2.2.2 直线的方程（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的方程”核心知识点，系统梳理点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种方程形式，通过定义阐释、特殊情况分析、适用范围说明构建知识支架，展现从几何要素到代数表达的转化脉络。 资料以“知识点诠释+即学即练+题型拓展”为特色，通过辨析方程形式转化及适用范围培养数学思维的推理意识，结合具体题目（如过点求方程、截距关系判断）发展数学眼光的抽象能力。课中助力教师分层教学，课后通过变式练习与综合题帮助学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

2.2.2 直线的方程 教学目标 根据确定直线位置的几何要素，探究并掌握直线五种方程形式。 教学重难点 1.重点 掌握直线方程的五种形式。 2.难点 （1）直线方程的各种形式之间的相互转化； （2）直线各种方程形式的适用范围 知识点01 直线的点斜式方程 1.定义：如图，直线过定点，斜率为，把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 2.两种特殊的直线： ①垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°，斜率不存在，没有点斜式，其方程为或。 ②平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点，倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为。 3.求直线点斜式方程的一般步骤： ①求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 ②点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。 知识点诠释： 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2．当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4．表示直线去掉一个点；表示一条直线． 【即学即练】 （25-26高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用直线方程的点斜式求出方程即得. 【详解】依题意，所求直线方程为，即. 故选：B 知识点02 直线的斜截式方程 1.定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为，则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 2.斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 知识点诠释： 1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 【即学即练】 （25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）直线斜率为，在轴的截距是5的斜截式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜截式方程直接下结论即可. 【详解】由题意知，该直线的斜截式方程为. 故选：B 知识点03 直线的两点式方程 1.定义：如图，直线经过点，（其中，），则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 2.两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。 知识点诠释： 1．这个方程由直线上两点确定； 2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3．直线方程的表示与选择的顺序无关． 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 【即学即练】 （25-26高二上·河北沧州·阶段检测）过点和的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的两点式即可写出直线. 【详解】根据直线的两点式方程公式可得，化简可得， 故选：D. 知识点04 直线的截距式方程 1.定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 2.截距的概念 ①横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； ②纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 （3）截距式方程应用的注意事项 ①问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； ②选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； ③要注意截距式方程的逆向应用。 知识点诠释： 1．截距式的条件是，即截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线，不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 【即学即练】 （2026高三·全国·专题练习）条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分类判断充分性和必要性，即可得到结果. 【详解】记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若直线的斜率为， 当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍， 当截距均不为时，设直线方程为，变形为， 得，，则能推出，必要性成立； 若，当截距都不为时，斜率为， 当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是， 所以不能推出，充分性不成立. 所以是的必要不充分条件. 知识点05 直线的一般式方程 1.定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般方程。 2.适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3.系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 【即学即练】 （25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，所以直线的斜率， 因，则直线的倾斜角． 题型01 求直线的点斜式方程 【典例1】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 【变式1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量求出斜率，代入点斜式方程求解. 【详解】因为l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率， 直线l过点，所以直线l的方程为，即， 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率的关系求倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为且， 则，故. 故选：A 【变式3】（25-26高二上·北京·阶段检测）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 故选：B 【变式4】（25-26高二上·江苏南通·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，结合其不经过的象限列不等式求参数范围. 【详解】由题设不经过第四象限， 则. 故选：B 题型02 求直线的斜截式方程 【典例1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线的斜截式公式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，， 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·甘肃陇南·期末）若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜截式特征，结合直线倾斜角和斜率的关系进行求解即可. 【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以有， 的补角为， 所以l的倾斜角为. 故选：B 【变式2】（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线斜截式方程得到斜率，再结合倾斜角的取值范围，利用斜率与倾斜角的正切关系求解. 【详解】已知直线的斜截式方程为，因此直线的斜率. 由直线斜率与倾斜角的关系， 可得， 结合，解得. 【变式3】（25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线绕原点顺时针旋转，求出旋转后的直线的斜率，再结合平移知识，可得到所求直线. 【详解】设的倾斜角为，则， 当直线绕原点顺时针旋转时， 旋转后的直线的倾斜角为， 其斜率为， 该直线方程为， 再将该直线向左平移1个单位可得：，即. 【变式4】（25-26高二上·北京·期末）直线的一个方向向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜截式与斜率的关系结合方向向量的定义求解 【详解】因为直线的斜率为， 对A，，A正确； 对B，，B错误； 对C，，C错误； 对D，，D错误； 故选：A. 题型03 求直线的两点式方程 【典例1】（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 【变式1】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的对称点坐标，然后利用两点式直线方程求出结果即可. 【详解】因为关于y轴的对称点， 所以直线 因此入射光线l所在直线的方程为， 故选：C． 【变式2】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 【变式3】（25-26高二·全国·暑假作业）四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 【答案】边所在直线方程为，边所在直线方程为， 边所在直线方程为，边所在直线方程为 【分析】根据截距式、两点式求得四边形四条边所在的直线方程． 【详解】如图，由截距式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即， 由两点式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即． 题型04 求直线的截距式方程 【典例1】（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 【变式1】（25-26高二上·青海海南·期末）直线l经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 【答案】或 【分析】根据题意，分截距均为0和截距不为0，两种情况讨论，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】当截距均为0时，即过，此时直线的方程为； 当截距不为0时，设直线的方程为，满足，解得， 此时直线的方程为， 综上可得直线的方程为或. 【变式2】（第11讲直线的两点式方程（思维导图 2知识点 4大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，，逐项根据截距的正负判断即可． 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，， 选项A，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直线的截距式方程，对截距分情况讨论计算即可. 【详解】当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为，由题意知. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 故满足条件的直线共有3条. 题型05 求直线的一般式方程 【典例1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线的一般式方程化为斜截式方程，进而求解. 【详解】由，所以，所以， 故选：C. 【变式1】（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设该直线的倾斜角为，则由题意， 又，所以. 【变式2】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）直线在轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】令求出的值，即可判断. 【详解】对于直线，令，则，解得， 所以直线在轴上的截距是. 故选：D 【变式3】（25-26高二上·贵州六盘水·期末）经过两点的直线的一般式方程为___________. 【答案】 【分析】利用直线的两点式方程即可求解． 【详解】因为直线经过两点， 所以由两点式可得直线的方程为，即. 故答案为：. 题型06 直线过定点问题 【典例1】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为即可求解． 【详解】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 【变式1】（25-26高二下·湖南湘潭·期末）点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点的坐标，再求出的斜率，的斜率不存在，可得直线的斜率的范围，进而求出的范围． 【详解】直线整理可得， 联立，解得，， 即直线恒过定点， 可得，因为，的横坐标相同，所以直线斜率不存在， 所以直线与线段有交点，则直线的斜率， 而直线的斜率，解得． 所以选项D符合题意. 【变式2】（25-26高二上·河北沧州·期末）（多选）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，由题意得，若直线过定点，则有，，即可求得直线所过的定点，对于B，由题意得的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，对于C，由可得两直线斜率之积为，对于D，由可得两直线斜率相等. 【详解】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 【变式3】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 题型07 直线与坐标轴围成的三角形 【典例1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】B 【分析】由题意，求出点A的横坐标、B的纵坐标，根据三角形的面积公式建立关于b的方程，解之即可. 【详解】如图， 在中， 令，得；令，得， 由题意，得，， 所以的面积， 即，解得. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 【变式2】（25-26高二·全国·暑假作业）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【答案】(1)存在；或 (2)存在；或 【分析】（1）设所求直线方程为，根据点坐标以及的周长求得，进而求得直线方程. （2）设所求直线方程为，根据点坐标以及的面积求得，进而求得直线方程. 【详解】（1）存在．设直线方程为， 由题意可知，．① 又因为直线过点， 所以，② 由①②可得， 解得，或 所以所求直线的方程为或， 即或． （2）存在．设直线方程为， 由题意可知 解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，如图所示，当的面积取最小值时，求直线的方程． 【答案】 【分析】设直线的截距式方程，代入点坐标，利用基本不等式研究的面积的最小值，根据等号成立的条件求得直线的方程. 【详解】设，， 则直线的方程为． 因为过点，所以． 因为，整理得， 所以， 当且仅当，即，时取等号． 此时直线的方程是，即. 【变式4】（2026高二·全国·专题练习）设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)； (2)最小值为2，直线的方程为. 【分析】（1）由题意得到不等式组，求解即可； （2）表达出三角形面积，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为：不经过第二象限， 则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为直线的方程为， 令，得；令，得； 且，则，， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为2，此时直线的方程为. 1．（25-26高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距为_____________. 【答案】 【详解】令，得，所以直线在轴上的截距为. 2．（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 3．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【答案】 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 4．（25-26高二上·青海西宁·阶段检测）若直线与以，为端点的线段有公共点，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】求出直线过定点，设点，求出，根据题意作出图形，数形结合，即可求得答案. 【详解】由题意知直线即， 则该直线过定点，设为点， 而，，则， 要使得直线与以，为端点的线段有公共点， 需满足直线的斜率或， 即或，即a的取值范围为， 故答案为： 5．（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论斜率的存在性，求出斜率的取值范围即可得倾斜角的范围. 【详解】由题意知，当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； 当时，直线的斜率， 所以倾斜角， 综上，. 故选：C 6．（25-26高二上·贵州毕节·期末）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 【答案】 【分析】先根据题意得出入射光线的方程，求出入射光线与x轴的交点，结合反射的性质得出反射光线的斜率，即可得出答案. 【详解】由题意知，入射光线所在直线的斜率为， 则入射光线方程为，化简整理可得， 则入射光线和轴交点为， 由对称性知反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 化简整理可得. 故答案为： 7．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【分析】（1）根据直线过，列方程求得. （2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程. （3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 8．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 9．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)或； (3). 【分析】（1）求出直线所过定点即可. （2）求出直线的横纵截距，再列式求解. （3）求出直线的斜率及纵截距，结合题意列式求解. 【详解】（1）直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. （2）依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. （3）直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 10．（2026高二·全国·专题练习）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】 【分析】利用到角公式求直线的斜率，结合过点写出直线方程，进而求交点坐标，即可得. 【详解】在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即.    在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 11．（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7； (4)经过点，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由点斜式方程求解即可； （2）根据与轴垂直的直线方程特点求解即可； （3）由斜截式方程求解即可； （4）由两点式方程求解即可. 【详解】（1）由点斜式，得， 化成一般式，得． （2）直线方程为，即． （3）由斜截式，得， 化成一般式为． （4）由两点式，得， 化成一般式为． 13．（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点式得直线的方程，进而得纵截距，利用三角形面积公式即可求解； （2）设直线，进而得，解出即可求解. 【详解】（1）当直线在轴上截距为4时，直线l过点，又直线l过， 根据两点式得，即， 令得， 所以的面积； （2）由题知，截距一定不为0，不妨设直线， 所以或， 解得或或或， 所以直线在轴上的截距为或. 14．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知直线过点． (1)若直线与两坐标轴截距之和为0，求直线的方程； (2)直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用截距的概念与直线的截距式计算即可； （2）利用直线的截距式方程计算即可. 【详解】（1）若直线与两坐标轴的截距都是0，则该直线为，即可； 若直线与两坐标轴的截距不为0，不妨设在横轴上的截距为， 则其在纵轴上的截距为， 由截距式知，代入得， 所以，整理得； 综上得直线的方程为或. （2）由题意可设在横轴与纵轴上的截距分别为， 则由截距式可知，代入得， 又，联立方程得，解之得， 即直线的方程为，整理得. 15．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且斜率等于直线斜率的2倍； (2)过点，且与两坐标轴围成三角形的面积为6． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先由已知直线方程求出斜率，即可求出所求直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线方程； （2）设直线的方程为，则由题意列方程，求出，从而可求得直线方程. 【详解】（1）直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2）设直线的方程为， 则，解得， 故所求的直线方程为， 即或. 16．（2026高一·全国·专题练习）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出的中点坐标，进而得到所求直线斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （2）先求出直线的斜率，进而得到高的斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （3）根据（1）的中点坐标及（2）的斜率得到方程即可． 【详解】（1）由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. （2）所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 17．（25-26高二·全国·暑假作业）若直线过点，分别求满足下列条件时的直线方程： (1)倾斜角为； (2)平行于轴； (3)平行于轴； (4)过原点． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）直线的斜率为， 所以由点斜式方程得，化简得． （2）平行于轴的直线的斜率，故所求的直线方程为． （3）过点且平行于轴的直线方程为． （4）过点与点的直线的斜率，故所求的直线方程为． 18．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 19．（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用点斜式方程写出直线和的方程，然后转化为一般式方程； （2）利用两点式方程可得出直线的方程，利用截距式方程可得出直线的方程，再将这两直线的方程化为一般式方程即可. 【详解】（1）由题意可知直线的方程为，即， 直线的方程为，即. （2）直线的方程为，即， 直线的方程为，即. 20．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知直线与直线的交点为P， (1)直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； (2)直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】(1)先求出两直线的交点，再根据垂直关系得到的斜率，最后用点斜式写出直线方程. (2)先确定交点，再分截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【详解】（1）联立，解得，即， 由与直线l：垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为，则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 1．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先将直线方程变形得到定点，将点代入直线确定的关系，最后运用基本不等式中的“乘1法”即可. 【详解】由，得， 由得，则直线过定点，故， 代入直线，得，整理得， ， 当且仅当时，即时取等号， 故最小值为. 故选：D． 2．（25-26高二上·山东菏泽·期末）过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由直线的点斜式方程设出直线的方程，并求出点坐标及三角形面积，再按直线斜率的正负分类，结合一元二次方程根的情况求出范围. 【详解】直线不垂直于坐标轴，设直线方程为， 则点，的面积， 于是，即，， 当，即时，，整理得， 此方程有两个负根，则，又，解得； 当，即时，，整理得， 此方程有两个正根，则，又，解得， 因此当时，有两解；当时，有三解； 当时，有四解， 由使得的面积为的直线有且只有2条，得有两解，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 3．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3), ． 【分析】（1）根据直线的点斜式方程判断定点即可； （2）根据斜截式方程的意义得即可求得答案； （3）根据题意，进而求得直线在坐标轴上的截距，最后计算面积，并结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）解：直线的方程可化为， 根据直线的点斜式方程，可知无论取何值，直线总过定点． （2）解：由题意，直线，即， 因为直线不经过第四象限，所以，解得． 所以的取值范围为 （3）解：由题意知，，当时，，即点， 当时，，即点， 所以，， 所以的面积 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，此时，直线． 4．（25-26高二上·上海·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 ，定点为 (2) 【分析】（1）需将直线方程整理为关于参数的形式，令的系数及常数项为零，解方程组得定点坐标； （2）设该直线倾斜角为，用表示，，将转化为三角函数式，通过换元法求最小值，进而得直线方程. 【详解】（1）整理直线方程得 ， 由 可得 ，， 故直线恒过定点 . （2）由（1）知，如图，作轴于M，轴于N， 且直线与轴的正半轴分别交于两点，设直线倾斜角为，， 因为，所以，， ，，， ， 令 ， 由 得 ，，则 ， 在 上单调递增， 当 即 时，上式取最小值 ，此时直线方程为 化简得直线方程为 . 5.（25-26高二上·安徽六安·期末）已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3) ①对角线（为第四个顶点） 所在直线方程为. 的方程为. ②对角线（为第四个顶点） 所在直线方程为. 的方程为. ③对角线（为第四个顶点） 所在直线方程为. 的方程为. 【分析】（1）根据重心坐标与三角形顶点坐标的关系计算即可. （2）根据斜率公式计算即可. （3）以为顶点可构成三个不同的平行四边形，求这三个平行四边形的所有对角线所在的直线方程. 【详解】（1）因为的三个顶点分别为，是的重心 所以重心坐标为，即. （2）因为的三个顶点分别为， 所以. 所以. （3）以为顶点的平行四边形有三种情况，对应三组对角线： ①对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ②对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ③对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2 直线的方程 教学目标 根据确定直线位置的几何要素，探究并掌握直线五种方程形式。 教学重难点 1.重点 掌握直线方程的五种形式。 2.难点 （1）直线方程的各种形式之间的相互转化； （2）直线各种方程形式的适用范围 知识点01 直线的点斜式方程 1.定义：如图，直线过定点，斜率为，把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 2.两种特殊的直线： ①垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°，斜率不存在，没有点斜式，其方程为或。 ②平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点，倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为。 3.求直线点斜式方程的一般步骤： ①求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 ②点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。 知识点诠释： 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2．当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4．表示直线去掉一个点；表示一条直线． 【即学即练】 （25-26高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 知识点02 直线的斜截式方程 1.定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为，则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 2.斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 知识点诠释： 1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 【即学即练】 （25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）直线斜率为，在轴的截距是5的斜截式方程是（   ） A． B． C． D． 知识点03 直线的两点式方程 1.定义：如图，直线经过点，（其中，），则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 2.两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。 知识点诠释： 1．这个方程由直线上两点确定； 2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3．直线方程的表示与选择的顺序无关． 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 【即学即练】 （25-26高二上·河北沧州·阶段检测）过点和的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 知识点04 直线的截距式方程 1.定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 2.截距的概念 ①横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； ②纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 （3）截距式方程应用的注意事项 ①问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； ②选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； ③要注意截距式方程的逆向应用。 知识点诠释： 1．截距式的条件是，即截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线，不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 【即学即练】 （2026高三·全国·专题练习）条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点05 直线的一般式方程 1.定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般方程。 2.适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3.系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 【即学即练】 （25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 题型01 求直线的点斜式方程 【典例1】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式3】（25-26高二上·北京·阶段检测）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·江苏南通·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型02 求直线的斜截式方程 【典例1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·甘肃陇南·期末）若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·北京·期末）直线的一个方向向量可以为（    ） A． B． C． D． 题型03 求直线的两点式方程 【典例1】（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【变式1】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【变式3】（25-26高二·全国·暑假作业）四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 题型04 求直线的截距式方程 【典例1】（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【变式1】（25-26高二上·青海海南·期末）直线l经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 【变式2】（第11讲直线的两点式方程（思维导图 2知识点 4大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型05 求直线的一般式方程 【典例1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）直线在轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D． 【变式3】（25-26高二上·贵州六盘水·期末）经过两点的直线的一般式方程为___________. 题型06 直线过定点问题 【典例1】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·湖南湘潭·期末）点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式2】（25-26高二上·河北沧州·期末）（多选）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 【变式3】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 题型07 直线与坐标轴围成的三角形 【典例1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【变式1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【变式2】（25-26高二·全国·暑假作业）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，如图所示，当的面积取最小值时，求直线的方程． 【变式4】（2026高二·全国·专题练习）设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 1．（25-26高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距为_____________. 2．（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 3．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 4．（25-26高二上·青海西宁·阶段检测）若直线与以，为端点的线段有公共点，则实数a的取值范围是____________． 5．（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·贵州毕节·期末）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 7．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 8．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 9．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 10．（2026高二·全国·专题练习）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 11．（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7； (4)经过点，． 13．（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 14．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知直线过点． (1)若直线与两坐标轴截距之和为0，求直线的方程； (2)直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 15．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且斜率等于直线斜率的2倍； (2)过点，且与两坐标轴围成三角形的面积为6． 16．（2026高一·全国·专题练习）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 17．（25-26高二·全国·暑假作业）若直线过点，分别求满足下列条件时的直线方程： (1)倾斜角为； (2)平行于轴； (3)平行于轴； (4)过原点． 18．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 19．（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 20．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知直线与直线的交点为P， (1)直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； (2)直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 1．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高二上·山东菏泽·期末）过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 3．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 4．（25-26高二上·上海·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 5.（25-26高二上·安徽六安·期末）已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $