三角函数单调性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦北京高考三角函数单调性，构建“考纲-题型-技巧”三维体系，以整体换元为核心，通过标准化流程与子集法突破含参难点，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考纲解读|4项核心要求+4类命题特色|运算/性质/综合应用分层要求，北京卷解答题结构与选择填空难点分析|从恒等变换公式到整体换元思想，形成“化简-换元-求区间”逻辑链| |题型分类|3类题型（19+11+9题）|题型一四步标准化思路，题型二交集法与相位锁定法，题型三子集法（含3类细分）|基础单调区间→限定区间→含参问题，难度递进适配北京卷7:3梯度| |高分技巧|4类通用技巧|化简提速（降幂优先）、不等式避坑（A>0前提）、含参秒杀（半周期限制）|技巧与解题步骤深度融合，体现北京阅卷踩分点| |易错点|8项高频错误|辅助角化简符号、k值取舍、区间开闭等关键易错点|错误类型对应知识薄弱点，强化数学语言规范表达|

《北京高考数学—— 三角函数单调性专项练习》（解析版） 一、北京高考考纲与命题方向 （一）考纲核心要求 1. 运算层面：熟练运用两角和差、二倍角、降幂、辅助角公式，将复杂三角式标准化为 （单调性求解唯一标准形式）； 2. 性质层面：借助正弦、余弦函数图像理解单调性，会求全体实数 R 上单调区间、限定区间单调区间； 3. 综合应用：结合周期、零点、对称轴、对称中心、值域，求解参数、、范围； 4. 思想要求：整体换元（核心方法）、数形结合、子集思想（含参单调问题必考）。 （二）北京卷命题特色 1. 解答题主流结构 第 1 小问：三角恒等化简 + 求周期 / 代入求值； 第 2 小问：求单调区间（R 上 / 给定区间）； 拓展设问：多条件开放选择 2. 选择填空难点：已知区间单调，求最大值 / 参数范围（题型三全部考法）； 3. 融合考点：与平面向量、图像信息（最高点 / 零点间距）、充要条件结合； 4. 难度梯度：基础题（化简求区间）占 70%，含参参数推理题（难点）占 30%，无偏怪题，重通性通法。 （三）知识前置链接（单调性必备公式体系） 1. 恒等变换（化简第一步必用） （1）二倍角公式 变式应用:降幂扩角公式 ， = （2）两角和差 （3）辅助角公式（标准化核心） 关键要求：化简后必须保证，若原式，用诱导公式变号，否则单调区间不等式方向完全颠倒 2. 基础函数单调基准（整体换元依据，） 函数 单调递增区间 单调递减区间 ，k ，k 3. 周期基础（参数题必备） ，最小正周期 ； 相邻对称轴、相邻零点间距为，相邻最值间距为T。 二、三大题型分类、标准作答思路 + 万能答题模板 题型一：化简后，求上全体单调区间 1. 通用解题四步思路 2. 标准答题模板 3. 避坑技巧 1. 化简若出现，必须用变形，否则不等式反向； 2. 大题必须写换元不等式，直接写区间会扣步骤分； 3. 不可省略，无周期区间不得分。 题型二：限定区间内求单调区间 1. 解题两种方法（考场择优） 方法 1：先求全体区间，再取交集 ① 求出R上全部单调区间； ② 对k取整数，使区间与给定有交集； ③ 截取重叠部分，写出最终区间。 方法 2：先锁定相位范围（适合区间较短） ① 由，得； ② 对照增减段，拆分u的有效范围； ③ 反解x，得到限定区间内单调区间。 2. 标准答题模板 解： 由 (1) 得， 令，当时， 在递增，递减 (1) 求递增部分：解 取符合整数k，得交集区间 (2) 递减部分同理，写出区间。 3. 关键技巧 · 若区间端点恰好是极值点，用闭区间；取不到则开区间； · 多段区间分开写，不要合并； · 验证：代入区间中点，判断函数升降，防止计算错误。 题型三：已知区间单调，求参数（文档题型三，选择填空难点） 细分三类：①求范围；②求；③求最值 核心思想：子集法（万能逻辑） 若在单调，则必须完全包含于的一个完整单调区间内。 设一个单调区间为，则满足： 解不等式组得到参数限制。 细分 1：已知区间单调，求范围 答题思路 1. 化简； 2. 由，得相位； 3. 该相位区间必须完全落在单一增 / 减区间内； 4. 列出边界不等式，解； 5. 附加隐含条件：区间长度（半个周期，单调区间最长为半周期），即，快速缩小范围。 模板示例 已知在递增，求范围： 解： 单增要求 ∴，又，即。 细分 2：结合零点 / 对称轴 / 多条件，求（北京开放题型） 1. 由周期 / 对称 / 零点条件，列方程求出； 2. 由最值 / 对称点列方程解，结合锁定唯一值； 3. 回代验证区间单调性，舍去矛盾解； 4. 多条件选择类题目：优先排除冲突条件（如奇函数与最大值条件矛盾）。 细分 3：区间单调，求参数最大值 1. 先求出全体单调递增区间； 2. 原点对称区间必须包含在过原点的那个完整单调区间内； 3. 取左右边界较小值为参数最大值； 例：增区间，单调，则。 三、全题型通用高分技巧（北京阅卷踩分点） （一）化简提速技巧 1. 出现直接写； 2. 出现立刻降幂，减少二次项； 3. 优先合并同角三角函数，再套辅助角，减少计算量； 4. 带参数a的式子，先化简再利用最值求a。 （二）单调性不等式避坑 1. 是前提，必须变号，千万不能直接解不等式； 2. 解不等式时，移项常数先合并，再除以，分步写有步骤分； 3. 单调区间统一用中括号，正弦余弦端点可取； 4. 每一问必须标注，漏写直接扣 1 分。 （三）含参题秒杀技巧 1. 单调区间长度，快速建立不等式限制，缩小计算范围； 2. 相邻零点 / 对称轴间距，快速求T、； 3. 对称轴处取最值、对称中心处函数值为 0，两个等量关系快速列方程； 4. 多条件选择题：先判断条件是否矛盾（奇函数 + 最大值冲突直接舍去）。 （四）大题阅卷得分要点（北京标准） 1. 化简过程必须写，哪怕简单变形，无化简直接写区间扣一半分； 2. 换元建议写出，体现整体思想； 3. 不等式求解步骤分步呈现，不要一步跳结果； 4. 限定区间单调，必须写交集过程； 5. 多解参数题，最后一定要验证，写出舍去理由。 四、易错点汇总（文档高频错题对应） 1. 辅助角化简计算错误（根号、正负号出错）； 2. 未变形，单调区间完全颠倒； 3. 忘记标注； 4. 限定区间求单调时，k取值错误，截取区间出错； 5. 含参题忽略 “单调区间最长为半周期” 隐含条件； 6. 多条件选择题未验证，出现矛盾解； 7. 分式三角（第 4 题）忽略定义域分母不为 0，漏掉区间断点； 8. 区间书写用 “或”、小括号闭括号混用扣分。 五、题型专项训练 题型一：求 R 上的单调区间 1．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的递减区间. 【答案】（1）；（2）， 【分析】运用二倍角公式，辅助角公式，将函数化简成的形式，再利用三角函数性质求解. 【详解】（1）依题意得 于是最小正周期 （2）令，，解得， 即为所求递减区间. 2．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2)最小正周期，， 【分析】（1）根据同角三角函数关系得到，由余弦二倍角公式得到，从而得到； （2）利用三角恒等变换得到，利用得到最小正周期，并利用整体法求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）因为，且， 所以，， 所以． （2）， 所以函数的最小正周期． 由，， 解得，． 所以函数的单调递减区间，． 3．（2024·北京海淀·一模）已知函数的最大值为． （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）化简f（x）为Asin（ωx+φ）+b的形式，根据最大值列出方程解出a； （2）结合正弦函数的单调性列出不等式解出 【详解】（1）因为    , 所以函数的最大值为 , 所以, 所以 . （2）因为的单调递增区间为，, 令 , 所以 ， 函数的单调递增区间为，. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值及单调性，属于基础题. 4．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函数. (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）将x=0带入，即可求f（0）的值； （2）利用二倍角公式化简，利用三角函数的单调性即可求解函数f（x）的单调递增区间． 【详解】（1）函数． 当x=0时，可得； （2）由函数==sinx+cosx=sin（x+） 令x+，， 得：≤x≤，， ，x，， ∴函数f（x）的单调递增区间（，），k∈Z． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，化简能力和单调性的求法，注意定义域范围． 5．（2026·北京·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，再由列式求； （2）根据正弦型函数单调区间求法求结论. 【详解】（1）因为， 所以， 又的最小正周期为，， 所以，所以， 因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以， （2）令，，可得，， 函数的单调递减区间为 . 6．（24-25高三上·北京大兴·阶段检测）已知函数，若该函数的一个最高点的坐标为，与其相邻的对称中心坐标为. (1)求函数解析式； (2)求函数的单调增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得以及周期，从而得到，再代入点的坐标即可得到； （2）根据题意，由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，，且，则，所以， 所以，将点代入，可得， 即，解得，且，则， 所以. （2）由（1）可得，令，， 解得，，所以的单调增区间为. 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角及辅助角公式化简，即可由最小正周期公式求解； （2）利用正弦函数的单调性，结合整体法即可求解. 【详解】（1）因为 所以最小正周期； （2）函数的单调递增区间为． 由，得 所以的单调递增区间为：． 8．（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出函数的最小正周期，可求出的值，再利用可得出的值； （2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得函数的单调递增区间. 【详解】（1）因为函数两个相邻零点的距离为， 故函数的最小正周期为，所以，即， 又因为，故. （2）因为 ， 由可得， 故函数的单调递增区间为. 9．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，且的最小正周期为． (1)求ω的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．设函数，求的单调递增区间． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出ω. （2）由（1）求出，利用和差的正弦及辅助角公式化简求得，再利用正弦函数单调性求出递增区间. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得， 所以. （2）由（1）得，， 则， 由，得， 所以的单调递增区间为. 10．（24-25高三上·北京·期中）已知函数的图象如图所示. (1)求的解析式； (2)若，求的最小正周期及单调递增区间. 【答案】(1) (2)，单调递增区间为， 【分析】（1）由图象求得及周期，再由周期公式求得，即可得到解析式； （2）利用三角恒等变换公式将化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）由图象可知，，即，又， 所以，解得，； （2）因为， 所以 ， 所以的最小正周期， 令，， 解得，， 的单调递增区间为，． 11．（2024·北京房山·一模）已知函数的最小正周期为. (1)求值； (2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定的解析式.设函数，求的单调增区间.条件①：是偶函数；条件②：图象过点；条件③：图象的一个对称中心为.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据周期公式，即可求解； （2）分别选择条件，根据三角函数的性质，求，再根据三角函数的单调性，代入公式，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，解得：； （2）由（1）可知，， 若选择条件①：是偶函数， 所以，即， 所以， ， 令, 解得：, 所以函数的递增区间是， 若选择条件②：图象过点，，， 则，即，所以， 所以， 所以 令， 解得：， 所以的单调递增区间是. 如选择条件③：图象的一个对称中心为， 所以，，，， 所以， 所以 令， 解得：， 所以的单调递增区间是. 12．（2026·北京房山·二模）已知函数 ． (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使得函数存在，求的单调递增区间． 条件①：函数的最大值为； 条件②：函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为； 条件③：函数满足． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选择①②，则函数的单调递增区间为； 选择①③，则函数不存在； 选择②③，则函数的单调递增区间为. 【分析】（1）把0代入即可计算； （2）选择①②，①③，②③不同的条件组合进行分析，通过函数最值、周期及奇偶性计算出的值，再判断函数是否存在，最后求出的单调递增区间. 【详解】（1），解得. （2）， 其中为辅助角，. 选择①②，则由条件②可知的最小正周期为，所以， 则， 由条件①函数的最大值为可得，解得 ，或（舍去） 所以，， 由，得， 故的单调递增区间为； 选择①③，则由条件③函数满足可知为上的奇函数， 则，那么，， 此时，， 与条件①：函数的最大值为相矛盾，函数不存在； 选择②③，则由条件②可知的最小正周期为，那么， 则， 由条件③函数满足可知为上的奇函数，则， 由，可得， 此时，， 由，得， 故的单调递增区间为. 13．（2026高三下·北京·专题练习）函数的最小正周期为． (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间． 条件①：的最大值为；条件②：的图象关于点中心对称；条件③：的图象经过点． 【答案】(1) (2)选择①②③中的任意两个条件，，单调递增区间 【分析】（1）根据最小正周期求出，根据求出； （2）根据条件求出即可求出的解析式，结合两角和的正弦公式和辅助角公式化简，借助于三角函数性质即可求出单调递增区间. 【详解】（1）因为的最小正周期，所以， 因为，故， 又，且，所以． （2）选条件①②： 因为的最大值为2，所以， 又因的图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以， 故， 此时， ， 令，得， 所以的单调递增区间为． 选条件①③： 因为的最大值为2，所以， 因为函数的图象经过点，则，即， 因为，所以，故，即， 所以， 所以 ， 令，得， 所以的单调递增区间为． 选条件②③： 因为的图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以，所以， 因为函数的图象经过点，所以． 解得，故. 所以 ， 令，得， 所以的单调递增区间为． 14．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定． (1)求的解析式； (2)设，求函数在上的单调递增区间． 条件①：的最大值为1； 条件②：为偶函数； 条件③：； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 【答案】(1)选择①④或③④， (2)和 【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化简函数，即可得到②与题设冲突，再分别选择①③，①④，③④三种情况讨论，分别根据正弦函数的性质求出，即可求出函数的解析式； （2）由（1）可得，再利用二倍角及辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，显然当时为奇函数，故②不能选， 若选择①③，即最大值为，所以，解得， 所以，又， 所以，即，， 解得，，故不能唯一确定，故舍去； 若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 则函数周期， 可得，解得，得到， 又，所以， 解得，则； 若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 则，解得，得到， 又的最大值为，所以，解得，故. （2）由（1）可得 ， 令，， 解得，， 则函数的单调递增区间为，， 又，所以在上的单调递增区间为和. 15．（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)若，求的值； (2)若在一个周期内的部分取值如下表，： x 0 m 求的解析式及单调增区间． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）代入求出的值. （2）利用表格中数据求出对称轴及可能对称中心，进而求出，再利用正弦函数单调性求出增区间. 【详解】（1）由，得，而， 所以. （2）函数， 由表格中数据知，是函数图象的对称轴，对称中心可能为或， 又所给取值在函数的一个周期内，则周期，， 则或，解得或， 则或，而，因此，， 由，得，又，则， 所以的解析式是； 由，得， 所以的单调递增区间是. 16．（24-25高一下·北京房山·期中）已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求，的值； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的单调递增区间． 条件①：的图象关于点对称； 条件②：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)， (2)选①：；选②：. 【分析】（1）根据题意确定振幅和最小正周期即可求得； （2）①根据函数的对称性求得，即得，利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调递增区间；②根据函数经过的点的坐标可求出，即得，利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调递增区间. 【详解】（1）由题知，，函数的最小正周期． 由，解得． （2）选择①：由（1）知，． 因为的图象关于点对称， 所以，则得，即，， 因为，所以，故． 由，可得， 故函数的单调递增区间是． 选择②：由（1）知， 依题意，，则有， 即， 因为，所以，故， 由，解得， 故函数的单调递增区间是． 17．（24-25高三上·北京·期中）已知函数的最小正周期为． (1)若，，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间． 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)，单调递增区间， 【分析】（1）根据条件，代入，即可求解； （2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，利用三角恒等变换，代入函数单调递增区间，即可求解. 【详解】（1）因为，，则，且，则. （2）因为函数的最小正周期为，则， 若选①②，则，且， 且，则，则，则， 所以； 若选择①③，则，且，则， ，则，则，则， 所以； 若选择②③，由②可知，， 由③可知，，则， 所以. ， 令，， 得，， 所以函数的单调递增区间是，. 18．（24-25高一下·北京·期中）已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间. 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据条件，代入，即可求解； （2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，然后代入函数单调递增区间，即可求解. 【详解】（1）因为，，则，且，则； （2）因为函数的最小正周期为，则， 若选①②，则，且， 又，则，则，所以， 所以， 若选择①③，则，且，则， 又，则，则，则， 所以 若选择②③，由②可知，， 由③可知，，则， 所以， 令，得， 所以函数的单调递增区间是 19．（2024·北京朝阳·一模）已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间. 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)，单调递增区间，， 【分析】（1）根据条件，代入，即可求解； （2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，利用三角恒等变换，代入函数单调递增区间，即可求解. 【详解】（1）因为，，则，且，则； （2）因为函数的最小正周期为，则， 若选①②，则，且， 且，则，则，则， 所以； 若选择①③，则，且，则， ，则，则，则， 所以； 若选择②③，由②可知，， 由③可知，，则， 所以. ， ， 令，， 得，， 所以函数的单调递增区间是，， 题型二：限定区间内求单调区间 1．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递增区间． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）整理可得，结合最小正周期求的值； （2）由（1）可知：，以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解. 【详解】（1）由题意可得： ， 设的最小正周期为， 由题意可知：，即， 且，则，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 且在，内单调递增，在内单调递减， 令，，解得，， 所以在区间上的单调递增区间为和. 2．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，且. (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据代入求出，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得； （2）由正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得， 所以 ， 即，所以的最小正周期； （2）由，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为， 所以在上的单调递增区间为，. 3．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)当时，求函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先整理函数的解析式，然后结合最小正周期公式求得函数的最小正周期即可； （2）首先确定，再得到不等式，解出即可得到单调递减区间. 【详解】（1）(Ⅰ) 则其最小正周期为. （2）因为，， 所以，则，解得， 当时，单调递减区间为. 4．（2024·北京海淀·二模）已知函数，且． (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据代入求出，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得； （2）由正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得， 所以 ， 即，所以的最小正周期； （2）由，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 当时的单调递增区间为， 当时的单调递增区间为， 所以在上的单调递增区间为，. 5．（24-25高三上·湖北·阶段检测）已知函数． (1)求f（x）的最小正周期； (2)若，求f（x）的单调递增区间． 【答案】(1)的最小正周期为 (2)的单调递增区间为 【分析】（1）根据降幂公式，两角和与差的正弦公式，辅助角公式化简，再根据正弦函数的最小正周期公式即可求解 （2）令，求得的单调增区间，结合即可求解. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为 （2）令，则，又， 所以的单调递增区间为 6．（24-25高三上·北京昌平·期中）已知函数. (1)求的值； (2)求函数的最小值及相应的值； (3)若，求函数的增区间（直接写出结论）. 【答案】(1) (2)当，时，函数取得最小值为 (3) 【分析】（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得，再求值即可. （2）令，，即可得解. （3）利用正弦函数的单调性即可求解. 【详解】（1）， ， ， ； （2）令，， 解得，， 即，时，函数取得最小值为. （3）令，， 解得，， 又， 函数的增区间为. 7．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)求的单调区间，并写出在上的单调区间. 【答案】(1)最小正周期为，的对称轴为直线； (2)的最大值为2，的最小值为0； (3)的单调增区间为：，减区间为：； 在上的单调增区间为：，减区间为：. 【分析】（1）求的最小正周期，需要把化简为，再由公式即可求出函数的最小正周期； （2）先由，得出．再由正弦函数的性质求出最大值与最小值即可 （3）根据正弦型函数图象性质，先求在上的单调区间，在与区间求交集，得在上的单调区间. 【详解】（1）解： 所以的最小正周期． 的对称轴满足：，解得 故的对称轴为直线. （2）解：因为，所以． 所以当，即时，取得最大值为2； 当，即时，取得最小值为0． （3）解：在上的单调增区间满足： ，，所以， 所以的单调增区间为：， 减区间为： 当时，， ， 所以在上的单调增区间为：，减区间为：. 8．（24-25高三上·北京·期中）已知函数，且满足_____________. （在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）. ①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③已知，，且的最小值为. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数在上的单调递减区间. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先应用两角和正弦公式再结合二倍角正弦及余弦公式得出,根据①②③得出参数，最后结合正弦函数的对称中心得出对称中心；. （2）应用正弦函数的单调区间结合得出单调减区间即可. 【详解】（1）因为 若选择①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择② 函数的图象相邻两个最大值之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择③ 已知，，即可得有2个根且的最小值为,可得函数周期为，所以，， 所以,令,即 函数的对称中心坐标. （2）因为, 令,可得, 又因为,令,得, 令,得, 所以函数在上的单调递减区间为， 9．（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定． (1)求的解析式； (2)设，求函数在上的单调递增区间． 条件①：； 条件②：为偶函数； 条件③：的最大值为1； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选择①④或③④， (2)和 【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化简函数，即可得到②与题设冲突，再分别选择①③，①④，③④三种情况讨论，分别根据正弦函数的性质求出，即可求出函数的解析式； （2）由（1）可得，再利用二倍角及辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 显然当时为奇函数，故②不能选， 若选择①③，即最大值为，所以，解得， 所以，又， 所以，即，， 解得，，故不能唯一确定，故舍去； 若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以， 解得， 所以，又，所以，解得， 所以； 若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得， 所以， 又的最大值为，所以，解得， 所以； （2）由（1）可得， ， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 又，所以在上的单调递增区间有和. 10．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数且满足_________. （在下列三个条件中任选一个，并解答问题） ① 函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ② 函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③ 已知，，且的最小值为. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数在上的单调递减区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用两角和正弦公式再结合二倍角正弦及余弦公式得出,根据①②③得出参数，最后结合正弦函数的对称中心得出对称中心； （2）应用正弦函数的单调区间结合得出单调减区间即可. 【详解】（1）因为 若选择①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择② 函数的图象相邻两个最大值之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择③ 已知，，即可得有2个根且的最小值为,可得函数周期为，所以，， 所以,令,即 函数的对称中心坐标. （2）因为, 令,可得, 又因为,令,, 令,, 所以函数在上的单调递减区间为. 11．（24-25高三上·北京朝阳·期中）已知函数.再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，求： (1)函数的解析式； (2)函数，的单调递增区间. 条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式先把化简后利用辅助角公式，然后根据函数性质选择条件求出和，从而求出. （2）利用正弦函数的单调性求出的单调区间即可求解 【详解】（1）解：由题意得：选择条件①③ 根据条件①：根据 的取值范围为 ，解得 根据条件②：的一条对称轴是直线 则，解得，这不符合的条件，故不可能是的一条对成轴.故不选②. 根据条件③：，解得 ， （2）由（1）可知 当时， 令，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 令，解得，令，解得 当时，单调递增区间为 题型三：利用三角函数单调性求解参数或参数范围 细分小题型（一）已知区间单调，求取值范围 1．（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用辅助角公式化简三角函数，再结合内层函数的取值范围与正弦函数的单调性，判断给定区间内是否存在极值点，进而求解的取值范围. 【详解】， 当时，令，因，故随单调递增，。 正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 若在上既不是增函数也不是减函数，则的取值区间需包含的极值点，即，解得，故的取值范围为. 2．（2026·北京密云·一模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，， 令，当时，可得， 由正弦函数的性质，可得在为单调递增函数， 所以当时，函数在区间上单调递增，即充分性成立； 反之：当时，可得， 又由正弦函数的单调递增区间为， 要使得函数在区间上单调递增，则满足， 即，且，解得，所以必要性不成立， 综上可得：“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 3．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得，由题意结合正弦函数的图象得到，解不等式即可求出答案. 【详解】当时，因为，所以， 由于函数在上单调递减， 所以，解得，故的取值范围为. 故选：A. 4．（25-26高三上·北京西城·期中）已知函数（）在区间上单调递增，则写出符合题意的一个的值为__________. 【答案】（答案不唯一，可取内任意实数） 【分析】利用辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数单调性计算可得范围，即可得解. 【详解】， 当时，， 则有， 解得且，， 当时，无解； 当时，无解； 故，即有. 故答案为：（答案不唯一，可取内任意实数） 5．（25-26高三上·北京·期中）已知函数在上递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，即可求得的最大值. 【详解】因为，当时，， 因为函数在上递增，则， 故，解得，故的最大值为. 故选：D. 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，则_________．若在上单调递减，则_________． 【答案】 1 【分析】由，求得，即可求解第一空，再由在上单调递减，得到，再结合，即可求解第二空. 【详解】由，可得， 所以，即， 所以， 由， 可得或，， 即或，， 又在上单调递减， 所以，， 可得：， 解得：， 又或，， 所以当时，满足题意， 故答案为：1； 7．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（    ） A．18 B．17 C．14 D．13 【答案】D 【分析】由已知可得，结合，得到（），再由是的一个单调区间，可得T，即，进一步得到，然后对逐一取值，分类求解得答案． 【详解】由题意，得，∴， 又，∴（）． ∵是的一个单调区间，∴T，即， ∵，∴，即． ①当，即时，，，∴，， ∵，∴，此时在上不单调， ∴不符合题意； ②当，即时，，，∴，， ∵，∴，此时在上不单调， ∴不符合题意； ③当，即时，，，∴，． ∵，∴，此时在上单调递增， ∴符合题意， 故选：D 8．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，，，且在且单调，则的最大值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】由题意可得是函数的一条对称轴，进而可得，，计算可得或，结合在单调，可得结论. 【详解】函数，所以，所以①， 又，所以是函数的一条对称轴， 所以②， 由①②可得， 又因为，所以，且或， 又函数的最小正周期， 又在单调，所以， 所以，所以的最大值为. 故选：C. 9．（24-25高三下·北京顺义·阶段检测）设函数． (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：时，的值域是． 【答案】(1) (2)选②或选③， 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解； （2）选①，由可判断；选②，分析可知，在时取最大值，可得出关于的等式以及不等式，即可求得的值；选③，由题意，，由三角函数的性质可得周期，即可得. 【详解】（1）因为， 因为，所以． （2）选①，，故①不成立； 选②，因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，在时取最大值，则，解得， 因为，则， 因为，且有，解得， 故，； 选③，因为在区间上单调递减， 且当时，的值域是， 所以，. 所以，，解得， 且，解得. 10．（2024·北京丰台·一模）已知函数()． (1)若，求的值； (2)若在区间上单调递减，，求的值． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】(1)直接代入及计算即可； (2)化简f(x)解析式，根据在区间上单调递减可知该区间长度小于或等于f(x)的半个周期，再结合，可得ω的值． 【详解】（1）∵， ∴． （2） ∵在区间上单调递减， ∴，即， ∴． ∵， ∴，即， 所以当时，. 此时 ， 当，，故此时单调递减，符合题意. 综上，. 细分小题型（二）已知区间单调，求与 1．（24-25高三上·北京石景山·期末）“ ”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】将代入函数的解析式，利用诱导公式化简，结合余弦函数的单调性即可判断充分性；根据函数在上单调递减，可以推出区间是区间的一个非空子集，即可解得，从而判断必要性. 【详解】由题意，若， 则， 由，得， 此时函数单调递减，所以充分性成立； 若函数在上单调递减， 由，得， 则， 所以，， 解得，即，所以必要性成立； 因此，“ ”是“函数在上单调递减”的充分必要条件. 故选：C. 2．（2026·北京大兴·三模）已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【详解】设，， 由得： ，， 又，，解得. 此时最的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 取，得. 综上所述：，的一个取值为. 3．（2026·北京顺义·二模）已知函数，其中. (1)若，求值； (2)已知在区间上单调递减，，再从条件①､条件②､条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 条件③. 注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择条件①或者条件②时，，；选择条件③时，函数不存在. 【分析】先利用两角和的正弦公式将函数化简为，代入得到关于的三角函数方程，结合的取值范围即可求解. 先根据的单调性、的条件，得到的取值范围与、的等式关系，再结合所选补充条件建立方程，联立求解验证是否能得到唯一的、 值即可. 【详解】（1）由两角和的正弦公式，可得 . ∵ ，且， ∴ . （2）由题意 ， ∴ ，即 ，. 又在区间上单调递减，该区间长度为， 正弦函数的单调区间长度不超过半周期，故，其中，解得. 选择条件①：在区间上单调递增， 同理该区间长度为，符合的范围，且为递增区间的右端点、递减区间的左端点，即在处取最大值， ∴ ，即 ，. 联立， 两式相减得，其中 ；当 时满足要求，此时解得， 代入 得， 因为，解得. 此时，当时，，满足单调递减要求，所以此时函数存在且唯一确定. 选择条件②： ， 已知 ，由得： ，即 ， ---（1） 又在上单调递减，区间长度为，故正弦函数半周期，结合得. 由条件② 得： ，即 ， ---（2） （1）-（2）得 ，即， . 结合，仅时符合要求，代入（1）得，解， 因为，解得，此时同选条件①，由上可知，函数存在且唯一确定. 选择条件③： 由条件③得 ，即 ， ---（3） 联立（1）和（3），（1）-（3）得 ，即 ， . 结合： 时，不符合要求； 时，代入（3）得，因为，所以， 此时，当时，，不满足单调递减的要求； 时，不符合的要求，故条件③不满足要求. 4．（2025·北京通州·一模）设函数 (1)若，求的值. (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值. 条件①：在区间上单调递减； 条件②：； 条件③：为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分， 【答案】(1) (2)选择条件①或③，. 【分析】（1）利用得，再结合的范围即可； （2）选择条件①或③，则可利用最小值和最大值求出半周期，即可求，再根据最值即可求解；若选择②，因不在值域范围内，故不存在解析式. 【详解】（1）由题意可知，即， 因，则. （2）条件①：在上单调递减，在上单调递增，且， 则在处取最小值，在处取最大值， 则，， 则，， 因，则， 则； 条件②：因，则不可能成立，故无解析式； 条件③：因，则在处取最大值， 又为函数图象的一条对称轴，且在上单调递增， 则在处取最小值， 则，， 则，， 因，则， 则. 综上可知，若选择条件①或③，则； 若选择条件②，则不存在解析式. 5．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)若，求的值； (2)已知在上单调递减，，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数唯一确定，求的值． ①是曲线的一个对称中心； ②； ③在上单调递增； 【答案】(1)； (2)选择条件①或③，均可推得； 选择条件②，函数不能确定. 【分析】（1）逆用差角的正弦公式化简函数，借助特殊角的三角函数值求出. （2）根据给定条件，结合单调区间及最小值可得，且，选择①结合对称中心求出；选择②结合特殊角的三角函数值求出值，矛盾；选择③，由最大值点求出. 【详解】（1）依题意，函数，由，得， 即，而，解得， 所以的值是. （2）由在上单调递减，得函数的最小正周期，解得， 由，得，又，而， 即，，因此， 选择①，是曲线的一个对称中心，而， 则函数的最小正周期，解得， 由，得，函数唯一确定，经验证符合题意， 所以. 选择②，，即，化简得， 又，，，于是， 联立，解得，不符合题意，函数不能确定. 选择③，在上单调递增，，则函数的最小正周期， 解得，由，得，函数唯一确定，经验证符合题意， 所以. 细分小题型（三）在含参区间内单调，求参数最大值 1．（2026·北京顺义·一模）设函数，则图象的一条对称轴方程为________；若在上单调递增，则的最大值为________. 【答案】 ，（任意符合的结果都正确） 【详解】利用辅助角公式化简得：， 由正弦函数的对称轴满足，令： ， 取，得一条对称轴为，（任意符合的结果都正确）； 再由正弦函数的单调递增区间满足， 令： ， 整理得的单调递增区间为， 因为区间关于原点对称，只有时的递增区间包含原点， 要满足，得，因此的最大值为. 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的性质，结合给定增区间列出不等式求解. 【详解】由函数相邻两个对称轴之间的距离为，得，解得， 由，得， 因此函数在上单调递增， 而函数在上是增函数，则， 于是，解得. 3．（24-25高三上·北京西城·期末）已知函数 ，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值. 条件①：； 条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为； 条件③：函数的一个零点为. 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分析求解可知，要使得函数存在且唯一，需选择条件①②,或选择条件②③, 选择其中一组解答即可，由正弦函数的图象和性质求出，可得函数的解析式； （2）求出函数的单调递减区间，由是其子集，即可求得实数的最大值. 【详解】（1）若选择条件①③, 由,得，即，，则， 又函数的一个零点为，则， 则不能确定，所以函数不唯一，所以不能选择条件①③. 选择条件①②, 由,得，即，，则， 因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以函数的最小正周期， 因为，则， 所以. 选择条件②③, 因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以函数的最小正周期， 因为，则， 因为函数的一个零点为，即， 所以，则， 又，则， 所以. （2）因为函数的单调递减区间为， 所以， 则， 所以是的一个单调递减区间， 若函数在区间上单调递减， 则， 所以实数的最大值为. 4．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数的两个相邻零点之间的距离为，__________；从以下三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后完成下面问题. (1)确定的解析式； (2)令，若函数在上不单调，求整数的最小值. 条件①：的一条对称轴为； 条件②：的一个对称中心为； 条件③：为偶函数. 【答案】(1)答案见解析 (2)2 【分析】（1）选①②③时，均可根据整体法求出，结合周期可求解析式； （2）利用三角变换公式可得，结合可得，由正弦函数的性质可得满足的不等式，故可求的范围. 【详解】（1）因为两个相邻零点之间的距离为，故，故. 选①，因为函数的一条对称轴，则， 解得，所以，故； 选②，因为函数的一个对称中心，则， 解得，所以，故； 选③，函数为偶函数， 为偶函数， 得，解得， ，所以，故； （2） ， 当时，， 函数在上不单调，解得. 的最小值为2. 5．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求在区间上的值域； (2)若，且函数在区间上单调，求a的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据题意，化简得到，借助对称性求出，再利用正弦函数图象性质求出值域. （2）由（1）求出函数的单调区间，再借助集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）由向量， 则 ， 由函数的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的周期，则， 于是，当时，， 当，即时，，当，即时，， 所以，在区间上的值域为. （2）由（1）知， 令，解得， 即函数的单调区间为，而函数在区间上单调， 因此，即， 解得，显然，且， 解得，则或，当时，；当时，， 所以实数的取值范围. 6．（2024·北京顺义·二模）已知函数，其中. (1)若，求的值； (2)已知时，单调递增，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使函数存在，求m的最大值. 条件①：； 条件②：； 条件③：的图像与直线的一个交点的横坐标为. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)不可选择条件①；若选择②或③，，m的最大值为. 【分析】（1）结合三角恒等变换公式，将代入计算即可得； （2）若选②，将与计算出来，即可得出，结合正弦函数的性质即可得解；若选③，借助函数的对称性计算即可得，结合正弦函数的性质即可得解；不可选①，代入计算后，结合三角函数的值域可知此时函数不存在. 【详解】（1）法一： ， ，又，所以； 法二： ， 所以即得， 又，所以； （2）， 选择②，法一：，， 因为，所以， 因为的最小正周期，， 所以由可得， 所以，； 法二：因为，， 所以即， 因为，所以，； 选择③，， 的图像与直线的一个交点的横坐标为， 即可得，所以， 又，所以，； 综上，若选择②或③，. 法一：令，， 解得，即的单增区间为， 又时，单调递增， 所以，是的一个子区间， 所以，，即可得，又， 所以，故是的一个子区间，所以m的最大值为； 法二：因为，，所以， 因为在上单增， 所以，， 即可得，，， 所以，所以，可得m的最大值为. 不可选择条件①，理由如下： 若，则，即， 由，故该方程无解，故函数不存在，故不可选①. 7．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知函数的图象过原点. (1)求的值及的最小正周期； (2)若函数在区间上单调递增，求正数的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用函数图象过原点求得，然后利用三角恒等变换化简函数，利用周期公式求解周期； （2）先利用换元法求解函数的单调递增区间，利用子集关系建立不等式求解即可. 【详解】（1）由得.所以 . 所以的最小正周期为. （2）由（），得（）. 所以的单调递增区间为（）. 因为在区间上单调递增，且，此时， 所以，故的最大值为. 8．（2024·北京海淀·三模）已知函数.在下列条件①､条件②､条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知. (1)求的值； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值. 条件①：；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为. 【答案】(1)选条件①③时，；选条件②③，. (2) 【分析】（1）选择适合的条件求出和的值，得出函数的表达式，即可求出的值； （2）求出函数单调区间，根据函数在区间上是增函数即可求出实数的最大值. 【详解】（1）由题意， 在中， 选条件①②： 由①知，，所以； 由②知，，所以；矛盾. ∴函数不能同时满足条件①和②， ∴不能选①和②. 选条件①③： 由条件③得，，又因为，所以. 由①知，，所以. 则. 所以 选条件②③： 由于最小正周期为，所以，所以； 由最大值与最小值之和为0， ， 故，解得. 所以.故. （2）由题意及（1）得， 选条件①③： 在中， 令， ∴， ∴函数的单调增区间为. ∵函数在区间上单调递增，且，此时， 所以， ∴的最大值为. 选条件②③： 令，所以， 所以函数的单调增区间为. 因为函数在区间上单调递增，且，此时， ∴的最大值为. 9．（24-25高三上·北京·期中）已知函数． (1)求函数取最大值时的取值集合； (2)设函数在区间是减函数，求实数的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式，结合辅助角公式化简，再求取得最大值时的的取值集合即可； （2）求得的单调减区间，结合题意，即可求得的最大值. 【详解】（1）由题意，得， 当取最大值时，即，此时， 所以的取值集合为． （2）由，得， ，， 即，， 所以的减区间，， 当，得是一个减区间，且， 所以， 所以，所以的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《北京高考数学 —— 三角函数单调性专项练习》（原卷版） 一、北京高考考纲与命题方向 （一）考纲核心要求 1. 运算层面：熟练运用两角和差、二倍角、降幂、辅助角公式，将复杂三角式标准化为 （单调性求解唯一标准形式）； 2. 性质层面：借助正弦、余弦函数图像理解单调性，会求全体实数 R 上单调区间、限定区间单调区间； 3. 综合应用：结合周期、零点、对称轴、对称中心、值域，求解参数、、范围； 4. 思想要求：整体换元（核心方法）、数形结合、子集思想（含参单调问题必考）。 （二）北京卷命题特色 1. 解答题主流结构 第 1 小问：三角恒等化简 + 求周期 / 代入求值； 第 2 小问：求单调区间（R 上 / 给定区间）； 拓展设问：多条件开放选择 2. 选择填空难点：已知区间单调，求最大值 / 参数范围（题型三全部考法）； 3. 融合考点：与平面向量、图像信息（最高点 / 零点间距）、充要条件结合； 4. 难度梯度：基础题（化简求区间）占 70%，含参参数推理题（难点）占 30%，无偏怪题，重通性通法。 （三）知识前置链接（单调性必备公式体系） 1. 恒等变换（化简第一步必用） （1）二倍角公式 变式应用:降幂扩角公式 ， = （2）两角和差 （3）辅助角公式（标准化核心） 关键要求：化简后必须保证，若原式，用诱导公式变号，否则单调区间不等式方向完全颠倒 2. 基础函数单调基准（整体换元依据，） 函数 单调递增区间 单调递减区间 ，k ，k 3. 周期基础（参数题必备） ，最小正周期 ； 相邻对称轴、相邻零点间距为，相邻最值间距为T。 二、三大题型分类、标准作答思路 + 万能答题模板 题型一：化简后，求上全体单调区间 1. 通用解题四步思路 2. 标准答题模板 3. 避坑技巧 1. 化简若出现，必须用变形，否则不等式反向； 2. 大题必须写换元不等式，直接写区间会扣步骤分； 3. 不可省略，无周期区间不得分。 题型二：限定区间内求单调区间 1. 解题两种方法（考场择优） 方法 1：先求全体区间，再取交集 ① 求出R上全部单调区间； ② 对k取整数，使区间与给定有交集； ③ 截取重叠部分，写出最终区间。 方法 2：先锁定相位范围（适合区间较短） ① 由，得； ② 对照增减段，拆分u的有效范围； ③ 反解x，得到限定区间内单调区间。 2. 标准答题模板 解： 由 (1) 得， 令，当时， 在递增，递减 (1) 求递增部分：解 取符合整数k，得交集区间 (2) 递减部分同理，写出区间。 3. 关键技巧 · 若区间端点恰好是极值点，用闭区间；取不到则开区间； · 多段区间分开写，不要合并； · 验证：代入区间中点，判断函数升降，防止计算错误。 题型三：已知区间单调，求参数（文档题型三，选择填空难点） 细分三类：①求范围；②求；③求最值 核心思想：子集法（万能逻辑） 若在单调，则必须完全包含于的一个完整单调区间内。 设一个单调区间为，则满足： 解不等式组得到参数限制。 细分 1：已知区间单调，求范围 答题思路 1. 化简； 2. 由，得相位； 3. 该相位区间必须完全落在单一增 / 减区间内； 4. 列出边界不等式，解； 5. 附加隐含条件：区间长度（半个周期，单调区间最长为半周期），即，快速缩小范围。 模板示例 已知在递增，求范围： 解： 单增要求 ∴，又，即。 细分 2：结合零点 / 对称轴 / 多条件，求（北京开放题型） 1. 由周期 / 对称 / 零点条件，列方程求出； 2. 由最值 / 对称点列方程解，结合锁定唯一值； 3. 回代验证区间单调性，舍去矛盾解； 4. 多条件选择类题目：优先排除冲突条件（如奇函数与最大值条件矛盾）。 细分 3：区间单调，求参数最大值 1. 先求出全体单调递增区间； 2. 原点对称区间必须包含在过原点的那个完整单调区间内； 3. 取左右边界较小值为参数最大值； 例：增区间，单调，则。 三、全题型通用高分技巧（北京阅卷踩分点） （一）化简提速技巧 1. 出现直接写； 2. 出现立刻降幂，减少二次项； 3. 优先合并同角三角函数，再套辅助角，减少计算量； 4. 带参数a的式子，先化简再利用最值求a。 （二）单调性不等式避坑 1. 是前提，必须变号，千万不能直接解不等式； 2. 解不等式时，移项常数先合并，再除以，分步写有步骤分； 3. 单调区间统一用中括号，正弦余弦端点可取； 4. 每一问必须标注，漏写直接扣 1 分。 （三）含参题秒杀技巧 1. 单调区间长度，快速建立不等式限制，缩小计算范围； 2. 相邻零点 / 对称轴间距，快速求T、； 3. 对称轴处取最值、对称中心处函数值为 0，两个等量关系快速列方程； 4. 多条件选择题：先判断条件是否矛盾（奇函数 + 最大值冲突直接舍去）。 （四）大题阅卷得分要点（北京标准） 1. 化简过程必须写，哪怕简单变形，无化简直接写区间扣一半分； 2. 换元建议写出，体现整体思想； 3. 不等式求解步骤分步呈现，不要一步跳结果； 4. 限定区间单调，必须写交集过程； 5. 多解参数题，最后一定要验证，写出舍去理由。 四、易错点汇总（文档高频错题对应） 1. 辅助角化简计算错误（根号、正负号出错）； 2. 未变形，单调区间完全颠倒； 3. 忘记标注； 4. 限定区间求单调时，k取值错误，截取区间出错； 5. 含参题忽略 “单调区间最长为半周期” 隐含条件； 6. 多条件选择题未验证，出现矛盾解； 7. 分式三角（第 4 题）忽略定义域分母不为 0，漏掉区间断点； 8. 区间书写用 “或”、小括号闭括号混用扣分。 五、题型专项训练 题型一：求 R 上的单调区间 1．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的递减区间. 2．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间． 3．（2024·北京海淀·一模）已知函数的最大值为． （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间． 4．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函数. (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间. 5．（2026·北京·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 6．（24-25高三上·北京大兴·阶段检测）已知函数，若该函数的一个最高点的坐标为，与其相邻的对称中心坐标为. (1)求函数解析式； (2)求函数的单调增区间. 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间． 8．（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 9．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，且的最小正周期为． (1)求ω的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．设函数，求的单调递增区间． 10．（24-25高三上·北京·期中）已知函数的图象如图所示. (1)求的解析式； (2)若，求的最小正周期及单调递增区间. 11．（2024·北京房山·一模）已知函数的最小正周期为. (1)求值； (2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定的解析式.设函数，求的单调增区间.条件①：是偶函数；条件②：图象过点；条件③：图象的一个对称中心为.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 12．（2026·北京房山·二模）已知函数 ． (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使得函数存在，求的单调递增区间． 条件①：函数的最大值为； 条件②：函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为； 条件③：函数满足． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 13．（2026高三下·北京·专题练习）函数的最小正周期为． (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间． 条件①：的最大值为；条件②：的图象关于点中心对称；条件③：的图象经过点． 14．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定． (1)求的解析式； (2)设，求函数在上的单调递增区间． 条件①：的最大值为1； 条件②：为偶函数； 条件③：； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 15．（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)若，求的值； (2)若在一个周期内的部分取值如下表，： x 0 m 求的解析式及单调增区间． 16．（24-25高一下·北京房山·期中）已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求，的值； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的单调递增区间． 条件①：的图象关于点对称； 条件②：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 17．（24-25高三上·北京·期中）已知函数的最小正周期为． (1)若，，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间． 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（24-25高一下·北京·期中）已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间. 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 19．（2024·北京朝阳·一模）已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间. 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 题型二：限定区间内求单调区间 1．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递增区间． 2．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，且. (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间. 3．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)当时，求函数的单调递减区间． 4．（2024·北京海淀·二模）已知函数，且． (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 5．（24-25高三上·湖北·阶段检测）已知函数． (1)求f（x）的最小正周期； (2)若，求f（x）的单调递增区间． 6．（24-25高三上·北京昌平·期中）已知函数. (1)求的值； (2)求函数的最小值及相应的值； (3)若，求函数的增区间（直接写出结论）. 7．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)求的单调区间，并写出在上的单调区间. 8．（24-25高三上·北京·期中）已知函数，且满足_____________. （在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）. ①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③已知，，且的最小值为. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数在上的单调递减区间. 9．（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定． (1)求的解析式； (2)设，求函数在上的单调递增区间． 条件①：； 条件②：为偶函数； 条件③：的最大值为1； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 10．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数且满足_________. （在下列三个条件中任选一个，并解答问题） ① 函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ② 函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③ 已知，，且的最小值为. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数在上的单调递减区间. 11．（24-25高三上·北京朝阳·期中）已知函数.再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，求： (1)函数的解析式； (2)函数，的单调递增区间. 条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为. 题型三：利用三角函数单调性求解参数或参数范围 细分小题型（一）已知区间单调，求取值范围 1．（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京密云·一模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京西城·期中）已知函数（）在区间上单调递增，则写出符合题意的一个的值为__________. 5．（25-26高三上·北京·期中）已知函数在上递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，则_________．若在上单调递减，则_________． 7．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（    ） A．18 B．17 C．14 D．13 8．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，，，且在且单调，则的最大值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 9．（24-25高三下·北京顺义·阶段检测）设函数． (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：时，的值域是． 10．（2024·北京丰台·一模）已知函数()． (1)若，求的值； (2)若在区间上单调递减，，求的值． 细分小题型（二）已知区间单调，求与 1．（24-25高三上·北京石景山·期末）“ ”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·北京大兴·三模）已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 3．（2026·北京顺义·二模）已知函数，其中. (1)若，求值； (2)已知在区间上单调递减，，再从条件①､条件②､条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 条件③. 注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 4．（2025·北京通州·一模）设函数 (1)若，求的值. (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值. 条件①：在区间上单调递减； 条件②：； 条件③：为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分， 5．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)若，求的值； (2)已知在上单调递减，，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数唯一确定，求的值． ①是曲线的一个对称中心； ②； ③在上单调递增； 细分小题型（三）在含参区间内单调，求参数最大值 1．（2026·北京顺义·一模）设函数，则图象的一条对称轴方程为________；若在上单调递增，则的最大值为________. 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京西城·期末）已知函数 ，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值. 条件①：； 条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为； 条件③：函数的一个零点为. 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 4．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数的两个相邻零点之间的距离为，__________；从以下三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后完成下面问题. (1)确定的解析式； (2)令，若函数在上不单调，求整数的最小值. 条件①：的一条对称轴为； 条件②：的一个对称中心为； 条件③：为偶函数. 5．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求在区间上的值域； (2)若，且函数在区间上单调，求a的取值范围． 6．（2024·北京顺义·二模）已知函数，其中. (1)若，求的值； (2)已知时，单调递增，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使函数存在，求m的最大值. 条件①：； 条件②：； 条件③：的图像与直线的一个交点的横坐标为. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 7．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知函数的图象过原点. (1)求的值及的最小正周期； (2)若函数在区间上单调递增，求正数的最大值. 8．（2024·北京海淀·三模）已知函数.在下列条件①､条件②､条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知. (1)求的值； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值. 条件①：；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为. 9．（24-25高三上·北京·期中）已知函数． (1)求函数取最大值时的取值集合； (2)设函数在区间是减函数，求实数的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $