第十二章 图形的平移与旋转（单元自测·提升卷）数学新教材青岛版八年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦八年级下册第十二章图形的平移与旋转，以能力提升为核心，通过梯度化题型设计，融合几何直观、空间观念与推理意识，适配单元复习的知识巩固与能力拓展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|旋转性质、坐标变换（如第3题直线旋转求坐标）|结合儿童乐园设施等情境，考查空间想象| |填空题|5/15|中心对称、旋转周期（如第14题长方形旋转坐标）|方格图与动态旋转结合，强化几何直观| |解答题|8/75|作图（16题旋转作图）、探究证明（22题旋转模型）、实际应用（23题景观设计）|设置“玩转三角尺”等探究活动，突出模型意识与推理能力，贴合真题命题趋势|

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十二章图形的平移与旋转·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 C 9 B B 9 D B B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.48°/48度 12.（-6,1+33) 13.3 14.(-2,-1) 15.4-2W2/-2y2+4 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(本题8分)(1)解：如图所示，△AB'C即为所求： 5-4-3-2-10 1.2.3.45x (2)解：根据坐标系可得：A(-5,1),C(-4,-4) (3)解：AB2=AC2=12+32=10,BC2=22+42=20, ∴AB2+AC2=BC2, ∴∠BAC=90°， 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△ABC是等腰直角三角形， S△4Bc=吉×AB×AC=克×AB2=3×10=5. 17.(本题8分)(1)证明：：将△AEC绕着点E顺时针旋转得到△BED, ·ED=EC,∠C=∠EDB, ·∠EDB=∠ECD=∠EDC, :∠1=180°-∠EDB-∠EDC, :∠1=180°-∠EDC-∠ECD=∠2 (2)(2)由题意可知，△AEC兰△BED,AC=5, ÷AC=BD=5, :EH⊥BD,EH=3, “SABED=D=婴=， 2 2 &SAAEC=号. 18.(本题8分)(1)证明：，△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE, ∠ACB=∠E, 点B,C,D在同一直线上， .∠ACD+∠ACB=180°， ∴.∠ACD+∠E=180°. (2)解：，'△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE, ∴.∠B=∠ADE, :△ABD的内角和为180°，∠BAD=98°， .∠B+∠ADB=180°-∠BAD=82°， ∴·∠CDE=∠ADE+∠ADB=∠B十∠ADB=82° 19.(本题9分)(1)解：由题意得，△ABC向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到 △B10C1, 如图，△B1OC1即为所求. 则点B1的坐标为(-1,4)： (2)解：如图，△A2B2C2即为所求： (3)解：作点A关于x轴的对称点A,连接CA交x轴于点P即为所求， 2/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y 5 B 2345 则A(-2,3), 由对称的性质得PA=PA,此时PA+PC=PA+PC有最小值， 设直线A'C的解析式为y=kx+b(k≠0)， :C(-1,-1), (-1=-k+b ∫k=-4 则3=-2k+b，解得b=-5, ∴.直线A'C的解析式为y=-4x-5, 令y=-4x-5=0,解得x=-景， 点P的坐标为(-，0) 20.(本题8分)(1)解：由题意知，至少旋转∠B0C的大小， :∠B0A=45°，∠C0D=60°， ∴.∠B0C=180°-45°-60°=75°， 即至少旋转75度，才能使OB落在0C上： (2)解：由旋转的性质得∠AOA=∠B0B, 设∠A0A=∠B0B=C, 则∠C0A=180°-60°-Q=120°-， ∠D0B=180°-45°-a=135°-， :LC0A=∠DOB, .120°-a=青(135°-)， .=112.5°， ∴.∠A0A=a=112.5°· 3/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 21.(本题10分)(1)解：：点A的坐标为(5,0)，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长 度得到对应点B, B(2,4), :点0的坐标为(0,0)，将点0向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应点C, ·C(-3,4): (2)解：能平行， 理由如下： 设t秒后MNIy轴， 由题意得-3+t=5-t, 解得t=4, 即t=4时，MNIy轴； (3)解：存在. 设运动t秒时△MPN成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 设直线AB的解析式为y=kx+b, (4=2k+b 则0=5k+b ∫k=- 解得b=9 “直线AB的解析式为y=-号x+号， 过P点作y轴的平行线EF,过N作NE⊥EF于点E,如图所示： 则∠ENP+∠EPN=90°， ∠MPN=90o, .∠EPN+∠FPM=90°， ∴·∠ENP=∠FPM, ,'△MPN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 4/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..PM=PN, ,∠NEP=∠MFP=90o, .△NEP≌△PFM, ..NE=PF,EP=MF, 设p点坐标为(n,-号n+罗)， 由题可知M(5-t,0),N(-3+t,4), 则NE=n-(-3+t)=n+3-t,EP=4-（-号n+9)=号n-号， PF=-号n+9MF=n-(5-t)=n-5+t, 'n+3-t=-号n+9 由NE=PF,EP=MF可得 n-号=n-5+t, n=3 解得t=号· 当n=3时，y。=-青×3+号=号， P(3号)， ∴当点P坐标为(3，昌)时，△MPN成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形。 22.（本题12分)(1)解：如图1，这个问题可以通过旋转的方法来解决，具体步骤如下： 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合， 由旋转可得：AB=AD,BG=DE,∠1=∠2，∠ABG=∠D=90 :∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， .