2.2.3 两条直线的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

2．2.3　两条直线的位置关系 [学习目标] 知识层面 1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．　2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．　3.灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系. 素养层面 通过学习两直线位置关系的方法，培养逻辑推理的核心素养；借助两直线位置关系的应用，培养数学运算的核心素养. 问题1．(1)在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ (2)平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示：(1)两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． (2)两直线平行，倾斜角相等． 问题2．(1)在平面中，若两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则它们垂直的充要条件是什么？ (2)平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：(1)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)k1·k2＝－1. 知识点一　两条直线的相交、平行与重合 1．几何方法判断 若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则： (1)l1与l2相交⇔k1≠k2； (2)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2； (3)l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． 2．向量方法判断 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量． (1)l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1． (2)l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1； l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ使得 学生用书↓第52页 [微思考]　直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是什么？重合呢？ 提示：平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件为C1＝C2. 知识点二　两条直线的垂直 1．一般地，若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. 则l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 2．设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． [微思考]　“两条直线的斜率之积为－1”是“两条直线垂直”的充要条件吗？ 提示：不是．当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.故“两条直线的斜率之积为－1”是“两条直线垂直”的充分不必要条件．即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在． 1．若两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 答案：B 解析：因为两条直线平行，则a＝2－a，得a＝1. 2．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值是(　　) A．－3 B．2 C．－3或2 D．3或－2 答案：A 解析：由直线l1与l2平行，可得 解得a＝－3. 3．已知直线l1：x＋ay＋1＝0与直线l2：x－2y＋2＝0垂直，则a的值为(　　) A．2 B．－2 C．－ D． 答案：D 解析：直线l2可化为y＝x＋1，所以其斜率k2＝，所以直线l1的斜率存在，即a≠0且k1＝－.由k1·k2＝×＝－1，解得a＝. 4．以A(1，3)，B(－5，2)为端点的线段的垂直平分线的方程是____________． 答案：12x＋2y＋19＝0 解析：因为A(1，3)，B(－5，2)，所以线段AB的中点坐标为(－2，)，直线AB的斜率为 ＝，所以线段AB的垂直平分线的斜率为－6，所以以A(1，3)，B(－5，2)为端点的线段的垂直平分线的方程是y－ ＝－6(x＋2)，即12x＋2y＋19＝0. 题型一　两条直线位置关系的判断 (链教材P93例1)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 解：(1)解方程组 得 所以l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组 ①×2－②得1＝0，矛盾． 这个方程组无解， 所以直线l1与l2无公共点，l1∥l2. (3)解方程组 ①×2得2x－2y＋2＝0. ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． 题型二　由直线的平行或垂直求直线的方程 (链教材P96例4)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　) A．x＋y－2＝0　　　　　　　 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 [思路点拨]　可以先求出所求直线的斜率，再由点斜式写出所求直线的方程；也可以设出与直线x＋y＋1＝0垂直的直线系方程求解． 答案：D 解析：方法一：依题意得直线l的斜率为1，又直线l过点(0，3)，所以直线l的方程为y－3＝1×(x－0)，即x－y＋3＝0. 方法二：因为直线l垂直于直线x＋y＋1＝0，所以可设直线l的方程为x－y＋c＝0，又直线l过点(0，3)，则c＝3.故直线l的方程是x－y＋3＝0. 一般地，利用平行直线系或垂直直线系直接设出直线方程，用待定系数法即可求解． 方法技巧 1．与直线y＝kx＋b平行的直线方程可设为y＝kx＋m(m≠b)；与直线y＝kx＋b垂直的直线方程可设为y＝－x＋m. 学生用书↓第53页 2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.　　 对点练1．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的方程，使l′满足： (1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直； (3)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4. 解：(1)方法一：l的方程可化为y＝－x＋3， 所以l的斜率为－. 因为l′与l平行，所以l′的斜率为－. 又l′过点(－1，3)，所以由点斜式得直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0. 方法二：由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)， 将(－1，3)代入得m＝－9. 所以所求直线方程为3x＋4y－9＝0. (2)方法一：l的方程可化为y＝－x＋3， 所以l的斜率为－，由l′与l垂直，得l′的斜率为. 又l′过点(－1，3)，所以由点斜式得直线l′的方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0. 方法二：由l′与l垂直， 可设l′的方程为4x－3y＋n＝0， 将(－1，3)代入得n＝13. 所以所求直线方程为4x－3y＋13＝0. (3)方法一：l的方程可化为y＝－x＋3， 所以l的斜率为－.因为l′⊥l，所以kl′＝. 设l′在y轴上的截距为b，则直线l′的方程为y＝x＋b，令y＝0，可得l′在x轴上的截距为－b. 由题意可知，围成的三角形面积S＝·|b|·＝4，所以b＝±. 所以直线l′的方程为y＝x＋或y＝x－. 即4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0. 方法二：由l′与l垂直，可设直线l′的方程为4x－3y＋p＝0，则l′在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为， 由题意可知，围成的三角形面积S＝··＝4，得p＝±4. 所以直线l′的方程为4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0. 题型三　由直线的位置关系求参数的值 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ [思路点拨]　利用直线平行(或垂直)的条件列方程组，进而求参数． 解：(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2， 因为l1∥l2， 所以 解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． (2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4， 因为l1⊥l2，所以4(2a－1)＝－1，解得a＝ . 故当a＝ 时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 方法技巧 对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论： 1．斜截式 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2. 则l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2．一般式 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔或 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.　　 对点练2．已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直． 解：因为直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 所以A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. (1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0， 即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，即m≠3，且m≠－1. 故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交． (2)若l1∥l2，则有 即即 即 所以m＝－1. 故当m＝－1时，直线l1与l2平行． (3)若l1与l2重合， 则有即 所以所以m＝3. 故当m＝3时，直线l1与l2重合． (4)若l1⊥l2，则有A1A2＋B1B2＝0， 即(m－2)＋3m＝0，所以m＝， 故当m＝时，直线l1与l2垂直． 学生用书↓第54页 易错点1　忽略直线斜率不存在的情况致错 已知直线l1：(2－a)x＋ay－3＝0，l2：(2a＋3)x－(a－2)y＋2＝0互相垂直，则实数a的值为________． [正解一]　因为l1⊥l2，则必有(2－a)(2a＋3)－a(a－2)＝0，即a2－a－2＝0，所以a＝2或a＝－1.将a＝2或a＝－1代入方程，均满足题意． [正解二]　①若a＝0，直线l1：2x－3＝0与直线l2：3x＋2y＋2＝0不垂直． ②若2－a＝0，即a＝2，直线l1：2y－3＝0与直线l2：7x＋2＝0显然垂直． ③若a≠0，且a≠2，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝，k2＝，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1， 即·＝－1，解得a＝－1. 综上可知，当a＝2或a＝－1时，直线l1⊥l2. 答案：2或－1 [易错探因]　在利用斜率判断直线位置关系时，一定要先保证直线斜率存在． [误区警示]　l1⊥l2并不等价于k1·k2＝－1.一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．l1∥l2⇔或l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.利用上述判定方法可避开斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性． 易错点2　忽略两直线重合的情形致错 已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________． [正解一]　因为两直线平行，所以a≠0，a≠2，且＝≠，解得a＝3. [正解二]　令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3. 当a＝－1时，两条直线的方程都为x－3y－1＝0，即两条直线重合，故舍去； 当a＝3时，两条直线的方程分别为3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，两条直线平行． 所以a的值为3. 答案：3 [易错探因]　用正解一解题时易忽略两条直线重合的情况，由＝，直接解得a＝－1或a＝3，从而产生增解． [误区警示]　当两直线的斜率存在时，两直线平行的等价条件是斜率相等且在y轴上的截距不相等，解题时容易忽略在y轴上的截距不相等这一限制条件，导致产生增解． 学科网（北京）股份有限公司 $