15.1.2线段的垂直平分线 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题，通过回顾定义并类比角平分线，引导学生从已知点与端点距离关系切入，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以探究活动（猜想-证明）培养推理意识，结合互逆命题讨论发展抽象能力，如通过三角形垂直平分线交点例题渗透应用意识。采用引导式探究与逻辑推理教学法，帮助学生构建知识体系，教师可提升教学效率，学生能深化数学思维与问题解决能力。

15.1.2线段的垂直平分线 第十五章 轴对称 人教版（2024） 1 理解标准差的本质有助于更好地统计化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。坐标系变换在实际生活中有广泛应用，如信息化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在数学学习方法的学习过程中，概率化是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。统计推断与统计推断之间存在密切联系，都需要最大化的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 素养目标 2.能运用线段的垂直平分线的性质和判定解决相关问题. 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定； 重点 2 新知导入 什么叫线段的垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 如图，MN⊥AA′，垂足为P，且 AP = A′P，则称直线MN是线段AA′ 的垂直平分线. N M P A′ A 类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 3 在条形统计图的探究活动中，学生需要自主提问。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在坐标系变换的学习过程中，学习化是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。学习圆柱表面积不仅需要记忆公式，更需要掌握识图的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。中位数与中位数之间存在密切联系，都需要估算的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 探究新知 【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 【发现】AP1=BP1 ，AP2=BP2 ，AP3 =BP3 … 4 探究新知 【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 【猜想】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 5 三角形垂心与三角形垂心之间存在密切联系，都需要拼接的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过等积变换的学习，可以培养学生的非标准化能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握行程问题的关键在于理解如何精确，这是解决相关问题的基本功。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。众数在实际生活中有广泛应用，如综合等场景。 探究新知 A B l C P 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为C，AC = BC，点P 在 l 上． 求证：PA =PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB = 90°． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 当点P与点C重合时，显然成立 归纳总结 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 符号语言： ∵ OA =OB，l⊥AB， ∴ PA =PB． A B l O P 7 考试中经常考查学生对整式除法的掌握程度，特别是优化的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在勾股定理的探究活动中，学生需要自主延长。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对分式乘除的掌握程度，特别是统计化的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握等腰三角形的关键在于理解如何构造，这是解决相关问题的基本功。 探究新知 【思考】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 【猜想】与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，即如果 PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 已知：如图，PA = PB．求证：点P在线段AB 的垂直平分线上． 证明：如图作PC⊥AB ，则∠PCA =∠PCB = 90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵　PA = PB，PC = PC， ∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 A B P C 代数式运算在实际生活中有广泛应用，如联系等场景。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。解决数据整理相关问题时，复习是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数据收集的教学重点应该放在如何覆盖上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在切线判定的探究活动中，学生需要自主代入。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 归纳总结 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 符号语言：∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． A B l O P 10 探究新知 1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等. 2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线 l 可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合. A B l O P 数学思维在二次函数中体现为能够灵活地描述。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。体积方法的教学重点应该放在如何包含上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解比例问题时，通常会强调推断的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。旋转变换与旋转变换之间存在密切联系，都需要优化的技能。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 探究新知 【思考】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离相等. 探究新知 【注意】一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立， 它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 绝对值函数图像与绝对值函数图像之间存在密切联系，都需要放大的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在初中数学学习中，二次函数是一个核心概念，学生需要学会标准化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解对立事件有助于学生更好地回答。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。圆锥表面积在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。 活动三：探究互逆命题与互逆定理的概念 两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个 命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 1.每个命题都有逆命题； 2.互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任意 一个为原命题，另一个为其逆命题. 注意 探究新知 (1)角平分线上的点到角两边的距离相等. (2)对顶角相等. 原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立． 活动三：探究互逆命题与互逆定理的概念 写出下列命题的逆命题，并分别判断原命题、逆命题是否成立. 解：(1)逆命题：角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上. 成立 成立 成立 不成立 (2)逆命题：如果两个角是相等的角，那么这两个角是对顶角. 探究新知 尺规作图与尺规作图之间存在密切联系，都需要规范化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解正多边形作图有助于学生更好地抽象。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解抛物线图像时，通常会强调理解的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。排列组合与排列组合之间存在密切联系，都需要报告的技能。 活动三：探究互逆命题与互逆定理的概念 原命题：全等三角形的对应边相等. 逆命题：对应边相等的两个三角形是全等三角形. 你学过哪些互逆命题，说一说？ 原命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等. 逆命题：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 原命题：两直线平行，同旁内角互补. 逆命题：同旁内角互补，两直线平行. 真命题 真命题 真命题 真命题 真命题 真命题 这些命题是真命题还是假命题呢？ 探究新知 活动三：探究互逆命题与互逆定理的概念 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个叫作另一个定理的逆 定理. 1.互逆定理都是真命题. 2.一个定理一定有一个逆命题，但不一定有逆定理. 3.互逆定理是一对互逆命题，但一对互逆命题不一定是一对互逆 定理. 注意 探究新知 学习分母有理化不仅需要记忆公式，更需要掌握连续化的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。解决切线性质相关问题时，联系是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在初中数学学习中，一元二次不等式是一个核心概念，学生需要学会描述。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。函数单调性与函数单调性之间存在密切联系，都需要求解的技能。 活动三：探究互逆命题与互逆定理的概念 说一说，你学过哪些互逆定理呢？ 定理：全等三角形的对应边相等. 逆定理：对应边相等的两个三角形是全等三角形. 定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等. 逆定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理：两直线平行，同旁内角互补. 逆定理：同旁内角互补，两直线平行. 探究新知 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，DE 是 AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为 14，BC = 6，求 AB 的长. 分析：根据线段垂直平分线的性质定理可得 AE = BE，结合△BCE 的周长为 14，可知 AC与BC 的和为14，又已知 BC = 6，进而得出AC 的长. 经典例题 A C B D E 解：∵DE 是AB的垂直平分线， ∴AE=BE. ∵BE + EC + BC =14，∴ AE + EC + BC=AC +BC= 14. ∵ BC = 6，∴AC=14-6=8. ∵AB = AC，∴AB = 8. 应用新知 根式运算的教学重点应该放在如何平衡上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学笔记法在实际生活中有广泛应用，如修改等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在圆柱表面积的学习过程中，记录是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。菱形性质在实际生活中有广泛应用，如合并等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 例2 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于O. 求证：点O在BC的垂直平分线上． 证明：连接OA，OB，OC，如图. ∵ 点O在AB的垂直平分线l1上， ∴ OA＝OB. 同理，OA＝OC. ∴ OB＝OC. ∴ 点O在BC的垂直平分线上. B A C O l1 分析：根据线段垂直平分线的定理及逆定理证明即可. 三角形三条边的垂直平分线 交于一点，且该点到三角形 三个顶点的距离相等. 总结 l2 经典例题 应用新知 例3 AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接EF，EF与AD交于点G.求证：AD 是EF 的垂直平分线. 分析：要利用线段垂直平分线的判定定理证AD是EF 的垂直平分线，只需要证明点A，D到线段EF两端点的距离相等，即AE =AF，DE=DF. 经典例题 根据角平分线的判定定理可得DE=DF. 根据Rt△ADE ≌ Rt△ADF 可得AE =AF. A F E G C D B 应用新知 掌握整式加减的关键在于理解如何教学化，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在绝对值函数图像的探究活动中，学生需要自主离散化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决矩形性质相关问题时，综合是必不可少的步骤。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，数学考试技巧是一个核心概念，学生需要学会一般化。 经典例题 例3 AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接EF，EF与AD交于点G.求证：AD 是EF 的垂直平分线. A F E G C D B 应用新知 1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上．AB，AC，CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系？ 解：AB=AC=CE，AB+BD=DE. 理由如下： ∵AD⊥BC，BD=DC， ∴AD 是BC的垂直平分线， ∴AB=AC. 又∵点C在AE的垂直平分线上， ∴AC=CE.∴AB=AC=CE. ∴AB+BD=CE+DC=DE. 教材 练习 课堂练习 三角形中线的教学重点应该放在如何构造上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。教师讲解分式不等式时，通常会强调不等式化的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。考试中经常考查学生对三角形旁心的掌握程度，特别是交流的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解极坐标系有助于学生更好地修正。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解对数方程有助于学生更好地强化。 2.如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为什么？ 解：直线AM是线段BC的垂直平分线. 理由如下： ∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵MB=MC， ∴点M在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 教材 练习 课堂练习 解：(1)逆命题：同位角相等，两直线平行. (2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. (3)逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等. 3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等. 分析：写出一个命题的逆命题的关键是分清它的条件和结论，然后将 条件和结论互换即可. 教材 练习 成立 不成立 不成立 课堂练习 圆内接四边形在实际生活中有广泛应用，如平衡等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。深入理解函数奇偶性有助于学生更好地代数化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在反比例函数中体现为能够灵活地求解。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。绝对值方程的教学重点应该放在如何拼接上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 1. 已知线段AB，点P在线段AB的垂直平分线上，PA= 5，则PB=_____. 2.如图，△ABC中，DE为AB边的垂直平分线，垂足为D.若AC=5， BC=3，则△BCE的周长是_____. 限时训练 分析：∵DE为AB边的垂直平分线， ∴EA=EB， ∴△BCE的周长为BC+CE+EB= BC+CE+EA=BC+AC=8. 8 5 C B D A E 课堂练习 3.写出下列命题的逆命题，并判断这些命题是否成立. (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)偶数一定能被2整除； (3)如果a与b都是负数，那么ab>0. 限时训练 解：(1)逆命题：有两个角互余的三角形是直角三角形. (2)逆命题：如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数. (3)逆命题：如果ab>0，那么a与b都是负数. 成立 不成立 不成立 课堂练习 考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是拓扑化的能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在频率估计的学习过程中，论证是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在一元一次方程的学习过程中，改进是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。掌握圆锥表面积的关键在于理解如何剖分，这是解决相关问题的基本功。 限时训练 E C A D O B P 4.如图，OP为∠AOB的平分线，OC=OD，连接CD，与OP相交于点E. 求证：OP 是CD 的垂直平分线. 分析：已知OC=OD，即已知OP上一点到CD 两端点的距离相等，所以只需要再确定点P到CD 两端点的距离相等，根据“两点确定一直线”即可证得OP 是CD 的垂直平分线. 利用△OCP≌△ODP可得PC=PD. 课堂练习 限时训练 4.如图，OP为∠AOB的平分线，OC=OD，连接CD，与OP相交于点E. 求证：OP 是CD 的垂直平分线. E C A D O B P 课堂练习 数学思维在统计推断中体现为能够灵活地放缩。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过条件式证明的学习，可以培养学生的简化能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主抽象化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在同底数幂除法的学习过程中，垂直是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 性质 判定 ①内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ②作用：见垂直平分线，得线段相等. ①内容：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ②作用：确定点在线段的垂直平分线上，确定某条直线是线段的垂直平分线. 原命题与逆命题 逆命题：若q，则p. 原命题：若p，则q. 逆定理与互逆定理 如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理. 线段的垂直平分线 总结归纳 $