点G、B、F在同一条直线上. ∠EAF=45o, .∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45 ∠1=∠2 ∴.∠1+∠3=45o,即∠GAF=∠EAF, .AG=AE,AF=AF, ∴.△GAF≌△EAF(SAS), .EF=GF, .GF=GB+BF 5/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .EF=DE十BF; (2)解：结论EF=DE+BF仍然成立.理由如下： 如图，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG,使AD与AB重合， B F ·∠BAG=∠DAE,AG=AE,BG=DE,∠ABG=∠D, ZEAF=BAD, ·∠EAF=∠DAE+∠BAF=∠BAF+∠BAG, ·∠EAF=∠FAG, :∠ABC+∠D=180°， ·∠ABG+∠ABF=180°， ·G、B、F三点共线， 在△AEF与△AGF中， AE-AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ·△AEF≌△AGF(SAS), EF=GF, GF=BF+BG, ·EF=DE十BF; (3)解：DE2=BE2+AD2, 证明：将△CEB绕点C顺时针旋转90·得到△CAF,如图， D E B ,在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°， ·∠CAB=∠B=45°， ∠DCE=45o .∠ACD+∠BCE=45o 6/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由旋转得，BE=AF,CE=CF,∠B=∠CAF=45°，∠BCE=∠ACF, ∴·∠FCD=∠ACF+∠ACD=∠BCE+∠ACD=45°=∠ECD .△FCD≌△ECD(SAS) :.FD=DE ,'∠FAD=∠FAC+∠CAB=90 .FD2=AF2+AD2=BE2+AD2 .DE2=BE2+AD2. 23.(本题12分)(1)解：①，△ABC和△DCE均为等边三角形， AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=∠CAB=60°， .∠ACD十∠BCD=∠BCE十∠BCD=60°， ∴·∠ACD=∠BCE, AC=BC 在△ACD和△BCE中， ∠ACD=∠BCE CD=CE .△ACD兰△BCE(SAS), .∠CBE=∠CAD=25°. ②如图，设AE与BC交于点F, 图1 :'△ABC和△DCE均为等边三角形， .AB=AC=BC,CD=DE=CE,∠CDE=∠DCE=60°， :点A、D、E在同一条直线上，AE=12,DE=6, .AD=AE-DE=12-6=6, ∴AD=CD=6, ,'∠CDE=∠CAD+∠ACD=60°， ∴·∠CAD=∠ACD=30°， ∴.∠BAE=∠CAE=30o，∠DCB=∠BCE=30°， ∴AF⊥BC,CF=BF,DF=EF=吉DE=3, 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.Cr=VCD2-DF=62-32=33, ∴AB=BC=2CF=6V3 (2)解：如图，把△BPC绕点C顺时针旋转60°，得到△AQC,连接PQ, D B :∠BPC=150°，∠BPD=30°， ∴.∠CPD=∠BPC-∠BPD=150°-30°=120°， ,把△BPC绕点C顺时针旋转60°，得到△AQC, .∠QCP=60°，∠AQC=∠BPC=150°，CQ=CP,AQ=BP=60米， ∴.△CQP是等边三角形，PQ=CP=50米，∠CPQ=∠CQP=60°， .∠CPD+∠CPQ=60°+120°=180°，∠AQD=∠AQC-∠CQP=150°-60°=90°， .点Q、P、D在同一条直线上，QD=PQ+PD=50+70=120米， “在Rt△AQD中，AD=VAQ2+QD2=V602+1202=605米. 8/8 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十二章 图形的平移与旋转·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点．当时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】分情况讨论，当在的上方时，由三角形内角和定理得，由旋转的性质得，，进而根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，当在的下方时，同理可求得． 【规范解答】解：如图1，在中，，， ， ∵绕点按逆时针方向旋转后得， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2， ∵， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 2．儿童乐园里的旋转飞椅，其支架结构可抽象为，当设备运行时，绕点顺时针旋转得到，已知，，连接、，下列说法错误的是（   ） A． B． C．是等腰直角三角形 D． 【答案】A 【思路引导】根据旋转的性质可得，，即可判断B选项，根据等腰直角三角形的定义得出是等腰直角三角形，即可判断C选项，根据勾股定理求出，即可判断D选项，根据等边三角形的判定和性质得出，即可判断A选项． 【规范解答】解：根据题意可得， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，故B选项说法正确，不符合题意； ∵在中，，， ∴是等腰直角三角形，故C选项说法正确，不符合题意； ∵在中，，， ∴，故D选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， 故，故A选项说法错误，符合题意． 3．如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先求出，再根据30度角的直角三角形的性质得，运用勾股定理得，然后代入数值计算，得，再结合旋转性质以及勾股定理列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵直线与轴，轴分别交于、两点 ∴令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 在中，， 即， 解得， ∵把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上）， ∴，， 过点作，如图所示： 则在中，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 4．如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据平行四边形的对角线互相平分，且交点为原点，可知点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数即可求解． 解题的关键在于掌握平行四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标特征． 【规范解答】解： 四边形是平行四边形，且对角线交点为原点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】利用旋转的性质，先证为等边三角形，再用含角的直角三角形性质求的长度，最后通过作辅助线构造含角的直角三角形，直接用边长关系求点的坐标． 【规范解答】解：过点作轴于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，． ∴是等边三角形， ∴． ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴． ∵，， ∴． ∴， 由勾股定理得：． ∴点的坐标为． 6．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点的坐标为，点在第一象限内，将沿到的方向平移个单位至的位置，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】过点作轴，由，可知，可得，利用勾股定理可以求出，从而可知图形向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，根据平移的方向和距离确定点的坐标． 【规范解答】解：如下图所示，过点作轴， ，， ， ， ， ， 向右平移个单位长度，向上平移个单位长度到达的位置， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度到达点的位置， 点的坐标为， 点的坐标为    7．如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【思路引导】根据勾股定理求出，根据旋转的性质可得，，最后根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵在正方形中，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴． 8．在中，三个内角均小于，且，，，已知点P为内部一点，则的最小值是（  ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【思路引导】通过将绕点旋转，构造等边三角形，将转化为折线长，利用两点之间线段最短及勾股定理求解． 【规范解答】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，， 旋转， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 根据两点之间线段最短，当四点共线时，最小，最小值为的长， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 的最小值为5． 9．如图，在中，，，．点O为上一点，将绕点O旋转，得到．若四边形是矩形，则的长是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】连接，根据矩形的性质得出，，设，则，利用勾股定理求解即可 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 10．如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】过点作，作，证明，进而得到，得到点的轨迹，作点关于的对称点，连接，得到，利用勾股定理求出的长即可． 【规范解答】解：∵在矩形中，是边的中点， ∴，，，， 过点作，作，则四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于且距离为1的直线上运动，， ∴， 作点关于的对称点，连接，则垂直平分，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，若，则等于_____． 【答案】/48度 【思路引导】根据旋转的性质，即可知，根据垂直可知，进而根据旋转即可求解． 【规范解答】解： ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，连接，，，将沿着方向平移6个单位长度到，则点坐标是_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了平移的性质，勾股定理以及含度角的直角三角形的性质等知识． 过点B作轴于点N，过点D作轴于点M，先求出点B、点D的坐标，得出平移的方式，即可作答． 【规范解答】解：过点B作轴于点N，过点D作轴于点M，如图， ∵， ∴即，，， ∴， ∴在中，， 根据平移有：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴将点先沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移个单位即可得到点， ∵，点C的对应点为点A， ∴将点先沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移个单位即可得到点， 即：． 13．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【答案】3 【思路引导】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【规范解答】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 14．如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边与坐标轴重合，．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标是_____． 【答案】 【思路引导】根据长方形的性质求出点B初始位置的坐标，再根据题意可得每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置，求出2026除以4的余数为2，则第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置，据此可得答案． 【规范解答】解：旋转前，∵四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴， ∵将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且， ∴每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置， ∵， ∴第2026次旋转结束时点B的位置与第2次旋转结束时点B的位置相同， ∴第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置， ∴此时点B的坐标为． 15．如图，在中，，点是边上一点，连接，，点是直线上的一个动点，连接并延长交直线于，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，的最小值为________． 【答案】/ 【思路引导】先说明是直角三角形，再运用勾股定理求得，如图：延长至H，使，连接，作于，可证得，从而，所以点G在直线上运动，从而的最小值是，最后解直角三角形求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ∴ ∴ 延长至H，使，连接，作于，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在直线上运动， ∴的最小值是， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴,解得： ∴的最小值是． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出绕点逆时针旋转后的； (2)写出、的坐标； (3)判断的形状，并求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) ， (3)等腰直角三角形， 【思路引导】（1）根据旋转的性质画出图形，即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标； （3）根据勾股定理及其逆定理证明等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：根据坐标系可得： ， （3）解：∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 17．（本题8分）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，证明即可； （2）由题意可知，，，得到，根据三角形的面积公式求解即可； 【规范解答】（1）证明：将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ． （2）（2）由题意可知，，， ， ，， ， ． 18．（本题8分）如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据旋转的性质得到，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质得到，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 19．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是，，．将平移，使点A与点O重合，得到，点B，C的对应点分别是，． (1)在平面直角坐标系中画出并写出点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出关于原点中心对称的； (3)在x轴上有一点P，使得最小，在图中画出点P，并求出点P的坐标． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为； (2)作图见解析 (3)作图见解析，点P的坐标为． 【思路引导】（1）根据平移的性质作图，结合平面直角坐标系得到点的坐标； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点即为所求，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【规范解答】（1）解：由题意得，向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到， 如图，即为所求． 则点的坐标为； （2）解：如图，即为所求； （3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点即为所求， 则， 由对称的性质得，此时有最小值， 设直线的解析式为， ∵， 则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴点P的坐标为． 20．（本题8分）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设，分别表示出和，进而求解； 【规范解答】（1）解：由题意知，至少旋转的大小， ∵，， ∴， 即至少旋转75度，才能使落在上； （2）解：由旋转的性质得， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应线段，连接．分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，两点同时出发，速度均为每秒个单位长度； (1)请直接写出坐标：(________，______)，(______，______)； (2)能否平行于轴？若能，请求出几秒后轴；若不存在，请说明理由； (3)点是线段上一点，在点运动过程中是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)能平行，秒 (3)存在， 【思路引导】（1）由图形的平移方式，得到点的平移方式即可得出答案； （2）设秒后轴，由平行于轴的直线上点的纵坐标相等列方程求解即可； （3）由等腰直角三角形的性质，结合“一线三垂直”模型求，根据列方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：点的坐标为，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应点， ， 点的坐标为，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应点， ； （2）解：能平行， 理由如下： 设秒后轴， 由题意得， 解得， 即时，轴； （3）解：存在． 设运动秒时成为以点为直角顶点的等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴的平行线，过作于点，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点坐标为， 由题可知， 则，， 由可得， 解得， 当时，， ∴， ∴当点坐标为时，成为以点为直角顶点的等腰直角三角形． 22．（本题12分）探究问题： (1)【模型建立】如图1，在正方形中，，分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系， 解：（1）如图1，这个问题可以通过旋转的方法来解决，具体步骤如下： 将绕点顺时针旋转得到，此时与重合， 由旋转可得：，，， ∵， ∴点、、在同一条直线上． ∵， ∴ ∵， ∴，即① ∵，， ∴ ② ∴③ ∵ ∴； (2)【类比探究】如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； (3)【拓展迁移】如图3，在等腰直角中，，点，在边上，连接，，，请直接写出，，之间的数量关系_____________． 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 (3) 【思路引导】（1）等量代换得到，然后证明，得到，然后等量代换求解即可； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，使与重合，得到、、三点共线，同（1）证明，得到，等量代换求解即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，如图，同上证明出，得到，然后等量代换得到． 【规范解答】（1）解：如图1，这个问题可以通过旋转的方法来解决，具体步骤如下： 将绕点顺时针旋转得到，此时与重合， 由旋转可得：，，， ∵， ∴点、、在同一条直线上． ∵， ∴ ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：结论仍然成立．理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转得到，使与重合， ，，，， ， ， ， ， ， 、、三点共线， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：将绕点顺时针旋转得到，如图， ∵在等腰直角中，， ， ∵ ∴ 由旋转得，，，，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 23．（本题12分）【问题提出】 (1)如图，和均为等边三角形，连接、． ①若，则的度数为_____； ②若点、、在同一条直线上，，，求的长； 【问题解决】 (2)如图2，某校计划在校园内搭建一个形如等边的创意景观花圃，在等边花圃内部设置休息平台点，、是两条石板小路，，在等边花圃右侧设置阅读拐角，使得，、为两条石子小路，在上布置景观灯带，根据设计要求，米，米，米，求景观灯带的长．（休息平台、阅读拐角的大小，石板小路、石子小路、景观灯带的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①；② (2)米 【思路引导】（1）①根据等边三角形的性质得出，，，根据角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出答案； ②根据等边三角形点性质结合外角性质得出，，，利用“三线合一”的性质得出，，，利用勾股定理求出，进而可求出的长； （2）把绕点顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质得出，，，米，可得是等边三角形，米，，根据，得出点、、在同一条直线上，米，根据，得出，利用勾股定理求出的长即可． 【规范解答】（1）解：①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ②如图，设与交于点， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵点、、在同一条直线上，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：如图，把绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵，， ∴， ∵把绕点顺时针旋转，得到， ∴，，，米， ∴是等边三角形，米，， ∴，， ∴点、、在同一条直线上，米， ∴在中，米． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十二章 图形的平移与旋转·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点．当时，（    ） A． B． C．或 D．或 2．儿童乐园里的旋转飞椅，其支架结构可抽象为，当设备运行时，绕点顺时针旋转得到，已知，，连接、，下列说法错误的是（   ） A． B． C．是等腰直角三角形 D． 3．如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点的坐标为，点在第一象限内，将沿到的方向平移个单位至的位置，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．9 8．在中，三个内角均小于，且，，，已知点P为内部一点，则的最小值是（  ） A． B．3 C．4 D．5 9．如图，在中，，，．点O为上一点，将绕点O旋转，得到．若四边形是矩形，则的长是（   ） A．6 B． C． D． 10．如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，若，则等于_____． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，连接，，，将沿着方向平移6个单位长度到，则点坐标是_____． 13．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 14．如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边与坐标轴重合，．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标是_____． 15．如图，在中，，点是边上一点，连接，，点是直线上的一个动点，连接并延长交直线于，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，的最小值为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出绕点逆时针旋转后的； (2)写出、的坐标； (3)判断的形状，并求出的面积． 17．（本题8分）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 18．（本题8分）如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 19．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是，，．将平移，使点A与点O重合，得到，点B，C的对应点分别是，． (1)在平面直角坐标系中画出并写出点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出关于原点中心对称的； (3)在x轴上有一点P，使得最小，在图中画出点P，并求出点P的坐标． 20．（本题8分）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 21．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应线段，连接．分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，两点同时出发，速度均为每秒个单位长度； (1)请直接写出坐标：(________，______)，(______，______)； (2)能否平行于轴？若能，请求出几秒后轴；若不存在，请说明理由； (3)点是线段上一点，在点运动过程中是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 22．（本题12分）探究问题： (1)【模型建立】如图1，在正方形中，，分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系， 解：（1）如图1，这个问题可以通过旋转的方法来解决，具体步骤如下： 将绕点顺时针旋转得到，此时与重合， 由旋转可得：，，， ∵， ∴点、、在同一条直线上． ∵， ∴ ∵， ∴，即① ∵，， ∴ ② ∴③ ∵ ∴； (2)【类比探究】如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； (3)【拓展迁移】如图3，在等腰直角中，，点，在边上，连接，，，请直接写出，，之间的数量关系_____________． 23．（本题12分）【问题提出】 (1)如图，和均为等边三角形，连接、． ①若，则的度数为_____； ②若点、、在同一条直线上，，，求的长； 【问题解决】 (2)如图2，某校计划在校园内搭建一个形如等边的创意景观花圃，在等边花圃内部设置休息平台点，、是两条石板小路，，在等边花圃右侧设置阅读拐角，使得，、为两条石子小路，在上布置景观灯带，根据设计要求，米，米，米，求景观灯带的长．（休息平台、阅读拐角的大小，石板小路、石子小路、景观灯带的宽度均忽略不计） ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十二章 图形的平移与旋转·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点．当时，（    ） A． B． C．或 D．或 2．儿童乐园里的旋转飞椅，其支架结构可抽象为，当设备运行时，绕点顺时针旋转得到，已知，，连接、，下列说法错误的是（   ） A． B． C．是等腰直角三角形 D． 3．如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点的坐标为，点在第一象限内，将沿到的方向平移个单位至的位置，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．9 8．在中，三个内角均小于，且，，，已知点P为内部一点，则的最小值是（  ） A． B．3 C．4 D．5 9．如图，在中，，，．点O为上一点，将绕点O旋转，得到．若四边形是矩形，则的长是（   ） A．6 B． C． D． 10．如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，若，则等于_____． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，连接，，，将沿着方向平移6个单位长度到，则点坐标是_____． 13．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 14．如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边与坐标轴重合，．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标是_____． 15．如图，在中，，点是边上一点，连接，，点是直线上的一个动点，连接并延长交直线于，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，的最小值为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出绕点逆时针旋转后的； (2)写出、的坐标； (3)判断的形状，并求出的面积． 17．（本题8分）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 18．（本题8分）如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 19．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是，，．将平移，使点A与点O重合，得到，点B，C的对应点分别是，． (1)在平面直角坐标系中画出并写出点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出关于原点中心对称的； (3)在x轴上有一点P，使得最小，在图中画出点P，并求出点P的坐标． 20．（本题8分）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 21．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应线段，连接．分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，两点同时出发，速度均为每秒个单位长度； (1)请直接写出坐标：(________，______)，(______，______)； (2)能否平行于轴？若能，请求出几秒后轴；若不存在，请说明理由； (3)点是线段上一点，在点运动过程中是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 22．（本题12分）探究问题： (1)【模型建立】如图1，在正方形中，，分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系， 解：（1）如图1，这个问题可以通过旋转的方法来解决，具体步骤如下： 将绕点顺时针旋转得到，此时与重合， 由旋转可得：，，， ∵， ∴点、、在同一条直线上． ∵， ∴ ∵， ∴，即① ∵，， ∴ ② ∴③ ∵ ∴； (2)【类比探究】如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； (3)【拓展迁移】如图3，在等腰直角中，，点，在边上，连接，，，请直接写出，，之间的数量关系_____________． 23．（本题12分）【问题提出】 (1)如图，和均为等边三角形，连接、． ①若，则的度数为_____； ②若点、、在同一条直线上，，，求的长； 【问题解决】 (2)如图2，某校计划在校园内搭建一个形如等边的创意景观花圃，在等边花圃内部设置休息平台点，、是两条石板小路，，在等边花圃右侧设置阅读拐角，使得，、为两条石子小路，在上布置景观灯带，根据设计要求，米，米，米，求景观灯带的长．（休息平台、阅读拐角的大小，石板小路、石子小路、景观灯带的宽度均忽略不计） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $