专题02 二次函数（竞赛培优专项训练）九年级数学全国通用

**基本信息** 聚焦二次函数从概念到应用的递进式训练，覆盖竞赛核心题型，注重知识逻辑与解题能力的系统培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数的概念|4题|系数取值与定义辨析|概念生成基础| |图像和性质|4题|解析式、单调性、交点综合|性质推导核心| |抛物线与坐标轴交点|4题|交点个数与坐标计算|方程与函数联系| |抛物线与x轴交点|4题|交点分布与翻折图像|根的判别式应用| |由图像确定方程根|4题|图像信息与根的判断|数形结合思想| |图像法解不等式|4题|函数图像与解集关系|代数几何转化| |解决图形问题|4题|动态几何与面积最值|几何直观应用| |解决投球喷水问题|4题|实际情境中的函数建模|模型意识培养|

专题02 二次函数 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01二次函数的概念 题型02二次函数的图像和性质 题型03抛物线与坐标轴交点问题 题型04抛物线与x轴交点问题 题型05由抛物线图像确定方程根的情况 题型06图像法解一元二次不等式 题型07用二次函数解决图形问题 题型08用二次函数解决投球喷水问题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 二次函数的概念 1．若是关于的二次函数，则_______． 2．函数是关于的二次函数，则______． 3．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 4．若是二次函数，则________． 考点二 二次函数的图像和性质 1．二次函数的图象经过点． (1)若该函数图象经过点，求此时二次函数的解析式； (2)当时，若二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围； (3)线段的两个端点为，．若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 2．已知平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，二次函数的最小值为，求a的值； (3)将函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当最小时，的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 4．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 考点三 抛物线与坐标轴交点问题 1．函数与坐标轴有个交点，则的值为___________． 2．已知二次函数． (1)若该函数的图象过原点． ①求的值． ②点在该函数图象上，当时，，求的范围． (2)已知．当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 3．已知二次函数． (1)若，求此函数与x轴的交点坐标； (2)对于二次函数，当，时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值： (3)将在间的图象记为G，若图象G与直线有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 考点四 抛物线与x轴交点问题 1．直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 3．已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 4．已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 考点五 由抛物线图像确定方程根的情况 1．已知实数a、b、c满足，，则（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．如图所示是二次函数的部分图象，该抛物线的对称轴是直线，且与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①；②方程一定有一个根在1和2之间；③；④若点是抛物线上一点，则，其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数（如图所示）的图象，关于x的方程有四个不相等的实数根，则m的取值范围为_______． 4．如图，抛物线经过点，． (1)写出，的关系； (2)将抛物线向右平移（）个单位长度，得到新抛物线，若点，均在抛物线上，都有，求的取值范围； (3)如果每取一个确定值，方程（为常数，且）的根都是整数，求的取值（用含的代数式表示）． 考点六 图像法解一元二次不等式 1．已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，抛物线y＝x2﹣2x＋c与y轴交点为C，与x轴交点为A，B，点A位于点B左侧，且OB＝3OA，点P为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点P的坐标； (2)若经过点B，C的直线解析式为y＝kx＋b，则不等式x2﹣2x＋c≤kx＋b的解集为 　 　． 3．已知二次函数（）． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 考点七 用二次函数解决图形问题 1．如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？ 4．如图，在中，，，，动点P从点A向终点B运动，速度为1个单位长度/秒，过点P作，交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点Q在线段的延长线上时，线段的长为_______；（用含t的代数式表示） (2)设与重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)当点Q在线段的延长线上时，连结，若是等腰三角形，直接写出t的值． 考点八 用二次函数解决投球喷水问题 1．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为____________． 2．斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板处，且离地高度，若，．则第一次反弹抛物线图象与它的二次项系数的比值为_____________；_____________． 3．如图，已知女排球场的长度为18米，位于球场中线处的球网的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米处的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式． (2)在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． (3)排球从C点飞出去，要想排球既能过网又不会出界，直接写出球运行的最大高度h（米）的取值范围．（排球压线属于没出界） 4．某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 1．（九年级下·安徽宣城·竞赛）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于，我们称为这个函数的不动点，如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）已知抛物线为常数，经过点，其对称轴在轴左侧．有下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③． 其中，正确结论的序号为___________． 3．（2024九年级·江苏无锡·竞赛）如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 4．（九年级上·上海奉贤·竞赛）若不等式的解集是，则实数的取值范围是_______； 5．（2023九年级·浙江杭州·竞赛）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 6．（九年级上·湖南永州·竞赛）道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 7．（九年级上·广东佛山·竞赛）抛物线的对称轴为直线，图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．正确的结论是______． 8．（2023九年级下·福建龙岩·竞赛）已知二次函数的图象与y轴交于点A，过点A的直线与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ____________________． 9．（九年级下·广东佛山·竞赛）抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为_____． 10．（2024九年级上·湖北黄冈·竞赛）已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 11．（2025八年级·全国·竞赛）如图，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，过点D作x轴的垂线，与直线相交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当点D在直线下方的抛物线上运动时，线段的长度是否存在最大值？存在的话，求出其最大值和此时点D的坐标； (3)若以为顶点的四边形为平行四边形，求点D的所有坐标． 12．（2024九年级·北京朝阳·竞赛）在中，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度以的顺序绕三角形运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度以的顺序绕三角形运动．当点与点重合时，两点均停止运动．设点，的运动时间为，的面积为， (1)直接写出的取值范围； (2)求在点，运动过程中的最大值，并写出此时所对应的． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01二次函数的概念 题型02二次函数的图像和性质 题型03抛物线与坐标轴交点问题 题型04抛物线与x轴交点问题 题型05由抛物线图像确定方程根的情况 题型06图像法解一元二次不等式 题型07用二次函数解决图形问题 题型08用二次函数解决投球喷水问题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 二次函数的概念 1．若是关于的二次函数，则_______． 【答案】1 【详解】解：由题意，函数是关于的二次函数，则的最高次数为 2，且二次项系数不为零． 令，得方程， 因式分解，得 ， 解得，或， 当时，二次项系数 ，不符合二次函数定义； 当时，二次项系数 ，符合要求． 故答案为：1． 2．函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 3．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 4．若是二次函数，则________． 【答案】 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 考点二 二次函数的图像和性质 1．二次函数的图象经过点． (1)若该函数图象经过点，求此时二次函数的解析式； (2)当时，若二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围； (3)线段的两个端点为，．若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：将点代入，得， ， ， 将点代入，得， ， 二次函数的解析式为． （2）由（1）得，函数的解析式为， 函数的对称轴为， 当时，若二次函数满足随的增大而减小， 当时，， 当时，， 解得：或， 的取值范围为或； （3）解：当时，，当时，， 即抛物线过， ①如图1，当时，，若抛物线与线段只有一个交点，则必有， ， ； ②当时，， 若抛物线顶点在线段下方，则抛物线与线段无交点，不合题意； 若抛物线顶点在线段上方，则抛物线与线段有两个交点，不合题意； 若抛物线的顶点恰在线段上时，则顶点的纵坐标， 由（2）得函数的对称轴为， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍去）或； 综上，抛物线与线段只有一个公共点时，的取值范围是或． 2．已知平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，二次函数的最小值为，求a的值； (3)将函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当最小时，的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)a的值为或2； (3)，点或． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，当时，y取得最小值， ∴， ∴， 当时，抛物线开口向上，当时，y取得最小值，， ∴， ∴， 综上a的值为或2； （3）解：由得，顶点为， ∵图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度后， ∴顶点P为， ∵， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴点P为时，最小， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴直线为， 当时，平移后的新函数为， 设，过点Q作x轴的垂线，交于点H，则， ∵的面积为4， ∴， ∴， 解得或， ∴点或． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)9； (2) (3)或 【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 4．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 考点三 抛物线与坐标轴交点问题 1．函数与坐标轴有个交点，则的值为___________． 【答案】，， 【详解】解：函数与坐标轴有个交点，分情况讨论： （1）当时，，函数为一次函数，与轴交于点，与轴交于点，有个交点，符合 （2）当时，函数为二次函数，与轴交于点 判别式 ①若，即，，此时与轴有一个交点，与轴交于点，两点不同，有个交点，符合 ②若常数项，即，函数为，令，得或，与轴交于点和，与轴交于点，共有个，符合 其他情况如且常数项不为，则有个交点，不符合 故的值为，， 故答案为：，，． 2．已知二次函数． (1)若该函数的图象过原点． ①求的值． ②点在该函数图象上，当时，，求的范围． (2)已知．当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2)的值为或． 【详解】（1）解：①∵该函数的图象过原点， ∴， 解得：； ②∵， ∴， 当时， 解得：， ∵， ∴函数开口方向向下， ∵点在该函数图象上，当时，， ∴或， ∴或； （2）解：二次函数对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， 当即时， ∵， ∴函数开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大， 可知当时，最大值， 当时，最小值， ∵函数最大值与最小值的差为， ∴， 解得：； 当即时， ∵， ∴函数开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大， 可知当时，最大值， 当时，最小值， ∵函数最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为或． 3．已知二次函数． (1)若，求此函数与x轴的交点坐标； (2)对于二次函数，当，时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值： (3)将在间的图象记为G，若图象G与直线有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或且 【详解】（1）解：当时，， 令，则， 解得：，， 此函数与x轴的交点坐标为，； （2）解：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越小， 当时，为最大值； ， 当时，为最小值 时，y的最大值与最小值的差为5， ， ， 解得：； （3）解：， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 令，则， 直线与x轴的交点坐标为， 图象与直线始终有1个交点， 当时， 当时，， 图象G与直线有2个不同的交点， 当时，， ， 解得：； 当时， 当时，， 图象G与直线有2个不同的交点， 当时，， ， 解得：， 当时，整理得，， 若直线与图象相切，则， 整理得，，即 解得：，此时只有1个交点， 综上可知，若图象G与直线有2个不同的交点，a的取值范围为或且． 4．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【详解】（1）①证明：∵令，则，即，，， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线与轴恒有两个交点； ②由①得且， ∴， ∵， ∴解得：，， ∴抛物线与轴交点坐标为和 ； （2）①∵， ∴抛物线解析式为：，直线解析式为：， ∵， ∴， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴； ②∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴， 分类讨论： （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， ∵， ∵，， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴ ∴当，的长随的增大而增大，求的取值范围为或或． 考点四 抛物线与x轴交点问题 1．直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线过点且与轴垂直， ∴直线的解析式为， ， ∵二次函数图像与直线有两个不同的交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵二次函数对称轴在轴右侧， ∴对称轴， 解得， 综上，的取值范围是. 2．如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：令， 解得 ， 当时，图象的解析式为：， 当或时，图象的解析式为：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线与相切时，联立得：， ， 解得：， 结合图象可知：当时，直线与图象共2个交点，当时，直线与图象共2个交点， 综上所述，的取值范围是或． 3．已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 【答案】 【详解】（1）解：由题意，，　 ∴， 抛物线顶点为， 设， ∵， ∵为等边三角形， ∴ 即 ∵， ∴， ∵，　 ∴， ． （2）解：或， ∵抛物线顶点在第三象限, ∴, 即, 故舍去, 将代入得， ∵抛物线顶点在第三象限， ∴顶点坐标为． 4．已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 【详解】（1）解：，， ， 抛物线的顶点坐标为． (2)证明：抛物线上的点在轴上方， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有两个交点． (3)和的数量关系是， 证明：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图， 故可设，，， 则，是方程的两根， 由求根公式可得，， 又坐标平面内存在点满足， 由对称性可设， 由勾股定理可得，，， ， 解得， 点的坐标为， 直线与相交于点， ， 联立，解得， 点的坐标为， 由，可知， 又 ， 垂直平分， ． 考点五 由抛物线图像确定方程根的情况 1．已知实数a、b、c满足，，则（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】当时，，，即， ， 解得，即， 故且； 当时，把、、看作二次函数的系数， ， 当时，，即二次函数图象经过点， 二次函数与轴至少有一个交点， ，即， 由得，将代入得： ，化简得 ， ， 故且； 综上，且． 2．如图所示是二次函数的部分图象，该抛物线的对称轴是直线，且与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①；②方程一定有一个根在1和2之间；③；④若点是抛物线上一点，则，其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解： 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 方程一定有一个根在和之间，故②错误； 抛物线开口向下，与轴的右侧交点在和之间， 当时，， 即，故③错误； 抛物线的对称轴为直线，与轴交点的纵坐标是2，即过点， 点关于直线的对称点为， 当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④，共2个． 3．定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数（如图所示）的图象，关于x的方程有四个不相等的实数根，则m的取值范围为_______． 【答案】 【详解】解：当时，解得或， 由图象可知，图象的对称轴为直线， ∴当时，， 关于x的方程的解的个数，可以看作是函数与函数的图象的交点的个数问题， ∴当时，函数与函数的图象有4个交点， 即：关于x的方程有四个不相等的实数根， ∴； 故答案为：． 4．如图，抛物线经过点，． (1)写出，的关系； (2)将抛物线向右平移（）个单位长度，得到新抛物线，若点，均在抛物线上，都有，求的取值范围； (3)如果每取一个确定值，方程（为常数，且）的根都是整数，求的取值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)，，． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 设抛物线解析式为． ． ∵， ∴； （2）解：抛物线经过点，， 原抛物线的对称轴为直线． 抛物线向右平移个单位长度得到抛物线， 抛物线的对称轴为直线． ， 抛物线开口向下，点到对称轴距离越远，函数值越小． 点，在抛物线上，且， ． ． ， ， ． ①当时，， 解得， ． ②当时，， 解得． 综上，的取值范围为； （3）解：由（1）得抛物线解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 方程的根都是整数， 抛物线与直线的交点横坐标为整数，且关于直线对称． ， 整数根的可能情况为重根，或两根为和，或两根为和． 当时，， ． 当时，， ． 当时，， ． 的取值为，，． 考点六 图像法解一元二次不等式 1．已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：当时，， ， 当时，的取值范围为或， 或是方程的两个根， ， ， ， 是函数的对称轴，且， ， 函数经过点， ， ， ， ， ， ， 设抛物线， 令，解得， 令，解得， 根据抛物线开口向上， 的解集为或 的可能取值为2， 故选：A． 2．如图，抛物线y＝x2﹣2x＋c与y轴交点为C，与x轴交点为A，B，点A位于点B左侧，且OB＝3OA，点P为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点P的坐标； (2)若经过点B，C的直线解析式为y＝kx＋b，则不等式x2﹣2x＋c≤kx＋b的解集为 　 　． 【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3，P（1，﹣4） (2)0≤x≤3 【详解】（1） 解：设B（3x，0）， ∴A（﹣x，0） ∵抛物线的对称轴， ∴（3x﹣1）＝1﹣（﹣x）， ∴x＝1， ∴B（﹣1，0）， ∴1﹣2×（﹣1）+c＝0， ∴c＝﹣3， ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴P（1，﹣4）； （2） 如图， ∵x2﹣2x+c≤kx+b， ∴抛物线在BC下方， ∴0≤x≤3， 故答案是0≤x≤3． 3．已知二次函数（）． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②或 【详解】（1）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：①∵函数的图象与x轴有公共点， ∴， 令， 当 时，， 解得，， ∴的解集是或， ∵ ， ∴a的取值范围为或． ②∵函数的图象与x轴有两个公共点， ∴， 则由①可知，或， 当 时，图象开口向上，对称轴为， ∵函数的图象与x轴有两个公共点，，，对称轴在之间， ∴当 时，， 解得， 当时，， 解得， ∴； 当时，图象开口向下， 同理可得， 解得， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， ①当时， ∴在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 不是定值，不符合题意； ②当时， ∴抛物线在顶点处取得最大值，即当时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最小值， 为定值，符合题意； ③当时， 同理，当时，取得最大值；当时，取得最小值； 不是定值，不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：根据题意，点的坐标为， ∵点向上平移两个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴， 由①得， 由②得或， ∴点的横坐标的取值范围为或． 考点七 用二次函数解决图形问题 1．如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设正方形边长为，则动点从到的路程为，动点从沿到的路程为， ∵二者同时到达终点， ∴点的速度是点的倍，即的运动路程为， 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，代入，得 ， 解得， ∴选项A正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，，代入，得 ， 解得，即正方形边长， ∴选项B正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 此时在线段上，， 的面积， 这是开口向下的二次函数，顶点坐标为， ∴，， ∴选项C正确，该选项不符合题意； 选项D错误，该选项符合题意． 2．如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点P作交于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 设，则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 当时，有最小值， ∴最小值， 故选：D． 3．如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？ 【答案】(1)米或米 (2)米，米 【详解】（1）解：设米，则米， 依题意得， 解得，， 答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为米或米； （2）解：设米，则米，花圃的面积为平方米， ， 墙的最大可用长度为米， ， 解得， 当时，取得最大值，此时，， 答：当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是米，米． 4．如图，在中，，，，动点P从点A向终点B运动，速度为1个单位长度/秒，过点P作，交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点Q在线段的延长线上时，线段的长为_______；（用含t的代数式表示） (2)设与重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)当点Q在线段的延长线上时，连结，若是等腰三角形，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)当点Q在线段上时，，当点Q在线段的延长线上时， (3)t的值为3 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，， 动点P从点A向终点B运动，速度为1个单位长度/秒， ∴， 当点Q在线段的延长线上时， 过P作于H，则H为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①如图，当点Q在线段上时，，与重叠部分为， 由（1）可得，，， ； ②当点Q在线段的延长线上时，，与重叠部分为四边形， 由（1）可得，，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 综上所述，与重叠部分的面积为； （3）解：点Q在延长线上，如图， ∵，是等腰三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，仅存在，此时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 解得：． 考点八 用二次函数解决投球喷水问题 1．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为____________． 【答案】 【详解】解：由题意，得，即，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， 令，得， ∴这个装饰物设计高度为5． 故答案为： 5． 2．斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板处，且离地高度，若，．则第一次反弹抛物线图象与它的二次项系数的比值为_____________；_____________． 【答案】 【详解】解：，， ，， 设第一次反弹后的抛物线解析式为， 抛物线过原点， ， 解得：，即； 每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致）， 两个抛物线的是相同的， 设二次反弹后的抛物线解析式为， ，， ， 抛物线过，两点， ， 解得：， ． 3．如图，已知女排球场的长度为18米，位于球场中线处的球网的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米处的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式． (2)在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． (3)排球从C点飞出去，要想排球既能过网又不会出界，直接写出球运行的最大高度h（米）的取值范围．（排球压线属于没出界） 【答案】(1) (2)球可以过网且不出界，见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入可得，， 解得， ； （2）解：当时，， 当时，， ∴球可以过网且不出界； （3）解：设解析式为， 将点代入，得， 解得：， ∴解析式为， 由题意可知当时，， 解得， 当时， 解得， ∴． 4．某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 【答案】(1) (2)①米；②需要做防水处理区域的高度为2.5米 【详解】（1）解：由题意，得，，顶棚所在抛物线的顶点的横坐标为4． 故可设顶棚所在抛物线的解析式为． 将，分别代入， 得 解得 顶棚所在抛物线的解析式为． （2）解：①抛物线的顶点坐标为， ． 故可设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得， 解得， ． 令，则， 解得， ， （米）． ②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得，解得， ． 令，则， 米，即需要做防水处理区域的高度为2.5米． 1．（九年级下·安徽宣城·竞赛）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于，我们称为这个函数的不动点，如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：不动点在一次函数图象上， ∴一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点， ∵两个不动点，满足， 时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值， ， ． 故选：C． 2．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）已知抛物线为常数，经过点，其对称轴在轴左侧．有下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③． 其中，正确结论的序号为___________． 【答案】①②③ 【详解】解：∵ 抛物线经过点， ∴ ∵ 抛物线经过点， ∴ ，即 ∵ 对称轴在轴左侧， ∴ 又，分情况讨论： 若，则可得，但，时，矛盾， ∴ ，则可得 ∴ ，，， ∴ ，故①正确． 对于方程，即. ， 其判别式 把，代入， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故②正确． 由，且， 解，得， 又. ， ∴ ，故③正确． 故选：①②③． 3．（2024九年级·江苏无锡·竞赛）如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【详解】解：如图，将沿y轴翻折得到，与函数交于，， 函数关于y轴对称，且，， ，， 化简为， 根据函数图像，可知当时，二次函数的图像在一次函数的图像上方， ∴不等式的解集为． 4．（九年级上·上海奉贤·竞赛）若不等式的解集是，则实数的取值范围是_______； 【答案】 【详解】首先分析分子，对，其判别式，又二次项系数为，因此对任意，恒成立． 因此的解集为，等价于对任意恒成立． （1）当时，不等式化为，恒成立，符合题意． （2）当时，要使对任意恒成立， 需满足， 其中 令，即，整理得，即， 解得或． 结合，得符合题意，不符合，舍去． 综上，实数的取值范围是． 5．（2023九年级·浙江杭州·竞赛）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 6．（九年级上·湖南永州·竞赛）道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【答案】5 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 7．（九年级上·广东佛山·竞赛）抛物线的对称轴为直线，图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．正确的结论是______． 【答案】①②③④ 【详解】解：由图象可知：， ，故正确； 由图象可知：，， 由对称轴可知：， ， ，故正确； 由对称轴可知：， ， ，故正确； ④关于的对称点为 ∵，， ，故正确； 故答案为：． 8．（2023九年级下·福建龙岩·竞赛）已知二次函数的图象与y轴交于点A，过点A的直线与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ____________________． 【答案】或 【详解】解：∵的图象与y轴交于点A， ∴， 又∵A在直线上， ∴， ∴． 又∵B为的交点， ∴， 把②代入①得：， ∴，即，解得，， ∵B在A的右侧， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B）， ∴n的最小值为， ∵n的最大值与最小值的和为1， ∴n的最大值为6， ∵， ∴点B在抛物线的图象上高于点A， ∴， 如图： ∴当时，，解得： ，（舍去）， ∴B的横坐标为：． 当时，点P在点A处取得最大值，即， ∴当时，，解得（舍去）或， ∴B的横坐标为：． 当时，直线轴，点P在点A处或点B处取得最大值，即， 与时情形相同，B的横坐标为：． 综上，点B的横坐标为或． 故答案为：或． 9．（九年级下·广东佛山·竞赛）抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， 依题意，设，则 则， ∵点、点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴，即 ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ， 当时，取得最大值， 故答案为：． 10．（2024九年级上·湖北黄冈·竞赛）已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 【答案】(1)是， (2)0或 【详解】（1）解：P是在某条抛物线上， ∵二次函数，m是常数， ∴ ， ∴顶点坐标是． 设 ， 则， ∴ ， ∴所在轨迹的函数表达式是； （2）解：∵直线经过该二次函数的顶点， ∴ ， ∴， ∴或， ∴若直线经过该二次函数的顶点， m的值是−2或0； 11．（2025八年级·全国·竞赛）如图，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，过点D作x轴的垂线，与直线相交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当点D在直线下方的抛物线上运动时，线段的长度是否存在最大值？存在的话，求出其最大值和此时点D的坐标； (3)若以为顶点的四边形为平行四边形，求点D的所有坐标． 【答案】(1) (2)存在，，； (3)或或 【详解】（1）解：把点、代入，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：存在． 对于二次函数， 令，则， 点C的坐标为， 设直线的解析式为， 把点代入，得： ， 解得， ； 设点D的坐标为，则点E的坐标为， ， ∴当时，取最大值4， 此时， 点D的坐标为； （3）解：①当D在E下方时， 由（2）得：， 点C的坐标为， ， ， 当时，四边形为平行四边形， 则， 解得， 此时点D的坐标为； ②当D在E上方时，， 同理，当时，四边形为平行四边形， 即， 解得， ∴此时或， 综上所述，点D的坐标是或或时，都可以使O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 12．（2024九年级·北京朝阳·竞赛）在中，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度以的顺序绕三角形运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度以的顺序绕三角形运动．当点与点重合时，两点均停止运动．设点，的运动时间为，的面积为， (1)直接写出的取值范围； (2)求在点，运动过程中的最大值，并写出此时所对应的． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时或 【详解】（1）解：在中，，，． ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度以的顺序绕三角形运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度以的顺序绕三角形运动．当点与点重合时，两点均停止运动．设点，的运动时间为， ∴由题意可得：， 解得：， ∴的取值范围为； （2）解：当时，此时点在线段上，点在线段上，如图， ， 此时，， ∴， ∴的面积为， 此时当时，的面积最大为； 当时，此时点在线段上，点在线段上，如图，作于， ， 此时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 此时对称轴为直线， 故当时，随着的增大而减小， 故此时当时，的面积最大为； 当时，点在线段上运动，点在线段上运动，如图，作于， 此时，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴此时对称轴为直线， 当时，随着的增大而增大，当时，， 故此时的面积小于； 当时，点在线段上运动，点在线段上运动，如图， ， 此时，， ∴，， ∴， ∴的面积为 故此时当时，此时的面积最大为； 当时，点在线段上运动，点在线段上运动，如图， ， 此时不构成，不符合题意； 当时，点在线段上运动，点在线段上运动，如图，作于， ， 此时，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 此时对称轴为直线， 故当时，随着的增大而增大，当时，为， 故此时的面积小于； 当时，此时点在线段上运动，点在线段上运动，如图，作于，于， ， 此时，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴的面积为， 当时，随着的增大而减小， 故当时，此时的面积最大为； 综上所述，面积的最大值为，此时或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $