高中数学单元测试——第三章函数的概念与性质（较易版01）

**基本信息** 高中数学第三章函数概念与性质单元复习卷（较易版），覆盖函数定义、性质及应用，梯度设计适配基础巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域、奇偶性等基础概念|注重概念辨析，如同一函数判断| |多选题|3/18|函数图象、幂函数性质|考查多维度理解，如单调性与奇偶性综合| |填空题|3/15|最值、方程解、对称性|结合创新定义，如最大值函数最小值| |解答题|5/77|幂函数证明、利润模型、新定义|分层设计，如“友谊函数对”培养创新意识，利润问题体现数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第三章 函数的概念与性质（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为，令，解得， 所以. 故选：B 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 故函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 4．（本题5分）设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 【答案】D 【分析】分析函数的性质，再根据给定等式求出，代入求出函数值. 【详解】依题意，函数在上单调递增，在上单调递增， 由，知，因此，解得， 所以. 故选：D 5．（本题5分）已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据奇函数在原点处有意义则求出的值，再将的值代回原函数检验即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 解得或. 当时，，，故不合题意，舍去； 当时，，，故符合题意. 故选：C. 6．（本题5分）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 7．（本题5分）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 8．（本题5分）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【详解】若，则等价于，因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列图形中可以表示以为定义域，为值域的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的定义及定义域与值域的概念直接判断. 【详解】A选项中的值域不满足，D选项不是函数的图象， 由函数的定义可知，选项B，C正确． 故选：BC 10．（本题6分）已知函数，则（   ） A．可能是单调递增的幂函数 B．可能是单调递减的幂函数 C．当m为偶数时，在定义域上一定具有单调性 D．的图象可能是开口向下的抛物线 【答案】AD 【分析】根据幂函数得出参数判断A，B，应用特殊值法结合单调性判断C，应用特殊值法结合抛物线性质判断D. 【详解】由函数，则若函数是幂函数， 则，所以或， 当时，是单调递增的幂函数，A选项正确； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在整个定义域上不具有单调性，B选项错误； 当时，定义域为， ，，所以在定义域上不具有单调性，C选项错误； 当且，即时，图象是开口向下的抛物线，D选项正确； 故选：AD. 11．（本题6分）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是定义域为的奇函数 C．不等式的解集为 D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】利用奇函数概念可判断A，利用定义域可判断B，利用奇偶性求出，可判断C和D. 【详解】因为是奇函数，所以，故A正确； 因为，所以的定义域中肯定没有元素，故B错误； 由是奇函数，是偶函数， 可得：， ， 两式相减得：， 所以，解集为，故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确； 故选：AD 三、填空题 12．（本题5分）定义为，，中的最大值，设，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】根据题意画出函数的图象，再根据图象即可得到函数的最小值. 【详解】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分， 如图，函数的最低点为， 由，解得或，即， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 13．（本题5分）已知，方程有4个实数解，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】转化成曲线和直线图像的交点问题即可. 【详解】    画出的图像，找到与直线的交点边界，如图所示； 曲线和直线有四个交点即可，由图像可知的取值范围是， 故答案为： 14．（本题5分）已知，若函数的图象关于直线对称，则________. 【答案】23 【分析】根据题意知是的零点，由的图象关于直线对称，知，，由此到和是方程的两个根，求得即可求解. 【详解】由，可得，或，或， 因为的图象关于直线对称， 所以，， 所以和是方程的两个根， 所以，得， 此时 , ， 即，符合题意， 所以. 故答案为：23. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数为偶函数. (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增. 【答案】(1)； (2) 由（1）得，故. 设, 则， 因为，所以，，所以, 所以，即， 故在区间上单调递增. 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合函数的奇偶性即可求解； （2）由（1）得，设,作差即可证明. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以,解得或. 当时，为偶函数，满足题意； 当时，为奇函数，不满足题意. 故. （2）略 16．（本题15分）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元 【分析】（1）依题意可得，结合的解析式计算可得； （2）首先表示出，再由基本不等式及函数的单调性计算可得. 【详解】（1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元， 所以，又， 所以 （2）因为且， 所以     ， ①当时， ， 当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．     ②当时，则在上单调递减， 所以．     综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元． 17．（本题15分）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)是奇函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明. 【详解】（1）设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． （2）是奇函数． 证明如下：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以 ， 故是奇函数． 18．（本题17分）已知函数． (1)若，求函数在上的最小值. (2)若函数在上既有最大值又有最小值，试探究、分别满足的条件（结果用表示）． (3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，最小值为；当时，最小值为. (2)， (3) 【分析】（1）根据二次函数的图象和性质求解即可； （2）按的不同取值，结合二次函数的图象和性质讨论的单调性，进而即可求解； （3）由题意可得在上函数的图象应在的下方，当或时，结合函数图象检验不满足条件，当时，有，由此求得的范围即可. 【详解】（1）由题意可得， 若，则由二次函数的图象和性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，令解得， 所以当时，最小值为；当时，最小值为. （2）由（1）得当时，在上单调递增，在上既无最大值也无最小值. 当时， 在、上单调递减，在上单调递增， ，， 令，解得， 令，解得， 故在上既有最大值又有最小值，、需满足：，. （3）由（1）得， 不等式的解集为，若， 则在上函数的图象应在的下方， 当时，显然不符； 当时，的图象是把的图象向左平移个单位，结合图象可知其图象不可能在的图象下方； 当时，结合图象，要使在上，函数的图象应在的下方，只要即可， 即，化简得， 解得，故此时的范围为， 综上可得，的取值范围为. 19．（本题17分）若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”． (1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由； (2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得； (3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)互为“友谊函数对”，理由见如下： 因为， 所以， 所以与为“友谊函数对”. (2) 若结论不成立，则对任意， 于是，又由函数严格减得， 于是，矛盾． 综上所述，命题得证． (3)存在， 【分析】（1）根据“友谊函数对”的定义进行计算判断即可. （2）根据反证法证明结论. （3）设，然后根据“友谊函数对”的定义列出等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，其中 则， 若恒成立， 则 由得，再由得 此时对任意的实数恒成立． 因此存在这样的一次函数和二次函数， 所有满足条件的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 函数的概念与性质（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（本题5分）设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 5．（本题5分）已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 6．（本题5分）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（本题5分）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列图形中可以表示以为定义域，为值域的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则（   ） A．可能是单调递增的幂函数 B．可能是单调递减的幂函数 C．当m为偶数时，在定义域上一定具有单调性 D．的图象可能是开口向下的抛物线 11．（本题6分）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是定义域为的奇函数 C．不等式的解集为 D．函数的值域为 三、填空题 12．（本题5分）定义为，，中的最大值，设，则的最小值为________． 13．（本题5分）已知，方程有4个实数解，则的取值范围是__________. 14．（本题5分）已知，若函数的图象关于直线对称，则________. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数为偶函数. (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增. 16．（本题15分）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 17．（本题15分）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 18．（本题17分）已知函数． (1)若，求函数在上的最小值. (2)若函数在上既有最大值又有最小值，试探究、分别满足的条件（结果用表示）． (3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 19．（本题17分）若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”． (1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由； (2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得； (3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $