，垂足分别为点D和点E，求证：，请你写出证明过程； （2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直线的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式； （3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点P，连接，当时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标． 【答案】 （1）证明：∵，∴， ∵，∴， ∴ ∵，， ∴ （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一次函数与反比例函数的综合问题，一次函数与二次函数的综合， （1）直接根据角角边证明三角形全等即可； （2）先求出A，C坐标，再得出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P，求出直线的解析式，再与二次函数解析式联立，解方程即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴当时，，当时，，， ∴，， 由（1）可知：， ∴，， ∴，点B的坐标为 把代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为： （3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P， ∴， 由（2）可知，， ∴设直线的解析式为， ∴，∴， ∴ ∴， 解得：，（不合题意，舍去） 当时，， ∴ 23. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使，连接，发现了与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，求证：． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）选择豆豆同学的证明方法 证明：∵，平分，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 乐琪同学的证明方法 证明：∵，平分，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：延长到点，使，连接，延长， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． （3） 【解析】 【分析】（1）选择豆豆同学的证明方法：根据题意证明得出是等腰直角三角形，进而即可得出结论；乐琪同学的证明方法证明是等腰直角三角形，即可得证； （2）延长到点，使，连接，延长证明,进而根据等腰直角三角形的性质得出，进而根据勾股定理即可得证； （3）将沿折叠得到，得出三点共线，是等腰直角三角形，则，延长交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，，证明得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图所示，将沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图所示，延长交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，， ∵，则，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，则， 在中，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期 九年级数学练习 2024.4 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 2024年元旦假期，全国文化和旅游市场平稳有序.经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游亿人次，同比增长，数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成的，从左面观察该几何体，看到的形状图为 A. B. C. D. 3. 如图图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 12 B. C. D. 6. 若一次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. y随x的增大而增大 D. 时， 7. 我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，． A. 15 B. 65 C. 70 D. 115 8. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 9. 明代的数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有两银子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线，若点在直线上，且，则的长为（　　） A. B. C. 8 D. 13 二．填空题（共5小题） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，得到点B的坐标是 ___________． 13. 如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=_． 14. 考察函数的图象，当时，的取值范围是 _______． 15. 如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接、，当时，的长为___________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 3月12日，某校开展植树活动，准备购买桂花树和香樟树，已知购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元． （1）求香樟树和桂花树的单价； （2）现需一次性购买香樟树和桂花树共40棵，要求总费用不超过3300元，学校最多可以购买多少棵桂花树？ 18. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．为了考查学生对冬奥知识的了解程度，某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动．为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整∶ 【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下∶ 甲∶40，60，60，70，60，80，40，90，100，60，60，100，80，60，70，60，60，90，60，60 乙∶70，90，40，60，80，75，90，100，75，50，80，70，70，70，70，60，80，50，70，80 【整理、描述数据】按如表分数段整理、描述这两组样本数据∶ 分数（分） 40≤x<60 60≤x<80 80≤x≤100 甲学校 2人 12人 6人 乙学校 3人 10人 7人 （说明∶成绩中优秀为80≤x≤100，良好为60≤x<80，合格为40≤x<60．） 【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如表所示∶ 学校 平均分 中位数 众数 甲学校 68 60 60 乙学校 71.5 70 a 【得出结论】 （1）【分析数据】中，乙学校的众数a=____ （2）小明同学说∶“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是_____校的学生；（填“甲”或“乙”） （3）根据抽样调查结果，请估计乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数； （4）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由． 19. 某单位准备购买一种水果，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该水果在两家超市的标价均为13元/千克．甲超市购买该水果的费用（元）与该水果的质量（千克）之间的关系如图所示；乙超市该水果在标价的基础上每千克直降3元． （1）求与之间的函数表达式； （2）现计划用290元购买该水果，选甲、乙哪家超市能购买该水果更多一些？ 20. 如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的处，操控者从处观测无人机的仰角为，无人机测得教学楼顶端点处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和教学楼之间的距离为，点，，，都在同一平面上． （1）求此时无人机与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）． （2）求教学楼的高度（结果保留根号）（参考数据：，，）． 21. 已知：如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 22. （1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在中，，，直线l经过点C，，，垂足分别为点D和点E，求证：，请你写出证明过程； （2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直线的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式； （3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点P，连接，当时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标． 23. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使，连接，发现了与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，求证：． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $