专题05 圆（竞赛培优专项训练）九年级数学全国通用

**基本信息** 聚焦圆的核心概念与性质，通过8大题型分层训练，构建从基础到竞赛的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点与圆的位置关系|4题|结合等腰三角形、矩形等判断位置|从定义出发，建立点与圆的距离关系| |点与圆上一点的最值问题|4题|含动点、中点及旋转背景|基于圆心距与半径关系，渗透转化思想| |过三点的圆|4题|包含作图与外接圆计算|衔接确定圆的条件，强化尺规作图应用| |垂径定理|4题|涉及弦长、半径及旋转扫过区域|以垂直关系为核心，构建半径、弦心距、半弦长模型| |圆心角|4题|结合切线、直径及角度转化|建立圆心角与弧、弦的关联，培养推理能力| |圆周角|4题|含直径、中点及网格作图|深化圆周角与圆心角关系，渗透分类讨论| |求弧长|4题|涉及对称点、菱形及切线|基于圆心角与半径，强化弧长公式应用| |扇形面积|4题|含阴影部分、旋转及网格图形|结合图形分割，培养空间观念与计算能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05圆 目录 A组考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01点与圆的位置关系 题型02点与圆上二点的最值问题 题型03过三点的圆 题型04垂径定理 题型05圆心角 题型06圆周角 题型07求弧长 题型08扇形面积 B组选拔真题冲奖练（精选各地竞赛试题12道） A组 考点专项过关练 考点一点与圆的位置关系 1.若点M是等腰△ABC的底边BC的中点，则点M与以AB为直径的圆的位置关系是() A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不能确定 【答案】B 【详解】解：连接OM, B M 设O为AB的中点， 则O0的半径r=OA=OB=AB ,△ABC是等腰三角形，AB=AC,且M是BC的中点， .AM⊥BC(三线合一). O是AB的中点，M是BC的中点， :.OM是△ABC的中位线， ∴OM‖AC,且OM=AC 2 1142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AB=AC, ..OM=AB 二r ∴.点M到圆心O的距离等于半径， ∴.点M在⊙O上， 故选：B 2.如图，已知在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点D在⊙C内， 点B在⊙C外，⊙A的半径r的取值范围是() D B C A.6<r<8或10<r<18 B.2<r<4或10<r<18 C.2<r<4或16<r<18 D.6<r<8或16<r<18 【答案】C 【详解】解：连接AC, B C ,四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8, .∴AC=AB+BC2=V62+82=10, :点D在⊙C内，点B在⊙C外， ∴.⊙C的半径R的取值范围为6<R<8, 当分别以A、C为圆心的两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，是10，即R+r=10, ∴.6<10-r<8, 解得2<r<4, 当分别以A、C为圆心的两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，是10，即r-R=10, 2142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .6<r-10<8, .16<r<18, 综上可知，⊙A的半径r的取值范围是2<r<4或16<r<18, 故选：C 3.如图，在平面直角坐标系中，已知A-1,0,B3,0,⊙O经过点A,D是⊙O上的一动点，将线段 BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,连接AC,则AC的取值范围是 y B 【答案】4≤AC≤6 【详解】解：将线段BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BE,连接CE,AE,OD, B .A-1,0,⊙O经过点A, ..OD=OA=1, B3,0, .BO=3, 由旋转可得：BC=BD,BE=BO=3,∠OBE=∠DBC=90°， ,∠OBD=∠OBE-∠DBE, ∠EBC=∠DBC-∠DBE, .∠EBC=∠OBD, 在△BCE和△BDO中， 6, ∴.△BCE≌△BDO SAS, ∴.EC=OD=1, ∴点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动， 3/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.当点C运动至AE的延长线与⊙E的交点处时， AC取得最大值为AE+1, 当点C运动至AE与⊙E的交点处时， AC取得最小值为AE-1, 在Rt△ABE中，AE=VAB+BE=1+3P+32=5, ∴.AC的取值范围是4≤AC≤6. 4.将一副斜边相等的直角三角板按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形 ∠DAC=45°，∠BAC=30.A,B,C,D四点在同一个圆上吗？如果在，请写出证明过程：如果不 在，请说明理由. 【答案】A,B,C,D四点在同一个圆上，见解析 【详解】解：A,B,C,D四点在同一个圆上： 证明如下： 如图，取AC的中点O,连接OD,OB, 0A=0c-34c ,'△ABC和△ADC是直角三角形， .0B-AC.OD-AC. .∴.OA=OB=OC=OD, ∴.A,B,C,D四点都在以O为圆心，以OA为半径的⊙O上， 即A,B,C,D四点在同一个圆上. 考点二点与圆上一点的最值问题 4142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.如图，在平面直角坐标系中，C(0,8),A(6,0),⊙A半径为4，P为⊙A上任意一点，E是PC的中 点，则OE的最小值是 A 【答案】3 【详解】解：如图，连接AC,取AC的中点H,连接EH,OH A .CE=EP,CH=AH, =号=2 ,点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆， C(0,8),A(6,0) .H3,4, .0H=32+42=5 ∴.OE的最小值=OH-EH=5-2=3 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=5,D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点， 连接BD,M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为 5/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】4 【详解】解：取AB的中点E,连接EM、CE,AD,如图所示： D M B 在直角△ABC中，AB=VAC2+BC2=V12+52=13, E是直角△ABC斜边AB上的中点， :CE=号AB=6.5, M是BD的中点，E是AB的中点， ME号 AD=2.5, M轨迹为以E为圆心，2.5为半径的圆， ∴.当点M在线段CE上时，CM最小，且线段CM长度的最小值为6.5-2.5=4. 3.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,以BC为斜边在矩形所在平面作Rt△BEC,∠BEC=90°， 点F为CD的中点，则EF的最小值为 B 【答案】1 【详解】解：如图，取BC的中点G,连接BD,FG,EG, 6142 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在矩形ABCD中，AB=6,AD=8, .BC=AD=8,∠A=90°， ∴.在Rt△ABD中，BD=VAB+AD2=10, :点G为BC的中点，点F为CD的中点， FG-BD-5 ,在Rt△BEC中，∠BEC=90°，点G为斜边BC的中点， :.EG=BC-4, ∴.点E在以点G为圆心、GE长为半径的圆上， ∴当点E与⊙G和线段GF的交点重合时，EF的值最小，最小值为GF-之=1. 4.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的动点，且EF=4,点M为EF的中点， 点N为边AD上的一动点，则MN+CN的最小值为 【答案】6V5-2 【详解】解：如图，延长CD到点G,使GD=CD,连接BM, G D :四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADC=∠ABC=90°，BC=CD=6, GD=CD ∴.AD是线段CG的垂直平分线， ∴.CN=GN, MN+CN=MN+GN, 当G,N,M三点共线时，MN+CN的值最小， 7142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABC=90°，点M为EF的中点，EF=4, BM=EM=FM=EF=2 ∴点M的轨迹在以B为圆心，2为半径的圆弧上， ∴.圆外一点G到圆上一点M距离的最小值为GM=BG-BM=BG-2, CD=GD=6, ∴.CG=CD+GD=12, ∴.BG=VBC2+CG2=62+12=6V5, ∴.MN+CN的最小值是BG-2=6V5-2. 考点三过三点的圆 1.如图，AB=AC,∠A=42°，O是△ABC的外接圆圆心，连接BO并延长，交AC于点D,则 ∠BDC的度数为() B A.69° B.96° C.63 D.48 【答案】C 【详解】解：如图，连接OC, .AB=AC,∠A=42°， ∠A0c=∠AcB-号×180-42)-69 ,O是△ABC的外接圆圆心， .∠BOC=2∠A=84°， .OB=OC, 8142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20C=∠0CB=×180-84j=48 .∠ABD=∠ABC-∠OBC=21°， ∴.∠BDC=∠A+∠ABD=63° 2.如图，在△ABC中，AC=5,∠ABC=30°.观察图中尺规作图的痕迹，则⊙O的半径是() 5 A.2 B.5 C.6 D.10 【答案】B 【详解】解：由作法得：点O为△ABC的三边垂直平分线的交点，则⊙O为△ABC的外接圆， 如图，连接OA,OC, :∠ABC=30°， ∴.∠AOC=2∠ABC=60°， .OA=OC. ∴.△AOC为等边三角形， ..OA=AC=5, 即⊙O的半径是5. 3.2026闽超来了.图1是某同学为足球比赛设计的奖杯，图2是从奖杯中抽象出的几何模型，PA,PB是 ⊙O的切线，A,B为切点 9142 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O；(保留作图痕迹，不写作法) (2)延长BO交射线PA于点C,若PB=3,PC=5,求⊙O的半径长 【详解】(1) (2)解：连接AO,OP,如图， B P :PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点， ∴.∠CBP=90°，∠OAC=90°，OA=OB, 在Rt△OAP和Rt△OBP中， b, ∴.Rt△OAP≌Rt△OBP HL, ..PA=PB=3, ∴.AC=PC-PA=2, 在Rt△BCP中，由勾股定理得BC=√PC2-PB2=4, 设半径为r,则OC=BC-OB=4-r, 在Rt△A0C中，由勾股定理得出|OA2+AC2=0C2,即r2+2=4-r2, 10/42 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .3 解得r= :⊙0的半径长为2 4.如图，△ABC中，∠ABC=30°，⊙O的直径CD在BC上，AB与⊙O相切于点A. A (1)用尺规作图作∠ECB=∠ACB交⊙O于点E,连接BE.(保留作图痕迹，不写作法) (2)判断四边形ABEC的形状，并说明理由， 【详解】(1)解：如图所示，∠ECB=∠ACB,点E即为所求： A D C E 理由如下： .AD=DE, ∴∠ECB=∠ACB: (2)解：四边形ABEC是菱形，理由如下： 如图，连接OA,AE交BC于点F, B C.AB ⊙0 y 与 相切于点， ∴.∠BAO=90°， ∴.∠AOB=90°-∠AB0=90°-30°=60°， .∠ACB=1∠A0B=30, 2 ∴.∠BCE=∠ACB=∠ABC=30°， ..AB=AC,AB CE, 11/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD为⊙O的直径，AD=DE .∴.CD⊥AE,且AF=EF, ∴.AC=CE, ∴.AB=CE, .四边形ABEC是平行四边形， AB=AC, ..四边形ABEC是菱形. 考点四垂径定理 1.如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB,垂足为D.若AE=8, DB=2,则⊙O的半径为() H A.6 B.5 c.4V2 D.4V3 【答案】B 【详解】解：连接CO,延长CO交AE于点T,设⊙O的半径为， B D O C为优弧ABE的中点， ..AC=CE, 由垂径定理得CT⊥AE, A-TE-E4. 在△AOT和△COD中， 6, ∴.△AOT≌△COD AAS, 12/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CD=AT=4. 在Rt△COD中，根据OC=VCD2+OD2, r=42+r-27 解得r=5. 2.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，己知截面⊙O半径为10cm,油面宽AB为16cm,如果 再注入一些油后，油面宽变为12cm,则油面AB上升了Cm. 3 0 【答案】2 【详解】解：如图：设再注入一些油后，油面宽变为CD=12cm,则AB‖CD,过O作 OE⊥AB,OF⊥CD, C .OE⊥AB,OF⊥CD, .BE-jAB-8cm.FD=CD=6cm. .0E=0B2-BE2=V102-82=6,0F=0B2-DF2=V102-62=8, OE⊥AB,OF⊥CD,ABCD O、E、F三点共线， ∴.EF=OF-OE=2cm,即油面AB上升了2cm 3.如图在平面直角坐标系Oy中，已知⊙O的半径为2，弦AB绕点O旋转一周扫过的区域记为W,若点 (1,1在区域W内部（包含边界），弦AB长为m,则m的取值范围是」 13/42 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 【答案】22≤m≤4 【详解】解：设点P坐标为1,1，如图，连接OP, B B 根据题意，当AB为直径时，m最大，最大值为4， 当点P为AB即AB的中点时，OP⊥AB,PB=m,OP=TP+1P=2,此时AB即AB最小， 由勾股定理得PB=V0B2-0P=V22-2?=V2, ∴.弦AB的长m的最小值为2V2, ∴.满足题意的m值的取值范围为2V2≤m≤4. 4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,G为AD上一点，延长AG,CD交于点F,连接CG和 DG. D B (1)若BE=1,CD=6,求⊙O的半径： (2)求证：∠AGC=∠DGF. 【答案】(1)5：(2)见解析 【详解】(1)解：，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,CD=6, 14/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 00c0=3 如图：连接OD,设圆的半径为r,则OD=r,OE=r-1, ∴.0D=0E2+DE2,即r2=r-12+32,解得：r=5, ⊙O的半径为5. (2)证明：如图：连接AC, .CD⊥ABAB⊙O D ，是 的直径， ∴.AC=AD, ∴.∠ACD=∠AGC, 四边形ACDG为圆的内接四边形， .∠DGF=180°-∠AGD=∠ACD, ∴.∠AGC=∠DGF 考点五圆心角 1.如图，△ABC内接于OO,AB=2BC,若AB=6,BC=V13,则⊙O的半径是 O● B 【答案】4 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E,交AB于点F,连接OA,AE, 15/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F E AE=IAB.AF= 2 AB=3, .∴.AB=2AE .AB=2BC .'AE=BC ∴.AE=BC=V13, ∴.在Rt△AEF中，EF=AE2-AF=13-32=2, 设⊙O的半径为x,则OA=OE=x, ∴.OF=OE-EF=x-2, 在Rt△AOF中，OF2+AF2=OA2, .x-22+32=x2, 解得x=13 4” 13 即⊙0的半径为4： 2.如图，半径为5的⊙O中，弦AB,CD所对的圆心角和为180°，AB+CD=14,则△AOB的面积为 【答案】12 【详解】解：延长AO交⊙O于点T,连接BT, 16/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 7 B 则AT是直径，∠AOB+∠BOT=180°， ∴.∠ABT=90°. AB2+BT2=AT2=102=100 由题意得，∠AOB+∠COD=180°，AT=2×5=10, .∠BOT=∠COD ∴CD=BT, ∴.AB+CD=AB+BT=14, ..AB+BT=AB2+BT2+2 ABx BT=196, .AB×BT=48, SAABT号ABx BT=24 .OA=OT, 1 ..SAAOB= SAABT=12 3.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，C是BE的中点，AE⊥CD,垂足为 D,DC的延长线交AB的延长线于点F. D (1)求证：CD是⊙O的切线. (2)当⊙O的直径为10，CD=4时，求AC的长. 【详解】(1)证明：连接OC,如图所示： .C BE D 是 的中点， 17/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BC=CE, ∴.∠BAC=∠CAE, .OC=OA, .∠OCA=∠OAC, .∴.∠OCA=∠CAD, ∴.OC‖AD, .AE⊥CD, ∴.OC⊥DF, OC是⊙O的半径， ∴.CD是⊙O的切线： (2)解：连接BE,交OC于点H,如图所示： A 'AB⊙O 是 的直径， .BE⊥AD, ∴.∠HCD=∠D=∠DEH=90°， ∴.四边形DEHC是矩形， ∴.EH=CD=4, C是BE的中点， ∴.BC=CE .BE=2EH=8, .AE=AB2-BE2=6, .AO=OB :0-号=3 .∴.DE=CH=5-3=2, ∴.AD=8 ∴.AC=VCD2+AD2=45. 4.如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且分别分布在AB的两侧，满足AD=2BC.连接 18/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC,BC,AD,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F,连接DB并延长交CF于点E. D (1)求证：CF⊥DE: (2)若OA=5,AD=8,求DE的长. 【答案】(1)见解析：(2)8 【详解】(1)证明：连接OC, B D ∴.∠COB=2∠CAB, .AD=2 BC. ∴.∠ABD=2∠CAB, .∠ABD=∠COB, ..OC DE, ,CF是⊙O的切线， .OC⊥CF, .CF⊥DE: (2)解：如图，延长CO交AD于点G,连接OD, G D 由(1)知OC⊥CF,CF⊥DE, 又：∠ADB=90°， 19/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.四边形CGDE是矩形， .CG=DE,OG⊥AD, AG-DG-jAD=4. ∴在Rt△AG0中，0G=VA02-AG=V52-42=3, OA=5, ∴.OC=OA=5, ∴.CG=C0+OG=5+3=8, ∴DE=CG=8」 考点六圆周角 1.如图，△ABC内接于⊙O,DE是⊙O的直径，与AC相交于点M,且DE⊥AB,若⊙O的半径为 2V3,BC=2V6,则AM2+CM的值为() E A.12 B.20 C.24 D.28 【答案】C 【详解】解：过O作OF⊥BC于F,连接OB,OC,BM, A B :BF=CF=-BC=6. :⊙0的半径为23， ..OF-OB-BF2-23-6P=6=BF, 20/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠0BF=∠F0B=180°.OEB-45 2 OB=OC, .∠BOC=2∠BOF=90°， ·<A=1 ∠B0C=45°， :直径DE⊥AB, DE平分AB, ∴.MA=MB, ∴.∠MAB=∠MBA=45°， .∠AMB=90°=∠BMC, AM2+CM2 =BM2+CM2 =BC2=2V62=24. 2.如图，以AB为直径的半圆，C是弧AB的中点，D是弧AC上任意一点，CE⊥CD,交BD于点E.若 AB=8,则AE长的最小值为() D B A.4 B.4V5-5 c.45-4 D.45-3 【答案】C 【详解】解：如图所示，设以AB为直径的半圆的圆心为点O,连接OC, :C是弧AB的中点，AB是半圆的直径， :∠B0C=180×号=90°， 2 E∠BDC=7∠B0C=45P ,CE⊥CD,即∠DCE=90°， ∴.∠BEC=∠CDB+∠DCE=135°： 如图所示，作△BCE的外接圆，其圆心为点O,在优弧BC上取一点G,连接 CG,BG,O C,O B,OE,O A, 21/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G ∴.∠BGC=180°-∠BEC=45, ∴.∠BOC=2∠BGC=90°， .O C=O B,OC=OB, ∴.∠OBC=∠OCB=45°=∠OBC=∠OCB=45°， ∴.∠ABO=90°： 又BC=BC, ∴.△BOC≌△BO CASA, 0B=0B=3AB=4, .0A=V0B2+AB2=4V5, AE≥OA-OE, ∴当A、E、O三点共线时，AE有最小值，最小值为0A-OE的值，即为45-4. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=23,P是以斜边AB为直径的半圆上一动点， M为PC的中点，连接BM,则BM的最小值为() ◇ A.2V5-4 B.3-1 c.2V3-2 D.V5-2 【答案】B 【详解】解：如图，设AB的中点为O,连接OP,OC, ,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=2V3, AB=AC2+BC2=V23}+22=4, 22/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :0C=0B=号A8=2, :P是以斜边AB为直径的半圆上一动点， :0P=}AB=2, 2 ..OP=OC, ,M为PC的中点， OM⊥PC, 则点M在以OC为直径的圆上运动，设圆心为O,连接OB,当M在线段OB上（即点M处）时，BM最 小， 过O作OH⊥BC于H,则∠OHC=∠OHB=90°， .OC=OB=BC=2, △OBC是等边三角形， ∴.∠OBC=60°， 在t△0CH中，∠C0H=90°∠0BC=30,0C=20C=1, c=0c-o1=oc2-c-- /1 \2 3 在Rt△OHB中，BH=BC-CH=3 ∴.OB=VBH+OH2 /312 2 3 \2 .0M=0C=1, ∴.BM的最小值为3-1. 4.如图(1)(2)，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A,B,C均落在格点上，以 AB为直径的半圆的圆心为O,请用无刻度的直尺，在如图(1)图(2)所示的网格中，在半圆O上画出 23/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点P,连接AP,使AP平分∠CAB, A 【详解】解：对于图(1)：取格点了，连接OT交⊙O于点P,连接AP,点P即为所求， 图(1) 图(2) C0=V22+12=V5,B0=V22+12=5, ..CO=BO .CT=BT=3,OT=OT, .△TCO≌△TBO SSS, ∴.∠cot=∠BOT, ..CP=BP, ∴.∠CAP=∠BAP,即AP平分∠CAB: 对于图(2)：取BC的中点J,连接OJ,延长OJ交⊙O于点P,连接AP,点P即为所求，延长AC交 ⊙O于点R,连接BR交OP于点K, .AB是⊙O的直径 ∴.∠ARB=90°， O,J是AB,BC的中点， .OJ‖AC .∠ARB=∠OKB=90°， OP是圆的半径， ∴RP=BP, 24/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·,∠CAP=∠BAP,即AP平分∠CAB 考点七求弧长 1.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C是OA上一点，O关于BC的对称点D正好落在AB上.若 OC=2,则AD的长为() O A.π B.3π 3n 23π C. 3 D. 3 【答案】C 【详解】解：连接OD,故OD=OB, O关于BC的对称点为D, ∴.OB=OD,∠CBO=∠CBD=1 ∠OBD」 ∴.△OBD为等边三角形， ∴.∠OBD=∠DOB=60° :∠CB0=∠CBD=号∠OBD=30°，∠DOA=∠BOA-∠B0D=30°， 2 在直角△BOC中，∠CBO=30°，OC=2, ∴.BC=4,B0=V30G=2V3 .A0=B0=2V3, AD的长为： 360。*2m×A0=3, 30° 3π， A M 故选：C. 2.如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，点E、B、C、F都在以D为圆心的同一圆弧上，且 25/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADE=∠CDF,那么EF的长度等于 D B C π 【答案】3 【详解】解：如图，连接BD, 0 ABCD B 四边形 是边长为2的菱形， .∴.CD=BC=2,∠ADB=∠CDB .点E、B、C、F都在以D为圆心的同一圆弧上， ∴.DB=DC=2, ∴.DB=DC=BC=2, ∴.△BCD是等边三角形， ∴.∠BDC=60°， ∴.∠ADC=120°， .∠ADE=∠CDF, .∴.∠EDF=∠CDE+∠CDF=∠CDE+∠ADE=∠ADC=120°， 120π×2_4π .F的长度等于180 3 3.在△OAB中，∠A=40°，∠B=55°，AB与⊙O相切于点C,OA与⊙O相交于点D,E为⊙O上一 点，连接CE,DE G 0 B C (图1) (图2) (1)如图1，求∠CED的大小： 26/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，EC与OA相交于点F,延长AO与⊙O相交于点G,若ECOB,且DE=4,求EG的长（结 果保留π)， π 【答案】（①）∠CED=25°：(2)3 【详解】(1)解：连接OC, .AB⊙O (图) 与 相切于点C, ∴.OC⊥AB, ∴.∠AC0=90°， .∠A=40°， .∠A0C=90°.40°=50°， CD=CD, ∠CED=1∠A0C=25°： 2 (2)解：连接OC,OE, G (图2) 由(1)知OC⊥AB, .∠A=40°，∠B=55°， .∴.∠B0C=90°-55°=35°，∠A0C=90°-40°=50°， :EC‖OB, ∴.∠OCE=∠BOC=35°， .OC=OE, .∴.∠OCE=∠OEC=35°， 27/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠E0C=180°-35°-35°=110°， .∴.∠EOD=∠E0C-∠AOC=110°-50°=60°， .‘OE=OD, ∴.△EOD是等边三角形， ..DE=OE=4, ∴.∠E0G=180°-∠E0D=120°， “G的长=120m×4_8n 1803· 4.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,AC与⊙O交于点D,BC与⊙O交于点E, BF是⊙O的切线，且CF⊥BF. (①)求证：CD=CF: (2)若∠BAC=45°，AD=3/2,求BE的长度. 3 【答案】()见解析：(2)4刀 【详解】(1)证明：，BF是⊙O的切线， .∠ABF=90°， ∴.∠ABC+∠CBF=90°， :AB是直径， .∠ADB=90, .∠DBC+∠DCB=90°， .AB=AC, ∴.∠ABC=∠DCB, .∠DBC=∠FBC, BC平分∠DBF: ,∠CDB=90°，且CF⊥BF, ∴.CD=CF； (2)解：如图，连接AE,OE, 28/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ,AB是直径， ∴∠AEB=90°，∠ADB=90°， :∠BAC=45°，AD=3V2, ∴△ABD是等腰直角三角形 .∠BAC=∠ABD=45°，AB=VAD2+BD=3V2}+|3V2}=6, ∴.OE=OB=3, ,AB=AC,AE⊥BC, ∴CE=BE, .OE是△ADB的中位线， ..OE AD ∠BOE=∠BAC=45°， 45×π×3_3」 ∴BE的长度= 1804π. 考点八扇形面积 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6,以点C为圆心交AB于点D,交AC于点 E,则图中阴影部分的面积为() B D E 3m93 3 A.2I-4 3.93 B. 8 C.4 D. 【答案】C 【详解】解：连接CD,如图： 29142 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D S2 C 由题意可得：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6, :BC=AB=×6=3,∠CBD=60,AC-AB-BC-96-3-33, 度aCc=×33×3-95, :点C为圆心交AB于点D,交AC于点E, ∴.BC=DC=r=3, ∴△BCD是等边三角形， ∴，BD=BC=DC=r=3,∠BCD=60, .AD=AB-BD=6-3=3,∠ACD=90°-∠BCD=90°-60°=30°， ∴AD=BD=BC=DC=r=3, ∴.点D是Rt△ABC斜边AB的中点， =5w5号3-a, 4 S=S用am-San=60Xx325=3-993. 3604 n、 4 5,=5。aw5em星503-g93} 3604 =3.93+933=3m S阴影=S1+S2=2I- 4 4 4=4， 故选：C 2.如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,在以AB的中点O为坐标原点、AB所在直线 为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转得△ABC,，点A旋转至y轴正半轴上的A 处，则图中阴影部分面积为() A C B 30/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 号2 A. 4π 2π B.3 c.3 D. 2-2 【答案】C 【详解】解：，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2, ..AB=AC2+BC2=22+22=22, ,AO⊥AB, :A0=B0=号AB, 又AB=AB, o-AB ∴.∠OAB=30°， ∴.∠ABO=60°，即∠ABA=60°， 根据旋转的性质可得∠CBC=∠ABA=60°，△ABC≌△ABC, S册影=S扇形ABA+S△ABC-SAABC-S扇形CBC =S扇形ABAS扇形CBC ÷、60 360 π·AB2.60 360 π·CB2 =222 π22 6 2 3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=2,BC=CD,∠ABC=∠ADC=90°，∠C=60°.分别以 A,C两点为圆心，AD,CD的长为半径作弧，两弧围成如图所示阴影.则阴影部分的面积为 D B 【答案119-493 【详解】解：连接AC,如图， 31/42 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B :∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=2, ∠ACD=∠ACB-<BCD-x60=30 .AC=2AD=2×2=4, CD=VAC2-AD=√42-22=23， :∠ABC=∠ADC=90°，∠C=60°， ∴.∠BAD=360°-∠ABC-∠ADC-∠C=360°-90°-90°-60°=120°， ·S阴影=S扇形BAD十S扇形BCD-S四边形ABCD =S扇形BAD+S扇形BCD-SRI△ABC-SRt△ADC 120π×260元×23号×23x2-x23×27 360 360 2 =4π+2π-23-23 3 =10π.43. 3 4.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，边长为3的正方形OCDE的顶点D在AB上，点C在OB上，点 E在OA上，则图中阴影部分的面积为 D π 【答案】4 【详解】连接OD,交CE于点F, 32/42 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D OCDE 3 是正方形，边长为， ∴.SAOEF=SACDF,∠EOD=45°， ∴.0D=V0E+DE2=V3+3=3V2, .S阴影=S扇形AOD 45π×3V2}_9π 360 4 B组 选拔真题冲奖练 1.(2024九年级·全国·竞赛)己知△ABC为直角三角形，∠A=90°，以点A为圆心，以AB为半径作 ⊙A,则点C与⊙A的位置关系是() A.点C在⊙A内B.点C在⊙A上C.点C在⊙A外D.无法确定 【答案】D 【详解】解：如图所示： 此时点C在⊙A外： 此时点C在⊙A内： 33/42 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时点C在⊙A上： 综上：点C与⊙A的位置关系是无法确定. 故选：D 2.(2024九年级·全国·竞赛)如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E,如果∠AEC=65°， ∠D=60°，那么∠C=() B A.45° B.55 C.60 D. 65° 【答案】B 【详解】解：，∠D=60°， ∴.∠A=∠D=60°， ,∠AEC=65°， ∴.∠C=180°-65°-60°=55°， 故选：B 3.(2024九年级·全国·竞赛)在⊙O中，半径为5cm,弦AB上有一点C,如果BC=3AC=6cm,那么 OC的长为(). B A.3cm B.23cm C.V13cm D.4cm 【答案】C 34/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】，BC=3AC=6cm, ..AC=2cm,AB=AC+BC=2+6=8cm 过点O作OD⊥AB于点D,连接OA, D B AD-号AB=号×8=4aml 在Rt△OAD中，OD=0A2-AD=52-42=3cm, .CD=AD-AC=4-2=2cm, ∴在Rt△0CD中，C0=0D+CD=/32+2=V13cm. 故选：C 4.(2024九年级湖南邵阳·竞赛)如图，AB是⊙O的切线，切点为A,OA=1,∠ABO=30°，则图中 阴影部分的面积是() A.3 31 31 c.23 D. π 6 26 【答案】D 【详解】解：，AB是⊙O的切线，切点为A, .OA⊥AB,即∠OAB=90°， 在Rt△AOB中，OA=1,∠ABO=30°， .∠AOB=60°，OB=2OA=2,AB=V22-12=3, a阴形都分的面积=5ans-5soe1x5.60- 360 26 5.(2024九年级下·湖南长沙竞赛)如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作 AC⊥MN于点C,过B作BD⊥MN于点D,P为DC上的任意一点，若MN=26,AC=12,BD=5, 35/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则PA+PB的最小值为() B A.15V2 B.17V2 c.173 D.153 【答案】B 【详解】解：如图，连接OA、OB, M H ,过A作AC⊥MN于点C,过B作BD⊥MN于点D, .0B2=BD2+0D2=25+0D2,0A2=AC2+0C2=144+0C2, MN=26,A、B是⊙O上的两点， 0A=0B=MN=13, .169=25+0D,169=144+0C2, ∴.0D=12,0C=5, “.CD=OD+OC=17, 延长BD与⊙O相交于点G, MN为⊙O的直径，BD⊥MN, ∴.BP=GP,BD=GD=5, ∴.PA+PB=PA+GP, 当点P在直线AG上时，PA+GP取最小值，且最小值=AG, 过G作GH⊥AC于点H, 又，AC⊥MN,BD⊥MN, .CD‖GH,DG‖CH,∠DCH=90°， ∴，四边形CDGH是矩形， ∴.GH=CD=17,CH=DG=5, 36/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AH=AC+CH=17, ·AG=-VAH2+GH=172+17=17V2, .PA+PB的最小值是：172， 故选：B. 6.(九年级·浙江宁波·竞赛)（多选）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=AC=AD,H为边BC 的中点，直线AH与DB交于点E,直线AH与DC的延长线交于点F,则下列四点共圆的是() A.A、E、C、DB.A、HC、DC.A、B、C、DD.A、B、F、C 【答案】A 【详解】解：，AB=AC=AD, .B、C、D在以A为圆心，AB长为半径的圆上， CDE-BAC. ,AB=AC,H是BC中点， 2CME=∠BAC, .∠CDE=∠CAE, ∴.A,E,C,D四点共圆，故A符合题意： :AB=AC,H是BC中点， ,∠AHC=90°， .AC=AD. ∴.∠ADC=∠ACD<90°， .∠AHC+∠ADC<180° “.A、H、C、D不共圆，故B不符合题意： .AB=AC=AD ∴.∠ABC=∠ACB<90°，∠ACD=∠ADC<90°， ∴.∠ABC+∠ADC<180°， 37/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴A、B、C、D不共圆，故C不符合题意： 若A、B、F、C共圆. ∴.∠FCH=∠BAH, ,∠CAH=∠BAH, ∴.∠FCH=∠CAH, :∠CAH+∠ACH=90, ∴.∠FCH+∠ACH=90°， ∴.AC⊥CD. 而∠ACD<90°， ∴.AC和CD不垂直， ∴A、B、F、C不共圆，故D不符合题意. 故选：A. 7.(九年级·广西防城港·竞赛)一条弧所对的圆周角等于它所对的 角的一半.同弧或等弧所对的 圆周角 ；半圆（或直径）所对的角是直角. 【答案】 圆心 相等 圆周 【详解】解：根据圆周角定理可得，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 根据圆周角定理的推论可得，同弧或等弧所对的圆周角相等：半圆（或直径）所对的圆周角是直角 8.(2024九年级·全国竞赛)如图，点A,B分别为半圆O上的三等分点，如果⊙O的半径为8Cm,那么 弦AB= cm. A B 【答案】8 【详解】解：连接AO,BO, A B 则AO=BO=8cm, ,点A,B分别为半圆O上的三等分点， ∴.CA=AB=BC, 38/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.∠COA=∠AOB=∠BOC= 1×180°=60°， ∴，△AOB是等边三角形， ∴.AB=AO=8cm」 故答案为：8 9.(2024八年级·全国·竞赛)6个半径为1的圆如图摆放，且相邻的两圆相互外切，圆心连线构成一个等 边三角形，则阴影部分的面积是 【答案】43-2π 【详解】.6个半径为1的圆，且相邻的两圆相互外切，圆心连线构成一个等边三角形， ∴.等边三角形的边长为4， ÷等边三角形的高为：4×5in60°=4×2=22， 2 .等边三角形的面积为7×4×23=43， 1 .六个扇形拼成两个圆，即2π·1=2π， ∴.阴影部分面积=等边三角形面积-两个圆面积， ∴.阴影部分面积=4V3-2π， 故答案为：43-2π 10.(2024九年级·全国·竞赛)在⊙O中，弦AB⊥CD,连接AC、BD,若BD=10cm,AC=20cm, 求⊙O的半径. D B 0 【答案】⊙O的半径为5V5cm. 39/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，连接AO并延长，交⊙O于点E,连接BE、CE, 则AB⊥BE,AC⊥CE, 又AB⊥CD, .'CD BE, .∴.BD=CE .BD=CE=10cm, .在直角△ACE中，AC=20cm, .'AE=AC2+CE2=105cm, ∴.⊙O的半径为55cm. D B 0 11.(2024九年级下·江苏南京·竞赛)如图，⊙O中，AB是直径，弧AE=弧EF=弧BF,EC⊥AB, DG=1,求So0. E F 【答案】S=3π 【详解】解：，弧AE=弧EF=弧BF,AB是直径， ∴.弧AE,弧EF,弧BF所对的圆心角是60°， ∠DAB=∠DBA=30°， .∠EDG=∠DAB+∠DBA=60°， ∴.∠EGD=∠AGC=∠DGE=60°， ∴，△DEG为等边三角形， ∴.EG=DG=ED=1, 连接AE,则∠AED=90°，∠EAD=30°， 40/42 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E .AD=2DE=2, ∴.AE=√AD2-DE2=3,AB=2AE=23, ∴.S。0=π AB2 =3 2 12.(2024九年级全国·竞赛)如图，在⊙O中，AB、CD为直径，弦DE⊥AB于点F,连接BC. A O D F B (1)若DE=16cm,BF=4cm,求⊙O的直径； (2)若∠C=∠D,求弦BC与DE的夹角. 【答案】(1)20cm;(2)60° 【详解】(1)解：设⊙O的直径为2r, .DE⊥AB,DE=16cm ∴.DF=8cm, 又BF=4cm, ∴.82+(r-42=r2, 解得r=10cm, ∴.⊙O的直径为20cm 2)解：：∠C=∠D,∠C= ∠BOD, 1 ∠D=2∠BOD, .DE⊥AB .∠D+∠BOD=3∠D=90°， 41/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠D=30 ∴.∠C=30° 设BC,DE交于点G, .∠CGE=∠D+∠C=60° 即弦BC与DE的夹角为60°. A D F B 42/42 专题05 圆 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01点与圆的位置关系 题型02点与圆上一点的最值问题 题型03过三点的圆 题型04垂径定理 题型05圆心角 题型06圆周角 题型07求弧长 题型08扇形面积 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 点与圆的位置关系 1．若点M是等腰的底边的中点，则点M与以为直径的圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 2．如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是_______． 4．将一副斜边相等的直角三角板按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形．A，B，C，D四点在同一个圆上吗？如果在，请写出证明过程；如果不在，请说明理由． 考点二 点与圆上一点的最值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 2．如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 3．如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 4．如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边上的一动点，则的最小值为______． 考点三 过三点的圆 1．如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 3．2026闽超来了.图1是某同学为足球比赛设计的奖杯，图2是从奖杯中抽象出的几何模型，，是的切线，，为切点. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)延长交射线于点，若，，求的半径长. 4．如图，中，，的直径在上，与相切于点． (1)用尺规作图作交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)判断四边形的形状，并说明理由． 考点四 垂径定理 1．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 2．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了_________． 3．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 4．如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和． (1)若，，求的半径； (2)求证：． 考点五 圆心角 1．如图，内接于，，若，，则的半径是______． 2．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角和为，，则的面积为_____． 3．如图，内接于，是的直径，点在上，C是的中点，，垂足为，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)当的直径为，时，求的长． 4．如图，为的直径，C、D是上的两点，且分别分布在的两侧，满足．连接，，，过点C作的切线交的延长线于点F，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点六 圆周角 1．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 2．如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 3．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．如图（1）（2），在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，请用无刻度的直尺，在如图（1）图（2）所示的网格中，在半圆O上画出点P，连接，使平分． 考点七 求弧长 1．如图，在扇形中，，C是上一点，O关于的对称点D正好落在上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知四边形是边长为2的菱形，点E、B、C、F都在以D为圆心的同一圆弧上，且，那么的长度等于_______． 3．在中，与相切于点C，与相交于点D，E为上一点，连接． (1)如图1，求的大小； (2)如图2，与相交于点F，延长与相交于点G，若，且，求的长（结果保留π）． 4．如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，是的切线，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 考点八 扇形面积 1．如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得，点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中， ．分别以A，C两点为圆心，的长为半径作弧，两弧围成如图所示阴影．则阴影部分的面积为_______． 4．如图，在扇形中，，边长为的正方形的顶点在上，点在上，点在上，则图中阴影部分的面积为___________． 1．（2024九年级·全国·竞赛）已知为直角三角形，，以点为圆心，以为半径作，则点与的位置关系是（　　） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，弦相交于点，如果，，那么（    ）    A． B． C． D． 3．（2024九年级·全国·竞赛）在中，半径为，弦上有一点，如果，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 4．（2024九年级·湖南邵阳·竞赛）如图，是的切线，切点为A，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（九年级·浙江宁波·竞赛）（多选）如图所示，在平面四边形中，，为边的中点，直线与交于点，直线与的延长线交于点，则下列四点共圆的是（    ） A．A、E、C、D B．A、H、C、D C．A、B、C、D D．A、B、F、C 7．（九年级·广西防城港·竞赛）一条弧所对的圆周角等于它所对的________角的一半．同弧或等弧所对的圆周角________；半圆（或直径）所对的________角是直角． 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 9．（2024八年级·全国·竞赛）6个半径为1的圆如图摆放，且相邻的两圆相互外切，圆心连线构成一个等边三角形，则阴影部分的面积是_________． 10．（2024九年级·全国·竞赛）在中，弦，连接，若，求的半径． 11．（2024九年级下·江苏南京·竞赛）如图，中，是直径，弧弧弧，，，求． 12．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，为直径，弦于点，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求弦与的夹角． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $