第五单元 平行四边形和梯形（知识清单）数学人教版四年级上册（新教材）

该小学数学单元复习讲义系统梳理了“平行四边形和梯形”单元内容，涵盖平行与垂直、平行四边形、梯形、四边形分类四大知识范畴，搭建了从概念定义到性质应用再到作图实践的递进式学习支架。 清单通过“知识点+易错点+考点”三级架构呈现知识体系，如明确标注“同一平面内是平行的前提”等易错点，配合典例分析与变式练习，培养学生的几何直观和空间观念。特别设计作图步骤分解与生活应用实例，如跳远成绩测量原理，助力学生自主复习，教师可据此优化教学重点。

人教版·新教材四年级数学上册 第五单元：平行四边形和梯形（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：平行与垂直 1．在同一个平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 2．平行 （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）表示方法：如图，直线a平行于直线，记作：a∥b，读作：a平行于b。 （3）核心特征：①两条直线延长后永远不会相交；②平行线之间的距离处处相等。 3．垂直 （1）定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 （2）表示方法：如图，直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。 （3）核心特征：①垂直是相交的一种特殊情况。②判断垂直的依据是夹角是否为90。 4．重要性质 （1）从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。这条垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 （2）两条平行线之间的垂直线段长度都相等，即平行线间的距离处处相等。 （3）应用实例： ①测定跳远成绩时，测量的是落地点到起跳线的垂直距离。 ②修路时，从村庄到公路修一条最短的路，应修垂直于公路的路线。 5．垂线与平行线的画法 （1）画平行线 ①工具：三角尺、直尺。 ②步骤（过直线外一点画已知直线的平行线） 重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 靠紧：用直尺靠紧三角尺的另一条直角边。 平移：固定直尺，沿直尺方向平移三角尺，直到三角尺的原直角边经过已知点。 画线：沿三角尺的直角边画直线。 （2）画垂线 ①工具：三角尺、直尺。 ②步骤（过直线上或直线外一点画已知直线的垂线)： 边线重合：把三角尺的一条直角边与直线重合； 平移找点：平移三角尺找到直线上的点； 画线标号：用笔沿另一条直角边画垂线，在垂足处标出直角符号。 6．画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 步骤： （1）用三角尺先画一个直角。 （2）用圆规在直角的两条边上截出相应的长和宽。 （3）分别过B点和D点作垂线。 【易错点】 （1）“同一平面内”是平行的前提：若两条直线不在同一平面，即使不相交也不是平行线，不能忽略“同一平面”这一关键条件。 （2）区分“相交”与“垂直”的关系：垂直是相交的特殊情况（相交成直角），但相交不一定垂直，避免将“相交”等同于“垂直”。 （3）画垂线时“直角边对齐”：用三角板画垂线，必须确保三角板的一条直角边与已知直线完全重合，否则画出的直线与已知直线夹角不是直角，不满足垂直定义。 （4）画平行线时，平移三角板要保持平稳，确保两条直线之间的距离处处相等，防止因平移偏移导致两条直线不平行。 知识点02：平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 2．特征 （1）两组对边分别平行且相等； （2）两组对角分别相等； （3）对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； （4）具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 3．特殊平行四边形： （1）长方形：四个角都是直角的平行四边形，对边相等，对角线相等； （2）正方形：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形，是特殊的长方形。 4．画平行四边形：在方格纸上选取四个点，确保对边平行且相等，连线即可。 【易错点】 （1）“两组对边分别平行”是核心判定条件：仅一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，必须满“两组对边都平行”。 （2）平行四边形的不稳定性是特性而非缺点，需结合生活场景（如伸缩门、升降架）理解其应用价值，避免单纯认为“不稳定就是不好”。 知识点03：梯形 1、定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2、各部分名称： （1）平行的两组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； （2）不平行的两组对边叫做梯形的腰。 3．特殊梯形： （1）等腰梯形：两腰相等的梯形，两底角相等，对角线相等； （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形，有一条腰与两底垂直。 4．画梯形 步骤： （1）画两条互相平行的线段，长度不等（分别为上底和下底）。 （2）连接两条线段的端点。 （3）若画直角梯形，需保证一条腰与底垂直；若画等腰梯形，需保证两腰长度相等。 【易错点】 （1）“只有一组对边平行”是关键：“只有一组”意味着另一组对边不平行，若两组对边都平行则是平行四边形，不是梯形。 （2）虽然通常用“长短”区分上底和下底，但本质是根据位置（如梯形摆放时，上方的底叫上底，下方的叫下底），不能绝对认为“短的一定是上底，长的一定是下底”（如倒置的梯形，原“下底”可能在上方）。 （3）等腰梯形的两腰相等是核心特征，由此可推出两底角相等，但不能反过来“仅看底角相等就判定是等腰梯形”（需结合“梯形”定义，先确认只有一组对边平行），避免忽略梯形的基本定义。 知识点04：四边形的分类和关系 关键结论： （1）四边形是统称，所有由四条线段围成的封闭图形都是四边形； （2）平行四边形和梯形是特殊的四边形（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）； （3）长方形是特殊的平行四边形（四个角是直角）； （4）正方形是特殊的长方形（四条边相等）。 【易错点】 （1）平行四边形和梯形都是四边形的特殊类型，但两者没有从属关系（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组，特征互斥），不能说“平行四边形是特殊的梯形”或“梯形是特殊的平行四边形”。 （2）除了平行四边形和梯形，还有“两组对边都不平行的四边形”（如不规则四边形），它们也是四边形的一部分，不能将四边形的范围缩小为“平行四边形+梯形”。 考点01：平行与垂直的特征及性质 【典型例题1】下面是某区域地图的一部分。请仔细观察后回答问题。 （1）写出两组互相垂直的道路。 （2）写出两组互相平行的道路。 【典型例题2】如图，点E、F、G、H分别是长方形ABCD四条边上的中点，点O是图形的中心，EO＝5厘米，OH＝8厘米。 （1）EF与GH互相（ ），EG与FH互相（ ）。（填“平行”或“垂直”） （2）点A到BC的距离是（ ）厘米，点A到DC的距离是（ ）厘米。 【练习1】我国的汉字博大精深，汉字的笔画中也蕴含着数学知识，有些汉字的笔画存在互相平行或互相垂直的位置关系。下面的汉字中，既有互相平行的笔画，又有互相垂直的笔画的是（     ）。 A．三 B．小 C．上 D．下 【练习2】幸福村要修一条公路与国道连接，如图所示，这样修能使路最近。这里用到的数学知识是（     ）。 A．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 B．平行线之间的距离处处相等。 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 考点02：画平行线、垂线 【典型例题】亮亮每周日都去进行游泳训练，一次他游到游泳池的A点后，想要尽快上岸，怎样游的距离是最短的？请你画一画。 【练习】点A代表幸福村，直线BC代表幸福村旁边的一条公路。 （1）请设计一条路，使它既经过村子，又与公路平行。 （2）请再设计一条连接幸福村与公路BC最近的路。 考点03：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典型例题】 （1）在方格纸中画一个长5厘米、宽3厘米的长方形。 （2）在方格纸中画一个边长4厘米的正方形。 【练习】按要求作图。 下面两条直线互相平行，利用它们画一个正方形。并量出这个正方形的边长。 考点04：平行四边形的概念及特点 【典型例题】平行四边形的一条边长8厘米，比邻边长3厘米，这个平行四边形的周长是（ ）厘米。 【练习1】将一个平行四边形分割成2个图形，不可能出现的是（     ）。 A．两个梯形 B．两个平行四边形 C．一个三角形和一个平行四边形 D．两个三角形 【练习2】如下图，从3根8厘米的小棒和3根7厘米长的小棒中选出4根围成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是（ ）厘米。 考点05：梯形的概念及特点 【典型例题】8根小棒交叉摆放（如图），其中，，涂色部分是4个四边形，③是平行四边形，那么①是（     ）。 A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 【练习1】在一张梯形纸上剪一刀，剪下的图形中有一个是平行四边形，另一个不可能是（     ）。 A．平行四边形 B．三角形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【练习2】一个梯形，上底是4厘米，如果上底延长3厘米，这个梯形就变成了正方形。这个梯形的下底是（ ）厘米。 考点06：直角梯形和等腰梯形 【典型例题】过道两边各有一个等腰梯形的水池（如图），梯形的上底和腰都是6米，下底是10米。如果在两个水池四周围上栏杆，栏杆一共长多少米？ 【练习1】一个等腰梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，它的周长是16厘米，那么等腰梯形的一条腰长是多少厘米？ 【练习2】王悦家的菜园是一个平行四边形，如图所示，则这块菜园的周长是（ ）米，根据地形，妈妈将菜园扩建成一个梯形ABCE，扩建后的菜园是个（ ）梯形，这个梯形的高是（ ）米，平行四边形ABCD中BC边上的高是（ ）米。 考点07：画平行四边形、梯形 【典型例题】按要求画一画。（小方格的边长均表示1cm） （1）增加一个点D，连接四个点，使四边形ABCD是一个等腰梯形，并标出高。 （2）画一个底长5厘米，高4厘米的平行四边形。 （3）在所画的平行四边形中画一条线，将其分成一个直角梯形和一个三角形。 【练习】下面每个小方格的边长表示1厘米，按要求画出对应图形。 （1）上底2厘米，下底4厘米，高3厘米的梯形。 （2）面积是10平方厘米的平行四边形。 考点08：四边形的分类和关系 【典型例题】奇思把下面7个四边形分成了三类，按这个标准，图形应该分到第（     ）类。 A．① B．② C．③ D．以上都不符合 【练习1】下面的包含关系表示错误的是（     ）。 A． B． C． D． 【练习2】在一个梯形中画一条线段，将这个梯形分成两个图形，这两个图形不可能是（     ）。 A．两个梯形 B．一个三角形和一个梯形 C．一个平行四边形和一个梯形 D．两个平行四边形 一、选择题 1．一张纸上画了三条直线，其中直线a垂直于直线c，直线b也垂直于直线c，那么直线a和直线b的位置关系是（     ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．既不平行也不垂直 2．如图，测定跳远成绩的依据是（     ）。 A．两点之间线段最短 B．直线外一点到直线的垂直线段最短 C．平行线之间的距离处处相等 3．一个四边形，它的四条边中有两条边的长都是6cm，另外两条边的长都是3cm，那么下列说法不正确的是（     ）。 A．可能是平行四边形 B．可能是长方形 C．可能是等腰梯形 4．下面三组小棒中，正好可以围成一个平行四边形的是（     ）。 A． B． C． 5．一个等腰梯形装饰框的周长是180厘米，已知它的上底是30厘米，下底比上底长20厘米，那么这个装饰框的一条腰长（     ）厘米。 A．50 B．65 C．70 二、填空题 6．观察后分一分。互相平行的是：（ ），互相垂直的是：（ ）。 7．在阳光下，操场上竖立的旗杆与其影子的位置关系是互相（ ），教室里黑板上下两条边的位置关系是互相（ ）。 8．有四位同学的家在同一条街道上，如下图，（ ）家离学校最近，这是因为（ ）。 9．同一平面内，如果两直线永不相交，那么它们就互相（ ），如果它们相交成直角，它们就互相（ ）。 10．根据下面的道路图，写出一组：（ ）路与（ ）路互相垂直。写出一组：（ ）路与（ ）路互相平行。 11．数一数下图中有（ ）个平行四边形和（ ）个梯形。 12．拿一张正方形纸，折一折，数一数。 上图中有（ ）组平行线；有（ ）组线段互相垂直。 13．下图是一个等腰梯形，上底是下底的一半，那么这个等腰梯形的周长是（ ）米。 14．将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，每个梯形的上底是5厘米，下底是8厘米，高是6厘米，拼成的平行四边形的底是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 15．一个等腰梯形的上底是8cm，下底是12cm，一条腰长9cm，它的周长是（ ）cm。 16．如图，两个正方形的边长分别为6厘米和4厘米，图中共有（ ）个梯形，其中最大的梯形的上、下底分别是（ ）厘米和（ ）厘米，高是（ ）厘米。 三、作图题 17．过点画已知直线的垂线和平行线。 18． （1）在下面的点子图中分别画出一个平行四边形和一个梯形。 （2）画出一条线段，将上面的梯形分成一个三角形和一个平行四边形。 四、解答题 19．一只老虎赶一只狐狸，狐狸慌不择路掉进河里了。狐狸想：我要尽快上岸，又不能被老虎抓着。你觉得狐狸选择下面哪条路线逃生的可能性最大呢？为什么？ ①A→B    ②A→C    ③A→D 20．如图，童童家有一块菜地，它是一个等腰梯形，梯形的上底靠墙，下底长35米。用85米长的篱笆正好能将这块菜地围起来（靠墙的一面不围），你知道这个梯形的一条腰长多少米吗？ 21．一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度分别是16分米与90厘米。现在要在广告牌的四周装上灯带，灯带长多少分米？ 22．一个直角梯形，上底是1厘米，一条腰是5厘米，如果把上底延长3厘米，就变成了一个正方形。原来梯形的周长是多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版·新教材四年级数学上册 第五单元：平行四边形和梯形（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：平行与垂直 1．在同一个平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 2．平行 （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）表示方法：如图，直线a平行于直线，记作：a∥b，读作：a平行于b。 （3）核心特征：①两条直线延长后永远不会相交；②平行线之间的距离处处相等。 3．垂直 （1）定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 （2）表示方法：如图，直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。 （3）核心特征：①垂直是相交的一种特殊情况。②判断垂直的依据是夹角是否为90。 4．重要性质 （1）从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。这条垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 （2）两条平行线之间的垂直线段长度都相等，即平行线间的距离处处相等。 （3）应用实例： ①测定跳远成绩时，测量的是落地点到起跳线的垂直距离。 ②修路时，从村庄到公路修一条最短的路，应修垂直于公路的路线。 5．垂线与平行线的画法 （1）画平行线 ①工具：三角尺、直尺。 ②步骤（过直线外一点画已知直线的平行线） 重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 靠紧：用直尺靠紧三角尺的另一条直角边。 平移：固定直尺，沿直尺方向平移三角尺，直到三角尺的原直角边经过已知点。 画线：沿三角尺的直角边画直线。 （2）画垂线 ①工具：三角尺、直尺。 ②步骤（过直线上或直线外一点画已知直线的垂线)： 边线重合：把三角尺的一条直角边与直线重合； 平移找点：平移三角尺找到直线上的点； 画线标号：用笔沿另一条直角边画垂线，在垂足处标出直角符号。 6．画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 步骤： （1）用三角尺先画一个直角。 （2）用圆规在直角的两条边上截出相应的长和宽。 （3）分别过B点和D点作垂线。 【易错点】 （1）“同一平面内”是平行的前提：若两条直线不在同一平面，即使不相交也不是平行线，不能忽略“同一平面”这一关键条件。 （2）区分“相交”与“垂直”的关系：垂直是相交的特殊情况（相交成直角），但相交不一定垂直，避免将“相交”等同于“垂直”。 （3）画垂线时“直角边对齐”：用三角板画垂线，必须确保三角板的一条直角边与已知直线完全重合，否则画出的直线与已知直线夹角不是直角，不满足垂直定义。 （4）画平行线时，平移三角板要保持平稳，确保两条直线之间的距离处处相等，防止因平移偏移导致两条直线不平行。 知识点02：平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 2．特征 （1）两组对边分别平行且相等； （2）两组对角分别相等； （3）对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； （4）具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 3．特殊平行四边形： （1）长方形：四个角都是直角的平行四边形，对边相等，对角线相等； （2）正方形：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形，是特殊的长方形。 4．画平行四边形：在方格纸上选取四个点，确保对边平行且相等，连线即可。 【易错点】 （1）“两组对边分别平行”是核心判定条件：仅一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，必须满“两组对边都平行”。 （2）平行四边形的不稳定性是特性而非缺点，需结合生活场景（如伸缩门、升降架）理解其应用价值，避免单纯认为“不稳定就是不好”。 知识点03：梯形 1、定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2、各部分名称： （1）平行的两组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； （2）不平行的两组对边叫做梯形的腰。 3．特殊梯形： （1）等腰梯形：两腰相等的梯形，两底角相等，对角线相等； （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形，有一条腰与两底垂直。 4．画梯形 步骤： （1）画两条互相平行的线段，长度不等（分别为上底和下底）。 （2）连接两条线段的端点。 （3）若画直角梯形，需保证一条腰与底垂直；若画等腰梯形，需保证两腰长度相等。 【易错点】 （1）“只有一组对边平行”是关键：“只有一组”意味着另一组对边不平行，若两组对边都平行则是平行四边形，不是梯形。 （2）虽然通常用“长短”区分上底和下底，但本质是根据位置（如梯形摆放时，上方的底叫上底，下方的叫下底），不能绝对认为“短的一定是上底，长的一定是下底”（如倒置的梯形，原“下底”可能在上方）。 （3）等腰梯形的两腰相等是核心特征，由此可推出两底角相等，但不能反过来“仅看底角相等就判定是等腰梯形”（需结合“梯形”定义，先确认只有一组对边平行），避免忽略梯形的基本定义。 知识点04：四边形的分类和关系 关键结论： （1）四边形是统称，所有由四条线段围成的封闭图形都是四边形； （2）平行四边形和梯形是特殊的四边形（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）； （3）长方形是特殊的平行四边形（四个角是直角）； （4）正方形是特殊的长方形（四条边相等）。 【易错点】 （1）平行四边形和梯形都是四边形的特殊类型，但两者没有从属关系（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组，特征互斥），不能说“平行四边形是特殊的梯形”或“梯形是特殊的平行四边形”。 （2）除了平行四边形和梯形，还有“两组对边都不平行的四边形”（如不规则四边形），它们也是四边形的一部分，不能将四边形的范围缩小为“平行四边形+梯形”。 考点01：平行与垂直的特征及性质 【典型例题1】下面是某区域地图的一部分。请仔细观察后回答问题。 （1）写出两组互相垂直的道路。 （2）写出两组互相平行的道路。 【答案】（1）人民路和建设路，长安路和永康路（答案不唯一） （2）长安路和建设路，人民路和永康路 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，据此解答。 【详解】（1）由图可知，人民路和建设路，长安路和永康路，人民路和长安路，建设路和永康路都互相垂直，写出两组即可。 （2）由图可知，长安路和建设路，人民路和永康路都互相平行。 【典型例题2】如图，点E、F、G、H分别是长方形ABCD四条边上的中点，点O是图形的中心，EO＝5厘米，OH＝8厘米。 （1）EF与GH互相（ ），EG与FH互相（ ）。（填“平行”或“垂直”） （2）点A到BC的距离是（ ）厘米，点A到DC的距离是（ ）厘米。 【答案】（1） 平行 垂直 （2） 10 16 【分析】（1）在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行；在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。据此解答。 （2）根据题意，点F是AB的中点，点O是图形的中心，AF＝FB＝EO＝5厘米，据此求出点A到BC的距离；点E是AD的中点，点O是图形的中心，AE＝ED＝OH＝8厘米，据此求出点A到DC的距离。 【详解】（1）EF与GH互相平行，EG与FH互相垂直。 （2）5×2＝10（厘米）；8×2＝16（厘米） 点A到BC的距离是10厘米，点A到DC的距离是16厘米。 【练习1】我国的汉字博大精深，汉字的笔画中也蕴含着数学知识，有些汉字的笔画存在互相平行或互相垂直的位置关系。下面的汉字中，既有互相平行的笔画，又有互相垂直的笔画的是（     ）。 A．三 B．小 C．上 D．下 【答案】C 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。逐个分析汉字笔画的位置关系即可。 【详解】A．“三”的三个横互相平行，没有相交成直角的笔画，只有平行没有垂直，不符合要求。 B．“小”的笔画间既没有互相平行的，也没有互相垂直的，不符合要求。 C．“上”的两个横互相平行，竖和两个横都互相垂直，既有平行又有垂直，符合要求。 D．“下”的横和竖互相垂直，只有1个横，没有互相平行的笔画，不符合要求。 【练习2】幸福村要修一条公路与国道连接，如图所示，这样修能使路最近。这里用到的数学知识是（     ）。 A．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 B．平行线之间的距离处处相等。 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】幸福村是直线外一点，国道是已知直线。观察题图中公路与国道的位置关系，存在直角符号，说明所修公路是幸福村到国道的垂线段。因为要找直线外一点到直线的最短路径，所以对应垂线段最短的相关几何性质，再匹配选项内容即可。 【详解】A．图里修的是从幸福村到国道的垂直线段，对应的数学知识是：过直线外一点到这条直线的垂直线段最短，符合题意。 B．平行线之间的距离处处相等。平行线的相关性质，本题没有涉及平行线，不符合题意； C．两点之间线段最短，本题是点到直线的最短距离问题，不是两点间连线，不符合题意； D．两点确定一条直线，是确定直线的规则，和“路最近”的要求无关，不符合题意； 考点02：画平行线、垂线 【典型例题】亮亮每周日都去进行游泳训练，一次他游到游泳池的A点后，想要尽快上岸，怎样游的距离是最短的？请你画一画。 【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的所有连线里，和这条直线垂直的线段长度是最短的。观察图里A点的位置，它离左侧的岸边最近，所以只要从A点向左边的岸边画垂直线段，沿着这条线游上岸，路程就是最短的。 【详解】 【练习】点A代表幸福村，直线BC代表幸福村旁边的一条公路。 （1）请设计一条路，使它既经过村子，又与公路平行。 （2）请再设计一条连接幸福村与公路BC最近的路。 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用平行线的特征：经过点A画一条直线，和公路BC不相交，就得到经过村子且和公路平行的路。 （2）点到直线之间，垂线段最短。从点A向直线BC作垂线段，这条垂线段就是村子到公路最近的路。 【详解】（1）作图方法：用直尺和三角板，把三角板的一条直角边对齐BC，将直尺靠在三角板的另一条直角边上，沿着直尺平移三角板，使这条边经过点A，沿着这条边画出直线，即为过A点且与BC平行的路。（图略） （2）作图方法：把三角板的一条直角边对齐BC，沿着BC移动三角板，让另一条直角边经过点A，从A点向BC画出垂线段，标上直角符号，这条垂线段就是距离最近的路。（图略） 考点03：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典型例题】 （1）在方格纸中画一个长5厘米、宽3厘米的长方形。 （2）在方格纸中画一个边长4厘米的正方形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据长方形对边相等、4个角都是直角的特征，即可画出一个长5厘米、宽3厘米的长方形； （2）根据正方形4条边相等，4个角都是直角的特征即可画出一个边长4厘米的正方形。 【详解】（1） （2） 【练习】按要求作图。 下面两条直线互相平行，利用它们画一个正方形。并量出这个正方形的边长。 【答案】见详解；2厘米 【分析】在其中一条平行线上任取一点，向另一条平行线作垂线段，这个垂线段的长度就是正方形的边长（正方形要求四条边相等、邻边垂直，已有一组平行对边，边长就是平行线间的距离）。在两条平行线上，分别从垂足开始，沿平行线方向截取和垂线段长度相等的线段，得到两个新端点。连接两个新端点，就得到需要的正方形。再用直尺测量正方形边长即可。 【详解】量出这个正方形的边长是2厘米。 考点04：平行四边形的概念及特点 【典型例题】平行四边形的一条边长8厘米，比邻边长3厘米，这个平行四边形的周长是（ ）厘米。 【答案】26 【分析】由题意可知：8厘米的边的邻边的长度是8－3＝5（厘米），依据平行四边形的周长公式＝（一条边＋它的邻边）×2，代入数据即可求解． 【详解】另一条边长：8－3＝5（厘米） 平行四边形的周长： （8＋5）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 【练习1】将一个平行四边形分割成2个图形，不可能出现的是（     ）。 A．两个梯形 B．两个平行四边形 C．一个三角形和一个平行四边形 D．两个三角形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的特征，判断不同分割方法得到的图形，可以分割成两个梯形，两个平行四边形，两个三角形。 【详解】A．在平行四边形一组对边之间画一条不平行于另一组对边、也不经过顶点的线段，能得到两个梯形，如图：，不符合题意。 B．画一条平行于平行四边形任意一组对边的线段，能得到两个平行四边形，如图：，不符合题意。 C．如果要分割出三角形，切割线需要经过平行四边形的1个顶点且和对边相交，剩余的图形是梯形，无法得到平行四边形，不可能出现；符合题意。 D．沿平行四边形的对角线切割，能得到两个三角形，如图：，不符合题意。 【练习2】如下图，从3根8厘米的小棒和3根7厘米长的小棒中选出4根围成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是（ ）厘米。 【答案】30 【分析】平行四边形的特点是两组对边分别相等，要选4根小棒的话，需要2根长度一样的小棒当一组对边，再选另外2根长度一样的当另一组对边。我们刚好有3根8厘米、3根7厘米的小棒，各拿出2根就满足要求，计算出周长即可。 【详解】（8＋7）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 这个平行四边形的周长是30厘米。 考点05：梯形的概念及特点 【典型例题】8根小棒交叉摆放（如图），其中，，涂色部分是4个四边形，③是平行四边形，那么①是（     ）。 A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 【答案】A 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；据此解答即可。 【详解】由图可知，，①只有一组对边平行，是梯形。 【练习1】在一张梯形纸上剪一刀，剪下的图形中有一个是平行四边形，另一个不可能是（     ）。 A．平行四边形 B．三角形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】根据梯形只有一组对边平行、平行四边形两组对边分别平行的特征，判断剪后的图形可能情况。 【详解】过梯形上底的顶点作腰的平行线剪开，可得到平行四边形和三角形； 过上底中间的点作腰的平行线剪开，可得到平行四边形和梯形（包括直角梯形、等腰梯形）。 梯形只有一组对边平行，剪一刀无法得到两个平行四边形，因此另一个不可能是平行四边形。 综上所述在一张梯形纸上剪一刀，剪下的图形中有一个是平行四边形，另一个不可能是平行四边形。 【练习2】一个梯形，上底是4厘米，如果上底延长3厘米，这个梯形就变成了正方形。这个梯形的下底是（ ）厘米。 【答案】7 【分析】梯形中只有一组对边平行，正方形的两组对边平行，4条边相等。将梯形的上底延长3厘米，变为厘米，这个梯形就变成正方形，则正方形的边长为7厘米。这个梯形的下底等于正方形的边长。 【详解】（厘米），则这个梯形的下底是7厘米。 考点06：直角梯形和等腰梯形 【典型例题】过道两边各有一个等腰梯形的水池（如图），梯形的上底和腰都是6米，下底是10米。如果在两个水池四周围上栏杆，栏杆一共长多少米？ 【答案】56米 【分析】根据梯形周长＝上底＋下底＋腰＋腰，求出一个等腰梯形水池的周长，再乘2，求出在两个水池四周围上栏杆的总长度。 【详解】（6＋10＋6＋6）×2 ＝（16＋6＋6）×2 ＝（22＋6）×2 ＝28×2 ＝56（米） 答：栏杆一共长56米。 【练习1】一个等腰梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，它的周长是16厘米，那么等腰梯形的一条腰长是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】梯形的周长等于上底、下底与两条腰的长度之和。根据题意，先用周长减去上底和下底的长度，求出两条腰的总长度，再除以2即可求出一条腰的长度。 【详解】 （厘米） 答：等腰梯形的一条腰长是4厘米。 【练习2】王悦家的菜园是一个平行四边形，如图所示，则这块菜园的周长是（ ）米，根据地形，妈妈将菜园扩建成一个梯形ABCE，扩建后的菜园是个（ ）梯形，这个梯形的高是（ ）米，平行四边形ABCD中BC边上的高是（ ）米。 【答案】 20 直角 3 3 【分析】平行四边形的周长就是四条边长的总和，因为平行四边形的对边相等，用6加上4的和，再乘2，就是这个平行四边形的周长；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形；扩建后的梯形ABCE中，∠CED＝90°，所以这是一个直角梯形。梯形的高就是两底BC和AE之间的垂直距离，即图中标注的3米；平行四边形ABCD中，BC边上的高与梯形的高相同，也是3米。 【详解】（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（米） 则这块菜园的周长是20米，根据地形，妈妈将菜园扩建成一个梯形ABCE，扩建后的菜园是个直角梯形，这个梯形的高是3米，平行四边形ABCD中BC边上的高是3米。 考点07：画平行四边形、梯形 【典型例题】按要求画一画。（小方格的边长均表示1cm） （1）增加一个点D，连接四个点，使四边形ABCD是一个等腰梯形，并标出高。 （2）画一个底长5厘米，高4厘米的平行四边形。 （3）在所画的平行四边形中画一条线，将其分成一个直角梯形和一个三角形。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【分析】（1）等腰梯形的特点：一组对边平行，另一组对边长度相等。已知AB为上底，长2厘米，要让CD作为下底并且AD＝BC。由图可知， C在B的左侧2格处，所以点D应在A的右侧2格处，与C在同水平一条直线上，连接ABCD就可得到等腰梯形ABCD；过B向下作垂线短交CD于点H， BH就是等腰梯形ABCD的高。 （2）平行四边形的特点：两组对边分别平行并且相等，先确定一点C向右数5个小格，画一条5厘米的线段作为底，端点为D。从C点向上数4个小格，向右偏移2个小格确定一个点B，再画出与底平行并且长度为5个小格的对边，端点为A，最后连接两边的端点BC、AD，形成平行四边形ABCD。（答案不唯一） （3）过平行四边形的一个端点D，向对边AB作垂线段，交AB于点E，这条线段会把平行四边形分成一个直角梯形和一个三角形。 【详解】（1） （2） （3） 【练习】下面每个小方格的边长表示1厘米，按要求画出对应图形。 （1）上底2厘米，下底4厘米，高3厘米的梯形。 （2）面积是10平方厘米的平行四边形。 【答案】见详解 【分析】（1）在方格纸上，上底画2格，下底画4格，两底之间的距离为高3格。 （2）平行四边形面积＝底×高。面积10平方厘米，底和高可以是5厘米和2厘米，或10厘米和1厘米。选底5厘米高2厘米画。 【详解】 考点08：四边形的分类和关系 【典型例题】奇思把下面7个四边形分成了三类，按这个标准，图形应该分到第（     ）类。 A．① B．② C．③ D．以上都不符合 【答案】B 【分析】先梳理分类标准：①是没有互相平行的边；②只有一组对边互相平行（梯形）；③有两组对边互相平行（平行四边形，长方形、正方形属于特殊平行四边形）。题图图形是梯形，归入第②类。 【详解】根据分析，要放入的图形是梯形，只有一组对边互相平行，分到第②类。 【练习1】下面的包含关系表示错误的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】梯形是只有一组对边平行的四边形，等腰梯形是两腰相等的梯形。等腰三角形是至少有两边相等的三角形，等边三角形是三边都相等的三角形。长方形是四个角为直角的平行四边形，正方形是四条边都相等的长方形。平行四边形是两组对边分别平行的四边形，梯形是只有一组对边平行的四边形。 【详解】A．四边形包含梯形，梯形包含等腰梯形，这个包含关系是正确的。 B．等边三角形属于特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形，这个图的包含关系画反了，不正确。 C．平行四边形包含长方形，长方形包含正方形，这个包含关系是正确的。 D．梯形和平行四边形，二者是并列关系，都属于四边形，四边形包含平行四边形和梯形，这个包含关系是正确的。 【练习2】在一个梯形中画一条线段，将这个梯形分成两个图形，这两个图形不可能是（     ）。 A．两个梯形 B．一个三角形和一个梯形 C．一个平行四边形和一个梯形 D．两个平行四边形 【答案】D 【分析】梯形只有一组对边平行，平行四边形需要两组对边分别平行，据此判断分割后的图形是否可能。 【详解】A．在梯形上底和下底各取一点（非端点），画一条和两腰都不平行的线段，可得到两个梯形，能实现；不符合题意； B．从梯形上底的一个端点向下底上的某一点（非端点）画线段，可得到一个三角形和一个梯形，能实现；不符合题意； C．过梯形上底的一个点（非端点）画一条和其中一条腰平行的线段，交下底于一点（非端点），可得到一个平行四边形和一个梯形，能实现；不符合题意； D．梯形只有一组对边平行，要得到两个平行四边形，每个平行四边形都需要两组对边分别平行，无法通过画一条线段实现；符合题意。 一、选择题 1．一张纸上画了三条直线，其中直线a垂直于直线c，直线b也垂直于直线c，那么直线a和直线b的位置关系是（     ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．既不平行也不垂直 【答案】A 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，据此解答。 【详解】分析可知：一张纸上画了三条直线，其中直线a垂直于直线c，直线b也垂直于直线c，那么直线a和直线b的位置关系是互相平行。 故答案为：A 2．如图，测定跳远成绩的依据是（     ）。 A．两点之间线段最短 B．直线外一点到直线的垂直线段最短 C．平行线之间的距离处处相等 【答案】B 【分析】跳远时，落地点是“直线外一点”，起跳线是“直线”，成绩需要测量落地点到起跳线的垂直距离（这样的距离是最短的，能保证成绩测量的公平性）。 【详解】由分析可知： 测定跳远成绩的依据是直线外一点到直线的垂直线段最短。 故答案为：B 3．一个四边形，它的四条边中有两条边的长都是6cm，另外两条边的长都是3cm，那么下列说法不正确的是（     ）。 A．可能是平行四边形 B．可能是长方形 C．可能是等腰梯形 【答案】C 【分析】两组对边分别互相平行的四边形叫做平行四边形；四个角都是直角的平行四边形叫作长方形；只有一组对边平行，两条腰相等的叫等腰梯形； 根据平行四边形、长方形、等腰梯形的边的特征逐一判断即可。 【详解】这个四边形可能是一组对边是6cm，另一组对边是3cm，此时为平行四边形或长方形；等腰梯形只能两腰相等，上下底长度不相等。 4．下面三组小棒中，正好可以围成一个平行四边形的是（     ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】平行四边形的核心特点是对边长度相等，因此要围成平行四边形，4根小棒需要满足：有两组长度分别相等的小棒，每组各2根。据此进行分析。 【详解】根据分析： A.只有1根长小棒、3根等长短小棒，无法满足两组对边分别相等，不能围成； B.有2根长度相等的长小棒、2根长度相等的短小棒，正好符合“两组对边分别相等”的要求，可以围成平行四边形； C.有3根等长长小棒、1根短小棒，也无法满足两组对边分别相等，不能围成。 故答案为：B 5．一个等腰梯形装饰框的周长是180厘米，已知它的上底是30厘米，下底比上底长20厘米，那么这个装饰框的一条腰长（     ）厘米。 A．50 B．65 C．70 【答案】A 【分析】等腰梯形的两条腰长度相等，周长等于上底、下底与两条腰的长度之和。已知周长、上底以及下底与上底的关系，可以先计算出下底的长度，再用周长减去上底和下底的长度和，得到两条腰的长度和，最后除以2即可求出一条腰的长度。 【详解】下底的长度：（厘米） 上底和下底的长度和：（厘米） 两条腰的长度和：（厘米） 一条腰的长度：（厘米） 二、填空题 6．观察后分一分。互相平行的是：（ ），互相垂直的是：（ ）。 【答案】 ①③ ④⑤ 【分析】在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条线互相平行；两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。由图可知，图形①和图形③中的两条直线互相平行；图形④和图形⑤中的两条直线相交成直角，所以图形④和图形⑤中的两条直线互相垂直。 【详解】由分析得，互相平行的是：①③，互相垂直的是：④⑤。 7．在阳光下，操场上竖立的旗杆与其影子的位置关系是互相（ ），教室里黑板上下两条边的位置关系是互相（ ）。 【答案】 垂直 平行 【分析】两直线相交成90°则两直线互相垂直；同一平面内两直线永不相交则两直线平行，据此解答即可。 【详解】在阳光下，操场上竖立的旗杆与其影子的位置关系是互相垂直，教室里黑板上下两条边的位置关系是互相平行。 8．有四位同学的家在同一条街道上，如下图，（ ）家离学校最近，这是因为（ ）。 【答案】 小林 直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【分析】直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，据此填空即可。 【详解】小林家离学校最近，这是因为直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短。 9．同一平面内，如果两直线永不相交，那么它们就互相（ ），如果它们相交成直角，它们就互相（ ）。 【答案】 平行 垂直 【分析】同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种，所以两条直线不相交时必然平行。当两条直线垂直时所成的角是直角。 【详解】同一平面内，如果两直线永不相交，那么它们就互相平行，如果它们相交成直角，它们就互相垂直。 10．根据下面的道路图，写出一组：（ ）路与（ ）路互相垂直。写出一组：（ ）路与（ ）路互相平行。 【答案】 北京 南京 北京 西安 【分析】在同一平面内，两条永不相交的直线叫做平行线，如果同一平面内的这样的两条直线不平行，说明它们一定相交。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。据此找出互相平行的路和互相垂直的路即可（答案不唯一）。 【详解】根据下面的道路图，写出一组：（北京）路与（南京）路互相垂直。写出一组：（北京）路与（西安）路互相平行。（答案不唯一） 11．数一数下图中有（ ）个平行四边形和（ ）个梯形。 【答案】 6 12 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；依此数出它们的个数即可。 【详解】单独的平行四边形有3个，两个平行四边形组成的平行四边形有2个，三个平行四边形组成的平行四边形有1个，共3＋2＋1＝5＋1＝6个； 单独的梯形有6个，两个梯形组成的梯形有4个，三个梯形组成的梯形有2个，共6＋4＋2＝10＋2＝12个。 数一数下图中有（6）个平行四边形和（12）个梯形。 12．拿一张正方形纸，折一折，数一数。 上图中有（ ）组平行线；有（ ）组线段互相垂直。 【答案】 2 5 【分析】给图中各线段标号，如图所示：，根据平行和垂直的定义可知，线段1和线段2互相平行，线段3和线段4互相平行。线段6和线段5互相垂直，线段1和线段3互相垂直，线段1和线段4互相垂直，线段2和线段3互相垂直，线段2和线段4互相垂直。据此解答即可。 【详解】由分析可知，图中有2组平行线；有5组线段互相垂直。 13．下图是一个等腰梯形，上底是下底的一半，那么这个等腰梯形的周长是（ ）米。 【答案】17 【分析】根据题意，先用3×2求出下底的长度，等腰梯形两条腰相等，据此将四条边的长度相加，即可求出这个等腰梯形的周长是多少。 【详解】3×2＝6（米） 3＋6＋4＋4 ＝9＋4＋4 ＝13＋4 ＝17（米） 这个等腰梯形的周长是17米。 14．将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，每个梯形的上底是5厘米，下底是8厘米，高是6厘米，拼成的平行四边形的底是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】 13 78 【分析】根据平行四边形对边相等的特点可知，第一个梯形的上底拼第二个梯形的下底才能拼成一个平行四边形，所以拼成的平行四边形的底是厘米，高还是梯形的高，根据平行四边形的面积＝底×高，计算即可得解。 【详解】（厘米） （平方厘米） 将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，每个梯形的上底是5厘米，下底是8厘米，高是6厘米，拼成的平行四边形的底是13厘米，面积是78平方厘米。 15．一个等腰梯形的上底是8cm，下底是12cm，一条腰长9cm，它的周长是（ ）cm。 【答案】38 【分析】两腰相等的梯形叫做等腰梯形。因此，等腰梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰长，依此计算。 【详解】8＋12＋2×9 ＝8＋12＋18 ＝20＋18 ＝38（cm） 所以它的周长是38cm。 16．如图，两个正方形的边长分别为6厘米和4厘米，图中共有（ ）个梯形，其中最大的梯形的上、下底分别是（ ）厘米和（ ）厘米，高是（ ）厘米。 【答案】 3 4 6 10 【分析】根据梯形的定义可知，梯形是有一组对边互相平行的四边形。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。图中单独的梯形有2个，由两个图形组成的梯形有1个，则一共有2＋1＝3个梯形。其中最大的梯形的上底是小正方形的边长，下底是大正方形的边长。而这个梯形的高是小正方形和大正方形的边长和。据此解答即可。 【详解】图中共有3个梯形，其中最大的梯形的上底和下底分别是4厘米和6厘米，高是6＋4＝10厘米。 三、作图题 17．过点画已知直线的垂线和平行线。 【答案】见详解 【分析】画垂线： 把三角板的一条直角边和已知直线完全对齐重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一条直角边刚好经过点A，沿着这条经过A点的直角边画直线，这条新直线就是已知直线的垂线，最后在两条直线的相交位置标上直角符号。 画平行线： 先把直尺的一条边和刚才画好的垂线对齐靠紧，固定住直尺不动，沿着直尺的这条边平移三角板，直到三角板原本和已知直线重合的那条边刚好经过点A，沿着这条过A点的边画直线，这条新直线就是已知直线的平行线。 【详解】 18． （1）在下面的点子图中分别画出一个平行四边形和一个梯形。 （2）画出一条线段，将上面的梯形分成一个三角形和一个平行四边形。 【答案】（1）（2） 【分析】（1）平行四边形是两组对边分别平行，在点子图上选4个点，保证两组对边分别平行，顺次连接这4个点，就得到平行四边形。梯形是只有一组对边平行，在点子图上选4个点，保证只有一组对边平行，顺次连接这4个点，就得到梯形。 （2）从梯形较短的上底的任意一个端点出发，画一条和梯形不平行的那条腰互相平行的线段，让线段另一端落在梯形的下底上，这样就把原梯形分成了1个平行四边形和1个三角形。 【详解】（1）（答案不唯一） （2）（答案不唯一） 四、解答题 19．一只老虎赶一只狐狸，狐狸慌不择路掉进河里了。狐狸想：我要尽快上岸，又不能被老虎抓着。你觉得狐狸选择下面哪条路线逃生的可能性最大呢？为什么？ ①A→B    ②A→C    ③A→D 【答案】②A→C；因为这个岸边没有老虎，且这条路最短。 【分析】如果沿A→B，就会回到老虎所在的岸边，那么是有可能被老虎抓住的。所以狐狸应逃到老虎的对岸，对岸有两条路径A→C和A→D，因为点到直线的距离中垂线段最短，所以应选选择A→C的路径。 【详解】答：选择②A→C的路径逃生的可能性最大，因为这个岸边没有老虎，且这条路最短。 20．如图，童童家有一块菜地，它是一个等腰梯形，梯形的上底靠墙，下底长35米。用85米长的篱笆正好能将这块菜地围起来（靠墙的一面不围），你知道这个梯形的一条腰长多少米吗？ 【答案】25米 【分析】等腰梯形特征：两条腰相等，这里下底＋两条腰长＝85米，所以一条腰长＝（85－下底）÷2。 【详解】（85－35）÷2 ＝50÷2 ＝25（米） 答：这个梯形的一条腰长25米。 21．一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度分别是16分米与90厘米。现在要在广告牌的四周装上灯带，灯带长多少分米？ 【答案】50分米 【分析】根据题意，要在广告牌的四周装上灯带，求灯带长就是求平行四边形的周长，即是求平行四边形4条边的长度之和，由于平行四边形对边相等，所以可以把相邻两边的长度分别乘2，再相加，也可以先把相邻两边长度相加，再把它们的和乘2，即求到平行四边形的周长，也就是灯带的长度；为了方便计算，需要根据1分米＝10厘米，把90厘米换算成9分米。据此解答。 【详解】90厘米＝9分米 方法一： 16×2＋9×2 ＝32＋18 ＝50（分米） 方法二： （16＋9）×2 ＝25×2 ＝50（分米） 答：灯带长50分米。 22．一个直角梯形，上底是1厘米，一条腰是5厘米，如果把上底延长3厘米，就变成了一个正方形。原来梯形的周长是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】上底是1厘米，把上底延长3厘米，就变成了一个正方形，说明下底长是1＋3＝4（厘米），高是1＋3＝4（厘米）；将梯形的四条边相加，即可求出它的周长。 【详解】高、下底为：1＋3＝4（厘米） 1＋5＋4＋4＝14（厘米） 答：原来梯形的周长是14厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $